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Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen am 1. mai, 1909, von David Hilbert": v. 1, p. [v]-xxxi. 650/1: 0: | a Mathematics. 650/2:0: |aGeometry. Scanned by Imagenes Digitales Nogales, AZ On behalf of Preservation Division The University of Michigan Libraries Date work Began: _ Camera Operator: _ y Google y Google c «^ °''"*\"Ä^^'''' ■ '^ ^ii- m €,;i Äf-Ä <5X . lyTU-^i^itt^r^Sc jby Google GESAMMELTE ABHANDLUNGEN TON HERMANN MINKOWSKI UNTER MITWISKUNG VON ANDBEAS SFSISSB und HllBMAI^N WSYL UBKAUSGRGEBEN VON DAVIB HILBERT EBSTBB BASD MIT EINEM BILDNIS HERMANN MINKOWSKIS UND 6 FIGUREN IM TEXT LEIPZIG UND BEBLIN DEUCK UND VERLAG TON B.G.TEUBNBB 1911 y Google COPYßIGIIT 1311 EY fi, G. TKUESKH IN LEIPZIG. !;, BINBCHLIBSSLICIi DläS y Google INHALT DES ERSTEN BANDES. Gedächtnisrede auf H. Minkowski, von D. Hubert V Zur Theorie der quadratischen rormeu, I. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffiaienten S (In franaöaiBclier Sprache \inteir dem Titel; Memoire Bnr la th^oiie des formes qnadratiqnes, in den MiSmoires prösentiSs par divers navants ä l'Aoadömie des Scienoea de l'Inatitut national de France, Tome XXIX, Ko. 2; 1884.) II. Snr la rödnction des formes quadratiqnes positives quaternaires 145 (Comptes rendna de l'Academie des Sciences, Paria, t. 96, pp. 1206 — 1210; 1883.) m. Über positive quadratische Formen 149 (Crellea Journal für die reine und angewandte Mathematik, Dd. 99, 8. 1—9; 1886.) IV. Untersuchungen über quadratische Formen. Bestimmung der Anzahl veraehiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält 157 (Inauguraldissertation, Königsberg 1885; Acta Mathematica, Bd. 7, S. 201—258; 1885.) V. Über den arithmetischen Begriff der Äquivalenz nnd über die endlichen Grnppen linearer gansiahliger Substitutionen, . . , 203 (Grelles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd, 100, . 440—458; 1887.) Tl. Zur Theorie der poaitiven quadratischen Formen 212 (Crelies Journal für die reino und angewandte Mathematik, Bd. 101, 8, 196—202; 1887.) Vn, über dieBedingungen, unter welchen zwei quadratische Formen mit rationalen Koeffizienten ineinander rational traneformiert werden können (Auszug aua einem von Herrn H, Minkowski in Bonn an Herrn Adolf Hnrwita gerickteten Brief) 219 (CreUes Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 106, S. 5-26; 1890.) Zur Geometrie der Zahlen. Vin. über die positiven quadratischen Formen und über ketten- bruchähnliche Algorithmen 243 (Grelles Journal flir die reine und angewandte Mathematik, Bd. 107, S. 278— 297; 1891.) y Google IV Inhalt des ersten Bandes, IX. Theorömee arithmetiqiies (Bxtrait d'une lettre de M. H. Minkowski ä M. Eermite) 2 (Comptes rendus de l'Aoademie des Sciences, Paria, t, 112, pp. 209— 2IS ; 1891.) X. Über Geometrie der Zahlen (Bericht über einen Vortrag zu Halle) . 2 {Verhandinngen der 64. Naturforscher- und Ärzteyersaiamluug zu Halle, 1891, S. IS, und Jahreaberioht der Deutschen Mathematiker- Vereinigung, Bd. 1, S. 04—65; 1892.) XI. Extrait d'une lettre adressße a M. Hormite 2 (Bulletin des Seiencee matMmatiques , 3" sörie, t. XVII, pp. 24—29: 1893.) XII. Über Eigenschaften vou ganzen Zahlen, die durcb räuraliehe Anseliauung erschlossen sind 2 (Mathematioal Papers read at the international Mathematical Congreas lield in connection with the world'a Coinmbian Exposition Chicago, 1893, pp, aoi— 207; ferner unter dem Titel: Siir les propriötös des nombies entiers qui sont dörivees derintuitionde!'e9pace,yoiiL.Lftiigel ins FranzOsiselie übersetzt, in Nouvelles Ännales de MathematiqueB, 3" sörie, t. XV, pp. 393—403; 1996.) XIII. Zur Theorie der Kettenbrüche S (Von L. Laugel ins Pranzösische überaetat unter dem Titel: Gene- ralisation de la th^orie des fractions eontinues, in Annales de l'ficole Normale supörieure, 3° sörie, t. XIH, pp. 41—60; 1896.) XIV. Ein Kriterium für die algehraisohen Zahlen i (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissensohaften zu Göttingen, mattematiseh-pliysikaLische Klasse, 1899, S. 64 — 88.) XV. Zur Theorie der Einheiten in den algebraischen Zablkörpern ! (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gattingen, matheniatisch-phyBikalisehe Klasse, 1900, 8, 90—93.) XVI. Über die Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen ; (Mathematische Annalen, Bd. 54, S. 91—124; 1901.) XVn. Quelques nouveaux theoremes sur l'approximation des quan- tit^E i. l'aidc de nombres rationnels ; (Bulletin des Sciences mattömatiques, 3" serie, t, XXV, pp. 72—76; 1901.) XVm, Über periodische Approximationen algebraischer Zahlp.n. . . ; (Acta Mathematica, Bd. 26, S. 333—351; 1902.) y Google Hermann Minkowski. Gedächtnisrede, gehalten in der öffentliclien Sitzung der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen am 1. Mai 1909 DaTid Illltoert. (Nachrichten der £. Gesellschaft dev Wissenschaften zu Göttiugen, 1909.) Einen schweren unermeßlichen Verlust haben ku Beginn des Jahres 1909 unsere Gesellschaft, unsere Universität, die Wissenschaft und wir alle per- sönlich erlitten; durch ein hartes Gfischiek wurde uns jäh entrissen unser KoUege und Freund Hermann Minkowski im VoilbesitK seiner Lebenskraft, aus der Mitte freudigsten Wirkens, von der Hohe seines wissenschaftlichen Schaffens. Seinem Andenken widmen wir diese Stunde. Hermann Minkowski wurde am 22. Juni 1864 zu Alexoten in UuSland geboren, kam als Knahe nach Deutschland und trat Oktober 1872 im Älter von Sy^ Jahren in die Septima des jiltstädtisehen Gymnasiums zu Königsberg i. Pr. ein. Da er von sehr rascher Auffassung wai' und ein vortreffliches Gedächtnis hatte, wurde er auf mehreren Klassen in kürzerer als der vorgeschriebenen Zeit versetzt und verließ das Gymnasium schon März 1880 — noch als Fünfzehnjähriger — mit dem Zeugnis der Reife. Ostern 1880 begann Minkowski seine Universitätsstudien. Insgesamt hat er 5 Semester in Königsberg, vornehmlich bei Weber und Voigt, und 3 Semester in Berlin studiert, wo er die Vorlesungen von Kummer, Kronecker, Weierstraß, Helmholtz und Kirchhoff hörte. Seine Befähigung zur Mathematik zeigte sich früh; fiel ihm doch im ersten Semester bereits für die Lösung einer mathematischen Aufgabe eine Geldprämie zu, auf die er freilich zugunsten eines armen Mitschülers verzichtete, so daß sein frühzeitiger Erfolg zu Hause gar nicht bekannt wurde — eine kleine Begebenheit, die zugleich die Bescheidenheit und Herzensgüte kennzeichnet, wie er sie sein ganzes Leben hindurch allen Mensehen gegenüber, die ihm im,her kamen, betätigt hat. Sehr bald begann Minkowski tiefgehende und gründliche mathematische Studien, Ostern 1881 hatte die Pariser Akademie das Problem der Zer- legung der ganzen Zahlen in eine Summe von fünf Quadraten als Preis- thema gesteht. Dieses Thema griff der siebzehnjährige Student mit aller y Google VI Gedäditnierede auf H. Minkowski. Energie an uüd J.öste die gestellte Aufgabe aufs glänzendste, iadem er weit über das Preisthema hinaus die allgemeine Theorie der quadi-atisclieii Formen, insbesondere ihre Einteilung in Ordnungen und Geschlechter — zunächst sogar für beliebigen Trägheitsindes — entwickelte*). Es ist erstaunlich, welch sichere Herrschaft Minkowski schon damals über die algebraischen Methoden, insbesondere die Elementarteilerfcheorie, sowie über die transzendenten Hilfsmittel wie die Di richlet sehen Reihen \uiä die Gaußsehen Summen besaß, — Kenntnisse, die noch heute lange nicht all- gemeines Eigentum der Mathematiker geworden sind, die aber freilich zur erfolgreichen Inangriffnahme des Pariser Preisthemas eine notwendige Voraussetzmig bildeten. Hören wir, wie Minkowski selbst in dem Begleit- achreiben zu seiner der Pariser Akademie eingereichten Arbeit sich aus- spricht**): „Durch die von der Academie des Sciences gestellte Aufgabe an- geregt", so schreibt der jugendliehe Student, „unternahm ich eine genauere Untersuchung der allgemeinen quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten. Ich ging dabei von dem natürlichen Gedanken aus, daß die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von fünf Quadraten in ähnlicher Weise von den quadratischen Formen mit vier Variablen abhängen würde, wie be- kanntlich die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von drei Quadraten von den quadratischen Formen mit zwei Variablen abhängt. Diese Untersuchung hat mir in der Tat die gewünschten Resultate über die Zerlegung einer Zahl in eine Summe Ton fünf Quadraten geliefert. Indessen erscheinen diese Resultate bei der großen Allgemeinheit der von mir gefundenen Sätze nicht überall als das eigentliche Hauptziel der vorliegenden Arbeit; sie stellen vielmehr nur ein Beispiel für die gewonnenen umfangreichen Theorien dar. Wenn daher viele der nachfolgenden Betrachtungen nicht immer unmittelbar auf das Thema der Preisfrage hinweisen, so wage ich dennoch zu hoffen, daß die Akademie nicht der Ansicht sein werde, ich würde mehr gegeben haben, wenn ich weniger gegeben hätte." Mit dem Motto: „Rien n'est beau que le vrai, le vrai seul est aimable" reichte der noch nicht Achtzehnjährige am 30. Mai 1882 die Arbeit der Pariser Akademie ein. Obwohl dieselbe, entgegen den Bestimmungen der Akademie, in deut- scher Sprache abgefaßt war, so erkannte die Akademie dennoch unter ausdrücklicher Betonung des exzeptionellen Falles auf Zuerteilnng des vollen Preises, da — wie es im Kommissionsbericht heißt — eine Arbeit von solcher Bedeutung nicht wegen einer L-regularitäfc der Form von der *) „Memoire sur la thöorie des formeB quadratiques 4 coefücient nt Mömoirea prösentös par divers savants ä rAcadömie dea Sciences de l'Institnt nat n I de France, T, XXIX. No. 2 (1884). Unter dem Titel „Grandlagen für eine Tte e d quadratiselien Formen mit ganzaahligen Koeffiaienten", diese Gea. Äliha ilu i, n Bd. I, S. 3—144. "■") Vgl. dieaö Gea. Abliandluiigou, Bd. I, 8. 4. y Google GedächtniErede auf H, MinkoTTski. VII Bewerbung auszuschließen sei, nnd erteilte ihm im April 1883 den Grand Prix des Sciences Math^matiques, Äla die Zuerkennung des Akademiepreises an Minkowski in Paris bekannt wurde, richtete die dortige ehauvinistisehe Presse gegen ihn die unbegründetsten Angriffe und Verdächtigung en. Die französischen Aka- demiker C. Jordan und J. Bertrand steRten sich sofort rückhaltlos auf die Seite Minkowskis. „Travaiilez, je vous prie, ä devenir un geometre emi- nent." In dieser Mahnung des großen französischen Mathematikers C. Jordan an den jungen deutschen Studenten gipfelte die bei diesem Anlaß zwischen C. Jordan und Minkowski geführte Korrespondenz, — eine Mahnung, die Minkowski treulieh beherzigt hat; begann doch nun für ihn eine arbeits- frohe und publikationsreiche Zeit. GauB hat in seinen Disquisitiones arithmeticae die Theorie der binären quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten und damit zugleich den wesentlichen Inhalt der heutigen Theorie der quadratischen Zahl- körper geschaffen. Nach zwei verschiedenen Richtungen hin war die Ver- aUgomeinerung der Gaußscben Theorie möglich: einmal als Theorie der quadratischen Formen mit beliebig vielen Variablen und dann als Theorie der zerlegbaren Formen höherer Ordnung, d. h, als Theorie der Zahlkörper von beliebigem Grade. Durch das Pariser Preisthema war Minkowski zunächst auf die erstere Verallgemeinerung der Gaußschen Theorie hin- gewiesen: in der Tat sehen wir Minkowski in den folgenden Jahren aus- schließlich seine ganze Arbeitskraft dem Studium der Theorie der qua- äratisiAen Formen imd der aufs engste damit zusammenhängenden Fragen widmen. Die Gaußsehe Theorie der quadratischen Formen hatte eine wesentUche Ergänzung durch Dirichlet erfahren, indem es diesem gelungen war, auf Grund einer ihm eigentümlichen transzendenten Methode für die Anzahl der Klassen binärer quadratischer Formen mit gegebener Deter- minante geschlossene Ausdrücke aufzustellen. Es lag nahe, diese Methode nach jenen beiden oben gekennzeichneten Kichtungen hin zu verall- gemeinern. Nach letzterer Richtung hin, nämlich für die Theorie der algebraischen Zahlkörper, war jene Verallgemeinerung der DiriehietscLen Methode bereits von Kummer und in allgemeinster Weise von Dedekind vorgenommen worden; in ersterer Richtung aber, nämlich für das Problem der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen, lagen nur einige Vorarbeiten von St. Smith, jenem schon bejahrten englischen Zahlen- theoretiker, vor, welcher auch bei der Bewerbung um den Pariser Preis Minkowskis Konkurrent gewesen war. Minkowski führte nun die Be- stimmung der Anzahl der in einem Geschlecht enthaltenen Klassen qua- dratischer Formen von beliebig vielen Variablen — denn darauf spitzt sich das in Frage kommende Problem zu — nach der von Dirichlet für binäre y Google VIII Gfedächtnisrede auf H, Hfinkowaki. quadratische Formen ar^ewanttfcen transzendonten Methode durch. Die hierbei gefundenea Resultate bilden den wesentlichen Inhalt der Inaugural- Dissertation*), auf Grund deren Minkowski am 30. Juli 1885 Ton der phi- losophischen Fakultät in Königsberg zum Doktor promoviert wurde. Wie glücklich die Ideen des jugendlichen Minkowski auch auf anderem als rein zahlen theoretischem Gebiete waren, ei-sehen wir aus der bei dieser Gelegenheit von ihm aufgestellten These, die so lautete: „Es ist nicht wahrscheinlich, daß eine jede positive Form sich als eine Summe von Formenquadraten darstellen läßt." Es fiel mir als Opponent die Aufgabe zu, bei der öffentliehen Promotion diese These anzugreifen. Die Dispu- tation schloß mit meiner Erklärung, ich sei durch seine Ausführungen überzeugt, daß es wohl schon im teruären G-ehiete solch merkwürdige Formen geben möchte, die so eigensinnig seien, positiv zu bleiben, ohne sich doch eine Darstellung als Summe von Formenquadi-afcen gefallen zu lassen. Die Miukowskische These war für mich später die Veranlassung, die TJntei-snchung der Frage aufzunehmen und für die in der These aus- gesprochene Vermutung den strengen Nachweis zu erbringen. Es stellte sich außerdem späterhin heraus, daß das Problem der Darstellung definiter Formen durch Formen qua drate auch bei der Fi'age nach der Möglichkeit geometrischer Konstruktionen mittels gewisser elementai-er Hilfsmittel eine interessante EoUe spielt und andererseits mit gevrissen tieferen Problemen über die Darstellbarkeit algebraischer Zahlen als Summen von Quadraten zusammenhängt. Auch von anderer Seite ist seitdem das Problem auf- genommen worden und hat zu interessanten speziellen Ergebnissen geführt. Angeregt durch eine von Kronecker gestellte Forderung, die eine schärfere Fassung des arithmetischen Begriffs der Äquivalenz von Formen betraf, gelangte Minkowski zu der interessanten Frage nach dem Verhalten linearer ganzzahliger Substitutionen von beliebiger Variablenzahl im Sinne der Kongruenz nach einem beliebigen Modul**). Minkowski gewann dabei den anwendungs reichen Satz, daß eine homogene lineare ganzzahlige Sub- stitution mit n Variablen von einer endlichen Ordnung, die nach einem ganzzahhgen Modul ^ 3 der identischen Substitution kongruent ausfällt, selbst notwendig die identische Substitution ist. Mit Hilfe dieses Satzes *) Uiiterauchungen über quadratische Formen. I. BestimmuDg der Anzahl ver- Bcliiedener Fonnen, welche ein gegeheoes Genus enthält. Acta Mathematica, Bd. 7 (1885), S. 301—258. Diese Ges. AhhaBdlungen, Bd. I, 8, 157—202. **1 Ueher den arithmetischen Begriff der Aequivalenz und über die endliühen Gruppen linearer ganaaahliger Subatitutionen. Grelles Journal, Bd, 100 (1887), S. 449 —458. Diese Gea. Abhandlungen, Bd. I, S. 203 — 211. Zur Theorie der positiven quadra- tischen Formen. Crellos Journal, Bd. 101 (1887), 8, 196—202. Dieae Ges. Abhandluagen, Bd. I, S. 212—318. y Google Gedächtnisrede auf H. Minkowski. IX gelingt es Minkowski unter anderem zu zeigen, daß die Ordnung jeder endlichen Gruppe von homogenen linearen ganzzahligen Substitutionen mit «Variablen stets ein Divisor der Zahl 2«(2"- 1)(2"- 2) ... (2"- 2"-i) ist, und desgleichen stellt er eine nur von n abhängige Zahl auf, in weicher notwendig allemal die Anzahl der ganzzahligen Substitutionen aufgellen muß, die eine deflnite quadratische Form mit n Variablen in sich selbst überführen. Die beiden Abhandlungen, welche diese Eesultate entwickeln, reichte er der philosophischen Fakultät in Bonn als Habilitationsschrift ein; April 1887 erteilte ihm diese die venia legendi för Mathematik. Noch eine Arbeit Minkowskis sei hier genannt, die ich der Jugend- epoche seines mathematischen Schaffens zuzahle, da sie ebenfalls aus- schließlieh das Gebiet der quadratiachen Formen betrifft; es ist diejenige*), in welcher Minkowski die Bedingungen dafür aufstellt, daß eine qua- dratische Form mit rationalen Zahlenko effizienten sieh vermöge einer linearen Substitution mit rationalen Zahlenkoefflzienton in eine andere ebensolche quadratische Form oder ia ein rationales Vielfaches einer solchen Form transformieren läßt. Als äußerer Anlaß dazu diente ihm eine von Hurwitz und mir gemeinsam verfaßte Arbeit über ternäre dio- phantißche Gleichungen vom Geschlechte Null. Die Untersuchung von Hurwitz und mir hatte ergeben, daß jede ternäre diophantische Gleichung vom Gesehlechte NuU durch eine rationale eindeutig umkehrbare Trans- formation in eine quadratische Gleichung übergeführt werden kann; die weiter entstehenden Fragen, insbesondere die Frage nach den Kriterien dafür, daß eine quadratische diophantische Gleichung bei beliebiger Vari- ablenzahl durch rationale Zahlen lösbar ist, finden durch Minkowski ihre vollständige Erledigung; doch gestaltet sich noch darüber hinaus die Be- arbeitung des Problems durch Minkowski zu einer vollständigen Invaiianten- theorie der quadratischen Formen im zahlentheoretischen Sinne. Nunmehr beginnt für Minkowskis mathematische Produktion die reichste und bedeutendste Epoche; seine bisher auf das spezielle Gebiet der quadratischen Formen gerichteten Untersuchungen erhalten mehr und mehr den großen Zug ins Allgemeine und gipfeln schließlich in der Scbaffiing und dem Ausbau der Lehre, für die er selbst den treffenden Namen „Geometrie der Zahlen" geprägt hat und die er in dem großartig an- gelegten Werke gleichen Titels dargestellt hat. Das Problem, aus den unendlich vielen Formen einer Klasse durch *) Oelier die BedingungeB, unter welchen zwei quadratische Foimen mit rationalen Coefficienten in einander rational transformiert werden können. Grelles Journal, Bd. 106 (18S0), S. 5—26. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. Sia~239. y Google X Gedächtnisrede auf H. Minkowski. bestimmte TJngleichheitsbedinguiigen eine einzige auszusonderi], d. h. das Pioblem der Reduktion der quadratischen Formen, hatte Minkowski schon wiederholt beschäftigt. Vor allem ergriffen ihn die berühmten Briefe, die 1850 Ch. Hermite über diesen Gfegenstand an Jacobi gerichtet hatte, und insbesondere der dort von Hermite aufgestellte Satz, daß die kleinste von Null verschiedene Größe, die durch eine positive quadratische Form von n Variablen mit der Determinante 1 mittels ganzer Zahlen darstellbar ist, niemals einen gewissen, nur von der Zahl n abhängigen Betrag Übersteigt. Durch die Beschäftigung mit diesem Satze wurde Minkowski zu Betrach- tungen veranlaßt, auf die wir ein wonig näher eingehen müssen. Wir denken uns nach Minkowski dasjenige würfelförmig angeordnete, den ganzen Raum erfäUende Punktsystem, welches entsteht, wenn man den reehtwinkhgen Koordinaten x, y, alle ganzzahligen Werte erteilt. Minkowski nannte ein solches Punktsystem ein Zahlengitter. Bedeutet nun F(Xj i/, s) eine homogene positive quadratische Form von x, y, z mit der Determinante 1, so stellt die Gleichung F{x, y, s)^ c für irgendeinen positiven Wert der Konstanten c ein bestimmtes EUipsoid mit dem Null- punkt als Mittelpunkt dar. Wir denken uns nun um jeden Punkt des Zahlengitters als Mittelpnnkt ein diesem EUipsoid kongruentes und ähnlich gelegenes Ellipsoid konstruiert: ist dann der Wert der Konstanten c ge- nügend klein, so werden diese Eüipsoide offenbar sämtlich völlig von- einander getrennt liegen. Der größte Wert von c, bei welchem dies noch der Fall ist und die Eüipsoide demnach einander nur in einzelnen Punkten berühren, sei \ M. Da bei dieser RaumerfiiUung auf je einen Würfel mit der Kanten^nge 1 je eines der EUipsoide kommt, so folgt leicht, daß der Inhalt des Ellipsoides i^(a:, 3/, «) = ^JM" notwendig kleiner als der Inhalt jenes Würfels ausfällt, d. h. es ist gewiß \Y©'<:. Andererseits ist leicht zu erkennen, daß das Ellipsoid F{x, y,s) = M gewiß außer dem Nullpunkt keinen Punkt des Zahlengitters in seinem Innern enthält; liegen doch auf seiner Oberfläche gerade noch diejenigen Gitter- punkte, die die Mittelpunkte der das Ellipsoid F(x, y,ä) =\M berührenden Eliipsoide sind, d. h. M ist der kleinste von NuU verschiedene, durch ganze Zahlen darstellbare Wert der quadratischen Form, und jene Ungleichung liefert für dieses Minimum die obere Schranke M<]/K Dieser Beweis eines tiefliegenden zahlen theoretischen Satzes ohne rechnerische Hilfsmittel wesentlich auf Grund einer geometrisch anschau- y Google Gedächtnisrede auf H. Mixikowsti. XI Uchen Betrachtung ist eine Perle Minkoivakiselier Erflndungakunst, Bei der Yer allgemeiner ung auf Formen mit n Variablen fuhrt der Minkowski- Bche Beweis auf eine natürlichere und weit kleinere obere Sehranke für jenes Minimum M, als sie bis dahin Hermite gefunden hatte. Noch wichtiger aber als dies war es, daß der wesentliche Gedanke des Minkowskischen SchluSverfahrens nur die Eigenschaft des Ellipsoides, daß dasselbe eine konvexe Figur ist und einen Mittelpunkt besitzt, benutzte und daher auf beliebige kouvexe Figuren mit Mittelpunkt übertragen werden konnte. Dieser Umstand führte Minkowski zum ersten Male zu der Erkenntnis, daß überhaupt der Begriff des honvexeii Körpers ein fundamentaler Begriff in unserer Wissenschaft ist und zu deren fruchtbarsten Forschuugsmitteln gehört. Ein konvexer (nirgends konkaver) Körper ist nach Minkowski als ein solcher Körper definiert, der die Eigenschaft hat, daß, wenn man zwei seiner Punkte ins Auge faßt, auch die ganze geradlinige Strecke zwischen denselben zu dem Körper gehört. Die Bedeutung des Begriffs des konvexen Körpers für die Grund- lagen der Geometrie beruht in dem engen Zusammenhange, der, wie Min- kowski erkannte, zwischen diesem Begriff und dem fundamentalen Satze Euklids besteht, wonach im Dreiecke die Summe zweier Seiten stets größer als die dritte Seite ist. Dieser Satz Euklids, welcher ja lediglieh von elementaren, aus den Axiomen uujnittelbar entnommenen Begriflen handelt, folgt bei Euklid aus dem Axiom von der Kongruenz zweier Dreiecke, wir nun alle Axiome der gewöhnlichen Euklidischen Geometrie mit Ausnahme des Axioms von der Drei eck skongruenz, indem wir vielmehr dieses durch das andere, weniger aussagende Axiom, daß in jedem Dreieck die Summe zweier Seiten größer als die dritte sein soll, ersetzen, so gelangen wir zu einer Geometrie, welche keine andere ist als diejenige, die Minkowski aufgestellt und zur Grundlage seiner geometrischen Untersuchungen gemacht hat. Diese MinkowsMsehe Geometrie ist dann im wesentlichen durch folgende Festsetzungen charakterisiert: 1. Zwei Strecken heißen dann einander gleich, wenn man sie durch ParaUelverschiebung des Baumes ineinander Überführen kann. 2. Die Punkte, die von einem festen Punkte gleichen Abstand haben, werden durch eine gewisse konvexe geschlossene Fläche des ge- wöhnlichen Euklidischen Raumes mit als Mittelpunkt repräsentieiii, so daß an Stelle der konzentrischen Kugeln der gewöhnlichen Euklidischen Geometrie ein System ineinander geschachtelter, durch Ahnlichkeits- transformation erzeugter konvexer Flächen tritt. Insofern in der Minkowski sehen Geometrie das Parallelenaxiom gilt, dagegen an Stelle des Axioms von der Dreieekskongi'uenz der gewöhn- y Google XII ftedäclitniirede auf H, Minkowski. liehen Euklidisclien Geometrie jenes weniger aussagende Axiom tritt, daß im Dreieck die Summe zweier Seiten die dritte übertrifft, ist die Min- kowskische Geometrie eine der gewohnÜehen Euklidisclieii Geometrie näckststehende Geometrie, ebenso wie die Bolyai-Lobatschefskyache Geo- metrie, zu der sie ein GegenBtüok bildet. Wie die Bolyai-Lobatsebefs- kysebe Geometrie in verschiedenen mathematischen Disziplinen, besonders in der Theorie der analytischen Funktionen mit linearen Transformationen in sieh, die fruchtbarste Anwendung findet, so zeigt sich die Minkowskis che Geometrie besoaders fflr die Zahlentheorie von hervorragender Bedeutung. Übertragen wir die eben angestellten geometrischen Überlegungen ins Analytische. In gewöhnliehen rechtwinkligen Koordinaten 3;^, .. .,3:^ des n-dimeuaionalen ßaumes kann die Oberfläche eines konvexen Körpers in der Gestalt /■(»„^...»■j-i dargestellt werden, so daß f eine positive homogene (nicht notwendig rationale) Funktion ersten Grades bedeutet, deren wesentlichste Eigenschaft die ist, die durch die Funktionalungleichung f{l>l + y„ ■■;', + 9.) ä fe, ■ . ., «.) + ftSi, ■ ■ ■ , 9.) zum Ausdruck gebracht wird. Die Minkowskisclie Entfernung zwischen zwei Punkten a^j, . . ., a:„ und y^, . . ., i/^ wird dann allgemein durch den Ausdruck definiert. Die ursprünglich zugrunde gelegte Fläche f f(x„ ...,xj=l heißt Eiehfläche; sie ist das Minkowskische Analogon der Kugel im ge- wöhnhchen Euklidischen Räume. Das Ausgangs bei spiel des Ellipsoides erhält man, wenn man hier für/ die Funktion "[/i^ nimmt, wo F die oben (S. X) erwähnte quadratische Form bedeutet. Nun werde als Eiehkörper ein konvexer Körper mit Mittelpunkt, d. h. ein solcher konvexer Körper genommen, der einen Punkt im Innern aufweist, in welchem alle hindurchgehenden Sehnen dfs Körpers halbiert werden. Dann gut für die so definierte Minkowskische Entfernung der Satz, daß für die kleinste Entfernung zwischen zwei fiitterp unkten, d. h. für M, eine obere Sclu'anke existiert, die allein vom Volumen des Eieh- kÖrpers abhängt; und zwar schließt man leicht, daß ein konvexer Körper mit einem Mittelpunkte in einem Punkte des Zahlengittera und vom Volumen 2" immer noch mindestens zwei weitere Punkte des Zahle ngitters, sei es im Innern, sei es auf der Begrenzung, enthalten muß. Dieser Satz ist einer der anwendungsreichsten der Arithmetik; aus ihm leitet Minkowski seinen bekannten Determinantensatz ab, demzufolge y Google Gedächtniarede auf H. Minliowaki. man in irgend n ganzen liomogenen linearen Formen von n Variablen mit beliebigen reeRen Koeffizienten und der Determinante 1 immer den Variablen solclie ganzzahligen Werte, die nicht sämtlicli Null sind, erteilen kann, daß dabei alle Formen absolute Beträge < 1 erlangen; ferner die das Wesen der algebraischen Zahl tief berührende Tatsache, daß die Diskri- minante eines algebraischen Zahlkörpers stets von + 1 verschieden ist, d. h. daß es für einen algebrai sehen Zahlkörper stets wenigstens eine durch das Quadrat eines Primideals teilbare Primzahl, eine sogenannte Ver- zweigungszahl, gibt, analog wie in der Theorie der algebraischen l'unktionen bekanntlich gezeigt wird, daß eine algebraische Punktion stets Verzweigungs- punkte besitzen muß. Aber der obige Satz vom Volumen des Eichkörpers, den ich einen der anwendungsreichsteü der Arithmetik nannte, bildet doch nur das An- fangsglied einer Reihe weiterer auf geometrischer Anschauung fußender SchluÖweisen von weittragender Bedeutung, So gelangt Minkowski durch eine sehr siimreiche geometrische Überlegung, bei der der zugrunde ge- legte konvexe Körper sukzessive nach bestimmten Vorschriften dilatiert wird, zu einer Erweitei^ung des ursprünglichen Satzes, die so lautet: Ist das Volumen des Eichtörpers j^leich 2", so ist nicht nur, wie oben be- hauptet, die kleinste Minkowskische Entfernung < 1 , sondern sogar das Produkt der n kleinsten Entfernungen, in n unabhängigen Eicktungen genommen, fällt stets ^ 1 aus. Die Endlichkeit der Klassenanzahl der positiven quadratischen Formen von n Variablen mit gegebener Deter- minante ist unter anderm eine leichte Folge dieses allgemeinen Satzes. Wie oben ausgeführt wurde, hat Minkowski für das Minimum einer quadratischen Form F von n Variablen mit der Determinante 1 mittels seiner geometrischen Methode eine obere, nur von n abhängige Sehranke aufgestellt. Das genaue Minimum, d. h. der kleinste von NuU verschiedene Wert, den F für ganzzahlige Variablen erlangt, ist notwendig noch eine Funktion der Koeffizienten der Form F; lassen wir diese beliebig variieren, so jedoch, daß die Determinante beständig 1 bleibt, so können wir nach dem Maximum /c„ der Minima aller dieser Formen fragen; dasselbe wird eine nur vou n abhängige Zahl sein, welche jene obere Schranke ebenfaUs nicht Übersteigen kann. Durch völlig andere Hilfsmittel, aber ebenfalls ausgehend von einer geometrischen Betrachtung, bei dei' nunmehr der Begriff des Str ablenk Örpers an Stelle des konvexen Körpers die wesent- lichste BoUe spielt — Strahlenköi-per ist ein Körper mit einem gewissen Punkte im Innern, der alle Strecken zwischen diesem Punkte und einem beliebigen Punkte des Körpers ganz enthält, so daß ein StrahienkÖrper von einem gewissen Punkte aus diejenige Eigenschaft aufweist, welche bei einem konvexen Körper ftir jeden seiner Punkte öi-füUt ist — gelangt y Google SIV Gedäclitciarede auf H. Minkowski, Minkowski für jenes Masimnm h^ des Minimums der quadratischen Form F aucli zu einer unteren Sehrante. Ein überrascliendes und für die Ge- nauigkeit der Minkowskis chen Methode zeugendes Resultat ist es, daß diese untere Schranke und die früher gefundene obere Schranke asympto- tisch für « = oo ineinander fließen, so daß Minkowski die Limesgleiehung auasprechen konnte. Gh. Hemiite, damals der Senior der französischen Mathematiker, hatte Yoa Anbeginn die zahl entheoreti sehen Arbeiten Minkowskis mit höchstem Interesse and lebhaftester Freude verfolgt. Es ist rührend, wie rückhaltlos er die Vorzuge der Minkowskisehen Methode gegenüber seinen eigenen Entwicklungen anerkennt, als Minkowski ihm die eben besprochenen Resultate mitteilt. „Au premier coup d'iBil j'ai reconnu", so schreibt Ch. Hermite in einem der an Minkowski gerichteten Briefe, „que voub aTGZ ete bien au delä de mes reeherches en nous ourrant dans le domaine aritbmetique des voies tont es nouyelles." Und in einem zwei Jahre späteren Briefe vom November 1892 heißt es; „Je me sena rempli d'etonne- meut et de plaisir devant vos principes et vos resultata, ila m'ouvrent eomme IUI monde arithmetique entierement nouveau, oü les questions fondamentales de notre scienee sont traitees avec un eelatant succes auquel tous les geo- mfetres rendront hommage. Vous voulez bien, Monsieur, — et je vous en suis sincerement reconnaissant — rapporter ä mes anciennes reeherches le point de depart de vos beaux travaux, mais vous les avez tant depassees qu'eUes ne gardent plus d'autre merite que d'avoir ouverfc la voie dans laquelle vous Stes entre," Hiernach nimmt es nicht Wunder, daß Hermites Begeisterung für die zahlentheoreti sehen Methoden Minkowskis keine Grenzen kannte, als die erste Lieferung seiner Geometrie der Zahlen 1896 erschien. „Je crois voir la terre promise", so schreibt Hermite an Laugel, von dem er sich eine Übersetzung des Minkowskisehen Buches zu seinem persönlichen Gebrauch anfertigen ließ. Und in der Tat, welche Fülle der verschieden- artigsten und tiefliegendsten arithmetischen Wahrheiten werden in diesem Hauptwerke Minkowskis durch das geometrische Band gehalten und ver- knüpft! Die Theorie der Einheiten in den algebraischen Zahlkörperu, Sätze über die Ordnung einer endlichen Gruppe von homogenen linearen ganzzahligen Substitutionen und Über die Zahl der Transformationen einer positiven quadratischen Form in sich, der Beweis für die Endlichkeit der Klassenanzahl von positiven quadratischen Fornien mit gegebener Deter- minante, die Annäherung an behebig viele reelle Größen durch rationale Zahlen mit den gleichen Nennern, die Theorie der Linear formen mit y Google GedilclikliBi-ede auf H. Minkowski, XV ganzen komploxen Koeffizienten, Sätze Über Minima ¥on Potenzsummen linearer Formen, die Theorie der Kettenbriiche usw. bilden, von den schon vorliin aufgefülirten Gegenständen abgesehen, die Themata des Mintowski- Hchen Buehes über die Geometrie der Zahlen. Minkowski legte besonderen Wert auf die Darstellung, die er in seinem Buche der Theorie der gewöhnlichen Kettenbruche hat zuteil werden lassen; er war der Meinung, daß dnreh seine geometrische Veranachan- üchung erst das wahre Wesen des Kettenbruches enthüllt werde. In einer späteren Arbeit*) gelangt er, ebenfalls geleitet durch ein geometrisches Verfahren, welches in der sukzessiven Konstruktion von Parallelogrammen besteht, zu einer neuen Art von Kettenbruchentwicklung für eine beliebige reeRe Zahl a. Diese Minkowskische Kettenbruchentwicklung ist so be- schaffen, daß die dabei auftretenden Näherun ssbrüche — auch ohne Ver- mittlung des Kettenbruehes direkt durch die Ungleichung i 'j\ 2 1/S charakterisiert werden können; sie stellt demnach das bis dahin vermißte Analogon in der Größentheorie dar zu der in der Funktionentheorie üblichen Kettenbruchentwicklung, bei der ja ebenfalls die sämtlichen Näherungs- brüche, die der Kettenbrueh einer Potenzreihe liefert, auch ohne den Kettenbruch unmittelbar definierbar sind. Die Schlußlief ening von Minkowskis Geometrie der Zahlen ist nicht mehr erschienen, doch hat Minkowski den Stoff, den er für diese Lieferung plante, im wesentlichen in seinen späteren Abhandlungen zur Darstellung gebracht**). Wenn wir uns diesen zuwenden, so haben wir vor allem eines Pro- blems zu gedenken, dem Minkowski schon früh sein lebhaftes Interesse schenkte und auf welches er dann die in der ersten Lieferung seines Buches entwickelten Methoden mit sehr bemerkenswertem Erfolge an- wandte***). Nach Lagrange fällt bekannthch die Entwicklung einer reellen Zahl in einen Kettenbrueh immer dann und nur dann periodisch aus» wenn die Zahl Wurzel einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Insofern dieser Satz ein notwendiges und hinreichendes *) lieber die Aanähening an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. Mathema- tiscte Annalen, Bd. 54 (1901), S. 91—1^4. Diese Gea. Al)iiandlungen, B. I, S. S20— 362. **) Die posthum veröffentlichte „aweite Lieferung der Geometrie der Zahlen" (Leipzigl910)ent8pricht nicht der ursprünglich vonMinkowakigeplantenSchlußlieferuag, sondern bringt vielmehr nur das fünfte Kapitel der erste» Lieferung zum Ahschlaß. ***) Bin Eriterium für die algebraischen Zahlen. Machrichten der E. Geaellschafli der WiEBenaehaften zu Göttingen, mathematiBch-phyBikalische Klasse, 1899, 9. 6i — 88. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 293—315. y Google XVI Gedächtnisrede auf H. Minkowski. Kriterium für die quadratische Irrationalität enthält, lag es nahe, einen entsprechenden Satz für die algebraische Irrationalität beliebigen Grades n aufzustellen; doch waren alle bis dahin in dieser Bichtung liegenden Ver- suche — ich erinnere an den Jacobisehen Kettenbruchalgorithmus zur Entwicklung der kuhischen Irrationalität, dessen Periodizität noch bis heute nicht festgestellt ist — Tergeblich geblieben. Es gelang Minkowski zum ersten Male auf Grund sehr tiefliegender arithmetischer Sätze, zu deren Beweis seine geometrischen Methoden herangezogen werden, das ge- wünschte Kriterium für die algebraischen Zahlen beliebigen Grades n zu gewinnen. Der Minkowskische Algorithmus ist nicht ganz einfach; er besteht zunächst in einer Vorschrift, wie man aus der beliebig vorgelegten Zahl K in eindeatig bestimmter Weise eine Kette von gewissen linearen Substitiitionen von n Variablen bestimmt und alsdann aus diesen gewisse lineare Formen ableitet: die Zahl a ist dann algebraisch vom Grade n, wenn die Kette niemals abbricht und zugleich alle jene unendlich vielen Formen aus einer endlichen Anzahl unter ihnen durch Multiplikation mit Faktoren entstehen. In einer weiteren Untersuchung über die periodische Approximation algebraischer Zahlen*) beantwortet dann Minkowski insbesondere die Frage nach denjenigen algebraischen Zahlen «, für welche jene Substitutionen periodischen Charakter aufweisen, denen also in diesem Sinne genau die von Lagrange für die quadratische In'ationalität entdeckte Eigenschaft zukommt. Minkowski fand, daß die verlangte Periodizität außer für die quadratische Irrationalität nur noch in fünf ganz bestimmten Fällen statt- findet: nämlich im Falle n = 3, a komplex; femer « = 3, « reellj während die zu K konjugierten Zahlen komplex sind; im Falle n = 4, wenn a nebst allen konjugierten Zahlen komplex ist, und endlich in Je einem speziellen Fall bei « = 4 und w = 6, Hatte Minkowski das ganze von ihm erschlossene Gebiet Geometrie der Zahlen genannt, weil er zu den Methoden, aus denen seine a.rithme tischen Sätze fließen, durch räumliche Anschauung geführt worden war, so blieb er auch bei der weiteren Erforschung dieses Gebietes stets dem Bestreben treu, durch engen Anschluß an die geometrischen Vorstellungen und Bilder die Fruchtbarkeit seiner Methoden zu zeigen; er wird nicht müde, durch originelle Modifikationen seine ursprünglichen Überlegungen zu vertiefen, die gefundenen arithmetischen Sätze zu vervollkommnen und neue zu ersinnen. So gelangt Minkowski**) zu einer gitterförmigen Bedeckung der Ebene "■} Ueber periodieclie Approiimationen dJgebraiacker Zahlen. Acta Mathematica, Bd. 26 (190a), 8.333—351. Diese Gea. Abhandlungen, Bd. I, S. B&7~371. **) Üeher die Annäherung an eine reelle (Troßc durch rationale Zahlen. Mathe- matisciie Annalen, Bd. 54 (1901), S. 108 ff Dieie Gps Ahliaadlungeii, Bd. I, S. 336 ff. y Google Gedächtnis rede auf H. Minkowski. mit Parallelogrammen, bei der die ganze Ebene vollständig und i keine Partie der Ebene mehr ab zweifach überdeckt wird; diese Tatsache führt ihn unmittelbar zu einem Satze von Tschebyscheff über nicbthomogene lineare diophantische Ungleichungen und zwar in einer aUgemeineren und vollkommeneren Form, als derselbe von Tschebyscheff aufgestellt worden war. Ferner wirft Minkowski die Frage auf*), unendlich viele untereinander kongraente und parallel orientierte Körper derart anzuordnen, daß sie, ohne einander zu durchdringen, sieh so dicht als überhaupt möglich zu- sammenschließen, während ihre Schwerpunkte ein paraUelepipedischea Punktsystem bilden. Wählt man für die Körper Kugeln, so zeigt sich dann, daß im Eaume von drei Dimensionen zwar die bekannte tetraedrale Anordnung von Kugeln die dichteste ist, daß aber in. Räumen von höheren Dimensionen die dieser entsprechende tetraedrale Anordnung keineswegs die dichteste KugeUagerung liefert. Das Problem der dichtesten Lagerung von Kugeln im n-dimensionalen Baum lauft auf die Beetiramung des Maximums k^ hinaus und hiingt zusammen mit der Fr^e nach der Re- duktion der positiven quadratischen Formen; diesem Problem wendet sich Minkowski in seiner zahlentbeoretischen Abhandlung über den Diakon- tinuitiitsbereich für arithmetische Äquivalenz**) noch einmal zu, es in voll- endeter Form lösend, gleichsam als offensichtUehes Wahrzeichen für die Leichtigkeit und Überlegenheit seiner gegenwärtigen mehi' geometrischen Methoden im Vergleich zu dem Standpunkt seiner Jugendarbeiten. Die Beweise der allgemeinen Sätze: der reduzierte Raum für die positiven quadratischen Formen von n Variablen ist eine konvexe Pyramide mit der Spitze im Nullpunkt, die von einei' endlichen Anzahl durch diesen Punkt laufender Ebenen begrenzt wird; und: im Gebiet der positiv-defi- niten Formen grenzt der reduzierte Raum nur an eine endliehe Anzahl von äquivalenten Räumen an; femer die Berechnung des Volumens des reduzierten Raumes für alle Formen, deren Determinante eine gegebene Grenze nicht übersteigt, sowie die Anwendung hiervon auf die Bestimmung des asymptotischen Wertes der Klassenanzahl positiver quadratischer Formen sind die Glanzpunkte dieser letzten und inhaltreichsten zahlen- tbeoretischen Abhandlung Minkowskis. Von der Bedeutung der Zahlentheorie, wie sie in den Werken ihrer Heroen Fermat, Euler, Lagrange, Legendre, Gauß, Ilemiite, Dirichlet, Kummer, Jacobi und in deren begeisterten Aussprüchen sich wider- ") Didiieategitterförmige Lagerung kongruenter Körper. Nachrichten derK-Geaell- schail der Wisaeßschaften au Göttingen, mathematiBeh- physikalische Kasse, 1904, S. 311— 3Ö6. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 3— -42. *'") Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äc|uivalenz, Grelles Journal, Rd, 12y (1905), S. 320—274. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 58—100. y Google X¥m GedächtniBrede auf H. Minko^v»ki. Spiegelt, war Minkowski aafa tiefste durchdrungen; ihre Beize empfand er jederzeit aufa lebhafteste: war doch, was man an der Zahlentheorie rühmt, die Einfachheit ihrer Grmidlagen, die Genauigkeit ihrer ] und die Reinheit ihrer Wahrheiten ganz und gar zu seinem We; und seiner innersten Neigung am meisten zusagend. Wenn es zutrifft, da£ nui- ein enger Kreis von Mathematikern der Pflege der Zahlentheorie sich hingibt und so viele „von den eigenartigen, durch die Zahlentheorie ausgelösten Stimmungen kaum einen Hauch verspüren": den Gfrund hierfür erblickt er darin, daß die Schöpfungen eines Gauß und der andern Gfroßen zu erhaben sind. Und um in dieser gewaltigen Musik, wie er die Zahlen- theorie nennt, für diejenigen, die nicht nur erbaut, sondern auch ergötzt sein woUen, die einschmeichelnden Melodien herauszuheben und so zu ihrem Genüsse mehr anzulocken, dazu veröffenthchte er die Vorlesung, die er Winter 1903/04 in Göttingen gehalten hat, und in welcher er in leicht faßlicher Weise ohne die Voraussetzung besonderer Vorbenntniase die wichtigsten Grundsätze der Geometrie der Zahlen und die einfachsten Anwendungen auf die Theorie der quadratischen Formen, auf die Zahl- körper und vor allem auf die Anmiherung reeller und komplexer Größen durch rationale Zahlen auseinandersetzt. Das so entstandene Buch „IHo- phantiscke Approximationen"*) kann vorzüglich zur Einführung in die von Minkowski geschaffenen Methoden dienen. Minkowski ist es zu danken, daß nach Hermites Tode die FührerroKe in der Zahlentheorie wieder in deutsche Hände zuröckfiel und, wenn man Über- haupt bei einer solchen Wissenschaft, wie es die Arithmetik ist, die Beteiligung der Nationen an den Fortschritten und Errungenschaften ahwägen will: wesentlich durch Minkowskis Wirken ist es gekommen, daß heute im Reiche der Zahlen die bedingungslose und unbestrittene deutsche Vorherrschaft statthat. Die "Überzeugung von der tiefen Bedeutung des Begriffes eines kon- vexen Körpers, dessen Verwendung in der Zahlentheorie so erfolgreich gewesen war, hatte sich bei Minkowski immer mehr befestigt, und dieser Begriff bildet denn auch das Bindeglied zwischen denjenigen Arbeiten Minkowskis, die wesentlich zahlentheoretische Ziele im Auge haben, und seinen rein geometrischen Untersuchungen. Das ursprüngliche Ziel, das Minkowski bei seinen rein geometrischen Untersuchungen im Auge hatte, war, die Begriffe Lauge und Oberfläche mittels des Begriffes Volumen, „dieses elementarsten Begriffes der Analysis des Unendlichen", zu erfassen**). In der Tat gelingt ihm diese Reduktion *) Diophantische Äpprosiniationen. Eine Einfilbtung in die Zahlentheoriß. Leipzig 1907. *•) Volumen und Oberfläcte. Mathematische Annaleu, Bd. &7 (1903), S. 447—495. Diese Ges. Abhandinngen, Bd. H, S. 330—376, y Google Gediichtnisrede auf H. Minkowski. XIX durch ein einfaches Grenzverfahren. Ist ö^twa eine Kurve im Räume ge- geben, so denkt sich Minkowski um jeden ihrer Punkte eiue Kugel mit dem Radius r abgegrenzt. Das Volumen des eo insgesamt in der Um- gebung der Kurve abgegrenzten Bereiches nach Division durch den Inhalt des Kreises vom ßailius r strebt in der Grenze für verschwindende Werte von r im allgemeinen einer Größe zu, die nunmehr als die Länge der Kurve eingeführt wird. Ähnlich kann der Begriff des Inhaltes einer Fläche eingeführt werden, und insbesondere die so entstehende Definition der Oberfläche ist es, durch die Minkowski zu einer wichtigen Verall- gemeinerung des Begriffes der Oberfläche gelangt, indem er nämlich an Stelle von Kugeln beliebige einander ähnliche und ähnlich gelegene konvexe Körper verwendet — - genau im Sinne der vorhin bei Besprechung der zahlentheoretisehen Abhandlungen geschilderten Minkowskischen Geometrie, Durch den Ausbau des Gedankens, die Kugel durch einen beliebigen Bichkörper zu ersetzen, gelangt Minkowski zu demjenigen Begriffe, der das Fundament seiner ganzen Theorie bildet, zu dem Begriffe des ge- mischten Volumens von irgend drei konvexen Koi-pern. Das gemischte Volumen von drei konvexen Körpern K^, K^, K^ ist eine ganz bestimmte eindeutig aus denselben durch ein dreifaches Integral darzustellende Zahl Fjj^ , die in das gewöhnliche Volumen eines Körpers übergeht, wenn man jene drei Körper miteinander identifiziert, die in die gewöhnliche Oberfläche eines Köi-pers übergeht, wenn man zwei von jenen drei Körpern mitein- ander identifiziert und den dritten gleich der Kugel mit dem Radius 1 nimmt und die endlich mit der totalen mittleren Krümmung der Ober- fläche eines Körpers übereinstimmt, wenn man für zwei von jenen drei Körpern die Kugel mit dem Radius 1 wählt. So erseheint der Begriff des gemischten Volumens als der einfachste übergeordnete Begriff, der die Begriffe Volumen, Oberfläche, totale mittlere Krümmung als Spezialfälle enthält, und diese letzteren Begriffe sind damit in viel engeren Zusammen- hang miteioander gebracht; steht doch deshalb auch von vornherein zu erwarten, daß wir auf diesem Standpunkte über das Verhältnis zwischen jenen Begriffen einen weit tieferen und allgemeineren Aufschluß erhalten, als bisher möglich war. Das Hauptergebnis, welches in dieser Hinsicht die Minkowskische Theorie liefert, gipfelt in der Ungleichung "P"ä •> TT- Y einer Ungleichung, die lediglich quadratischen Charakter trägt, während beispielsweise der bekannte Satz, daß die Kugel unter allen Körpern gleicher Oberfläche das größte Volumen besitzt, für Volumen V und Ober- fläche eines beliebigen Körpers durch die kubische Ungleichung 365rFä> 0» yGoosle SX GedäclitniBrede auf H. Minkowski. ausgedrückt wird. Diese kubische Ungleichung aber und somit ins- besondere jener Satz über das Maximum des Kugelvolumens erseheint bei Minkowski ak spezieller Ausfluß der genannten inhaltreicheren und ein- facheren quadratischen üngleicbnng; zugleich treten neben jenen Satz vom Maximum des Kugelvolumens eine ganze Reihe gleich wichtiger Sätze über die Kugel. Über das gemischte Volumen stellt Minkowski den all- gemeinen Satz auf, daß, wenn Jnan aus droi Köi'pern vom Volumen 1 das gemischte Volumen bildet, dieses stets ^ 1 ist und nur dann gleich 1 wird, wenn die drei Körper miteinajider identisch sind oder durch Trans- lation miteinander zur Deckung gebracht werden können — ein Satz, der ebenfalls die in Bede stehende Maximaleigenschaft der Kugel als spezielle Folge mit enthält. Zur analytischen Durchführung dieser Gedanken bedient sich Min- kowski im wesentlichen der Methode der Ebenenkoordinaten. Die letzteren erseheinen in der Tat als das naturgemäße Hilfsmittel zur Darstellung der Minkowskischen Theorie; ist doch das Mischvolumen nichts Anderes als eine zweimalige Bildung der ersten Variation des gewöhnlichen Volumens, f:Jls man dieses durch Ebenenkoordinaten ausdrückt. Des weiteren beschäftigt sich Minkowski mit dem einfachen und elementaren Begriffe des konvexen Polyeders und weiß diesem vielbeban- delfcen Gegenstande neue und fi-uchtbare Seiten abzugewinnen. Sein grund- legender Satz sagt aus, daß ein konvexes Polyeder stets durch die Rich- tungen der Normalen und die Inhalte seiner Seitenflächen bis auf eine Translation eindeutig bestimmt wird. Aus diesem Satze leitet Minkowski durch Grenzübergang das merkwürdige Theorem ab, wonach es immer eine und nur eine geschlossene konvexe Fläche gibt, für die die Gaußsche Krümmung als stetige Funktion der Bichtungskosinusse ihrer Normalen vorgeschi-ieben ist. Indem hierbei Minkowski die Krümmung — unmittelbar an die ursprüngliche Betraehtungs weise von Gauß anschließend — durch eine Integralforderung definiert, vermeidet er es, die Existenz der zweiten Ableitungen der die Fläche definierenden Funktion vorauszusetzen, und erreicht eben dadurch jene größtmögliche Einfachheit und Allgemeinheit in der Fassung und Entwicklung des Theorems. Das Minkowekische Problem der Bestimmung der geschlossenen kon- vexen Flächen mit vorgesdiriebener Gaußscher Krümmung ist wesentlich identisch mit dem Problem der Integration einer gewissen parUellen Diffe- rentialgleichung vom Monge-Ampereschm Typus-^ ao kommt es, daß .die ursprünglich rein geometrische, auf dem Begriff des konvexen Körpers beruhende Methode Minkowskis zugleich für die Theorie der Integration niehtlinearer partieller Differentialgleichungen bis dahin unbe- .nte Fragestellungen und Hussichts reiche Angriffspunkte liefert. y Google Gedächtnierede auf H. Minkowski. XXI Endlich werde ooch eines kleinen Vortrages*) von Minkowski Er- wäbniing getan, den er vor seiner Übersiedelung nach Göttingen in der hiesigen mathematischen Gesellschaft gehalten hat und der bisher nur in einer russischen Übersetzung publiziert worden ist; derselbe enthält einen Satz von elementarem Charakter, wonach die Körper, deren Breite kon- stant d. h. in jeder Richtung genommen die nämliche ist, und andererseits die Korper konstsrnten Umfanges miteinander identisch sind; dabei ist unter Umfang der Umfang des Que]^chnittes des in irgendeiner Richtung dem Körper umschriebenen Zylinders zu verstehen. Sein Interease für die physikalische Wissenschaft hat Minkowski frühzeitig bekundet. Schon in den ersten Jahren seiner Privatdozenten- zeit in Bonn beschäftigte er sich mit theoretischen Untersuchungen über Hydrodynamik. Helmholtz legte 1888 in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin eine Arbeit**) von Minkowski über das Problem der kräftefreien Bewegung eines beliebigen starren Körpers in einer reibungslosen inkom- preasiblen Flüssigkeit vor. Um die Bewegung des Körpers völlig zu icenn- zeichnen, ist die Bestimmung von seehs unbekannten Funktionen der Zeit erforderlich Das wichtigste Resultat von Minkowski besteht nun in der Reduktion des ursprünglich durch das Hamiltonsche Prinzip gelieferten Variationspi oblems auf ein Vaiiationsproblem, welches nur zwei unbekannte Funktionen der Zeit enthalt Die Feiienzeitpu wählend dti Bonner Jahre verlebte Minkowski in der Regel in Königsberg, dem Wohnorte seiner Familie, wo er dann mit Horwitz und mu fast taghch zufammenkam, meist auf Spaziergängen in der Königsbeigei Umgebung Einmal, Weihnachten 1890, blieb Minkowski in Bonn, auf mein Zureden nach Königsberg zu kommen, steRte er sich in einem launigen Briefe al« einen physikalisch völlig Durchseuchten hin, der erst eme zehntägige Quaiantane durchmachen müßte, ehe Hurwitz und ich ihn in Königsberg als mathematisch rein zu unseren Spaziergängen zulassen würden. ,^ch habe mich", so fährt Minkowski in seinem Biiefe fort, „ganz der Magie, wollte sagen der Physik ergeben. Ich habe meine praktischen Übungen im physikalischen Institut, zu Hause studiere ich Thomson, Helmholtz und Konsorten; ja von Ende nächster Woche an arbeite ich sogar an einigen Tagen der Woche in blauem Kittel in einem Institut zur Herstellung physikalischer Inatrumente, also ein Praktikus schändlichster Sorte." Von Heinrich Hertz in Bonn fühlte sich Minkowski *) Ueber die Körper konstanter Breite. Moskau, Matbematiaelie Sammlung (Matematifieskij Sbornik), Bd. 26 (1908), S. 505—508. Diese Ges. Abhandlungen, Brt. K, S. 277—379. **) Ueber die Bewegung eines festen Körpers in einer J'lSssigkeit. Sitaungsberichte derBerlinerAkademie, 1888,8,1095— 1110. Diese Ges. Abhandlungen, Bd.II, S.283— 297. y Google XXII Gedächtuiärede auf H. Minkowski. stark angezogen; er äußerte, daß er, wenn Hertz am Leben geblieben wäre, sich scbon damals mehr der Physik zugewandt hätte. August 1892 war Minkowski zum außerordentlichen Professor in der philosophischen Fakultät zu Bonn ernannt worden. April 1894 ermög- lichte auf Minkowskis und meinen dringenden Wunsch der damalige Ministerialrat ÄIfchoff, der SoJiarfbliekende, in dem Minkowski sehr früh- zeitig einen Gönner und Bewunderer gefanden hatte, die Versetzung Min- kowskis na^h Königsberg, und ein Jahr später wurde Minkowski dann in Königsberg mein Nachfolger im dortigen Ordinariat für Mathematik. Avis diesem Amte schied er Oktober 1896, um einem Rufe als Professor für Mathematik an das Eidgenössische Polytechnikum in Zürich au folgen. Dort verheiratete er sich im Jahre 1897 mit Auguste Adler aus Straßburg i. E. In Zürich blieb er bis zum Herbst 1902. Da war es wiederum Althoff, der Minkowski auf den für seine Wirksamkeit ange- messensten Boden verpflanzte; mit einer Kühnheit, wie sie vielieieht in der Geschichte der Verwaltung der Preußischen Universitäten beispiellos dasteht, schuf Althoff aus nichts hier in Göttingen eine neue ordentliche Professur, und dieser Tat Älthoffs danken wir es, daß seit Herbst 1902 Minkowski der unsrige gewesen ist. Bereits Oktober 1901 hatte ihn unsere GeseUschaft zu ihrem korrespondierenden Mitgliede in der mathematiach- physikalisehen Klasse gewählt. Als Frucht der vielseitigen theoretisch -physikalischen Studien, die Minkowski auch in Zürich betrieben hatte und in Göttingen fortsetzte, ist der Enzyklopädieartikel über Kapillarität*) anzusehen, in welchem er in wahrhaft musterhafter Weise in aller Kürze, dem beschränkten Kaum ent- sprechend, die sämtlichen theoretischen Gesichtspunkte dieses Kapitels der Physik ause blander setzt und die schwierigen mathematischen Grundlagen, insbesondere soweit sie die Variationsrechnung betreffen, in origineller, zum Teil ganz neuer Form entwickelt. Aber am nachhaltigsten fesselten Minkowski die modernen elektro- dynamischen Theorien, die er mehrere Semester hindurch mit mir ge- meinsam betrieb, insbesondere in Vorträgen, zu denen das von ihm und mii' geleitete Seminar Anlaß bot. Die letzten Schöpfungen Minkowskis entsprangen diesen Studien, denen er mit großem Eifer oblag; hatte er doch für die nächsten Semester Vorlesungen und Seminar über Elektronen- theorie geplant. H. A. Lorentz hat zuerst erkannt, daß die Grundgleichungen der Elektro- dynamik für den reinen Äther die Eigenschaft der Invarianz gegenüber denjenigen gleichzeitigen Transformationen der ßanmkoordinaten x, y, a und *) Enzyklopädie der mathematis eben Wissenschaften, Bd. Vi, Heft 4, S. 558— S13. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 298—351. y Google Gedächtnisrede auf H. Minkowaki. XSTIL tlei Zcitp ti imeters t besitzen, die — - falls mau die Lichtgeschwindigkeit gleich 1 nimmt — den Ausdruck x^ ■{- y^ -{• z^ — f in sich überführen. Im Zuaamnieöiiang mit dieser rein mathematischen Tatsache und in der Absicht, divon Kech^nschaft zu geben, daß eine relative' Bewegung der Erde gegen den Lichtather nicht wahrgenommen wird, war jener scharfsinnige Forscher in küLaem Gedankenfluge zu der Einsicht gelangt, daß der Begriff des starren Körpers in dem bisherigen Sinne nicht aufrecht zu erhalten sei, sondern in der Weise modifiziert werden müsse, daß Elekfa:izitUt nnd Materie, sofern sie eine Bewegung von der Gescbwindigkeit v besitzen, in Bichtimg dieser Bewegung eine Verkürzung ihrer Ausdehnung erfahren und zwar im Ver- hältnis 1 : )/l — v^. Daß eine weitere Konsequenz dieser Idee eine neu- artige Auffassung des Zeltbegriffes ist, und insbesondere alle den Lorentz- Transformationen entsprechenden Bezugsysteme zur Einführung eines Zeit- parameters gleichberechtigt sind, dies erkannt zu haben, ist das Verdienst des Physikers Einstein. Die Ideenbildungen von Lorentz nud Einstein, die man unter dem Najnen des ßelativitätsprinzipes zusammenfaßt, waren es, die Minkowski die AnreguDg zu seinen wichtigen und auch in weiteren Kreisen bekannt gewordenen eleMrodynamischen Untersuchungen gaben. Minkowski*) legte sofort jener mathematischen Tatsache der Invarianz der elektrodynamischen Grundgleichungen gegenüber den Lorentz-Transformationen die allgemeinste und weitgehendste Bedeutung bei, indem er diese Invarianz als eine Eigen- schaft auffaßte, die überhaupt allen Naturgesetzen zukomme, ja daß sie nichts Anderes als eine schon in den Begriffen Raum und Zeit selbst ent- haltene und diese beiden Begriffe gegenseitig verkettende und miteinander verschmelzende Eigenschaft seL Auch dem Nicht-Naturforscher ist die Tatsache geläufig, daß die Naturgesetze von der Orientierung im Räume sowie von der Zeit unabhängig sind, und ferner lehrt die gewöhnliche Mechanik, daß, wenn ein System sich bewegt, stets auch diejenige Be- wegung statthaben kann, bei welcher die Geschwindigkeitsvektoren sämt- licher materieller Punkte je um einen konstanten Vektor vermehrt sind: darüber hinaus behauptet nun nach Minkowski das Relativ itätsprinzip ■ — oder, wie es Minkowski später nennt, das Weltpostuiat — , daß die Natur- gesetze in einem noch viel höheren Sinne von Raum nnd Zeit unabhängig, nämlich invariant gegenüber allen Lorentz -Transformationen sind. Indem nun durch die Lorentz-Transformationen gewisse Abänderungen des Zeit- parameters zugelassen werden, die nicht bloß auf eine veränderte Wahl des Zeitanfanges hinauslaufen, fällt konsequenterweise überhaupt der Be- *) Die Grundgleioliungeii für die elektiomagnetiBchen Vorgänge in bewegten Körpern. Naehricliten der K, Gesellschaft der Wiesen sc}] aften zu Göttingen, mathemati ach -physi- kalische Klaaae, 1908, S. 53—111. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 352—404. y Google XXrV Gedäcttniarede auf H. Mmkowski, griff der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse als an sieh existierend. Nur weil wir gewohnt sind, eia bestimmtes Bezugsystem fiir Raum und Zeit stark approximativ eindeutig zu wählen, halten wir den Begriff der Gleich- zeitigkeit für einen absoluten — ungefähr wie Wesen, gebannt an eine enge Umgebung eines Punktes auf einer Kugelob erfläehe, darauf verfallen könnten, die Kugel sei ein geometrisches Gebilde, an welcbem ein Dureh- messer an sich ausgezeichnet ist. Tatsächlich ist die Sachlage die, daß stets zwei Ereignisse, die an zwei Orten zu zwei verschiedenen Zeiten stattfinden, als gleichzeitig aufgefaßt werden können, sobald die Zeit- differenz kleiner als die Entfernung beider Orte, d. h. diejenige Zeit ausfallt, die das Licht braucht, um von dem einen Orte zu dem andern zu gelangen. Ähnlieh verhält es sich mit drei Ereignissen zu drei ver- schiedenen Zeiten, die ebenfalls als gleichzeitig stattfindend aufgefaßt werden können, sobald gewisse Ungleichheiten zwischen den Raum- und Zeitparametern erfüllt sind. Erst durch vier Ereignisse ist im aUgemeiuen das Bezugsystem von Raum und Zeit eindeutig festgelegt. — „Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine Art Union der beiden aoil Selbständigkeit bewahren." So bekannte sich Minkowski eingangs des eindi'ueksvoEen Vortrages*), den er auf der vorjährigen Naturforscherversammlung zu Köln vor einer zahl- reichen, ihm mit größter Aufmerksamkeit folgenden Zuhörerschaft, be- stehend aus Mathematikern, Physikern und Philosophen, gehalten hat. Um die in Rede stehende Invarianz der Naturgesetze richtig zu ver- stehen, ersetze man sowohl die Raum- und Zeitparameter x, y, s, t, vrie auch diejenigen Größen, die in den die Naturgesetze ausdrückenden Glei- chungen als Funktionen von x, y, s, t auftreten, durch die entsprechend linear transfonnierten Größen: dann müssen die erhaltenen Gleichungen die nämliche Form für die neuen Größen in den neuen Veränderlichen aufweisen. Beispielsweise sind im Falle der elektrodynamischen Gmnd- gleichungen die mit der Dichte multiplizierten Geschwindigkeitskompo- nenten u, V, w zusammen mit der Dichte p als vier Größen anzusehen, die in gleicher Weise mit den Variablen x, y, s, t transformiert werden; die Vektorenpaare di^egen, der elektrische imd der magnetische Vektor einer- seits und die elektrische und magnetische Erregung andererseits, sind als je sechs Größen anzusehen, die wie die sechs zweireihigen Determinanten einer Matrix zweiei Raumzeitpunkte, d. h. etwa wie die Plückerschen Lißienkoordinaten sieh tiansfoimieren. Da demnach bei diesen Trans- formationen eine Vermischung von Geschwindigkeiten und Dichte und ') Eaum und Zeit PlIJS!kah^clle Zeitschnfl, 10. Jahrgang, Wr, a (1909), S. 104—111 ; Jahresberichte der DentBchen M^ithematik er- Vereinigung, Bd. 18 (1909), S. 75—88. Diese Ges, Abhandlangen, Bd II, ^ 431 -Ji4 y Google Gedächtnisrede auf H. Micko-wski. XXV ebenso yon elektrischen und magnetischen Vektoren stattfindet, so ist absolut genommen eine Festlegung von Geschwindigkeit und Dichte der Substanz, sowie der elektrischen und magnetischen Vektoren nicht möglich; diese Begriffe hängen vielmehr ebenfaUs wesentlich Ton der Wahl des Be- zugsyetems für x, y, z, t ab. Minkowski wendet nun das eben gekennzeichnete und von ihm mathe- matisch präzisierte Weltposfculat — und darin erblicke ich seine bedeut- samste positive Leistung auf diesem Gebiete — dazu an, um die elektro- dynamischen Umndgleichungen für bewegte Materie, deren definitiye Form unter den Physikern außerordentlich strittig war, herzuleiten. Dazu sind nur drei selir einfache Grundannahmen nötig: nämlich 1) die Annahme, daß die G-eschwindigkeit der Materie stets und an allen Orten kleiner als 1 d. h, als die Lichtgeschwindigkeit ist; 2) das Axiom, daß, wenn an einer einzelnen Stelle die Materie in einem Momente ruht — die Umgebung mag in irgendwelcher Bewegung begriffen sein — dann für jenen „E an m Zeitpunkt" zwischen den magne- tischen und elektrischen Vektoren und deren Ableitungen nach x, y, s, t genau die nämlichen Beziehungen statthaben, die zu gelten hätten, falls aUe Materie ruhte; 3) die Annahme der von niemand bestrittenen elektrodynamischen Grrundgleichungen für ruhende Materie. Die elektrodynamischen Grundgleichungen, die Minkowski auf diesem Wege erhält*), lassen, was Durchsichtigkeit und Einheitlichkeit betrifft, nichts zu wünschen übrig; sie stimmen mit den bisherigen Beobachtungen Überein, weichen indes in mannigfaltiger Weise von den bis dahin ge- brauchten, von Lorentz und Cohn aufgestellten Gleichungen ab, indem diese keineswegs das Weltposfculat genau erfüllen. Die Minkowskiscken eleldrodymmiischen Grundgleichiingen sind eine notwendige Folgerung des Weltpostulates — sie sind von derselben Gewißheit wie dieses. Immer mehr und mehr befestigte sieh Minkowski in der Überzeugung von der allgemeinen Gültigkeit und der eminenten Fruchtbarkeit und Trag- weite seines Weltpostulats und - — die wunderbaren, yielverheiß enden Ideen von M. Planck Ober die Dynamik bewegter Systeme bestärkten ihn darin — ■ von der Notwendigkeit einer Reform der gesaraten Physik nach Maßgabe dieses Postulats. Was die Mechanik betrifft, so gelangte Minkowski durch Einführung •) Mit der Ausaibeituag einer Ableitung dieaer Gleichungen auf Gruad der Tor- Btellangen der Blektronentheorie war Minkowski ia den letaten Wochen seines Lebens beschäftigt. Unter Benutzung der nachgelassenen Papiere ist eine solche Herleitung in Minkowskis Sinne von Herrn M. Born {Mathematische Annalen, Bd. 68 (1910), S. sae— &B1; diese Ges. Abhandlungen, Bd. 11, S. 40B— 430) dnichgefuhrt worden. y Google XXVI Gedächtnisrede auf H. Minkowski. des Begriffs der Eigenzeit eines materieUen Punktes zu einem gewissen System modifizierter Newtonseher Bewegungsgleichungen, bestehend aus vier Gleichungen, von denen die drei ersten in die gewöhnlichen Newton- schen Gleichungen übergehen, wenn man die Lichtgeschwindigkeit c un- endlich werden läßt, während die vierte eine Folge der drei ersten ist und den Satz Ton ' der Erhaltung der Energie ausspricht. In dieser dem Weltpostulat gemäß reformierten Mechanik fallen die Disharmonien zwischen der Newtonsehen Mechanik und der modernen Elektrodynamik von selbst weg. Aber die Minkowskisehe Untersuchung führt darüber hinaus zu der prinzipiell interessanten Tatsache, daß auf Grund des Welt- postulates die voüetändigen BewegungsgesetBC allein aus dem Satz von der Erhaltung der Enei^ie ableitbar sind, Ferner zeigte Minkowski, wie Aaa Newtonsche GraTitationsgesetz zu modifizieren sei, damit es dem Weltpostulat genügt. Das Minkowshische Gravitationsgesds verknüpft mit der Minhowskischen Mechwnih ist nicht weniger geeignet, die astronomischen Beobachtungen zu erklären als das Newtonsche Gravitationegesetz verknüpft mit der Newtonsehen Mechanik. Dabei bedeutet die Minkowskisehe Formulierung eine Fortpflanzung der Gravitation mit Lichtgeschwindigkeit - — was unserer heutigen Anschau- ungsweise über Fernwirkung weit besser entspricht als die albe Newtonsche Momentanwirkung. Als Beleg dafür, wie die Minkowskisehe Betrachtungsweise, die sich stets in der vierdimeasionalen Raum -Zeitmannigfaltigkeit x, y, z, t — Welt genannt — bewegt, erst imstande ist, die innere Einfachheit und den wahren Kern der Naturgesetze zu enthüllen, sei nur noch auf den wunderbar durchsichtigen, von Minkowski angegebenen Ausdruck für die so lußeist Lomplizieite ponderomotoiische Wirkung zweiei bewegter elektiischei Teilchen hingewiesen Damit ist die Würdigung der hiuptsii hlnhaten Eigebnis'^e der Publi- kitunen Minkowskis beendigt, ibei die wissenschaftliche Wirksamkeit seiner Person i=«t durch die zui Veröffentlichung gel rngtin Schriften keineswegs ei schöpft Nach welchen Richtungen weiterhin und in wel- chem Sinne sich diese Wirksamkeit Minkowsl is vornehmlich ersti-eckte, bedarf noch einer kui/en Daileguug, da eiot dann die \olle Bedeutung Minkowskis fui die Entwicklung dei Mithemitik dei Gegenwart sich er- kennen hßt Zunichst gedenke ich der ^teUimgnahme Minkowski'; gegenüber der- jenigen mathematischen Disziphu welche heute eine heivonagende Rolle m unseier \^ issensehift emnimmt und ihren gewiltigen Einfluß auf aUe Gebiete der Mathematik ausströmt, nämlich der Mengentheorie. Diese von Georg Cantor zuerst in fruchtbarer Weise in Angriff genommene und y Google Godächtuisrede auf H. Minkowski, XXVII durch kühne Ideen zu gewaltiger Höhe geführte Lehre wurde damals von dem im Gehiet der Zahlenthoorie maßgebenden Mathematiker Kronecker aufs enteehiedenate bekämpft. Obwohl Minkowski in Berlin bei Kroneeker studiert hattö und sich dem mächtigen Einfluß, i3en dieser in der Zahlen- theorie ausübte, willig hingab: die Vorurteile, von denen Kroneeker be- fangen war, durchschaute er frühzeitig; er war der eiste Mathematiker unserer Generation — und ich habe ihn darin nach Kräften unterstützt — , der die hohe Bedeutung der Cantorsehen Theorie erkannte und zur Gel- tung zu bringen suchte. ,fDie spätere Geschichte", so führt Minkowski in einem in Königsberg gehaltenen Vortrag über das Aktual- Unendliche in der Natur aus, „wird Cantor als einen der tiefsinnigsten Mathematiker dieser Zeit bezeichnen; es ist sehr zu bedauern, daß eine nicht auf sacli- hchen Gründen aUein beruhende Opposition, die von einem sehr ange- sehenen Mathematiker" — gemeint ist eben Kronecker — „ausging, Cantor die Freude an seinen wissenschaftlichen Forschungen trüben konnte." Minkowski verehrte in Cantor den originellsten zeitgenössischen Mathematiker zu einer Zeit, als in damals maßgebenden mathematischen Kreisen der Name Cantor geradezu verpönt war und man in Cantors transfiniten Zahlen lediglich schädliche Hirngespinste erblickte. Min- kowski äußerte wohl, daß Cantors Name noch genannt werden würde, wenn man die heute — weü sie modisch sind — im Vordergrunde stehen- den Mathematiker längst vergessen hat. Der Umstand, daß ein Mann wie Minkowski, der das exakte Schließen in der Mathematik gewisser- maßen verkörperte und dessen Sinn für echte Zahlentheorie über allem Zweifel war, so urteilte, ist der Verbreitung der Cantorsehen Theorie, „dieser ursprünglichen Schöpfung genialer Intuition und spezifischen ma- thematischen Denkens", wie sie mit Recht kürzlich ein jüngerer Mathe- matiker genannt hat, sehr zustatten gekommen. Minkowski hat stets danach gestrebt, nicht nur über die Methoden der reinen Mathematik die Herrschaft zu erlangen, sondern auch den wesentlichen Inhalt aller derjenigen Wissensgebiete sieh anzueignen, in denen die Mathematik als HUfswissenschaft eine entscheidende RoRe zu spielen berufen ist. Wie tief er dann in solche Wissensgebiete, die eigentlichen Arbeitefelde fern lagen, eindrang und wie kritisch auch hier sein Bhck war, zeigen di verschiedenen Anlässen, namentlich gehalten hat, sowie seine Universi mannigfachen Vorträge, die er bei a unserer mathematischen Gesellschaft, ivorlcsungen. Zumal in Göttingen hat Minkowski außer den üblichen Vorlesungen eine große Anzahl von Spezial Vorlesungen über die verschiedensten Gegenstände gehalten, z. B. über Linien- und Kugelgeometrie, Anal/sis situs, automorphe Funktionen, Invarianten theorie, Wärmestrahlung und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Diese y Google XXVni Gedächtnisrede auf H. Minkowski. Vorlesungen waren stets klai- durehdaeht und fein get'oi-mt; ihr Ziel war, die Ergebnisse neuester Forschung kritisch zu sichten, anf die einfachste ^orm zu bringen und alsdann in Verbindung mit den alten Sätzen der Theorie einheitlich zur Darstellung zu bringen. Wie sehr es ihm dabei gelang, auch den schwerfälligeren Zuhörern die Wege zu ebnen und die reiferen ganz für sich zu gewinnen , beweist der steigende Zuspruch, dessen eich diese Vorlesungen in Göttingen eifreaten. Besonders verstand er es, in höheren Vorlesungen junge Mathematilfer zu eigenen Forschungen anzuregen. Unter den Dissertationen, die seiner Anregung zu verdanken sind, seien nur die von L. KoHroa, Un algorithme pour l'approximation simnltanee de deux grandeurs (1905), und E. Swift, Über die Form und Stabilität gewisser Fliissigkeitstropfen (1907), genannt, deren wei-tvoUe Resultate in weiteren Fachkreisen bekannt geworden sind. Daß Minkowski auch Niohttaehleuten luicb de Heranziehung tfeffcn- der Gleichnisse und anschiulichei Bildei ibei chwienge mathematische Gegenstände vorzutragen \ nd m ihnen em "V o Stellung von der Große und Erhabenheit unseiei ^^ issen^chitt zu erwecken wußte, zeigt am besten die ßedc, die ti i lei Festsitzung^ dei Gottinger mathematischen Gesellschaft zur hundertjahn^ei Wiedeikehi des G bnrtstages von Di- richlet gehalten h^t'*) Die bege sterten md klaien Ausführungen, die dort Minkowski über den Chirakter d^r Zahlentheoiie, ihre Bedeutung und ihre Stellung zu m leren DiszipliLien machte bei ihen auf einer tiefen Erfassung des Wesens dei Zahlentheoiie und sind las Beste, was je über diese wunderbarste Schöpfung menschlichen Geistes gesagt worden ist. Hierfür sei das Zeugms desjenigen Mathem'itil eis angerufen, der als. Schüler von Dirichlet ein kn nj etentes Urteil h'it un 1 den wir heute im In- und Auslande als den benioi lei Mathematikei als den einzigen lebenden Heros aus dei gitßten Fjoche dei /ahlentheoi e verehren dürfen. „Ich habe Ihren Vortiag so ichrieb Riehard Dedekmd an Minkowski, „mit größtem Genuß finfnial und noch Tiel ftei duiehgelesen und bin besonders von der gtoßen hi tonn hen Auffassii^ ergiiffen, mit der Ihr Vortrag die tiefsten Gedanken unseiei W ssensehaft deutlich erfaßt und in ihrer Entwicklung verffl_,t Trotz seiner millen Denka t wu M nkowsLi ira Grunde kritisch, er erkannte leicht die Schwachen einei Beweist ihrui ,, oder einer Ideen- bildung und legte im al^ememen luch an die 4.ibeiten anderer einen strengen Maßstab in Ei unteisuhied sehaif zw sehen oberflächlichen und soliden Mathematik m "\ in omei guten mathemafciachen Arbeit ver- *) P. 0. Lejeune Dinchlefc nd seine Bedeut vag fu die heutige Mathematik. Jahresbericht der De it^chön Mathemat Ler ^ eiP n gnng Bd 14 (11)06), S. 149—163. Diese Ges. Abhandlungen B 1 11 S 14 — 4()1 y Google Gedächtnisrede auf H, Miakowski. XXIX langte er, daß in ilir eine klar gestellte und des Interesses werte Frage gelöst werde. So sehr er von echter Bescheidenlieit war und mit seiner Person gern im Hintergrunde blieb, war er doch von der innersten Überzeugung getragen, daß vieles von dem, was er schuf, die Arbeiten anderer zeit- genössischer Autoren überleben und einst zur allgemeinen Anerkennung gelangen würde. Den von ihm gefundenen Satz von der Lösbarkeit linearer Ungleichungen mit der Determinante 1, seinen Beweis für die Existenz von Verzweigungszahlen im Zahlkörper oder die Reduktion der kubischen Ungleichung, die die vorhin genannte Maxi male igen seh aft der Kugel ausdruckt, auf eine quadratische Ungleichung stellte er wohl inner- lich seihst den besten Leistungen der mathematischen Klassiker auf dem Gebiet der Zahlentiieorie und Geometrie gleichwertig an die Seite. Man müsse fleißig sein, das Lehen sei ja so kurz, äußerte er wohl. Und in der Tat, die Wissenschaft begleitete ihn überall, sie war ihm zu jeder Zeit interessant und ermüdete ihn an keinem Ort, sei es auf einem Ausflug, in der Sommerfrische oder in der Bildergalerie, in dem Eisen- bahueoupe oder auf dem Großstadtpfiaster. Noch in den letzten Nächten, die er zu Hause zubrachte, beschäftigte ihn die Formung der Worte in seinem Kölner Vortrage, und er über- legte, welche Wendung dem naiven Sprachgefühl besser entspräche. Das war eh ai'akter istisch für ihn: er strebte zuerst nach Einfachheit und Klarheit des Gedankens — Dirichlet und Hermite waren darin seine Vor- bilder — , dann bemühte er sich, dem Gedanken auch eine vollkommene DarsteRung zu gehen. Er war von großer Genauigkeit und einer ins kleinste Detail gehenden Eigenheit, was die Wahl der Bezeichnungen und der Buchstaben betraf, eine Genauigkeit, die — freilich wie bei Min- kowski gepaart mit einem aufs Große gerichteten Blick — dem rechten Forseher stets eigen ist, und die wir heute bedauerlicherweise seltener werden sehen. Auch sonst, wenn er im kleineren Kreise über einen wissenschaftlichen Gegenstand sprach, legt« er auf die Form und den Ausdruck Wert, und hesonders in unserer mathematischen Gesellschaft verfehlte er selten, seinem Vortrage einige wohl überlegte, die Zuhörer anregende Bemerkungen vorauszuschicten. Fiel von aller vorgefaßten Meinung und von aller Einseitigkeit zeigte er auch im die entferntesten Anwendungen der Mathematik Interesse — immer dei Meinung, daß diese auch der reinen Wissenschaft schließlich zum Vorteil dienen würden. So nahm er auch an den Sitzungen der Göttingei Vereinigung für angewandte Mathematik und Physik aufs regste teil. Er besaß eine scharfe Beobachtungsgabe auch für Dinge, die nicht y Google XSX Gedächtnisrede auf H, Minkowski. seine Wissen seil aft betrafen. Wie er denn überhaupt für alles, was Menschen bewegt — Ton der Politik Ijis zum Theater — ■ Verständnis, nicht selten Eifer und Lebhaftigkeit bekundete. Dem Femerstehendeu schien es mitunter bei dem im allgemeineu ruhigen Temperament Min- kowskis, als schenke er einer Sache wonig Interesse: oft fiel gerade dann von JMinkowskis Seite eine Bemerkung, die den Kern der Sache traf, oder er hatte gar ein Zitat aus Faust bereit, den er vollständig auswendig konnte. Noch in der letzten arbeitsreichsten Zeit seines Lebens liebte er es, seinen Kindern Gedichte von Goethe und Schiller auswendig vor- zutragen — mit der Begeisterung, die ihm aus seiner Jugendzeit frisch geblieben war. Für seine Person war er äußerst einfach und anspnichslos, mehr bedacht auf das Wohlergehen seiner Angehörigen als auf sein eigenes. Er war von unentwegtem Optimismus, stets überzeugt, daß das Gute und Richtige zum schließlichen Siege gelangen würde. Für junge heran- wachsende Mathematiker hatte er viel persönliches Interesse und sah sie häufig bei sich im Hause; er sprach sich bisweilen überschwenglich Über die Kenutnisse und den Fleiß einzelner unter ihnen aus und setzte große Hoffnungen auf ihre Zukunft. Seit meiner ersten Studienzeit war mir Minkowski der beste und zuverlässigste Freund, der au mir hing mit der ganzen ihm eigenen Tiefe und Treue. Unsere Wissenschaft, die uns das liebste war, hatte uns zusammengeführt; sie erschien uns wie ein blühender Garten; in diesem Garten gibt es geebnete Wege, auf denen man mühelos genießt, indem man sich umschaut, zumal an der Seite eines Gleich empfindenden. Gern suchten wir aber auch verborgene Pfade auf und entdeckten manche neue, uns schön dünkende Aussicht, und wenn der eine dem andern sie zeigte und wir sie gemeinsam bewunderten, war unsere Freude vollkommen. Sein stiller Sinn stand nicht nach äußeren Zeichen der Anerkennung; doch empfand er eine lebhafte Genugtuung, wenn mir eine solche zuteil wurde. Allem, was mich betraf, brachte er sein stets gleichbleibendes Interesse und seine herzlichste Teilnahme entgegen. Zumal die kleine Stadt hier erleichterte unsern Verkehr: ein Telephonruf zur Vermittlung einer Verabredung oder ein paar Schritte über die Straße und ein Stein- chen an die klirrende Scheibe des kleinen Eckfensters seiner Ärbeitsstube — und er war da, zu jeder mathematischen oder nichtmathematischen Untern eh muug bereit. Noch auf der Krankenbahre liegend — todeswund — galten seine Gedanken dem Bedauern, daß er in der nächsten Stunde des Seminars, in der ich meine Lösung des Waringseheu Problems vortragen wollte, nicht zugegen sein könne. Seinem Andenken darum habe ich meine die Lösung y Google Gedächtnisrede auf H. Minkowski. XXXI enbtalteiide Abliandlung gewidmet, die ei'ste, von dertsn Inhalt ei- keine Kenntnis mehr genommen hat und über deren liorreJtturbogen sein sicheres Äuge nicht geglitten ist. Er war mir ein Geschenk des Himmels, wie es nur selten jemand zuteil wird, und ich muß dankbar sein, daß ich es so lange besaß. Jeder, der ihm näher stand, empfand die Harmonie seiner Persön- lichkeit und den Zauber seiner Genialität; sein Wesen war wie der Klang einer Glocke, so hell in dem Glück bei der Arbeit und der Heiterkeit seines Gemütes, so voU in der Beständigkeit und Zuverlässigkeit, so rein in seinem idealen Streben tmd seiner Lebensauffassung. Wie er gelebt hat, ao starb er — als Philosoph. Wenige Stunden noch vor seinem Tode traf er die Anordnungen über die Korrektur seiner im Druek befindlichen Arbeit und überlegte, ob es sich empfehlen würde, seine unfertigen Manuskripte zu verwerten. Er sprach sein Bedauern über sein Schicksal aus, da er doch noch vieles hätte machen können; seiner letzten elektrodynamischen Arbeit aber würde es vielleicht zugute kommen, daß er zur Seite trete — - ]uan werde sie mehr lesen und mehr anerkennen. Zum Abschiednehmen verlangte er nach den Seinigen und nach mir. Mehr als sechs Jahre hindurch haben wir, seine nächsten mathema- tischen Kollegen, jeden Donnerstag pünktlich drei Ilbr mit ihm zusammen den mathematischen Spaziergang auf den Hainberg gemacht — auch den letzten Donnerstag vor seinem Tode, wo er uns mit besonderer Leb- haftigkeit von den neuen Fortschritten seiner elektrodynamischen Unter- suchungen erzählte: den Donnerstag darauf — wiederum um drei Uhr — gaben wir ihm das letzte Geleit. Dienstag, den 12. Januar, mittags, waj- er einer Blinddarmentzündung erlegen; bei dem bösartigen Charakter, mit dem die Krankheit auftrat, hatte auch die Sonntag Nacht ausgeführte Operation nicht mehr helfen können. Jäh hat ihn der Tod von unserer Seite gerissen. Was uns aber der Tod nicht nehmen kann, das ist sein edles Bild in unserem Herzen und das Bewußtsein, daß sein Geist in uns fortwirkt. y Google y Google ZUR THEORIE DER QUADRATISCHEN FORMEN y Google y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzaMigen Koeffizienten. (Mfimoiies prcaKnt^B yii diTeia sa\anta a lAi.'ilPmie des Sc ences dp llnshtit national de Fiance Tome XilX No 2 1884 V rbemerkung des Herai agebers Diese Abhandlung ist \oii Minkowski im Mai 18H2 der Piiiser Äcademie des Sciences als PieiBBchnft und zwar m Oestalt eines m deutsolier Spca.clie lerfaBttn Mannakriptea ein gei Picht worden (vgl Comptes hendus Bd 96 (l'i83) pp 87i» — SS ) In den Memoirea d s Sil inta etraugera ist aie \ on Minkowski selbst ins Franzosiiche ul e ti og n unter dorn Titel M^n jire sui la, theonp des fonnea q^nidratiquea k coefiicienfs entieii ei=chiPnen Dip lorliLgeide dLiitsUiP Ausgabe fo frinzos s he Test als unmittel bare Überaetaung des ptes gelten kann dem letzteren an den zahlreioken S abwaiiAen ist der iranzisiachi, Text als maßgebend kübersetzt worden. Ein Ver- aeichnis der hauptsä sieh am Schlüsse der Abhand- lung, Von dem H g und Anmerkungen sind durch doppelte eckige Klamm [[Begle h J'ai rhonneii d ci-joint, intitule: J" coeffidaits nunm-tq Sciences mathnnai de la decomposit ä Tont ea espL la g^nöraliser en m en plus d'uD rapp Arrive il y ment de ces atti Yoyaut qu'il ne que juste le tem m'a ete impossibl des Scienoes.]] e l'Äcademie mon Memoire des formes guadratiques ä eours au Grand Frix des n de la question: «Theorie ne somme de cinq carres.» !a question proposee, et ä rindulgence de l'Aeademie e poiiit d'ample developpe- iiiterrompre mon ouvrage, ver au terme du l'^' juin, st pourquoi avant tout il fran^'aisj ce qui, du veate y Google 4 Zur Theorie der quadratischen Formea, ä l'etat actuel de mea connaissances dans cette laague, je n'aurais su faire que d'une fa^on assez imparfaite. Cette insuffisance de temps m'a empeche d'epuiser tout le materiel que j'ai trouve pour cette qnestion interessante, ainsi que de donner ä la redaction tous ces soins que j'aurais voulu y porter, pour rendre mon ouvrage aussi en fait de forme, plus digne du noble forum, au jugement duquel j'ose le soumettre. Je prie rAcademie de bien vouloir excuser ces faiblesses et de daigner examiner mon ouvrage tel que je suis force ä le presenter. L'auteur du memoire portant l'iSpigraphe: «Bien n'est beau qiie le vrai, le vi'a.i aeul est aimalile,* le 29 mai 1882. Durch die von der Academie des Sciences gestellte Aufgabe „Theorie de la deeomposition des uombi-es entiere en une somme de einq carres" angeregt, unternahm ich eine genauere Unter suehung der allgemeinen quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten. Ich ging dabei von dem natürlichen Gfedanken aus, daß die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von fünf Quadraten in ähnlicher "Weise von den quadratischen Formen mit vier Variablen abhängen würde, wie bekanntlich die Zer- legung einer Zahl in eine Summe von drei Quadraten von den quadra- tischen Formen mit zwei Variablen abhängt. Diese Untersuchung hat mir in der Tat die gewünschten Resultate über die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von fünf Quadraten geliefert. Indessen erscheinen diese Resultate bei der großen Allgemeinheit der von mir gefundenen Sätze nicht überall als das eigentliche Hauptziel der vorUegemlen Arbeit; sie stellen vielmehr nur ein Beispiel für die gewonnenen umfangreichen Theorien dar. Wenn daher viele der nachfolgenden Betrachtungen nicht immer unmittelbar auf das Thema der Preisfrage hinweisen, so wage ich dennoch zu hoffen, daß die Akademie nicht der Ansieht sein werde, ich würde mehr gegeben haben, wenn ich weniger gegehen hätte. Ich teile kurz die bemerteus wertesten Sätze dieser Arbeit mit. — Es sei /=^«,. eine quadratische Form mit ganzzahligen Koeffizienten ra^^ und von einer nicht-verschwindenden Determinante A, welche sich durch eine reelle Transformation in eine Summe von n — / positiven und I negativen Qua- y Google GiTiDdlagen für eine Theorie der quadratischen Pormen. 5 draten transformieren lasse. Die Zahl I heißt der Index der Form f. Das System nennen wir das quadratische System der Form f. Der größte Teiler aller /i-reihigen Unter determinanten des Systemes Ä sei d,,_^^, der größte Teiler aller doppelt genommenen unsymmetrischen und einfach genommenen symmetrischen Ä-reihigen Determinanten von A sei gleich s^d^_i. 0,, ist gleich 1 oder gleich 2 ((j„ = l, ä„_^ = (,— ly ■ A). Ist !>-2'' ■.i/iVi eine zweite quadratische Form, welche durch eine ganzzahlige Substitution von der Determinante 1 aus f hervorgeht, so heißt g der Form / äqui- valent, und es gelten, wenn der Form g die Zahlen ej_^ und p^ [[in der- selben Weise wie df^_^ und 6^ der Form f]] angehören, die Beziehungen Wii- betrachten hauptsächlich Formen f, für welche der größte Teiler der Koeffizienten a^^, nämhch c^^, gleich 1 ist, sogenannte primitive Formen. Für eine primitive Form setzen wir (Z, = öl , Die Zahlen ö^ und 6,, nennen wir die Invarianten der (primitiven) Form f. Alle Formen /', für welche die 2()ä — 1) -f- 1 Zahlen C;^; ::::"::)'" gleiche Wette haben, fassen wir in eine Ordnung zusammen. Zwei äqui- valente Formen gehören derselben Ordnung an. Die Existenz einer Ordnung ist (wenn wir 6(| = 1, Oo= 0; 0^=1,0^^ = setzen) an die folgenden Häuptbedingungen gebunden: I. Die Größen o,, sind ganze Zahlen. IL Die Zahlen 0^ und öi_i 'O,, ■ e,,^i sind nicht gleichzeitig durch 2 teilbar (ff^ ist relativ prim zu ffj_] -ö^- ffy,_^i). III. Die Größen —— — ~ und — -■ - sind ganze Zahlen. y Google 6 Zur Theorie der quadratisclieri Formen. Außer diesen Hauptbedingungen besteht im Falle, daß nicht sämtliche n — 1 Zahlen öj_;^o^öj^j Quadratzahien sind, die einzige Nebenbedingung; Wenn w s (mod 2) und &^ = 2, 63 = 1,..., ö„_3 = l, ö,^i = 2 wird, so ist, wenn wir die in den Zahlen o^ anfgeienden Potenzen von 2 gleich 2'"'' setzen, ni ,(-1) f(m„a4). Im Falle, daß die sämtliehen n — 1 Zahlen öj^jO, e,,^j Quadrate sind, treten noch mehrere einfache Nebenbedingungen hinzu. Alle Ordnungen, welche mit den von uns aufgestellten Bedingungen verträglich sind, ent- halten wirklieh Fornienklassen. Zum Beweise dieser Sätze in betreff der Formenordnungen fuhren wir den folgenden, sehr fruchtbaren und leicht auf Formen you beliebig hohem Grade auszudehnenden Begriff ein: Eine quadratische Form B-2'^« heißt ein Rest einer Formenklasse f in bezug auf einen Modul N, wenn sich in dieser Formentlasse eine Form *=^ Ä,u X, X. vorfindet, für welche die sämtliehen ] A^^=B,^ (mod2V) statthaben. — Wir können den Rest i2 der Formenklasse /" so wählen, daß er nach dem Modul N in eine Summe tod mehreren Einzelfonnen mit einer oder zwei Variablen zerfällt, und wir nennen einen Rest R, für welchen die Anzahl dieser EiuKelformen den größtmöglichen Wert erhält und in welchem die « Variablen in bestimmter Weise geordnet sind, einen Hauptrest der Klasse f. Ein Hanptrest ü einer Klasse f hängt, wie wir zeigen, nur von den Resten seiner n mittleren*) Koeffizienten ab. Wir bezeiehnen die aus den ersten h Reihen einer Form f gebildeten symmetrischen Unterdeterminanten durch (i,,d,^_^f,^. Wir können in jeder Formenklasse f eine Form 93 bestimmen, für welche die Zahlen g>j zu den Zahlen Söjög . , . o„_^'9);j_j ^;,_|_i relativ pnm ausfallen. Eine derartige Form heißt eine charatteria tische Foi'm der Klasse f. Die aus den ersten *) [[Die Sjj werden als mittlere, die JS^.j, {i ^ k) als seitliche Koeffizienten einer quadratiaclien Form B='S'R^i.x^Xj^ hezeictnet.]] y Google Grundlagen für eine Theorie der quadraiäachen Formen. 7 h [[Horizontal- und Vertikal-]] Reihen des quadrati sehen Systems von
if'^g) Es besteht dei Fundamentalsatz ; A. Wewn zwei Formen einer dt itteti oqutvnlent sind, w sind sie unter- einander äquivalent. Denn ist _ _ so haben wir Die Gesamtheit aller einer bestimmten Form /' äquivalenten Foraien nennen wir eine Formenklasse. Infolge des Satzes A. sind zwei Formen, welche derselben Klasse angehören, untereinander äquivalent, während zwei Formen aus verschiedenen Klassen nicht äquivalent sind. Wir werden ine gegebene Form selten als besonderes, durch seine — ^— ^ — - Koeffi- .enten bestimmtes Individuum betrachten; meistens wird sie uns nur als Eepräse^itant der ihr entsprechenden Formenklasse gelten. Eine jede Form / von n i cht -y er seh windender Determinante kann, wie man weiß, durch eine lineare Transformation mit reeRen (keineswegs immer ganzzahligen) Koeffizienten in eine Summe von n zum Teil posi- tiven, zum Teil negativen Quadraten Übergeführt werden. Es mögen bei irgendeiner solchen Transformation I=I(f) Quadrate das negative und n — I Quadrate das positive Vorzeichen erhalten; alsdann ist nach einem bekannten Satze die Zahl I für die Form f charakteristisch, und es wird eine jede Darstellung von f durch eine Summe von n positiven oder ne- gativen Quadraten die Gestalt f-"2'v+2'='" erbalten. Wir gewinnen hieraus leicht für die algebraische Äquivalenz zweier Formen f und g die Bedingung m - Kay Die Zahl I(f) beißt der Index der Form /. Die Form ? = !&,„) sei in der Form f={ai^] vermittels einer Sub- stitution S ~ [sl] enthalten. Wir bezeichnen die Suhdeterminanten A"" Grades y Google le Theorie der quadratisclien Forc \m,, *.,•,, ■■■; >\'; \..,\..., ■■■, \,, :d- oder, wofern die besondere Wahl der h Horizontal- und Vertikalreiheu unter den gegebenen n Horizontal- und Vertikal^eihen gleiübgiiltig ist, durch A^, B,, S, oder V- Wir gebrauchen für die symmetrischen Af^ und B/^ die Buchstaben F,^ und G^ und für die unsymmetrischen A^ und B^ die Buchstaben Pj und Q/^. Nach einem bekannten Determioanteusatze ist \wij, m^, . . ., inj (1.2.-.A).(1.2...ft) In der Entwicklung eines G^ sehen wir die F^ mit einem Faktor 8,f, die P,, mit einem Faktor 2S^S^ behaftet; in der Entwicklung eines Q,^ weisen sowohl die F,^ als die P,, einen Faktor S/ß^ auf: a^ = '^F,ß,^ +^P^ '^S.S^" , Wir schließen aus dieser Bemerkung, daß der größte Divisor der F^, Pj in dem größten Divisor der Gf^, Q^ und der größte Divisor der F,^, 2Pj in dem größten Divisor der G^, 2 Q^ aufgeht. Den größten positiven Divisor der F^, P^ setzen wir gleich ,,_, und den größten positiven Divisor der F/^, 2F^ gleich ff^^^^^i- Die Zahl e^ stellt uns dann den größten Divisor der Größen , — , 2 , — vor. Da der ^i-i "'h-i größte Teiler der ^ '-, j~ " die Einheit ist, so nimmt ffj den Wert 1 an, wenn von den Zahlen - [gerade ist, und ( gleich 2, wenn aUe -<-— gerade ausfallen. Die Zahl d^^^ ist dem abso- luten Wert der Determinante jtt,.ji gleich, und es wird daher femer ist ö^^ ^ 1. y Google 12 Zar Theorie der qnadratiHchen IPormen. Enthält nicht nur die Form f die Form g, sondern auch die Form g die Form f, sind also f und g äqmvalent, ao geht einerseits der größte positive Divisor d^^^if) der JT^, P^ in dem größten positiven Divisor d^_^{g) der G^, Q^ und der größte positive Divisor (f,,{f)d^^i(f') der F^, 2P/^ in dem größten positiven Divisor ß,^{g)di^_^{^^ der G,^, 2©^ auf; andererseits geht auch ä^_^ig) in d/^_^(f) und Sk(ß)d^_^{ß) in Skif)^h-iif) auf. Für äquivalente Formen f und g hestehen demnach die Beziehungen (I) ',Äf)-»M; <-i{n-^,-M- Wir nennen eine Form /' = | a^^ } P^i'n^üiv ?'«■ hezug auf einen Modul N, sobald die Koeffizienten «^-j. einen größten gemeinsamen Teiler besitzen, welcher zu N relativ pdm ist. Eine beliebige Form ist nach dieser De- finition primitiv in bezug auf einen Modul iV, sobald sie primitiv in bezug auf alle in N enthaltenen Primfaktoren ist. In dem Folgenden werden wir fast ausschließlich Formen /' be- trachten, für welche der größte Teiler der a.^., nämlieh d^, gleich 1 wird und die wir kurz primitive Formen heißen. Eine nicht-primitive Form f~ {<*(*) ^^* "^^^ Produkt ans der Zahl d^ und der primitiven Form f = {¥l ^'"«'■' Jeder primitiven Form /■ entsprechen 2(m — 1) Zahlen ö'i, Q-g, . . ., e„_3, e„_i, [?i, dg, . . ., t?„_ä7 d^^j . Wir führen ferner w — 1 Größen o,^ durch die Gleichungen d^ = Oj^Ög, _ ^l,^h-^ d«-i = ö"~'og''~^ . . . 0„_J, ein. Gemäß den Formeln (1) sind alle o^ und 6^ Invarianlen der Klasse f. Wir unterscheiden die o^ und 6^ als Invarianten o(f) und Invarianten '?(/'). AUe Formenklassen, welche die Größen 6^,, o^ gemein haben und für welche der Indes I(f') denselben Wert I annimmt, fassen wir in eine Ordnung zusammen. Unsere nächste Aufgabe wird in der Aufsuchung der für die Exi stenz einer Ordnung erforderhchen Bedingimgen bestehen. y Google Grundlagen für eiue Tlieorie dev qnadiatisohen ^Forme». 13 Kap. II. Formenreste. — Die luTarianten o(/) sind ganze Zahlen. Bei aUea Fragen, in ■welcheu es sich weniger um die numerieclien Werte der Unterdetermiiianten einer Form /'^{«jj.j als um die Teilbar- keit dieser Unterdeterminantea dureli gegebene Zahlen N handelt, kommen für una offenbar nur die Reste der - -J~_ >. Koeffizienten a^^ nach den Moduln N in Betracht, und wir liönnen daher diese Koeffizienten durch beliebige, ihnen nach ien Moduln N kongruente Zahlen ersetzen. Eine Form B = [R^] heißt ein Best der Formenklasse f m hemg auf den Modul N, sobald in dieser Klasse eine Form ^-^j^j) anzutreffen ist, für welche sämtliche Kongiuenzen Ä,, = R^, (mod AO erfüllt sind. Wir gebrauchen alsdann die Bezeichnung tl) = {Ii,.j) (modÄf). Wir werden für eine jede Formenklasse eine Reihe besonders aus- gezeichneter Formenreste bestimmen, zu denen mau gelangt, wenn man auf eine beliebige Fonn der betreffenden Klasse Substitutionen Ton der folgenden Art ausübt; S|5l : ^i - <> ^A = ± < + «/- «* = ^^' ß 4= «, k) und P,, ^j: Xj = a;J,, x^ x^', x,^ = x^ {k =j= l, m) und ^i - < ^-^'s.^, T., = x: (h + i). Zunächst verschafft uns die Betrachtung der so gewonnenen Klassen- reste den Satz: B. Mir eine jede Ordnimg, wddie wirklich Formen enthält, werden die Invarianten o,, ganze Zahlen. Wir können diesen Satz auch in der folgenden veränderten Weise aussprechen; C. Ist die quadratische Form /■-= [a^t] in bezug auf eine Primzahl q primitiv und sind die höchsten, in den Zahlen dy,d^, . . ., d^_^ der Form f aufgehenden Potenzen von q resp. ^', q\ . . ., 5^«-', so fallen die Größea '^h = {^i ~ ^ft-i) ~ (^*-i "" ^h-i) nicht negativ aus. Die o^ sind mit den (^ durch die Gleichungen ?,, = Awj + (h~ l)ß)2 + h W/. verbunden. Die Potenzen g^"h sind offenbar diejenigen Potenzen von q, welche in den Größen 0, = -^ : ,— aufgehen: sobald also keine der y Google 14 Zur Theorie der qaadratiEclieD Formen, Zahlen «^ negativ ist, müssen die öj sämtlich ganze Zahlen sein. Die erste Ton verschiedene der Zahlen ra^ ist gewiß positiv, da sie gleich der ersten von verschiedenen Zahl 8^ iat. — ■ Wir werden die Gültigkeit des Satzes C. für Formen von n Variablen ans der Annahme der Gültig- keit desselben für Formen von weniger als n Variablen herleiten. Hier- durch ist dann zugleich seine Ällgemeingültigkeit dargetan; denn da dieser Satz für K = 1 gewiß richtig ist ■ — in diesena Fall existiert überhaupt kein o^ ■ — , wird er sofort auch für n -= 2, 3, . . ., »i erwiesen sein. Für den Beweis des Satzes C. genügt die EinfÜhning besonderer Formenreste für Moduln, welche Potenzen der Primzahl q sind. Nur müssen wir den Fall einer ungeraden Primzahlpotenz q' =- p' Yon dem Falle einer Potenz g' = 2' sondern.*) I. Wir beginnen mit dem Falle einer ungeraden Primzahl q^p- 1. Jede in bezug anf p primitive Form f = ^^a-f^x^x^ von n Variablen ist einer Form a, 0, Ü (mod p'), f„ = «i'+p' '■■2 a.fxpxj-'^ (modjj') äquivalent, deren erster Koeffizient a zu p relativ prim ist, während f''^^ °^ ^j "^Ä" ■''■**' ^*''' ^'°^ ^^ bezug auf p primitive Form von w — 1 Vari- ablen darstellt. Beweis: Wenn f in bezug auf p primitiv ist, so sind die Zahlen a,j, 2a^j gewiß nicht alle durch p teilbar. Ebenso können aneh die Zahlen a^^, «jj ± 2«^,. -|- ir^j nicht alle durch p teilbar sein; denn sie haben offenbar denselben größten gemeinsamen Teiler wie die a^^, 2af^. Sollten also die Koeffizienten o,-; der Form f sämtlich durch p teilbar sein, so würde eine der Zahlen a^^ ± 2ajj -{- a^^ zu p relativ prim sein, und wir dürften auf f nur eine Substitution S,r-i anwenden, um in der veränderten Form die zu p prime Zahl a^i ± Sa^j + a^^ als einen mittleren Koeffi- zienten zu erzielen. Wir können demnach von f voraussetzen, daß es einen durch p nicht teilbaren Koeffizienten a^^ besitzt. Durch Ausübung 1 durch q eine beliebige und durch p eine ungerade y Google Grundlagen einer Substitution P,. fm" Theorie der quadratischen Formen. 15 delt sich f alsdann iu eiaen Bepräsentanten (mod p'), welchem a zu p prim ist. Auf /j^i weiiden wir , K„ E„ ..., K„_ 1, 0, ..., die Substitution 1 an. Eine solche Substitution läßt a ungeandei-t, während sie ^^ in Terwaiidelt. Bestimmen wir daher dis K,^ aii.s den gewiß lösbaren Kon- gruenzen E^^aK^^f) (mod _p'), so geht die Form /"^j durch die Substitution S'^ in eine Form /■(!>- . 0, 0, {mod p'') über. Ist f^a^, so wird p°'' die größte Potenz von p sein, welche in allen r^'^ enthalten ist, und wenn wir r^^ = p"' a^J setzen, so haben wir die angegebene Gestalt von f„. erlangt. 2. Der Form /(■^/'(d) teilten wir n — 1 Zahlen d^, d^, . . ., d^_i zu; K — 2 Zahlen (7^*^', tZ^C', . . ., (i,P_lg von ähnlicher Bedeutung gehören der Form /■(^ = {",t'l an. Ea bezeichnet d^^}^ für fW den größten gemein- samen Teiler aller -4j'^l Es seien die höchsten in (^,'^', f?^*^', . . ., d^^}^ aafgeheuden Potenzen von p resp. p^' , p^* , - ■ ■, t^"~'- Für die Form /Jjj gelten die Kongruenzen ^p,;, = K-p(*-i|"'AW,, p''"^Ä,^% (mod 1)'). Wir wollen den Modul p' größer gewählt denken als die größte der Zahlen p^', jA, . . ., p^»-' . Dann muß die höchste Potenz von p, welche in allen ^4,^/, aufgeht, d. i. die Potenz p^''~', zugleich die höchste Potenz von p sein, welche in allen a •y*"''"''-^^'-!' iJ*""'-^!'^' aufgeht. Die höchste Potenz von p, welche in den u ■i>'*~'*°''-l + (/i- l)c3g« + ■ ■ ■ + w^i) bestimmten Größen ra^'^) positiv oder gleich NuU ausfallen, und es wird woraus sich wegen (Oi ^ Qi ~ i)cjj + 3 «3 ^ /*DJ, + a w^ ergibt. Von diesen beiden Zahlen ist also jedenfalls die erste nicht großer als die zweite, und wir erhalten folghch oder, wenn wir setzen und die Gleichungen ausführlicher schreiben: r^ = ha, + (A— l)oj3 ■\ h OT^, ro,, > 0. 11. Wenn die Primzahl q = 2 ist, unterseheideo wir die Fälle ö^ = 1 und 01 — 2. (Jj = 1. — 1. Jede in bezug auf 2 primitJTe Form /■= ^, '^ik^i^tJ welche eine Invariante ß, — l besitzt, ist einer Form /(.)- a, 0, ..,, 0, 2"^aW, ..., 2"'^alfl (mod 20, äquivalent, in welcher der erste Koeffizient a ungerade ist, während f"^^ '^^j ''■ti''^/^^'''i^' ^'-"^^ ^^ bezug auf 2 primitive Form vorstellt, welche im Falle ra^ = eine erate Invariante e gleich 1 besitzt. Beweis: Es befinden sich, wenn ö^= 1 ist, unter doa Eoeffizienteu a^ ungerade Größen. Außerdem muß es im Falle ra^ = eine ungerade Determinante t^^j^f^,,,, — ^^^ geben. Denn wären alle diese Determinanten gerade, so würden die Kongruenzen y Google Gruttdlagen für eine Theorie der quadratiachen Formen. 17 lind ^kh ^kh ^ ^ii ^/ih % h "•?, h ^ "'kl, ^i h ('^O'l 2) gelten, und folglich wären auch alle Determinaaten ^^1%^^, — ßi^,»i^Ä ge- rade, so daß die höchste Potenz von 2, welche in allen diesen Determinanten enthalten ist, nämlich S""', nicht gleich 1 sein könnte. Wir können im Falle Wj = ferner voraussetzen, daß die Form f für denselben Index i sowohl ein ungerades' a^j als auch eine ungerade Determinante Oni<^^^ — «.^ besitzt. Denn waren in f die Indizes i der ungeraden a^ alle von den Indizes fe, h I hätte 1 der ungeraden Zahlen a^^ \^^, . verschieden, s s 0, a,, = 0, sO, 1 gleichzeitig (mod 2), d. h. / 1, 0, -^ 1 = 0, 0, 1 (mod 2). V 0, 1, / Durch Ausübung einer Substitution S^^. auf f erhielte man eine Form^ in welcher die Zahlen a^. und a..aj^^~ a.^^^ bzw. durch die Zahlen und (a^^ffl^^ — a.]\ ± 2ra^j«jj — %i^a^,'\ + (ai,^a^^ — a^^jj ersetzt erscheinen, welche beide ungerade sind. Vermittels einer Sub- stitution JP[i^n können wir jetzt f in eine Form ec, £,, ..., E^_ K, c,,, . . ., c, „, f(i)- (mod 20 tranaformieren, in welcher « und im Falle cj^ = auch eine der Größen €cC;i — £(* ungerade ist. Diese Form fi^. geht durch eine Substitution ' 1, K,, K., ..., K„_ 1 in welcher die K,^ den Kongruenzen £, + kX^ s (mod 20 in eine Form y Google Zor Theorie der quadratischen Formen. • «, 0, . . ., 0, 2'"-a'», ..,, 2'^«m (mod 2') 0, 2™.aW, a'^> über, im ■welcher f^^i = { a,.^* ) in bezug auf 2 primitiv ist. Hierin fällt, wenn üjj = ist, eine der Größen tt2°'^af^'> ^ afp (mod 2) ungerade aus, und folglicb wird in diesem Falle die Form /■<"' eine erste Invariante ff gleich 1 besitzen. 2. An die Form f,,^ können wir sofort dieselben Schlüsse anknüpfen wie in Absatz I, 2. dieses Kapitels, und wir gelangen, indem wir der Form /■(^' .n — 2 Zahlen co,y^ zuerteileu und den Modul 2' größer als die größte der Zahlen 2^', 2^', . , ,, 2^»-^ wählen, in derselben Weise zum gewünschten Ziele: ffj = 2, — 1, Jede in bezug auf 2 primitive Form f = welche eine Invariante öj ^ 2 besitzt, ist einer For ' 2«, 91, 0, ..., 91, 2a, -2" tii) — 0, (mod 2'), 0, 0, 2-.aO), 0, 0, 2™'(tJ^^,, ..., 2'^oj^ig /;„a2(«|>+St|l+«l') + 2-^2' "'!>"*<"''" ('"°'' '•'"> äquivalent, in welcher die Zahl 9t einen willkürlicb. gewählten ungeraden Wert hat*), a ungerade und /^^ = /^ ''iit ' ^j''* 3;,.^ eine in bezug auf 2 primitive Form ist. Beweis: Wegen e^ = 2 müssen alle a^^ gerade ausfallen, während mmdcitens eines der fl,j. (,( + /) ungerade wird. Wir können annehmen, daß gleichzeitig «„ = 1 (mod 2) und «,-; ^ 2 (mod 4) gilt. Sind nämlich für ein ungerades a,j gleiehaeitig «;,- und «^^ durch 4 teilbar, so genügt es, auf f eme Substitution )S,-„ anzuwenden, um zu erzielen, daß der i.oeftizient a^, duieh die Zahl «iti 2a;j -f a^jS 2 (mod 4) ersetzt wird. *) ^ jx be/Gichneu mit Jl at^'ts ungerade Zahlen, welche willkürlich gewählt werden durfpii y Google Grundlagen für eine Tlieorie dw quadratischen Formen. 19 Durch eine geeignete Umstellung der Variableu mittels der Substitutionen -P(i,.V -^(3,*) können wir daher der Form f die Gestalt verleihen 2a, Ä, E„ ..., E„_ A, 2a, E„ ■ßi. A, «^n. U)'— {mod 20, in welcher k und A ungerade sind. Auf dii atitution M, Zj, K,^, 1, 0, Eine solche Substitution läßt 2 ^ in ^ + während dieselbe aM verwandelt. Kongraenz stete Lösungf die Koiij £, in E^ + 2ttKj^ + AK^, {E, + AK,^ + 2aK,) + M(E, + 2aK^ + AK,) St eine beliebige ungerade Größe, so hat die 2aM^%-A (mod 20 I und ebenso sind wegen 4ß«-^^ = l (mod 2) E,+ 2aK^+ AK^ =0 _E,. + AK, +2aZ'^ = ! ergeben ^ __ .aJ^s — 2oAj -r> _ ^E^ (mod 2*) i:, = - (mod 2*)- Mit Hilfe der so bestimmten Werte der M, K^, K, geht daher die Form /pi in eine Form /L. von der gewünschten Art über. In dieser Form /jj, müssen wegen dj = 2 die aSmtliehen 2'"^ a^f> gerade sein. Folglieh sind im Falle ojg = auch alle a^^ gerade, imd die Form P'={«(^^') wird in diesem Falle eine erste Invariante 5 gleich 2 besitzen. 2. Die höchste Potenz von 2, welche allen A^^^f der Form t\i){^f') gemeinsam ist, d. h. die höchste in d,^_^ aufgehende Potenz von 2, sei wieder 2^''-i, die höchste in den A,}^'^ der Form /"'^' aufgehende Potenz y Google 20 Zur Theorie der quadratischen Formen. von 2 sei 2 h-i. Wir bemerken, daß die Potenz 2^', welche unter anderem in 4ß« — W aufgehen muß, offenbar gleich 1 ist und daß infolgedessen 0j = wird. Wir haben für die Größen Ä^^^l, die Kongruenzen 2ä-2(''-i)'"'^/l>^, Wählen wir nun t größer als die größte der Zahlen S^, Sg, , , ., e^_^, 80 wird die höchste in allen Af^^i, aufgehende Potenz von 2, nämlich 2^*-i, zugleich die höchste Potenz von 2 sein, welche allen auf der rechten Seite der vorstehenden Kongruenzen befindlichen Größen gemeinsam ist. Es ist aber die höchste in allen in allen 2« ■ 2'^''-''>'"^Ä(^^, 9t ■ 2<''-^>'"'^/2|i 2ß ■ 2'-''-'}"'^A^^}^, in allen aufgehende Potenz von 2 resp. 2(A-a)m,+a,;i'8 2('''-i''"= + ^''-ä, 2'""=-^^i*-'. Souach wird ö^_j mit der kleinsten der drei Zahlen (Ä-2)aj3 + 0»„ (A-l)(aa + 0,(!J2, Ära, + e/^^ übereinstimmen müssen. Nehmen wir jetzt an, für die Form f <^1 = { a^^'' ] von n~~2 Variablen wäre der Satz C. richtig, so werden die Größen <»(**', welche durch die Gleichungen ?;,« = h(0,i') + (Ä- l)ß)/) + - . . + ej;/^l bestimmt sind, nicht negativ ausfallen, und es müssen demnach die Un- gleichungen statthaben. Umaomehr gelten dann wegen (o^^O die weiteren Un- gleichungen {h - 2) coa + Sl'l^^ {h - 1) Ws + Sflj^ hoy, + gf_>^. Mitliin wird 0j_i, welches der kleinsten der vorstehenden drei Zahlen gleich werden soll, gleich (h — 2) Wg -f- Sj-^}_ ^ werden, und wir erhalten in diesem letzten Fall, indem wir c^ _ 3, = und cJ,;ä)a= ^'. C' > 2) setzen, gleichfalls yGoosle Grundlagen für eine Theorie der quadratiachen formen. 21 Wir führen jetzt einige Bezeicluniiigen ein, welche für die folgenden üntersuehungen wichtig sind. Wir setzen für eine jede Primzahl g(q ^p oder = 2) ^1=0?^, »Ig = (Oj + «a, . . ., »„_!= OJj + 1»^+ ■ ■ ■ + ^'„„l, woraus sich sofort ergibt. Die Potenzen /f- sind diejenigen Potenzen von g, welche in den Größen -j — aufgehen. Ferner nehmen wir an, von den « — 1 Zahlen ejj seien im ganzen 1 — 1 (1 < A < h) von Null verschieden, nämlich die Größen (Oo=0) a»,, o)3j, ..., (o»i_a, 03g^_^, (*i=«) und wir bestimmen l Zahlen % durch die Gleichungen *i=«n ^s=''i + ''a, ■ ■■, n-^&^ = x^+Xs-\ h«^, {^k= ^k— ^k-t)- So oft der besondere Wert der Primzahl § hervorgehoben werden soll, ■werden wir den sämtlichen Größen ra, v, r, X die Zahl q in Klammern beifügen. Kap. III. Hanptformenreste und Haiiptrepräsentanten für einen Modul Jf. 1. Der Modul iV" möge ein Produkt von c„ zuemander relativ pnmen Zahlen Nj, JVg, . . ., N^^ sein. Wir beweisen den folgenden Satz: Wenn in der Klasse f sich c^ Formen B^= SJS^ (c =- 1, 2, . . . , c^) vorfinden, welche die Reste iJ^ = { ,■//) } (mod A'J (c = 1 , 2, . . , , Co) besitzen, so können wir einen Repi'äsentanten Il = SfS~{r,^} (modi>7") dieser Klasse angeben, welcher den Kongruenzen j;^ = rW (modWJ (c=l,2, ...,Co) Beweis: S^ läßt sieh als Substitution von der Determinante 1 be- kanntlich in eine gewisse Anzahl Teilsubstitutionen von der Art Xf'^ Xf'+M^Xi^', Xf^^xl, x^^xl (h=^i,}c) zerlegen. Führen wir in diesen Teilsubstitutionen anstatt der M^ be- liebige andere Zahlen M* ein, welche gleichzeitig den Kongruenzen Mf = M, (mod WJ und M* s (mod -|^) genügen, und setzen die so veränderten Teilaubsütutionen in genau der- selben Weise, wie sie durch Zerlegung von 8^ entstanden sind, zu einer neuen Substitution 8* zusammen, so wird offenbar y Google Zur Theorie der quadratischeu Formen. 1, 0, ..., S'aS, (moüN,), S.* = 0, 1, ..., 0, 0, ..., 1 Es folgt also B* - S*fS* ea B, (modJV,), «.*=/■ und für die Form ■/•.s,*s,*...s B - Sj'S * . . r^/ haben wir in der Tat B = 8, 'fS* = E. (modj?;). f Hf), Dieser Satz zeigt uns die Möglichkeit, yermittels der Formenreste nafili den Teilmoduln N^, N^, . . . , N^ einen Formenrest nach dem an- sammengesetzten Modul N zu finden. Insbesondere können die N^ die ver- schiedenen in N enthaltenen Primzahlpotenzen bedeuten; wir kommen daher mit der Bestimmung ansgezeichneter Formenreste für Primzahlpotenzen q' als Moduln aus. Es genügt auch völlig, wenn wir nur Modnln q' ober- halb gewisser Grenzen betrachten; denn ea ist ein jeder Formenreat für einen Modul N zugleich Formeurest für alle in N aufgehenden Moduln N^; insbeaondere wird daher ein jeder Formenrest für einen Modul q' auch Formenrest für alle Moduln q'" sein, welche kleiner als q' sind. Durch eine wiederholte Anwendung der in Kap. II gewonnenen Sätze erkennen wir, daß eine jede Formenklasae für jeden Modul q' Reste be- sitzt, welche sich als Summen tou Formen mit einer oder mit zwei Variablen darstellen. n. (g = p.) Aus der Klasse äquivalenter Formen, tvddier die su p primitive Form f angehört, hann ein Eepräsenfant (mod p'^) a^tsgewählt werden, in welchem die Kj, Kj, 0%, ■ ■ -, k„ sämtlich zu p relativ prime Zahlm sind. Wir beweisen diesen Satz, welcher für »i = 1 selbatveratändlich ist, yei-mittela eines Schlusses von « — 1 auf n. Angenommen dieser Satz sei für Formen mit w ■— 1 Variablen bereits bewiesen, so können wir die Form p'"ifW des Repräsentanten /(„=ttf + i.'V<') (moäp') diirch eine gewisse Substitution in eine andere überführen, deren Rest nach dem Modul p' aus lauter eingliedrigen Einzelformen besteht. Durch y Google Grundlagen für eine Theorie der quadtatischen Potmen. 23 dieselbe Substitution geht dann /Ji) in eine Form von der Gestalt
(il + W) -I 1- 9(3) —"^ 9'W (modji'),
< i-^X %,< ■ ■ ■ < W3;_i .
(5 = 2.) 1. Es sei f eine in bezug auf 2 primitive Form, und es
mögen die Xj — l ersten Zahlen Oj dieser Form gleich NuU sein {m^ = 0,
(Og = 0, .,., a)Ki-.i=0), während die jc^'" Zahl ta,.^ (1^%^**) "^^^ ^^^''^
der Zahlen ej^ sei, welche nicht verschwindet. Wenn dann die Invariante ffj
von /^ gleich 2 ist, muß Xj^O (mod 2) sein. Wir können, falls 6^=1
ist, statt /■ einen 1
fw:
K^W
KgW
T'ia]''
(mod 2')
2""' «.'-'.,. i> ■■■> ä""'».'?,,
einführen, in welchem die Zahlen K^^\ «a'^', . . ., ßj" ungerade sind und
^("i) = ^ (( ™ a; ™ 3; ™ eine in bezug auf 2 primitive Form vorstellt;
falls aber s^ = 2 ist, einen Repräsentanten
2«im,91iW
SIj<^',2ßim,
2s''',a,i"
Sl,<'),2«,l'),
A-l"
2<,ai;'
2"'.o,';'', . . ., 2"». „ ., *,, .... ., *.,
""' "-' C'V)
Reste von der Art (En) lassen, während alle X-— X^ übrigen Formen tt)(j)
Reste von der Art (Ri) besitzen mögen. Wir können dann sagen, der
Form f gehöre die Kombination
an, und es ist sofort einleuchtend, daß durch diese Kombination von
Zahlen n aus der Reihe der Zahlen 1, 2, . . ., 1^ die n—\ Invarianten 6
der Form f vollständig bestimmt sind. Wir erschließen daraas leicht
den Satz:
y Google
30 Zur Theorie der quadratischen Formen.
E, Wenn die n —- 1 lavarianten o^ und der Index J gegeben sind, so
führen höuhstena
von den sämtlichen 2""^ verschiedenen Kombinationen
welche eich überhaupt bilden lassen, zu wirklich existierenden Ordnungen
M:; :;:::; :::)'-
In der Tat ist die .Anzahl aUer überhaupt zulüesigeu Kombinationen
(0J,) höchstens ao groß wie die Anzahl sämtiicher angehbaren Kombi-
nationen
\7C^, Jta,. . ., Kj ].
Diese letztere Anzahl ist aber offenbar gleich
^K
\ {K--i-)---{K~'i-j^-i) ^
2^.
Hieraus geht das Behauptete sofort hervor.
Wie wir später (im Kap. XI) nachweisen werden, ist die Anzahl der-
jenigen Kombinationen {pi), welche, mit den m — 1 Größen ö^ und der Zahl I
verbunden, zu wirklich existierenden Ordnungen führen, in der Tat mit
nur wenigen Ausnalmien gleich 2^.
Eine dieser Ausnahmen kann eintreten, wenn X =■ Xf, ist. Alsdann
sind sämtliche Zahlen Xj, %, . . ., x^ und mithin auch ihre Snmme
«1 + «2 + ■ ■ ■ -1- Ji^ = w gerade, und es fragt sich, ob die Kombination
[1, 2, . . ., i] eine wirklich bestehende Ordnung zu Hefern vermag. Für
diese Kombination müßte
ej = 2, 6a =1, ..., ö„_3=l, ff„_i=2
sein, und es müßten sämtüche Reste tl),j, die Gestalt (Rn) erhalten. Für
die Determinanten } „. | dieser Formen werden daher die Kongruenzen
gelten
aus welchen sich sofort
1 «>(.) 1 1 *(« i ■ ■ • I *s) ' = (- 1)'^^^^ ' = (- 1) " ('-"1 *)
*) Es ist )i^5tj -j-Kj -| 1- K, , und wir haben m^ >0,
also Hj ^ 2. Demnach komrat n ^ 2A„ oder J-c ^ "ä J ■
y Google
Gnmdiageu für oiae Theorie der (luadratiBchen Formec. 31
ergibt. Nun ist die Deteitninante der Form ip, wie man leicht erkennt,
(-!)'■ <*.-, = I *„, 1 I j"''') be-
stehen. Ein Blick auf die Hauptrepräsentanten 9 zeigt uns, daß die
Determinanten S^d^_i(p,^ sich für ein q^ = p' als Produkte ans den Po-
tenzen p^A-iff) nnd aus zu p primen Zahlen darstellen, während sie für
ein ^' = 2' gleich Produkten aus den Potenzen 6j-2^*-i'^* und aus un-
geraden Zahlen werden. Hieraus schließen wir, daß die (p^^ in dei; Tat
zu der Primzahl q relativ prim sind, Falls N sieh aber aus mehreren
Prim Zahlpotenzen g''(>g''''') zusammensetzt, so ist der Hauptrepräsentant
^'^ bildet nach dem Satz 1. offenbar jeder Haupt-
repräsentant in bezug auf einen Modul N* ^ ql'q^' . ..q''^\t^':> G{q^,
e = 1, 2, ..., cj eine Grundform für den Modul N.
Wir haben die folgenden Sätze: Eine Grundform für einen Modul N
ist Grundform für alle in N enthaltenen Faktoren; und umgekehrt: Eine
Form, welche für gewisse Primzahlen q eine Grundform ist, stellt auch
für jeden Modul N, der nur durch diese Primzahlen q teilbar ist, eine
Grundform vor.
Mit Hilfe von Betrachtungen, welche denen in Kap. H angestellten
analog sind, kann man den Satz beweisen:
3. Jede Grundform ii> für einen Modul N kann vermittels einer Sub-
stitution
1,
1)
in einen Hauptrepräsentanten ^^(mod N)] aus.
y Google
38 Zur Tteorie der quadratisclieii Formen.
Wir beweisen den Satz:
Wenn für irgend zwei Repräsentanten ^c ^^^' ^° erfordert das Bestehen einer Kongruenz
y Google
(c-1, 2, ..
■.«.)
a den Klassen f
nienzen
(c_l,2,..
,«.)
1 tf und i/i
sind
Grundlagen für eine Theorie der quadratiecten Formen. 39
f^g (mod IT)
das gleichzeitige Beatehen der c,, einzelnen Kongruenzen
f^g (mod JV;) {c=l,2,.. ., c^),
und umgekehrt findet die erstere Kongruenz wirklich statt, sobald die c^
letzteren Kongruenzen sämtlich erfüllt aind.
In der Tat ist jeder Rest der Formenklassen f und g in bezug auf
den Modul Hl zugleich Rest dieser Pormenklasse für die sämtlichen
Moduln iVj.. Ist also f^g (mod Jf), so wird auch f'^g (mod ^^) sein.
Falls umgekehrt die Cq Kongruenzen
f^g (mod iVJ (c = 1, 2, . . ., c^
alle erfüllt sind, so können wir zunächst in der Klasse f gewiß c^ Formen
(p^ und in der Klasse g ebenfalls c^ Formen ^^ angeben derart, daß die c^
Kor^uenzen
rp^ ^ ijs^ (mod N^
statthabeu. Darauf können wir nach Kap. III, Absatz I ii
und g je eine Form rp und V' augeben, welche den Kongi
fp^fp^ (mod N^), ip^ip^ (mod iVJ
genügen. Die Koeffizienten dieser beiden letzten Former
nun in bezug auf die sämtlichen zueinander primen Moduln JV^,, also auch
in bezug auf den Modul N = ^f^N^ ■ ■ - jVi^^ kongruent; mithin wird
(p ~ij; (mod N),
und hieraus ergibt sich auf der Steile
t '^g fmod "\)
Wählen wir für die Zahlen JV lie verschiedenen in N enthaltenen
Primzahlpotenzen q so zeigt ^ith diß die Unfcersuchun,, von Gruppen
für einen belieb gen Modul j\ auf die Untersuchung von Gmippen in bezug
auf Pi-imzahlpotenzen q' hinauslauft
ni. Wir w llen die notwendigen und hinren-henden Bedingungen für
die Kongruenz zweiei FoimenkliBsen iiich einem Modul N auffinden.
Nach Aufstellung dieser Be hnaungen wei ien wir lazu übergehen, au
prüfen, ob es verschiedene lormenklassen ^on dem=(elben Index I gibt,
welche nach allen iberhiupt m glichen Moduln kDß^ruent sind, und aus
diesen nach jedem Modil konp,nenten Foimenklasiitn werden wir die
Genera von Foimen bilden
Nehmen wii an die Klasseu / und g si-ien nach lem Modul N kon-
gruent, und setzen wii f ruLi der grcßeien Emfaobheit halber, voraus,
daß f und g in bezug auf i\ jiiinitiv smd und laß die Faktoren q^ (^>0)
von N für ein q=p die Potenzen p° i ? und für e n q^2 die Po-
tenaen 2°" i ^' welche den Foimen / und y entsiieehen, übersteigen.
y Google
40 Zur Theorie der quadratiBeiieii Formen,
1. Nacli den soeben bewiesenen Sätzen besitzen die Formenklaesen /"
und g für einen jeden der in IV" aufgebenden Moduln q' yollatändig die-
selben Reste und folglich auch dieselben Hauptreste. Aus der Gestalt
dieser Hauptreste für die Moduln 5;'(> §**''') können wir aber die Werte
der Zahlen
q""^, ^"^, . . ., (fn-i
nnd, wenn g = 2 ist, auch die Werte der Zablen
^11 ^i> • ■ ■> ö„_i,
welche zu den beiden Klassen f und g gehören, unmittelbar ablesen. Polg-
lich müssen die Formen f und g für alle in N aufgehenden Primzahlen g
dieselben Gfrößen q"''' und, falls q = 2 ist, auch dieselben Größen ö^
darbieten.
2, Es seien A(/') und A((f) die Determinanten der Formen f und g.
Für A(^) =- I &ji| besteht die Beziehung
^0)-2^«'^+'2'"
Hierin ist die größte Potenz einer Primzahl q, welche in allen -^"^ i
2-.j - aufgeht, für ein q=^p gleich ^"-ä'''* und für ein 3 = 2 gleich
6„_i ■ 2^n-3l^). Verändern wir also die Koeffizienten der Form g um Viel-
fache der Größe g*, so wird die Determinante Ton g sich um VieUaehe
der Große jj'+^n-aW oder der Größe ö'^_, ■ 2'+^''-!(^' ändern, je nachdem
q =1) oder ^ = 2 ist. Erinnern wir uns, daß es zu f äquivalente Formen f^
gibt, für welche f^^ g (mod N) ist, so schließen wir daraus im Falle
q — p die Kongruenz
A(/') = AO) (mody+».-.W)
und im Falle q — 2 die Kongruenz
A(f) = A(g) (mod e„_i ■ 2'+»'.-al^*),
3. Man kann gewisse als Funktionen der Koeffizienten der Formen f
und g ausdrückbare Einheiten angeben, welche für f und für g dieselben
Werte annehmen.
Wir bezeichnen durch Gißf^_^A^(f') die symmetrischen Ä-reihigen
Unterdeterminanten, welche sich aus dem quadratischen System der
Form f bilden lassen, und durch 6j(^a_i(/'J alle aus h Reihen einer be-
liebigen Form der Klasse f bestehenden ünterdeterminanten. Die Reste
der Zahlen öji^s-iCi) ^^'^ einen Modul N sind offenbar durch die Beste
der Formenklasse f für den Modul JV schon völlig bestimmt. Wenn also
zwei Formenklassen f und g für den Modul N gleiche Beste lassen, so
nehmen auch die Zahlen (iißj,_.i{fi^ und «ißi^^iißi) für den Modul N
y Google
Giundlagen für eine Theorie der quadratisclieD Formen. 41
kongruente Werte an. Daher sind die Eigenschaften der Kongruenzen
für die Gruppe, welcher die Form f fär den Modul JV angehÖi-t, charak-
teristisch.
Wir apreehen den Satz aus:
Wenn die Kongruenz (/;) = % (mod i^^) [i^?«^K-l] für ein be-
stimmtes »n^ Lösungen besitat, so sind auch alle weiteren Kongruenzen
(f^ ^ fn^Z^ (mod N^ lösbar, in welchen Z eine beliebige zu ff,, relativ
prime Größe bedeutet.
Denn besitzt die Kongruenz (f^ s % {med N^) Lösungen, so muß
es in der Klasse f eine Form d> geben, welche eine Ä-reibige symmetrische
Determinante ^h^h-x^i,^)^ '^:ßi-^i''^h C™'*'^ ''s'^i-i^o) aufweist. Da die
Zahl Ä ^ 1 und ^ m — 1 ist, können wir annehmen, daß in dieser Deter-
minante Glieder ans einer gewissen, etwa der i'"" Heihe des Systems (f,
dagegen keine Glieder einer gewissen andern, etwa der Ä*™ Reihe dieses
Systems erscheinen. Weil die Zahl Z zu JV,, relativ prim sein soU, können
wir eine Zahl Z^, bestimmen, welche der Kongruenz
ZZ^ = i (mod iV/)
oder einer Gleichung
ZZ^-^N^s^Na^l
genügt. Durch die Substitution
Xi — Zxi + eN'o'^i,', ^h = ■^o-^o< + ^o^k
\x^ = ZXf, Xj.^ -yX^ (mod JV,))!
von der Determinante 1 geht dann die Form ;'-"'t' ,
Ist jetzt zunäclist o^^O (mod^), so sind die Zahlen ^' und
entweder beide =0 (mod^), oder es wird wenigstens eine
relativ prim zu p. Im ersteren FaRe wird infolge der Kongruenz
tj^^(p^' -=^x,x^^i^^' J (modi»),
iür welchen
ist. Die Form besitzt nach unseren Sätzen einen Hauptreprasentanten
/a,V\
00= ( } = ax^ + a^x^^ (modß),
\0, «o/
in welchem a und a^ zu p relativ prim sind. Die Determinante dieses
Repräsentanten tl>(, wird mit der Determinante von nach dem Modul p
übereinstimmen müssen; wir erhalten daher
y Google
Grundlagen für eine Theorie dei quadrati sehen Formen, 51
imd es ist für die Form *(,
Da nun wegen S >(, (mod p) die Größen (l;^) und ^f,(l;p)
identisoli sein müssen, so bekommen wir die Gleichung
und wir können mitliin
(l;y) - S"'' p%
setzen, wo die Größe d^ eine nur Ton p abhängige Einheit bezeichnet.
Bekanntlich ist diese Einheit stets gleich + 1.
Vermittels der Größe (l;^)) kann man leicht die allgemeine Summe
(t; j>') ausdrücken, und wenn man t =^'''^0 (^o relativ prim zu p) setzt,
erhält man die Gleichungen
{14(,) für t-'J'£0: (r,p')=p',
(14,) füri-r>0: (^;y)=(J)"'i'^#''^~''"'^V-^.
(g = 2). Für die Summe (t;2') gelten, wenn man t=2''Tq[To^1 (modS)]
aetztj die Formeln
(16,) für i-T ( - 1 - Jf :
(*i2*)-ZT[l + i(
-«'"''] -((^
y Google
Grundlagen für eine Theorie der quadratisclren Formen. 55
Die Größen ^(A; 2') eiaea Restea
=2'(2"'""2'"<"'^'"'y") =2f. (?""' 2")
[i,>0, ;,+ (,+ ...+;__!]
sind gleich ^^
(6;2')-/Ycf,(4i2')-
Ans den Beziehungen (17) schließen wir für die einzelnen Reste (fi^
die Gleichungen
(18.) für S >( — s -
(18J mh-t-s-M:
(18,) für I < < - s - Jf :
ipXh; 2') - 2'.',
y.(*;2')-0,
p,(»i2o-]Tt+'(-ir^' ]■©"
Wenn A^( — Jlf ist, 80 haben für die sämtlichea Größen (p^{h\'2^')
die Ueiationeji (18^) statt. In diesem Falle findet sich daher
{19„) für Ä ^ i - Jlf; h>J~m~M: ti>(h; 2') = 0.
Fällt die Zahl h kleiner als l — m — M aus, so gelten für die sämt-
lichen Größen ^i,(Ä; 2') die Gleichungen (IS^); es ergihfc sich, wenn wir
YI{(p,) ^ () (niod2'-^-™ + i) setzen,
(1%) mit-m — M>h:
{h;2')=JJJjll+ii~l)
((■P™-,))U™-3))*"(('y^,^_^p„-|\) ■
Vi i+^+'-.'+A _2'A'--
©"'
y Google
56 Zur Theorie dec quadraÜBchen Formen..
Das in dieser letzten Formel auftretende Produkt
flU + K-i)^' \
besitzt die Gestalt
' r i?;'l
n_|7Li + i(-i) > J.
Wir wollen jetzt nachsehen, von welchen Argumenten ein derartiges Pro-
dukt eigentlich abhängt. — Nehmen wir an, von den Größen ( — 1) "
seien im ganzen ?(, gleich — 1 und l — If, gleich + 1, so erhält TT den Wert
n^(i + 0'-'"(i-0'"
.oder wegen der Beziehung (1 — i) =^ ~ i(l -f- j) den Wert
Nun ist
i.=/B].-'ffl=(-i)[*]/-'ra,
nnd die Größe i L^-i wird offenbar gleich 1 oder gleich /, je nachdem
l^ gerade oder ungerade ist. Wir können daher schreiben
/-''B]_i+fci>':H- '-(-«'!; = iv
and wir bekommen die Gleichung
n = (- i)[-a [i+tlt - i-~-±=iti] (1 + i)..
Dieselbe zeigt uns, daß einerseits das Produkt TT durch die Zahl I
und die beiden Einheiten (— l)"" and (— 1)I-^J vollständig bestimmt ist,
während anderereeits aus dem Werte von TT die Werte der Größen ?,
(—1)'°, (— l)LäJ erschlossen werden können.
Die Einheiten (— 1)'", (— 1)1-^-1 lassen sich in der folgenden Weise
durch die Einheiten (— 1) ^ ausdrucken:
(-i> = {-iy- , (-ip}^(-if<'
Denn da erstens '-„— gerade oder ungerade wird, je nachdem (~1) °
gleich + 1 oder gleich — 1 ist, so erscheinen in der Summe ^^ — - — ,
y Google
Grundlagen für eine Theorie der quadratiecten Formen. 57
tfj — 1
■welche sich üher alle Zahlen — - erstreckt, im ganzen l — l^ gerade
und ^u ungerade Glieder; die Summe ist daher ^; l^, (mod 2). — Zweitens
dj, — 1 Sf — i
wird die Größe - - - ■ - — ungerade oder gerade, je nachdem die
Zahlen (— 1) ^ und (— 1) ^ alle heide gleich — 1 sind oder das
•^^S., — 1 V— 1
Gegenteil stattfindet. Bilden wir daher die Summe ^.-—a — , —
über aEe möglichen Kombinationen zweier verschiedener Indizes k' und
k", so treten in dieser Summe genau soviel ungerade Glieder auf, als Ver-
. von je zwei Größen (—1) ^ = — 1 und (— 1) " = — 1
existieren. Unter den l^ Zahlen (—1) * , welche gleich — 1 sind, gibt
, ?!>i^o^) j^[^] (mod 2)) derartige Verbin-
dungen, und es wird demnach
- 1 ^,
2^^-- V-=Ö](">»''2).
f< k"
Anstatt der Formel (19g) erhalten wir jetzt für t -
r !*
1 - (- if ' "
(01-1 K
J(-l) ■ ■ '
8
2 ).../'
/ 2 w-j/-„,-i-
■er"
Wir sehen, daß alle nicht -verschwindenden Größen 0(7*; 2') sich in
zwei Faktoren zerlegen lassen, von denen der erste eine Potenz von
i =]/ — 1 ist, während der zweite dem absoluten Werte nach mit ^{h\ 2')
übereinstimmt und allein von den Größen /(, 2*; m, l^, M abhängt. Setzen
wir diesen zweiten Faktor gleich 0(7t;2'), so gewinnen wir die Formeln
(20„} für Ä ^ i! - üf : (D(A; 2') = *(/»; 2'),
(200 für f-lf>Ä^i-OT-lf: Qi;2') = Q,
[■20j) für t — m~M>h:
yGoosle
Zur Theorie der quadratiachea Formen,
(01-1
-1-1) ' ,
r (01-1
. f_rri^-'^(l\-'-'-'-'-i'\ (^J\ . . . / ^ L\
'*' V(».,-i)'V?.,_,,v I f^.^i_,r!!LlW
i ■ 2 -'^■^'
. (_ 1) (n.-i+(*",»'i
Von Bedeutung für die Folge ist die Bemeririmg, daß sowohl im
(01-1
FaUe i - 1 als im Falle ! - 2, (- 1) ' _ - 1 die Einheit
(- Iji-^'^-^
gleich + 1 gesetzt weiden muß.
Für die Größen t|)(Ä;2') eines Restes
CD = 2^(«gä + %%l + ßf) (raod 2')
gelten, wenn wir 4«« — 91^^ («t) (mod 2^+'~^) setzen, die Formeln
iv.vl>t~M: ) nur von den Ein-
heiten (— ^) abhängen können. Wir wollen diese Einheiten umgekehrt
durch die Größen rpQi;p^ und cp,.(h-,p') ausdrücken.
Wenn wir der Zahl h die Werte 1,2,.. ., p' erteilen, so durchläuft
der Exponent h das Intervall (, t— 1, . . ., 0. Beachten wir, daß hf, = t
und Äj = ist, so leuchtet ein, daß dieses Intervall mit dem Intervalle
Kl \> \i ■ ■ •! ^A-lJ K
flb ereinstimmt. Falls wir von der Große h = t absehen, für welche offenbar
fc = jP* . jfjj^ ^ (modji') und q>Qi; p') -- p"' ist, wird daher eine jede der
Zahlen h(j=- t — 1, ...,0) einer und nur einer Ungleichung
(25) hi^,>h>^h,
genügen. Wir woUen die Zahlen h, welche der Ungleichung (25) ge-
nügen, durch hf-*^ und die diesen Zahlen W* zugehörigen Zahlen h durch
äW bezeichnen; die Zahlen h, deren h gleich Äj ist, mögen hg heißen.
Infolge (23) erfüllt jede Zahl Ä^'^ die Ungleichungen
(26o) P^Ä, >fci+i>--->Äj_i>Äi,
(26i) B^ ,(*l2')
bestimmen.
Nach dem Satze K. müssen die Zahlen
p W ^2-"^'' P^W , (yfc = 1, 2, . . ., m^ni-i - 1)
mit den Zahlen
übereinstimmen. Da nun diese letzteren Zahlen unserer Annahme gemäß
sämtlich kleiner als 4 sein sollen, so folgt, daß auch die Zahlen
Pj.<^j2-'^* P^(^^ sämtlich gleich 1 oder gleich 2 sein werden. Wir über-
zeugen uns nun leicht mit HOfe der in Kap, IV, Absatz II aufgestellten
Sätze, daß dieses dann und nur dann eintrifft, wenn die ßeste 0^ von
der Gestalt
(28,) , = 2""'-_2(2"-2"'-" ^'■'* ^''^) ^^°^ ^')
oder von der Gestalt
(28,) 0,3^ 2''''-^ + '(«s^+ 9111 + «=^) (med 2')
sind.
Wir wollen jeder Form "S^, je nachdem sie yon der Gestalt (28j)
oder von der Gestalt (28^) ist, eine Zahl t^ gleich 1 oder gleich 2 zu-
teilen. Wir haben die Beziehungen
r, = p« = p»„,,_,_^_,
oder
Wir führen ji -^ 1 Zahlen M^ vermittels der Gleichungen
2^^ = T^^ai, 2^'- = T,-2'''h, 2^' = T3-2''"', . . .,
2^^.-1 = 1:^-2%-», 2^^. = 2',
und ^ Zahlen M; vermittels der Gleichungen
yGoosle
Giundlagen für eine Tteorie der quadratiacken Formen. 65
ein. Die Potenzen 2 '~^ werden, wenn t^ = 1 ist, gleich 2''''i-i, und wenn
Tj = 2 ist, gleicli 2''>i-i'^^; die Potenzen 2""'-! sind, wenn T( = 1 ist,
gleich 2 ■'""'li-i = 2 +'"*'^ '-i^ dagegen wenn t,- = 2 ist, gleich
2^+''>i^-i _ 2^'-i.
Folglich hat man stets ^i_i^JKi_i- Ferner erhält man wegen
ö,ji-i 2"'" ff^.+i ^ 4: und 2' > -^ ■ 2"«-! für t < ft:
und
so daß man die Ungleichungen findet
(29) M^^M^<,M^^M^^- ■ ■ ^ M^^^ ^ M^_i -—-2""-^'^^ hängen von den Zahlen ff,
2"'W und den 2 (/t + 1) + (v + 1) Einheiten
Hj = (- 1) " ' (Ä = 0, 1, 2, . . ., (i) [Ho = 1],
^"^f-^!--] {k^0,l,2,...,v) [A=l],
(t-O, 1, 2, ..., rt [E.-1]
y Google
Grundlagen für eine Theorie der ciuadratisclien. Pormen. 69
ab, und umgekehrt können diese sämtlichen Einheiten durch die Zahlen
ö, 2"'^ und durch Größen (p{k;2') ausgedruckt werdeö.
Die Einheiten E^, H^, Zj sind also ebenso wie die Einheiten Ij,
(— 1) ^ Charaktere der Form f.
Die Anzahl der Reste Oj, denen ein t^ = 2 entspricht, ist gleich der
Anzahl aller derjenigen InTarianten a der Form f, welche gleich 2 werden.
(0t) - 1
Die Charaktere (~ 1) ^ , welche einer Form j die Gestalt
0, = 2««^a (mod20
oder die Geatalt
""1.-1 (0t) - '
-* ' ' ■ '
ist, während der andere allein von der Ordnung der Form f und dem
Charakter
C.(4) -(-!)"'■"
abhängt. Bei einer Aufzählung sämtlicher Charaktere für den Modul 2'
können wir daher die Charaktere Ej durch die Charaktere ©4(4) ersetzen.
Kap.X. [[Bedingungen fiir dieOülügkeit der Kongruenz/^ g(mod g*).]]
Wir haben gesehen, daß die Kongruenz zweier Klassen f und g nach
einem Modul q', der die höchsten in den Größen ■o^o^...o^_f der
beiden Formen f und g aufgehenden Potenzen Yon g übersteigt, von den
folgenden Bedingungen abhängt:
I. Die Klassen f und g besitzen, wenn 2=^J, dieselben Größen p'"''
und, wenn Q — 2, dieselben Größen 2"*, e^.
II. Die Determinanten der Klassen f und g sind, wenn q=p ist,
nach dem Modul jj'+^w-alP), und wenn 5 = 2 ist, nach dem Modul
e^^j- 2'+^''-«(^' einander kongruent.
ni. Die Hauptreste der Klassen f und g besitzen, wenn q — p, die-
selben Charaktere 6(j)) und, wenn q = 2, dieselben Charaktere E(4),
H(4), Z(8); oder (was auf dasselbe hinauskommt):
Die Größen f{h',q') und g(h;q^) sind identisch.
Diese Bedingungen sind aber auch hinreichend dafür, daß die Klassen
f und g nach dem Modul q' kongruent sind; denn es gilt der Satz:
M, Genügen zwei Klassen f und g den Bedingungen l, II, III, so
kann mau jede Form der einen in äquivalente Formen transformieren,
welche nach dem Modul g' einem beliebigen Repräsentanten g der andern
kongruent sind.
Mau kann sich zweier verschiedener Methoden bedienen, um diesen
Satz zu beweisen, indem man ihn entweder durch einen Schluß von
y Google
Grundlagen für eine Theorie der quadratiBchen Formen. ^ 1
«g( | (i,k-l,2,.. ., h) eine Ordnung
/6j^, Sg, . . ., 0j_3, e^_;^ \
\0^, 0^, . . ., Oj_ä, G^(Pi,- Oi^_J
besitzen, während die Zahlen tp,^ zu den Zahlen T^-ft^i relativ prim sind.
Dieser Repräsentant (p gibt uns also eine Grundfonn für den Modul TT
mit Zahlen tp^, welche zu den Zahlen '..[4.-H.,-.,.)] n r /..[/., H..- «]n V^.'iT^
L(^)(-') ■ JL(fi.:)(-i) ' J-(-i)' '■
Die Bedingungen 1. ergeben sich aus den Beziehungen qs,, = 1,
^^ = (— 1)^; die Bedingung 2. stimmt mit der G-leichuog (38) ubereiu;
y Google
76 Zur Theorie der quadratiflchen Pormen,
die Bedingung 3. entspringt aus der Kongruenz (35), welche für ein
0,,^2 die Relation
~" ^;i9'*-i9'/.+i = 1 (niod4)
liefert; die Bedingung 4. schließen wir aus der Gleichung
welche eine unmittelbare Folge von (36) ist; die Bedingung 5. ist eine
Identität. — Drücken wir die Charaktere D^ durch die Charaktere ©^(4)
aus, so werden sämtliche Bedingungen 2., 4., 5. zu Identitäten, und es
bleibßli allein die Bedingungen 3, und die Bedingung (37) zu erfüllen.
II. Zu jeder Kombination von Charakteren i., ii., iir., welche allen
Bedingungen 1., 2., B., 4, 5. genügt, gehört ein Genus der Ordnui^ 0,
welches wirklich primitive Formen enthält.
Beweis: Es möge irgendeine Kombination der Charaktere i., Ii., lu.
oder der Charaktere 0{p), C(4), C(8), ®(4) gegeben sein, welche keiner
der aufgestellten Bedingungen widerspricht. Alsdann können wir leicht
w ~ 1 Zahlen ^^ finden, welche zu den Zahlen 20j relativ prim sind und
für welche die Einheiten G^(^), C^i^), C^(f), ©^(gs) gleich den gegebenen
Großen C(pl C(4), C(8), ©(4) ausfaJlen. Da die Einheiten C^{^), C^(^),
Cg(^), ^i{'p) nur von den Resten der Zahlen ^^ in bezug auf die Moduln
8o^ abhängen, so erhellt, daß für irgendein System von Zahlen tp/^, welches
den Kongruenzen
y^ = 9j (mod 8o,.) {h = l,2,.. ., n — 2, n — 1)
genügt, gewiß auch die Einheiten C^((p), 0^((p), Cg(if), ©4(9)) gleich den
gegebenen Einheiten C(p), C{4), 6'(8), @(4) sein werden.
Wir wählen nun n Einheiten d^, tf^, . . ., d„, von welchen I gleich
~ 1 und n ~ I gleich + 1 sein mögen, und setzen ö^ d^ , . . d^ = £,,. Aus
dem bekannten Satz, daß eine jede arithmetische Progression zS + s (s re-
lativ prim zu S, s = — 00 ..., — 2, — 1, 0, 1, 2, ... -f-oo) sowohl unendlich
viele positive als unendlich viele negative Primzahlen enthält, erkennen wir
(mit Hinzuziehung eines einfachen Schlusses von h — 1 auf 7t), daß wir
die Zahlen (pi^^ip,^ (mod 80j) (Ji = 1, 2, ,.., w — 2, « — 1) derart bestimmen
können, daß die Größen E^tp,^ positive Primzahlen werden, daß die Zahlen
(p^ zu 3en Zahlen 2ojOg...ö„_50„_^ ■ ^j_j relativ prim ausfallen und daß
n — 1 Kongr-uenzen der Form
[95,)= 1] — 0,,^i''^!,^h+i.9h-i9h^i — ^h ("lod e/g?J [9^^ (— 1)']
y Google
Grundlagen für
e Theorie der q^uadratiseiien Formen,
77
statthaben.*) Nachdem wir n — 1 derartige Zahlen 9^ gefunden hahen,
suchen wir n — 1 Zahlen y,, y^, . . . , y„_j auf, welche den Kongruenzen
1 ''Ä+in+'
jen, und 1
-■ = yh (nto x^, 80 kann sie dieser Form ^i'"' nicht äquivalent sein, und
wir sehen somit, daß die Formen von 8 Variablen und der Determinante
1 mindestens zwei Formenklassen liefern. Entsprechend liefern die For-
men von »i(= 8 -^ + )i(|, W|, < 8] Variablen und der Determinante 1
mindestens r^ + 1 Formenklassen. Denn es sind die -„- 1 + 1 Formen
Tw - ?>'■'(»„ ■ ^ ., r-.) + ?>'"(«., ■ ■ ■, »..) + ■ ■ ■ + ?>"(».._., . ■ ■,». J + 2*»'
(». = 0,1,.,...,[|])
sämtlich von der Determinante 1, und es können nicht zwei von diesen
Formen einander äquivalent sein, da die Anzahl der Daratellungen der
Zahl 1 durch eine dieser Formen qo,,^, gleich 2(n — 8m) ist und mithin
für keine zwei dieser Formen denselben Wert erhält.
III. Die Anzahl der sämtlichen Kombinationen der Charaktere i.,
II., III,, welche mit den aufgestellten Bedingungen verträglich sind, möge
durch g bezeichnet werden. Wir wollen die Anzahl der Größen U^^iöje^^^
{h=l,2, . ..,n~2,n — 1), welche durch eine ungerade Primzahl p oder
durch die Zahl 4 oder durch die Zahl 8 teilbar sind, von neuem gleich
J. — 1, gleich fi — l, gleich v — \ setzen; die Anzahl der Fälle, in
welchen zwei aufeinanderfolgende Zahlen ff^.iOjjffj^^ (A = 0, 1, 2, . . ., n — \,n)
gleichzeitig durch 4 teilbar sind, sei gleich ii,, und die Anzahl der Fälle,
in welchen ffj = 1, e4_30j_i6;i = = 6^o^^^ff^^3 (raod 4), o^=l (mod 2)
(& = 1, 2,...,« — 1) ist, sei gleich ^„; femer möge /J- — f-o ^^^ Anzahl
aller Invarianten 0^(h= 1, 2, . ..,« — !) bedeuten, welche gleich 2 sind.
Die Zahl g, welche zugleich die Anzahl der sämtlichen wirklich vor-
handenen Genera von der Ordnung
0: (•"'»■■■.'.-»».-.), z
ergibt, erhält den Aue druck
in welchem die Größen g^,, {ji^ — ^„), n3(}i^— jx,— ^„) die nachstehende
Bedeutung haben:
Es ist
y('p-')+K".-i)+{'--')
y Google
Grundlagen für eine Theorie der quadratisoten Formen. 79
worin die Summe ^(A ~ 1) über alle Größen }y zw erstrecken ist,
eiche einer
in dem
Prodnil rio
aufgellenden
ungeraden
Primzahl p
nteprechen.
Es ist
Ic«-c
„1-0,
obald (tg — f(
, > isl
, nud
(,,
c,.)-(
-If
n-,.^
-1 \
h t»-
= (mod 2)]
\H
-. 1
.UM)
obald fio ~ /*
-0, d
t. (.,
-0, «
= 2ft ist.
Es wird
o (ft(| — ii,— {i„) = 0,
wenn (io — tt; ^ !>'„'> ist odec wenn irgendeine der Zahlen ö^.iö^öi+i
(Ä — 1, 2, . . ., w — 1) kein Quadrat ist, dagegen wird
f=l (."■0 - (*/ - ^u) = ^(m - 21) ■ ■— p},^_t-,
I w-2/=| II 3 I 5 I7j0|2| 4 1 6 [(mod 8) 1
(d(w-2/) = ! i,-l|-l;l|l|o|-l|o| r
wenn ji^ — (i, — ft„ = ist und die sämtlichen Zahlen e;,_iö^6^^i Qua-
drate sind.
Offenbar besitzt nach dem Satze IL eine Ordnung stets primitive
Formen, wenn nicht g ^ ist. Man erkennt leicht, daß nur in den fol-
genden Fällen g = werden kann:
(cn = 0) wenn
ist;
weder
oder
oder
^0,^ = 0; ii.-O, ^„ = 0, (-1)^ 'J7"5^ — -1 (™<"* ■*)
J = — 1) wenn alle Zahlen öä-i^ü^a+i Quadratzahlen sind und ent-
;ig = 0; ft, = 0, (t,, = 0,
^0= 1; f*> = 1? f*;, = 0,
,^0 = 2; ^,^2, ,a„ = 0.
ra-2J=4 (mod 8)
„-27=3,5 (modS;
»1-2/ = 4 (mod 8)
n-2J~A (mod 8)
yGoosle
80 Zur Theorie der quadratisclien Pormen,
Kap. XII. A^uugierte Formen. — Reziprozität zwischeu den
/6i, ffg, ■■ ■, e„_a, 6„_i\
Ordnungen ( ], I
Vöi, ög, ■ ■ ■, o^_a, ö„_l/
und " ^' " ^' M 7.
Es sei (=^0,^x^X1. eine primitive quadratische Form von der De-
i,i = i
terminante A(/}. Der größte gemeinsame Teiler aller (« — l)-reiliigen
Unter determinajiten -0--— ist gleich ä^_^. Setzen wir alao
WO s = (— 1)^W ist, BO wird die Form
f^'^alj^xfx,
ebenso wie die Form f primitiv sein. Diese Form f soE der Form f
adjungiert heiBeD, und wir schreiben fxf.
N. Wenn die Form f einer Form 3 =^^^imJ/|!/,„ äquivalent ist, so
ist die zu f adjungierte Form f der zu g adjungierteu Form g'=^, ^i^Vi'p'^
äquivalent. i,m=i
Denn nehmen wir an, die Form f gehe in g durch eine Substitution
über, so wird
''2^Q',^"':-'^s"'T- ■■'■■-" s
Die Unterdeterminanten 8 ,. . . , stimmen dem absoluten
(h»%> ■■■, \-i)
Werte nach mit den Zahlen — LL = s'«-f + i überein, und wir erkennen
leicht, daß die vorstehende Gleichung sich schreiben läßt
y Google
Grundlagen für eine TUeorie der quadratischen Formen, gl
Demaach wird die Form f in g' durch die Substitution
transformiert. Man findet noch jS'| = !S|""\ Wenn also jiSj = 1 and
f-^g ist, so wird |5"| = 1 und f ^^ g ■
Die Substitution S' möge der Substitution S adjungiert heißen (S X S").
Wenn f vermittelst einer linearen Substitution in eine Summe von
n Quadraten
^^xj+^z,.
transformiert wird, so läßt sich die Form f in der Gestalb
Kf) n-nj)
sehreiben. Es gilt also die Beziehung
m - lit') - 1
Wir bezeichnen die n — 1 Inyarianten ö, o, d der Form /" durch
<, ö;.< (Ä= 1.2, --■,« — 2, n-1).
Man beweist leicht den folgenden Satz:
Wenn f der Form f adjungiert ist, wird auch f der Form f" ad-
jtmgieri sein.
Denn ist f" =^^,a^'i'>^i'x^' die zu f adjungierte Form, so gelten
nach einem bekannten Determinantensatz die Gleichungen
(ß^-^y^'-^K-Xk = (£<_8)""'-- g„' ^^^^'' (e<-i)""'- «ii,
in denen £ = (— 1)' ist. Demnach ist der Quotient — immer positiv und
für alle Werte von i und /.: derselbe. Da aber die Gi-ößen tt/j ebenso wie
die Oji ganze Zahlen ohne einen geraeinsamen Teiler > 1 sind, so muß
— = 1, d. i. /"'-/■ werden.
Man kann die Ordnung der Fonn /" aus der Ordnung der Form. /"
herleiten. Wenn wir die symmetrischen Ä-reihigen Unter determinanten
der Form f und der Form f durch F^ und durch F^ bezeichnen, die
unsymmetrischen aber durch P^ und durch P^', so bestehen nach einem
bekannten Satz zwischen den F^, P^, F^, P/ die Relationen
a. muß erstens der größte positive Teiler aller Zahlen (sd^_^''F^,
inkowslcl, Oes&minelte AbhfuidliinBeii, I. 6
y Google
82 ZuK Theorie der quadratisoteE Formen.
(E(?^_jy'JY ^^^ "i^^ größten positiven Teiler der Zahlen (£rö^_^y'~^F^_,^,
{£d^_{}''~^P„__^ übereinstimmen; zweitens wird der größte positive Teiler
der Zahlen (8d^_^)''F/^', {td^_^''2P^ dem größten positiven Teiler der
Zahlen («d„_i)*""-^JP„_j, (erf„_,)^~^2P„_,j gleich sein müssen. Wir be-
kommen demnaeh die Gleichungen
Die Division der zweiten Gleichnng durch die erste gibt znnächst
(39) V-e«-.,, öa'=-6„-a, ■■•, <-s -= 6,,
Dann führt die Kombination der drei Gleichunger
('l».)
•')''■
(•'> *.-> >••/•'.'% (i-1,2, ..,«)
y Google
88 2ui' Theorie der quadratischen Formen.
anwenden. Hiemacli ist die Form ip durch f vermittels der Substitution
darstellbar, in welcher
(42) h'-^'-!-''
ist.
Nach einem bekannten Satz gelten die Beziehniig«
(*^1, 2, ..., «).
:;:)
\Jc,h = l, 2, ..
d.i.
ih'h' ■-■' O (h>h, ■■; i)
Diese Beziehungen zeigen uns, daß der größte Teiler der sämtlichen ans-
V Reihen der Substitution (s) gebildeten Unterdeterminanten gleich dem
größten Teiler der sämtlichen aus v Reiben der Substitution (r) gebildeten
Unterdeterminanteu ist. Folglieb ist die Darstellung (s) eine eigentliche,
sobald (r) eine eigentliche Darstellung ist.
Wir wollen die Darstellung (s) = (r) ■ (r) der Form ^!t der Darstellung (r)
der Form tp äquivalent nennen und schreiben (r ) --v- (s^.
Unter den v-reihigen Determinanten der Substitution (r) gibt es
mindestens eine von Null verschiedene; es sei etwa
+ 0-
(1, 2, ...,«)
Wählen wir unter den Gleichungen (42)
Werten i = %, % ■ ■ ■, % und h — k entsprechen und ]
Koeffizienten t^* auf, so erbalten wir
(4S)
_V-
(•',
o.
(i
welciie den
sie nach den
■ -. i,)^
Also können die Koeffizienten r/ vermittels der Größen r/" und s/ aus-
gedrückt werden. Daraus sehließen wir, daß zwei verschiedene Trans-
formationen (r) von (p in ij! niemals dieselbe einer gegebenen Darstellung
(r ) äquivalente Darstellung (s^) liefern können.
II. Wenn zwei Formen tp und i^ durch f vermittels zweier Substi-
tutionen (r) und (s) dargestellt sind, welche die Bedingungen
(1,2,.,., «)_^ (1,2,..., ,)
' (i„ i„ . . ., i,) " {i„ i„ . . ., i).
ei-fnUen, so ist stets ^ r-^ ip und (r ) '~^ (s^).
(44)
('-
. . ., n')
y Google
Grundlagen fflr eine Theorie der quadratischen Tomien, 89
In der Tat: sind die Zahlen r^(h > v) so gewählt, daß die Suljstitution
die Determinante 1 besitzt, und setzen wir s^ = r^ Qi > v) , so zeigen die
Gleichungen (44) unmittelbar, daß die Subatitution
gleicb&lls von der Determinante 1 ist. Die beiden Formen B-f-Ii
und B -f-S '=V können wir schreiben
etzen wir s^ = r^ Qi > v) , so zeigen die
1 die Substitution
■^",'1, (i - 1, 2, ■ . •. »)
i = l
1 ist. Die beiden Form
eiben
dann wird
Offenbar gilt
Man erkennt also, daß eich vei-mittels der Substitution
E-'S: L-J*.,',., (i_ 1,2, ...,«)
in der
'■'-^i^'"'* (i,t-l,2,...,n}
ist, die Form in V verwandelt.
Wie man leicht einsieht, lassen sich die Zahlen -^'—7' (*>»') mit Hilfe
(1, 2, . ...v)
der Größen *" / ■ - ■ -, und mittels Zahlen r/ {k > v) ausdrücken.
Folglieh gilt
also
^ 1 (i = 70
"^'-Oü + k) ^'>''^'
und die Substitution It~^8 nimmt die Funn an
y Google
90 Zur Theorie der quadratiaclien i'onneu.
Wir finden sonach
und die Form rp geht Termittels der Substitution
in j/f über. Die Determinante dieser Substitution ist gleich der Deter-
minante der Substitution It~'-S, d. i. gleich der Einheit, Mithin ist die
Form '^1f^\ (p '^ ^" und (r^) -^ (s^-), {»■^) -^ (si'")i s« ist (s^.) ^ (s'^l")-
Wir fassen die sämtlichen Darstellungen einer Form die Form ^ «^^ §j §j, von v Variablen be-
zeichnen. Es sei f die adjungierte Form von f,
B': <=2'<*a; {i^l,2,...,n)
die adjungierte Substitution von R und *l*''=^{«/i} (*, fc = 1, 2, ..., w)
die adjungierte Form von 0. In Kap. XII haben wir gesehen, daß die
Form f mit Hilfe der Substitution K in 0' Übergeht. Wir setzen die
Form ^ (v/j 4/ i,i'. Yon n ~ v = v Variablen gleich tp'. Ist die Deter-
der Form cf gleich G^d^^x- {ff) ^md die Determinante von qo'
gleich S,' (i^._, ■ (>')' ^^ gil'' '^iß Beziehung
(,.)-(t').(~1)™.
Wir wollen sagen, die Darstellung
(/): ^-^n'S; (i-l, 2, ...,«)
der Form {p' durch die Form /" aei der Darstellung
(r): a>,-^rn, (i - 1, 2, . . ., «)
der Form y durch die Form f adjungiert, und wollen uns des Zeichens
(r^)x(r^-) bedienen. — Ans der Reziprozität zwischen den Formen f und
f erhellt, daß, wenn die Darstellung (r^/) der Darstellung {r^) adjungiert
ist, umgekehrt die Darstellung (r^) der Darstellung (r^-) adjungiert ist.
Da die Systeme R und M' adjungiert sind, bestehen für die Dar-
stellungen (r) und (r') die sämtlichen Gleichungen
,.., (1, 2, ..., v) ,(1, 2, ..., v')
yGoosle
92 Zur Theorie der quadratischen Formen.
in denen die Indizes i und i' so gewählt sein sollen, daß die n Zahlen
?\; M + 1 — */, »hgesehea von der Eeihenfolge den n Zahlen 1, 2, . . ., n
gleich sind und die Permutation
(h^h,---f%, n+l-i;„...,n+l-i,',n+l-i,'}
aus (1, 2, . . ., n) vermittels einer geraden Anzahl von Transpoeitionen
hervorgeht.
II. Umgekehrt sind die heiden Darstellungen (r^) und (r^-) stets
adjungiert, sobald sie die sämtlichen Bedingungen (45) erfüllen.
In der Tat: seien die Zahlen p/* (/c > v') so gewählt, daß die Sub-
stitution
die Determinante 1 besitzt, und sei
(f): ',-^l>,'i,+^Bfi, (.'-1,2, ..,,..)
die adjungierie Substitution von (p'). Es wird dann
(1, 2, ..., -)_(!, 2, ..., .■)
"(.h, i„ ■■-, O" ft-, •.-, ..., V)'
woraus eich wegen der Gleichungen (45)
(1, 2, .., -)_ (1, 2, ..., v)
(h,h, ■■;*.) ^i„%, ■■.,
ergibt. Wir erkennen nunmehr, daß die Substitution
B: x,-'^r,n, + '^ltri, (i-1, 2, ...,«)
die Determinante 1 besitzt und daß die adjungierte Substitution von R
die Form erhält:
ü': x; ^'^r;n;, +'^:Ri'il (i = i, 2, , . ., n).
Also ist die Darstellung (r") in der Tat der Darstellung (r) adjungiert.
ni. Wir können jetzt den folgenden Satz beweisen:
Ist (J'^) "^ (Si;,) (y^i/j) und (j*^) >= (v)i i^'p)^^ {^'i'')) ^*' '^* stets
(v)-(s;/)(9'-.V'') und WxCs^), (s^)x(v>
In der Tat ergibt die Voraus s
(1, 2, ..., v) (1, 2, ..., v) ,(1, 2, ..., v') ,(1, 2, ..., v')
(*i- »8j ■■■, O (h. h, ■■; (V; V.---- V) (%. V?--'; V)'
woraus unmittelbar die Richtigkeit der aufgestellten Behauptung folgt.
y Google
Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen, 93
Dieser Satz zeigt, daß zwei äquivalenten Darstellungen stets die
rten Darstellungen zukommen.
Wir nennen zwei Gruppen von Darstellungeii (r), (/) i
bald irgendeine Darstellung der einen Gruppe irgendeiner Darstellung der
andern adjungiert ist. Aus dem vorstehenden Satz sehließen wir, daß,
wenn zwei Gruppen von Darstellungen adjungiert sind, jede Darstellung
der einen Gruppe jeder Darsteihing der andern adjungiert ist.
Den sämtlichen äquivalenten Darstellungsgruppen, welche zu Formen
einer bestimmten Klasse y von v Variablen gehören, sind äquivalente
Darstellungsgruppen einer bestimmten Klasse cp' von v Variablen adjungiert.
Die beiden IClassen ip und 95' besitzen hiernach eine gewisse Reziprozität
in bezug auf die Formen f und f, und man kann sehr bemerkenswerte
Relationen zwischen den Indizes, den Ordnungen und den Genera dieser
beiden Klassen aufstellen. Wir leiten an dieser Stelle nur die Relation
zwischen den Indizes her.
Q. Bezeichnen wir durch J" den Index von ' gebildeten ünterdeterminauten gleich
ö^d^^^Aj resp. e,'(Z/_iAj, so ist die Zahl J resp. J' gleich der Anzahl
der sämtlichen negativen Größen aus der Reihe x— *- (h = l,2, . . .,v^ Ä^, = 1)
resp. aus der Reihe xr^ (Ä = 1, 2, , , ., /; Ap.= 1), während die Zahl I
gleich der Anzahl der negativen Größen aus der Reihe x~^ C' '"" 1? ^1 ■ ■ -i **)
oder aus der Reihe . / (Ä = 1, 2, . , ., n) wird. Nun haben wir nach
Kap. XII die Relationen Aft= (— !)'■ A,',_j, (h = 0, 1, 2, . . ., n): dieselben
führen mit Leichtigkeit zu dem angegebenen Resultate.
Von besonderem Interesse ist der Fall, in welchem die Form ' eine Ordnung
y Google
94 '^111^ Theorie der quadratiBclien Formen,
Kap. XVI. Darstellung von ganzen Zahlen dnrch Formen
mit n Variablen.
Wir wollen weiterhin inebeaondere den Fall betrachten, in welchem
eine der Zahlen v, v gleich 1 ist. Es sei v =\, v = n^\.
Wenn die Form f mit Hilfe der Substitution
(f): T.,-tA (i_l,2, ...,«)
in eine (einvariablige) E'orm i|^ übergeht, so wird die Zahl ö durch f
vermittels der Zahlen
(0- ^i=ii
dargestellt, un ^s =2" '**' '* **'■
Mit Benutzung der Summen
können wir die Formeln (47) auch schreiben
(48) ('=2'^*^'' ^"^'S^'"'^'"-
Wir setzen | &/* I "" i 9'' I ' I *« I = I 9^ I '"^^
Da die Formen /"und f adjungiert sind, gelten nach einem bekannten
Determinantensatze die Gleichungen
((-l)'.<_,6){(-l)'.<_,t„l-|(-l)'-<_,i,|l(-l)'-' gehört, sind nach dem Modul b
kongruent.
Jn der Tat, die Summen
^ K^-^+i ■ h ^ K-^i\i ■ K + K'-^ili ■ ^3 "( !■ ^n-i-n ■ K-i
nehmen mit Hilfe der Formeln (48) und (46) die Werte au
Es kommt also
(51) 2 *«-'> + ! ■ '*" ~2'^'>--^'' ^C-, + i = (moib).
{i= 1, 2, ..., n)
Fassen wir irgendwelche n — 1 von diesen w Gleichungen zusammen,
etwa aUe diejenigen, welche einem Index i^g entsprechen, so können
wir dieselben nach den » — 1 Größen b;^ auflösen, und es ergibt sich
j aiithmeticae, art. Ü8S.
y Google
Zur 'fhuorie der qaadratieoheLi i'omieii.
vermittels der Koeffizienten ^/*
der Darstellung (&') ausgedrückt werden können; es sind daher auch die
Reste der Zahlen
kK hK ■■; K^k
nach dem Modul 6 durch diese Zahlen 5'/* voUstäudig hestimmt. Da die
Darstellung (S^') eine eigentliche ist, können die n Zahlen t^, t^, ■ ■ ., t^
keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 besitzen, und es müssen sich
daher unter diesen n Zahlen solche befinden, die zu einem beliebigen
Primfaktor g von 1) relativ prira sind. Infolge dieses Umstandes sind
auch die Reste der w — 1 Zahlen 6j für jede in h aufgehende Primzahl-
potenz g* und mithin für den Modul 6 selbst eindeutig durch die Koeffi-
zienten &^'' bestimmt, und hieraus geht unmittelbar das Behauptete heiTOr.
Setzen wir jetzt voraus, man könne n Zahlen t^ i^, ^iK-i+\ "" ^)
so finden, daß die Darstellung (%'') zu der Wurzel {6j) der Kongruenzen (50)
gehört, und es möge (JJ eine andere, nach dem Modul 6 der Wurzel (6^)
kongruente Wurael dieser Kongruenzen sein. Alsdann kann man n Zahlen
t! { ^ Vn-i + i ^ ■'-) derai-t finden, daß die Darstellung (%■') zu dieser
Wurzel (öj) gehört.
In der Tat, es möge Z>^ = h,, + he,^ sein. Für die Zahlen t- müssen
die Beziehungen
(M) ''2<'-!'*^-^'- -^ ""'•--'■'•-'+•
statthaben. Die Differenz der Gleichungen (51) und (51) ergibt sogleich
(53) V-','-^ »/-*«.-
Daraus geht hervor, daß die Bestimmung der Zahlen t^ jedenfalls nur
auf eine einzige Weise möglich sein kann. Führen wir nun für die
Zahlen tf die Ausdrücke (52) ein, so ist die Gleichung (51) wirklich
erfüllt. Multiplizieren wir dann diese Gleichung mit t^ und bilden die
Summe über alle Werte i = 1, 2, . . ., n, so bekommen wir
^■'^K-i+ih'^'^aikii
yGoosle
E Theorie der quadratischen Formoii.
S<:-..A
Die Darstellung [&') gehört also in der Tat zu der Wurzel (ÖJ der Kon-
gruenzen (50).
Ist insbesondere e^ == 0, J^ -= fcj(7i = 1, 2, . . ,, « — 1), so wird
t/ ^t.'f^i^'l, 2, . . ., n). Man sieht demnach, daß es nicht zwei ver-
schiedene Substitutionen (t') geben kann, welche dieselben Koeffizienten ■&/*
besitzen und die Form /" durch dieselbe Form B' ersetzen.
III. Zu den eben bewiesenen Sätzen gelangen wir auch auf folgendem
Wege*):
Es seien t^', t^', . , ., t^' irgendwelche Zahlen, welche ebenso wie die
Zahlen i^', ifj', . . .,t^' der Gleichung
genügen, und es möge die Form f durch die Substitution
(ty-
".'-^».''ii+ii'i'
(i-1,2
übergehea. Der Substitution (t') sei die Substitution
((): x,-t,i+^»,% (i-1,2,...,»)
und der Form S' die Form
adjnngiert. Wie man aus Kap. XIV (II) ersieht, geht alsdann die Form B
mit Hilfe der Substitution
(()-'■(*): l-l+_2'«ri.> S.-l,. (*-l,2,...,»-l),
in welcher
*) Siehe GauB, Disquisitioi
irithmeticae, art, 2
y Google
100 Zur Theorie der quadratischen Fonnen.
ist, in die Form S über. Wir bekommen daher
k — \ + ^ß/i . ih^h (mod b),
und die beiden Lösungen (6,,) und (fi^] der Kongruenzen (50) aind in der
Tat kongruent modulo i.
Die Substitution {i')~^-ß'), welche die Form B' in B' verwandelt,
läßt sich jetzt sehreiben
(0-'-(ö: i;-i;-e..A' (ft-i,2,...,»-i), s-f.
Durch Zusammensetzung der beiden Systeme (t") und {t'Y'^it") müssen
wir zu dem System (t') gelangen. Auf diese Weise erhalten wir von
neuem die Bedingungen (ö2). Führen wir aber für die Zahlen (/ die
Werte (52) ein, so ist die Substitution (t') in der Tat von ^er Deter-
minante ] und verwandelt die Form f in eine Form B', deren ad-
juügierte Form B anstelle der KoeffizieDten &^ die Zahlen h,^ aufweist.
IV. Man kann leicht die folgende Kelation beweisen, welche später
Anwendung finden wird:
(63) JJ».' - - (■•- 2)6S--/Jo.+ <>.»,'-^c,.<_,,.-..
In der Tat hat man
1-^1=1* »»Ig.
d. i, * ' ^_^
(54) Ojöj . . . 0„_ad'= ^,hk'K-i,n-k-
Die Determinante der Form B läßt sieh schreiben
daraus ergibt sich
Führen wir hierin statt der Zahlen hfi^ die Zahlen — "jCf;, -\-bhf,. ein und
benutzen die Beziehimg (54)^ so bekommen wir sofort die behauptete
Gleichung.
V. Eis ist klar, daß es überhaupt keine eigentlichen Darstellungen
der Porm g''=|ft/t] von der Determinante ( — lY-d'^_^-}) durch die
Form /' geben kann, sobald nicht die Größen c t = f— 1)^- -y-. — ■■}?,
ganze Zahlen werden. Sind aber diese sämtlichen Größen ganze Zahlen,
y Google
Grundlagen füi eine Theorie der quaduitiBolieii Foi-men. 101
80 wird eine jede eigentliche DareteUang (■&') der Form 9' durch f zu
einer einzigen Losung (h^ (mod 6) der Kongruenzen
- OjCf^^hfii. (mod i)
gehöreUj und wir werden sonach alle mögliehen eigentlichen DarsteUungen (9'')
der Form <-2'*."&' (i-1,2,...,«)
von tp' durch /", und wir gelangen, indem wir sämtliche verschiedenen
Substitutionen {t') von der Determinante 1 bilden, durch welche f in B'
transformiert wird, ku allen überhaupt möglichen Darstellungen (ö'^')j
welche zu der Wurzel (J'j) gehören, imd zwar zu einer jeden dieser Dar.
Stellungen ein einziges Mal. Denn wir haben gesehen, daß zwei ver-
schiedene Transformationen (t') niemals die gleichen Koeffizienten */*■■
darbieten können.
Kap, XVIII, Index, Ordnuiig und Genus der durcli eine Form von
n Varialblen darstellbaren Formen von n—1 Tariablen.
Es sei eine primitive Form /= /, «ü^i^j ^"n einem Index I, einer
Ordnung 0:1 '| und einem Gfenus G gegeben, und es möge die Zahl h
vermittels eines Systems
{iy. a;,. = i,.
durch f dargestellt sein.
Da die Koeffizienten a^^, 2a,.j sämtUch durch e^ teilbar sind, wird
die Zahl ö den Faktor 6^ enthalten. Es bedeute S das Vorzeichen der
Zahl & und m den absoluten Wert von - Dann wird ö = S-ß-^m. Wir
betrachten insbesondere Zahlen 6, für welche die Größe m zu der Deter-
minante Ä von f relativ prim ist.
Wir nennen den größten gemeinsamen Teiler 1' der n Zahlen
1\ =^ o-iJt den Teiler der Darstellung (t), und sagen, eine Darstellung (t)
sei primär, wenn ihr Teiler T gleich 1 ist. Eine primäre Darstellung ist
stets eigentlioli; denn der größte gemeinsame Teiler t der n Zahlen tf.
geht in allen Summen T^ und folghch auch in der Zahl 2' auf. Ist daher
T=l, so wird auch der Teiler t der Einheit gleich sein. — Aus den
Gleichungen (48) erheUt, daß der Teiler T der DarsteUung (t) in den
sämtlichen Zahlen ?>, 6|, ig, ..., ?!„_, aufgehen wird. Andererseits ei'kemien
y Google
Grnndlagen für eine Theorie dar quadratiacheo Formen, 103
wir aus den Gleicliungen (öl), daß der größte Teiler der Zalilen h, 6,, in
den sämtlichen Zahlen Tf aufgeht. Es stimmt demnach der Teiler T der
Darstellung (t) mit dem größten Teiler der Zahlen h, b,^ überein. Die
Kongruenzen h^O, 6^ = (mod T) ergeben unmittelbar A ^ (mod T).
Folglich wird, falls die Zahl m zu A relativ prim sein soU, der Teiler T
in ffj aufgehen, und eine [[eigentliche]] Darstellung (i) der Zahl & wird
stets primär sein, außer in dem Falle, daß ff^ = 2, m^l (mod 2) ist und
die Zahlen Tg alle gei'ade ausfallen.
Der Darstellnug (t) der Zahl i durch die Form f ist eine Darstellung (ß-')
einer Form y'=^ '^n^i^k ^^^ '^'^^' Determinante (~ iydj^_^-i durch
die Form /"=^ »/tic/^j,' adjuugiert. Wir wollen die Beziehungen unter-
suchen, welche zwischen den Indizes, den Ordnungen und den Genera der
Form (p' imd der Form f bestehen.
Index der Form go'.
Nach dem Satze Q. (Kap. XV) muß der Indes der Form cp' gleich I
oder 7—1 sein, je nachdem die Zahl b positiv (ß^l) oder negativ (iS = — 1)
ist. Da der Index einer Form von « — 1 Variablen stets zwischen den
Grenzen und n — l eingeschlossen ist, wird die Form tp' niemals durch
die Form f darstellbar sein, wenn 7 = und 6 < oder I = n und
J>0 ist.
Ordnung dei' Form g>'.
Es sei der größte gemeinsame Teiler der sämtlichen Koeffizienten b.'k
der Form q)' gleich e', und es seien e^', Cj', . . ., ej_g die Invarianten o und
t/, Tg', ..., T„'_ä die Invarianten a der primitiven Form ^- JEs gilt als-
dann die Beziehung
Wir bezeichnen durch §', q'' die höchsten Potenzen einer Primzahl g,
welche in den Größen e', e^ aufgehen. Wir wollen jetzt die Zahlen e', Ej'
durch die Zahlen ta^ ausdrücken.
1. Es bedeute zunächst g eine in m aufgehende Primzahl. Wäre die
Größe e oder eine der ra — 3 ersten Invarianten c^', e^', ,.., ej_3 durch
diese Primzahl g teilbar so müßten die sämtUehen ganzen Zahlen
C;j = (— 1)^- -TT ^. , ■ ■ — gleichfalls durch g teilbar sein, und die
Gleichung (53) gäbe _//";, oder A ^ (mod 3), was gegen unsere Voraus-
y Google
]04 Zur Theorie der quadratiHcten Formen.
Setzung streitet, daß die Zahl )w zu A relativ prim ist. Wir finden sonach
für jede in m aufgehende Primzahl e' ~ 0; Ej'= 0, %'= 0, . . ., cj_j = 0,
Wegen (55) wird daan die Größe g'n-a der größten Potenz von q gleich
sein, welche ia ß^m oder in h aufgeht. Indem wir dieses Resultat für die
sämtlichen in m enthaltenen Primzahlen q anwenden, erkennen wir, daß
die Invariante e^_2 durch m teilbar sein muß.
2. Es bedeute jetzt q eine nngerade Primzahl p, welche nicht in m
aufgeht. Da die Zahl b alsdann zu p relativ prim ist, so können wir die
Zahlen (&^, b^, . . ., ^„_j), ^u welchen die Darstellung (S-') gehört, so
wählen, daß sie neben den Kongmenzen (50) für den Modul b noch den
weiteren Kongruenzen
6, = 0, 6^ = 0, ..., 6„^j=0 (modpO
für irgend einen Modul p'(>^''n-i'''') genügen. Es wird alsdann
o^c^j^ hbf^ {moäp^,
und die Form S besitzt für den Modul 2» ' einen Rest
, ...,
(modp').
Schlösse, welche denen von Kap. III ganz analog sind, zeigen jetzt, daß
die Forna ^ c^
sten in den Invarianten o dieser Form aufgehenden Potenzen von p bzw.
gleich pK-s,pK-ii,.-.,p'"i sind. Andererseits müssen diese Potenzen
gleich p'^-i,p'^-i, . . ., p'i sein; denn die Form {c^^j ist ein Multiplum
der zu * adjungierten Form. Wir gewinnen also die Beziehungen
Indem wir jetzt diese Werte der Zahlen e^' in die Formel (55) einführen,
finden wir noch s'~ 0. Die Form rp' muß also in bezug auf jp primitiv sein.
3, Es möge endlich die Primzahl q gleich 2 sein. Gemäß unserer
Annahme, daß die Zahl ni zu A relativ prim sei, werden wir die beiden
FäUe m=l (mod2) und w ^ 0, A s 1 (mod 2) zu untersuchen haben.
I. Wir betrachten zunächst den Fall m ^ 1 (mod 2).
(6i= 1). Ist m diesem Falle ö'j= 1, so wird die Zahl h ungerade
sein, und wir können infolgedessen die Zahlen (6j, h^, . . ., &„_i)? '^•^
welchen die Darstellung (&■') gehört, so wählen, daß sie neben den Kon-
gruenzen (50) nach dem Modul b noch den Kongruenzen
y Google
Grundlagen für eine Theorie der quadratisclien Formen.
i, = 0, S, = 0, ..., S._,= (inod2')
für irgend einen Modul 2'(> a„„i-2°«-i<^') genügen. Alsdann wird
OrC,.^ SS 6b,.j (mod 2')
und folglich
h, , ...,
Bs,
0,
(mod 2')-
o,V.
Aas diesem Rest voü B ersehen wir, daß die Formte 1 1 gu 2 primitiv
ausfällt, daß die Zahlen b', e,,' durch die Gleichungen
(56) £'==0, e/-m/, %'-<, ..., g;_^ = (a,;_j
gegeben sind und daß die Potenzen 0,l_^-2''-' mit den kleineren der
Potenzen
übereinstimmen oder, was auf daeselbe hinauskommt, daß die Invarianten fl,, _^
mit dea kleineren der je zwei Zahlen
t;_j und <_.s_i-2'"i'^"'ä+-+™A
überein stimmen.
Wir woUen nun annehmen, daß die x^ — ^ 0- '^ ^i ^ *') ersten der
Größen to^, nämlich a^, a^, . . ., a^ _^ gleich Null seien, während die %*^
dieser Zahlen, + 2_2''yi,+2'*.>w.
yGoosle
108 Zur Theorie der quatlratiflcliBii Formeo.
Wir erhalten die Gleichungen
— ö^c*= \^—i- fioD, — öjC/*= tgii; — h ■ ^o;, — ^c^^ = ^j 6j — b ■ 6,.^.
Da wir ?i 5s (mod 2) und c* s£ 1, c^* 55 (mod 2) vorausgesetzt haben,
ergeben sich die Kongruenzen
(.(,= 1; &j = 0, ..., &„_a^0 (mod 2).
Die Darstellung (■&') bestimmt nur die Reste der Zahlen b/ nach dem
Modul b [=2 (mod 4)]. Wir können daher die Zahlen so wählen, daß
sie den Kongruenzen
\ z3 C|* . . ., b^_^ = c*_a (mod 2'+^)
genügen. Alsdann werden wegen b^h^ — b ■ bg^^^ — o^c^ die Kongruenzen
h^^ ^ (mod 2') und wegen bfi^— b -b^^^ — Ci'^a "^'^ Kongi^uenzen t^^^O,
2c,^^0 (mod 4) statthaben, und die Form B wird fiir den Modul 2'
einen Rest
b, b.
bo, ftoo
(mod 2')
liefern, in welchem & = 0, ^-o = * . ho^^> 5 = (mod 2) ist.
Dieser Rest von S zeigt, daß die höchste in allen Koeffizienten c^
Potenz von 2 gleich 2"'"-2 + i ist, sowie
für die
auf 2 primitive Form |
, die Invarianten
2"'(^ gleich 2""-3, . . ., 2'"'' und die Invarianten gleich 6,'_s, ■ - ■? ^1
sind. Indem wir dieaes Resultat auf den Rest der Form 4> (mod 2') an-
wenden, erkennen wir, daß die Invarianten 2"'^ dieser Form gleich
e^- 2""-ä, 2"'ii-3j , . .^ 2"'' und die Invarianten a dieser Form gleich ö,^_äj.
®n-3i ■ ■ ■? "^i' ^^^^- Andererseits ist offenbar, daß die Invarianten 2'"l^'
der Form mit den Zahlen S'^-s, 2'"-», , , ., 2''' und die Invarianten s
dieser Form mit den Größen t^_^, t^__^, . . ., T■^' übereinstimmen. Polg-
lich wird
E^'= (Oj', fä'= '■''s'? ■ ■ -J ^i_3= '^«-3? 2'''-S = 0j ■ 2"'«-2,
y Google
Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 109
Führen wir diese Werte der Zahlen e^' m die Relation (55) ein, so finilen
wir noch e' = 0.
n. Wir betrachten endlich den FaU, in welchem m^O (mod 2) vind
A ^ 1 (mod 2) ist. Ea sei 2" die höchste in m aufgehende Potenz von 2,
Wir sahen in 1., daß die Zahlen s', s^' durch die Gleichungen
k'=0, «/=0, < = 0, ..., <_, = 0, 2*« -3 = ff, -2°
gegeben sind.
Wir haben sonach nur noch die Invarianten r,' zu bestimmen. Die
letzte dieser Invarianten, t'^_2, wird, da 2'"-^ ^ 2 ist, stets gleich i. Die
übrigen w — 3 Invarianten t/ müssen nach den in Kap. IV gegebenen
Sätzen entweder die Werte
oder die Werte
i/=.2, Ta'=l, ..., <_3 = 2
erhalten. Der letztere dieser beiden Fälle ist an die Bedingung « — 2 =
(mod 2), also n^O (mod 2) gebunden. Außerdem muß, wie wir leicht
einsehen, eine jede Invariante r^' die entsprechende Invariante ö^ als
Faktor enthalten. Wir gewinnen daher das folgende Eesultat: Wenn
w = 1 (mod 2) wird, in welchem Falle stets e^' = 1, e/ = 1, . . ., a_J_3 = 1,
ff,i_i = 1 ist, so haben wir r^' = 1, ^3'= 1, . . ., t^_3 = L, r,^_g = 1;
wenn dagegen n^O (mod 2) ist, so wird, falls a^'—l, e'a'^^ 1, ...,
6n_3= li e^_i = 1 ist, entweder t/= 1, t/= 1, . . ., r^_3^ 1, '^^^-3= I
oder <— 2, r^' = 1, ..., <^3 =2, <^3 = 1, und falls ß/=2, <= 1,
■■■> ''n-s ^ !-■ ö'b-i ~ ^ wird, haben wir stets t^'=2, Ta'=l, ...,
T;_g=^2, <_9- 1.
Wir können die Sätze, zu denen wir gelangt sind, in der folgenden
Weise zusammenfassen;
Wenn eine primäre Darstellung (t) einer Zahl & = ä ■ s^m (m relativ
prim zu A) durch die Form f einer Darstellung {&') einer Form y' von
n — 1 Variablen und der Determinante (— l)^- (?^_sft durch die Form f
adjungiert ist, so fällt y>' primitiv aus und gehört zu einer Ordnung
h) (Ä=l,2,...,«-2), J'^I-^--\
deren Invarianten e^' den Gleichungen
genügen und deren Invarianten t,' entweder die Gleichungen
oder auch, falls ff, = 1, »» s k, := 1 (mod 2), x, > 1 ist, die Gleichungen
y Google
Zur Theorie der quadratischen Formen.
(11)
(II) <_,_+!= 2, <_,,^.,= i, ..., T,;_3=i, t;_s = 2,
l<_;„ + I=l, <_.,+fl= 1, ■■■, <-3=l, <-S=l.
oder, fulls x^= m, 6, = 1, ns =; Mj= (mod 2), )(j> 2 ist, die Gleichungen
(V=2, <= 1, ..., <_3==2, <_a = l,
Ui'= 1, ös'= 1, . . ., <_8 = 1- <-s = 1
erfüllen.
Wir wollen die Ordnung der Form tp', je nachdem die Gleichungen
(I) oder (II) statthaben, durch 0/(6) oder durch 0//(&) bezeichnen.
Sei jetzt (p die der Form ip adjungievte Form. Aus dem obigen
Satz erhellt, daß q? gleich _^c,.j|;gj, oder gleich — ^^c^jSjlt sein wird, je
nachdem die Zahl h positiv oder negativ ist. Wir können daher
qo = d ■ /;C;i.|^|j setzen, und die Fonn (p wird primitiv sein und der
Ordnung
( l oder
öj = l, wi^^^O (mod 2), «j > 2 ist, aus dem Genua G'jj(b), und es be-
deute q5={cjj} die zu rp' adjungierte Form. Aus jeder Lösung der
~-^— Kongmenzen
(50) -o^c^^=\b, (modo)
entspringen (nach Kap. XIX) B = -7j-^ verschiedene Darstellungen der Zahlfc
durch eine bestimmte Form f aus der Reihe der g Formen /^, ^i ■ ■ i fy
Für das Maß M^ dieser li Darstellungen erhält man daher
M.-
!(I1.
Y) t(/) ti 2 wird, gleich dem N-fachen Maß der
beiden Genera G'j{h') und GjjQi).
Kap. XXI. tlber die Auzahl der Darstellungen einer ganzen Zahl
durch eine Summe von fünf Quadraten.
Die Anwendung des zuletzt gewonnenen Residtates auf den Fall
K = 5, A =1 verschafft uns einige interessante Sätze über die Darstellung
von ganzen Zahlen durch eine Summe von fünf Quadraten.
y Google
118 Zur Theorie dei quadratisctcn Foi'men.
Bekanntlicli bilden die positiven Formen mit fünf Variablen von der
Determinante 1 eine einzige Porraenklasse, welche durch dio Form
repräsentiert werden kanE. Diese Form ^gehört dem einzigen Geschlecht G
der Ordnung
m::;;::;:::1;::1)--°
au, und sie repräsentiert zugleich, da alle Formen dieses Geinis die Deter-
minante 1 besitzen müssen, die einzige Klasse dieses Genus.
Der Form f ist die Form
f = ■^i^ -H sc'^ + ^4^ + 3^4^ + ^5^
adjungiert, welche mit f identisch ist. Das Maß der Klassen / und f
oder des (Jenas G ist, wie man ohne weiteres erkennt, gleich
1-2. 3.4-6-2' 2'-3-5 1920 M^
Bezeichnen wir für einen Augenblick die Anzahl der sämtlichen
Systeme a^^ ohne gemeinsamen Teiler, welche einer Gleichung f{x^ = m
genügen, mit (jw)^, so ist das Maß der eigentlichen Darstellungen einer
Zahl m durch eine Form des Genus G gleich jri^ . Da A = 1 ist, so wird
eine jede beliebige Zahl »» zu A relativ prim, und es können die Größen
KJ^ nach dem in Kap. XS bewiesenen Satze durch das Maß des einen
Genus Gj{m) oder der beiden Genera Gj(m) und {?Jj{i») von Formen mit
vier Variablen ausgedrückt werden. Wir haben infolgedessen, um zu einer
Kenntnis der Größen {m\ zu gelangen, nur die Maße dieser Genera auf-
zusuchen.
Die Form f ist ein Hauptrepi-äsentiint für den Modul 2; es ist s, = 1
und Äj = 5 = 1 (mod 2). Wir müssen demnach für eine Zahl m die Dar-
stellungen Xj = (j, in welchen die fünf Zahlen t^ nicht alle ungerade sind,
und die Darstellimgen X; = t^, in welchen t^^ t^^ tf^^ t^^ i^^l (mod 2)
ist, voneinander unterscheiden. Die Darstellungen (t) der ersten Art sind
mit Darstellungen von primitiven Formen (p' des Genus
G:(m): h~ ' ^T '''\'^^ y J'^Oi -ffi'=X^ (modm)
Ve^ = 1, ßj = 1, ßg = m/
adjungiert, während die Darstellungen (ß) der zweiten Art mit Darstellungen
primitiver Formen und p eine beliebige positive Größe bedeutet, und in welchen die
Variablen x^, ic^, . . ., x^ Systeme von n ganzen, nicht sämtlich versehwin-
denden Zahlen durchlaufen soUen.
1. Es sei JV eine ganze positive Zahl und a^, Oj, . . ., «„ irgend-
welche n Reste für diesen Modul N. Wir wollen zunächst für die Größen
x^, x^, . . ., x^ alle Systeme von ganzen Zahlen einsetzen, welche nach dem
Modul N die Reste «,, «g, , . ., k^ lassen, das sind alle Systeme von der
Gestalt
{x) iKj^ Nvi+ dj, («f= — oo, ■ ■ ■, — 1, 0, 1, •■■, + co)
(wobei das System x^^O, x^=0, . . ., x^= 0, faUs ea gleichfe.Ua von der
Form NVf-{- a^ (i = 1,2,..., n) ist, stets ausgeschlossen wird). Da die
Form f positiv ist, so nimmt für jedes einzelne dieser Wertesysteme (x)
der Ausdruck {f(x^, x^, . . ., a;„)| * einen positiven und von Null ver-
schiedenen Wert an. Wir woUen die Anzahl aller derjenigen unter diesen
Systemen, für welche die Größe {f(xg)]^ nicht größer ausfällt als eine
positive Größe (, durch r bezeichnen. Anstelle der Ungleichung
können wir schreiben
-t,^+_^; a^^N^^A,^.
setzen, auch
^^
Der Grenzwert des Verhältnisses -r- für ein unendlich wachsendes ( wird
nach einem bekannten Satze von Dirichlet gleich dem w-faehen Integral
yGoosle
Grundlagen füi eine Theorin der quadratiBohen Formen. 121
in welchem die Variablen |; alle diejenigen Wertsyeteme zu durcMaufen
haben, für welche die Ungleichung
erfüllt ist. Dieses Integral erhält nach Dirichlet den Wert
j=
.ii rh-f^
Uli
in welchem |.4;j| die aas den n^ Größen Ä^j. gebildete Determinante be-
deutet. Diese Determinante ist wegen A^^^ (^a^^ gleich \a.j^\^^"'=A-N^''.
Ferner wird bekanntlich die Gfröße fi-gt = it^ , während fll +Yy, je nach-
dem w gerade oder ungerade ist, den Wert
l-L' 3-- " - "."-^ ^ f
oder den Wert
2 2 2 2 ' U; 2 2
annimmt. Wir können mithin
n — 2h\
ni
setzen, und wir tiekonimen
r '^"^
Der Grenzwert des Quotienten — für ein unendlich abnehmendes -j- ist
hiernach endlich.
Infolge dieses Umstandes konvergiert nach einem weiteren Satze von
Dirichlet die unendliche Heihe
„^-y i__ /x^^Nv^+K^, Vf= — CO, ■■■,— !, 0, !,■■■, + >) j Ko'm^l (mod4)/
Ein Vergleich der beiden für den Grenzwert L gewonnenen Aus-
ücke ergibt die Formel
y Google
Grnndlagen für eine Theorie der quadratischen Formen.
(-4) ^^"■■>-nb-mv]-m~(=^'H]-
. / ^>-^'.(o-.)n['-(--f")i]
[o'o'o. äa 1 (mod 4); C(«>) - C(ip)]
Dieselbe verwandelt sich, indem wir
^=^-i7[i+ß^)?]n[i+(=-f')}]-
'rT(i-^)-(iA)-^.
setzen, in
(66) (ii«»3^2«0.-.JI._ii„/ yy?*(«-i^\. /»■»'.»-! (mod4)\
2''.(aoo-)..2S. V "" „{"*« I \C(m)-C(s) I
Beachten wir nun, daß das Maß des Genus
a-- ('l l),o('f),o'{ y M.:^._»0\ _ /o'^om'E.1 (mod4A
^ 2».('2oö%-2S, V ^ ^,\i^^'^ } \C'{m') = C\^>') }
Wir ergehen jetzt aus der Gleichiiiig (65), daß die Größe M^ von
den speziellen Charakteren C(y') unabhängig ist, und ans der Gleichung (GÖ"),
daß die Größe M^ von den speziellen Charakteren C( 0 ist, gleich \I)r'\ = {I)r\. Ist aber s = 0, so kön
wir die Summe
|D; 0) _ lim L y&hS3A\ /^^.= 1 ("»•ä *))
V ^ Ji.fc + « I U rel, pr. ™ DrI
in zwei Partialsuramen i^ und L_ zerlegen, indem wir alle diejenigen
GKeder von {D; 0}, für welche li^ quadratischer Rest von r ist, in eine
y Google
Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen.
129
Sunime L^ und alle diejeuigen Glieder von {!); 0), für welclte Ü^, qua-
dratiseher Nichti-est von r ist, in eine Summe L_ zusammenfassen. Jeder
der beiden Grenzwerte X,(£ = + l, —1) läßt sieh schreiben
L,_-
'-^T
1^'
-B.'
\I),-
K-)-
(0 daß sich
jrgibij. Demnach finden wir
■ -t+ + i_ - -
\J>\-{J)r\ /--l^ + y+i. + '-A-l-B'-
■|^(-^)'
für s>l: {I>/^) = {J)r}
Durch eine wiederholte Anwendung d
Gleichung
(66) |D1^ '^^
• Formel gi
nimmt jetzt die Form an
"" ■{2<,ö\-""24""" "
= iöö'l
Die Größe jJ/d ist mithin eine Konstante; wir bestimmen dieselbe ans
dem Maß des Genus | ' J . Bekanntlich ist dieses Maß gleich — , und
es wird folglich M.^ = t-; ■
Dieser Wert von M.^ kann auch direkt mit Hilfe der Formel (66)
hergeleitet werden. In der Tat, nehmen wir an, daß die Größe li die
sämtlichen ungeraden Primzahlen enthält, die unterhalb einer Größe Q
liegen, so werden die Grenzwerte der Ausdrücke 4^, (-0)ai (^)3 ^i^i'
Q = oo bzw. gleich g— ■
und folglich it/^ = -— =-
Ss
■ (2)7^' m^; Wir hnden also {1J = -,-^^^
Minkowski, GestunmelU AbliandliLneeu. i.
y Google
130 Zur Theorie der quadratischea "Formen.
Wir gelangen auf diese Weise za dem folgenden Resultate:
Das Maß eines Genus
f^' ^,], C(^), C'{fp') \o,o'^l (mod2)]
\o, /
ist gleich
Dieser Satz, ist bereits von Eisenstein In Band 35 von Grelles Journal
angegeben worden.
luabesondere schließen wir hieraus für das Maß eines Genus
^ ■ U, ml' \V)'
wenn die Zahl m ungerade ist und im ganzen jt Primzahlen g enthält,
die Gleichung
*=Sh+T(-ir'©J^^n[i + (=
Mit Hilfe ähnlicher Betrachtungen können wir auch das Maß eines
beliebigen Genus von Formen mit drei Variablen bestimmen.
Wir erwähnen hier nur noch den hesoudei'en Fall, daß das Maß
eines Genus
T- Ql,), (f). (-1)' ■"'--! |.«==I(-od2).|
gleich
ist.
in. (w — 4). Wir werden die Ordnungen
/i, 1, n
u, 1, W
0/0):
untersuchen, welche eine so wichtige Kolle in der Theorie der I
ganzer Zahlen durch eine Summe von fünf Quadraten spielen. — Es
möge 2" die höchste in d aufgehende Potenz von 2 sein. Setzen wir
c? = 2' ■ c?Q [d^ ^ 1 (mod 2)] und bezeichnen wir mit p^, p^, . . .^ Pf, die in
dg enthaltenen ungeraden Primzahlen, mit {t^ zu einer der Primzahlen p oder zu der Zahl 2
relativ prim wird, gleich p*--j)^=p*fl \ oder gleich 2*~2^=2*(l — y),
und die Anzahl der nach dem Modul 2d inkongruenten Wertaysteme (1^),
für welche :^f(modN)
Bind. Man gelangt zu diesen Formen, indem man auf f ein voUetäiidiges
System von lauter inkongruenten Substitutionen T von einer Determi-
nante = 1 (mod N) anwendet. Ein solches System wird leicht bestimmt.
Man braucht beispielsweise nur von den N"' inkongruenten Substitutionen
a;.=^i/;/j (modiV), t,'= 1,2, . . . , N {i,l=l,% . . .,n)
alle diejenigen fortzulassen, in weichen die Determinante nicht = 1 (modJV)
ausfällt.
In dem Systeme der T mögen sich im ganzen 9i Substitutionen
finden lassen, — etwa die folgenden; 1\, T^,.. ., T^^^ — , durch welche /' iu
9E verschiedene Reste: ^, (J^, ■ ■ ., g.y, (mod .A^) übergebe. Das gegebene
y Google
Anzahl der For
163
Genus eD.thält dann sieher nicht mehr als diese 9? Heste. Wir behaupten
aber, daß diese Reste wirklich alle dem gegebenen Genus, ja schon der
(ganz beliebigen) Klasse f eigen sind.
Ija. der Tat, zu jeder Substitution
= 1 (mod N)
läßt sich immer eine nach dem Modul JV tongruente Substitution S von
einer Determinante 1 bestimmen. Im Falle w = 1 leuchtet dieses un-
mittelbar ein. Wenn w > 1 ist, so bedienen wir uns zum Beweise eines
Schlusses von w — 1 auf n. Offenbar muß der größte Teiler der n Zahlen
Xf zu N relativ prim sein. Man kann daher n Zahlen ^; ^ x^ (mod N')
finden, deren größter Teiler gleich 1 ist. Alsdann läßt sieh bekanntlich
eine Substitution
^i- ■ ■ -
^3' ■ ■ ■
von der Determinante 1 bilden {F. Q., p. 98 [[S. 83]]). Das
Äfl- ^ ■ T gewinnt jetzt die Form
1, V,, ..., ü"„_, ;
ü~
0,
s 1 (mod A").
Ist unser Lemma bereits für den Fall « — 1 erwiesen, so können wir
anstelle der m/ solche kongruente Zahlen einführen, daß |m/| in 1
übergeht. Ferner setzen wir anstelle der ersten Vertikalreihe von f7
einfach die Zahlen 1,0,.. ., 0. Auf diese Weise wird U in eine kon-
gruente Substitution V von der Determinante 1 übergehen, und das Pro-
dukt Sij- F= S" erscheint als eine mit T kongruente Substitution von der
Determinante 1.
Wir können so zu allen Substitutionen T^, T^, . . ., Tgi kongruente
Substitutionen S^, S^^, . . ., S^ von der Determinante 1 bilden. Durch
diese muß sich f in äquivalente Formen mit den Besten g^, g^, . . ., g^
verwandeln, was zu beweisen war.
Es ist nun leicht plausibel zu machen, daß die Formenanzahl der
Klasse f ein Vielfaches der Zahl 9i wird. Man denke sich zu dem Be-
hirfe in der Klasse f alle verschiedenen Formen gekennzeichnet, welche
y Google
164 Zur Theorie dor quadratischen Formen,
nach dem Modul iV^ den Kest / lassen, und für jede dieser Formen je
eine Substitution S notiert, durch welche dieselbe aus f entsteht. Durch
Anwendung aller S ■ S^, S ■ S^, . . ., S ■ S^a müssen dann aus f die sämt-
lichen Formen der Klasse f hervorgehen, und zwar eine jede ein ein-
ziges Mal. Die Zahl ^ teilt somit wirklieh in gewissem Sinne die (un-
endliche) Formenanzahl der Klasse /', und da diese Klasse eine beliebige
ist, auch die Formenanzahi des gesamten Genus, wie am Anfange aus-
gesprochen war.
Um einen Ausdruck für die Zahl 3i zu gewinnen, verfährb man fol-
gendermaßen. Es sei 1}'„{^) die Anzahl der Individuen eines vollständigen
Systemes Yon inkongruenten Substitutionen T von einer Determinante
^ 1 {mod N). Alle diejenigen T, welche auf den Rest f (mod N) ohne
Wirkung bleiben, nenne man T, und es sei f{N) die Anzahl der ver-
schiedenen T. Die Substitutionen T ■ 2"^, T ■ T^, ■ . ., J ■ T^ müssen das
gesamte System der T erschöpfen, imd man erhält so:
In welcher Weise die Größe i^„{N) gefunden wird, ist bekannt*).
Damit ein T^l (mod iV^ ausfalle, ist zunächst erforderlich, daß die n
Zahlen a:,, x^, . . ., x^ der ersten Vertikalreihe ohne gemeinsamen Teiler
mit N gewählt seien. Eine solche Wahl kann auf N" ■ {N\ Arten ge-
schehen, wenn (iS'),, das über alle verschiedenen Primzahlen q von W aus-
gedehnte Produkt / 1(1 jj bedeutet. Man sieht leicht, daß zu jedem,
ohne Teiler mit N gewählten Systeme x^ mindestens ein T gehört. Alle
möghchen T mit der ersten Vertikalreihe a!; folgen dann durch Zusammen-
setzung dieses einen mit den verschiedenen Substitutionen f/^^l (mod iV).
In Ü unterliegen die n—1 Zahlen U^ gar keiner Beschränkung. Es lassen
sieh also im ganzen N"~'^ ■ il'^_^{N) inkongruente Tf bilden, und man
erlangt die Beziehung:
^„(jV) = iV"^"-! ■ (iV)„ ■ t„_,(-ff).
Da nun ^^{N) = 1 ist, so entsteht
,j,^{N) = N"'-' ■ {N\ ■ (N\ ■ ■ ■ (jV)„.
Es handelt sich also wesentlich um die Bestimmung der Größen
/'(JV). Dabei genügt es, den Fall zu untersuchen, wo N eine Primzahl-
potenz q' ist.
Denn setzt N sich aus mehreren Priraaahlpotenzen q' zusammen,
»-//«*, " h.t m.n f(N)-nf(.l')-
''■) Jordan, Trait^ des substitutione, 120—124.
y Google
ÄnBahl der Formen in einem Geaue. 165
So oft nämlicli eine Substitution T ^h^ 1 (mod N) ist, ergibt sich
dieselbe auch = 1 nach jedem der Modubi q', und ändert sie den Beet
f (mod N) niebt, so ändei-t sie aucb keinen der ßeste f (mod q'). Liegt
andererseits für einen jeden Modul q' ein T^ vor, von einer Determinante
= 1 (modg*), welches auf /* (mod g') ohne Wirkung bleibt, so wird die
Substitution T (mod N), welche allen Kongruenzen
T s Tj (mod 30
genügt, = 1 (mod N) ausfallen, und den Rest f (mod N) nicht ändern.
So geht die behauptete Relation hervor,
4. Hilfssätze zur Bestimmiing der Zahlen /{')•
Wir brauchen in betreff der Größen f(q') nur den IfaU zu betrachten,
wo f primitiv in bezug auf q ist, also die Koeffizienten ß,j von f nicht
sämtlich den Teiler q haben. Denn sei etwa f=q'^-g und d'>0. So
lange mau d > f > hat, bleibt der Rest /' (mod g*) bei jeder Substitution
ungeändert, und man erhält /"(g') =■ i'„{q')- Wenn aber d < t ist, so gilt
die Relation
(2) /-(s-) -?'"•-"' -iJCä-')-
In der Tat, eine jede Substitution T = 1 (mod q'), welche auf /'(mod q')
ohne Wirkimg ist, ändert auch g (tnodq'~'^ nicht; und ebenso wird ein
jedes 3; ^ 1 (mod q'~'^), welches auf g (mod q'~^) ohne Wirkung bleibt,
auch f (mod g*) nicht andern. Aus einem jeden 3^ lassen sieh aber
g(if-i)ä^ nach dem Modul q' verschiedene Substitutionen T herleiten. Denn
in einem % ist immer mindestens ein Koeffizient c da, für welchen ^ zu g
relativ prim ausfäUt. Wir können nun, um eine Substitution T zu ge-
winnen, erst jeden der n^ — i Übrigen Koeffizientenreste (mod q'~'^) von
X durch q"^ verschiedene Reste (mod q') ersetzen. Der Rest von c für den
Modul g' folgt hernach eindeutig aus der Bedingung, daß die veränderte
Substitution eine Determinante ^ 1 (mod q') ergebe.
Insofern es uns um Faktoren für die Formenanzahl eines Genus zu
tun ist, reicht die Betrachtung solcher Moduln g' aus, welche gewisse
Grenzen g"'** überschreiten. Denn ist t^t — (^>0, so beweist man leicht,
daß die Zahl t„(i'~^) -fi^''^ einen Divisor der Zahl 91 = ^-^^ vor-
stellt. Beachtet man die oben gegebenen Werte von '^'„(äOj ^° "iSniÜ dieses
darauf hinaus, daß die Zahl f(q') in dei- Zahl qf'"-'^>^ ■ f{q'-''){t- (i>0]
aufgeht.
Für eine mit q primitive Form f machen wir von folgenden Bezeich-
nungen Gebrauch, Die höchsten in den Invarianten Oj, Oj, . . ., (>,j_j ent-
y Google
166 Zur Theorie der quadratisolieu Formen,
haltenen Potenzen von q sollen die Espoiienteii besitzen: ca^, ta^, . . ., m„_i>
und es sei allgemein
iij = «i + ÖJ3H H ra&, ^s = /tra, + (Jh-i)m^^ h (J^,.
Femer nehmen wir an, von den n — 1 nicht negativen Zahlen oj^ seien
im ganzen A — 1 größer als Null, nämlich die folgenden;
(*o-0) »,., o,,, .., »,,,_, (»,-«)
und wir bilden die Gleichungen
«■l = «1, ^3 = JCi + %a, , , ., *4 = «1 + 5(2 + ■ ■ ■ + Xj,
Der Quotient aus der Determinante A von f und der Potenz g^«-i
mag für einen Moment A,, heißen. Wir werden weiterhin voraussetzen,
daß unsere Moduln q', wenn q einer ungeraden Primzahl p gleich ist, die
Potenz p'^=p''»-i-, und wenn 9 = 2 ist, die Potenz 2" = 2^+""-! über-
schreiten. Die Folge davon wird sein, daß ein jeder Rest f (mod g'} uns,
wenn q = p ist, den Wert der Einheit {~), und wenn q = 2 ist, den
Wert der Einheit (—1) ^ , sowie im FaUe e„_, = 2 auch den Wert
der Einheit l-^l liefert. Denn es gilt der Satz:
Genügt eine Form g schon der Kongruenz
g^f (modff'^+i)
und soll noch g^f (mod q') sein, so ist notwendig und hinreichend, daß,
wenn g=p, die Beziehung
Aö)-A(f) (modp'",.-,)^
und wenn q = 2, die Beziehung
A(^) = A(^) (mod (r„_i ■ 2'+3«-0
bestehe.
Ich erwähne noch einige, zum Teil bekannte Sätze über Kongruenzen,
welche bald ihre Anwendung finden werden,
(B) Ist eine Form f und eine Zahl a prim in bezug auf eine ungerade
Primzahl p, und hat die Kongruenz
rtÖB« (moip)
A-p"'^ Lösungen, so besitzt die Kongruenz
(3) «l,) = « (B.odi.0 (Ol)
A -p'^"^)' Lösungen.
Denn genügt ein System ^; der Kongruenz
(4) «a»« (mod !)•-■),
und setzt man x^ = t,j-\- p'-^u^ (modp'), so kommt, da if > 1 sein soll,
y Google
ÄDzahl der Formen i
/■(re,)a«5,)+y-'-2».8J^ (mody).
Nun könneii die Zahlen ^ nicht aämtlicli dnrch p teilbar sein, da man
■-■^ Ij^^sK (modp) hat. Also ergibt die Kongruenz
^"~' Lösungen Uf (modp), und eine jede Lösung von (4) liefert p"~'-
Lösungen Ton (3), woraus unmittelbar unser Satz folgt.
Jetzt sei f^ ^af^X:X^ eine in bezug auf 2 primitive Form, und a
eine ungerade Zahl. Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem die In-
variante ö^ von f den Wert 1 oder 2 hat, die Zahlen »;; also zum Teil
ungerade oder sämtlich gerade ausfallen.
(0) Ist ff^ = 1, und besitzt die Kongruenz
m^a (mod8)
^.23("-i) Lösungen, bo liefert die Kongruenz
(3) /■(!.) = « (mod20 (i>3)
A • 2'""^'' Lösungen.
In der Tat, es genügen der Kongruenz
(4) ftü = « (mod2>-')
zusammen mit einem Systeme |j {mod 2'~ ^) immer alle die 2" Systeme
a,-; (mod 2'-^}, für welche x^^s^^ (mod 2'-^} ist. Denn jedes dieser Systeme
läßt aich in die Form a:^^%^-{- 2'~^ S^ (mod 2'~^) setzen, wo die n
Größen ^^ entweder oder 1 bedeuten; man hat also wirklich:
m -" /■&) + 2- ' .2 ■*< Y i "■' ("»°'> 2'-')'
Bildet man nun mit Hilfe einer Lösung |, (mod 2'"^) von (4) ein
System «^ = ^; + 2'-^«^ (mod 2'-^), so kommt
df
und die Kongruenz
--i^'»^».;^ (»'"'2)
ergibt 2""^ Lösungen m,. (mod 2). So führt eine jede Lösung |^ (mod 2'"^)
von (4) zu 2""^ Losungen |, (mod2'~^) von (3), woraus die Richtigkeit
imserer Behauptung erheJlt.
Es ist auch klar, daß unser Satz gültig bleibt, wenn wir aUe solchen
Lösungen |, ausschließen, die zugleich gewissen gegebenen linearen Kon-
gruenzen nach dem Modul 2 genügen.
(D) Ist zweitens flj =2, und hat die Kongruenz
/■(|;) = 2k (mod 4)
yGoosle
168 ^1'" Theorie der quadratischen Formen,
24,2^1"-^' Lösungen, ia weichen die n Zahlen ■ p- nicht sämtlich gerade
sind, so liefert die KoEgrueaz
(3) ftii) = 2« (niodS') {i>2)
2ji-2<''~^'' Lösungen, bei welchen liie n Zahlen ,-,- ^rg nicht sämtlich
gerade sind.
Denn setzt man -^f '^ fj ^° gruppieren sich je 2" Losungen |; (mod2^
von (3) zu je einer Lösung ^j (mod 2*-^} von y(|j) = k (mod 2'-^). Unser
Satz geht so in einen analogen Satz in betreff des Ausdruckes primitiv in bezug auf p aus, und die n — 2 In-
varianten p"'' , welche diesem Reste angehören, erfüllen die Gleichungen:
ml;\^m^. {7* ^ 2, 3, .,.,»- 1)
Wir denken uns die f{p') verschiedenen Substitutionen T von einer
Determinante ^ 1 (modß') aufgestellt, welche den Rest /'(modp') in sieh
selbst überführen. Li jeder dieser Substitutionen muß die erste Vertikal-
reihe ans n Zahlen %^ (mod^') bestehen, welche
f(|,) = » (mody)
ergeben. Der vorstehenden Koi^ruenz mögen A -p^^-^^' verschiedene
Systeme 1^ (mod^') Genüge leisten. Die Betrachtungen aus F. Q., p. 170
*) In einem ausgezeichneten Falle, nämlich för die Form /■^a^^-f'^'H F^n»
sind die Zahlen f{q) von Heim Jordan gegeben (Traitö des aubstitntions, 301 — 314,
Ordre dn groape orthogonal).
y Google
ÄnzaM der Formen in einem Genus. 169
[[S. 137]J lasBPn fikeniifn daß jedem diei r Systeme u, wiiklii.h Sub
stitutionen T 7ukoran en welche den Kest f m sich elb t tranatoimieren
Es fra^t sieb wie viele Tfischielere T kDnnen aus e uem bestimmten
Systeme | hei v jrgehen Ist Tq eme ei te diesei Substitutionen so wird
jedes Überhaupt voiHinIene T mit dei eisten Veitikalieihe |, m ^aiiz be-
stimmter We se zusimm PI gesetzt sein als Piodikt aus Tp und aus zwei
Substitutionen ZJ und X von dei Form
(modjö').
SoU nun T den Rest f in eich selbst aberführen, so ist nötig, daß auch
XJ ■ % diesen Rest in sieb selbst transformiere. Hierzu wieder ist erforder-
lieh, daß die Relationen Pj = (mod p') gelten, und daß die Substitution
% auf den Rest F (mod p') ohne Wirkung bleibe. Die Anzahl der ver-
schiedenen T mit der ersten Verfcikalreihe 'i^, welche f (mod ^') nicht
ändern, wird daher gleich der Anzahl der Tersebiedenen 3^ sein, welche
auf F (modj)') ohne Wirkung sind, also gleich F{p'). Zieht man noch
die Formel (2) in Betraebt, so kommt schließlich
f{p() = p(«-i]i+"^[(>.-i)'-i] . A ■ /■(')(p'""0
Wir setzen nun :
1,
v„ .
-. D,_l \
0,
1, ■
• "
0,
0, .
., 1
1,
0, .
■' " 1
0,
'>', ■
, V-'
0,
C-1! ■
., (,f_Y
f{p')=P " " = ^ ' ' -f{p}. {t>^a,,)
Für den Rest /^^> bilden wir eine entsprechende Größe /''''{p)- Die vor-
stehende Selaiion verwandelt sich alsdann in:
(5) fl!>l-^-/"'(l>l,
und diese Formel bleibt auch für « = 1 gültig, falls nur für eine Form
F von Null Variablen F{p } = -^ genommen wird.
Es bandelt sich jetzt um die Bestimmung der Größe A. Nach dem
Satze (B) muß A-p"~^ die Anzahl aller Lösungen von f{^i)^=a{modp)
ausdrücken. Bedeutet « den Index der ersten von den Zahlen ra^, w^, . . .,
ro„_i, cj„ (= — oo), welche nicht verschwindet, so können wir f von dem
Typus voraussetzen:
wo ein jedes «j,Ka, ...,«^ und ebenso der Rest /'f'^' primitiv in Ijezug
ant ji ist (F. Q., p. 19 [[S. 22]]). Wir erkalten denn f = * (mody), und
y Google
170 Zur Theorie der quadratischen Formen,
A-p""^ muß die Anzahl der Lösungen von = « (mod ;)) geben. Nun
läßt sich diese letztere Anzahl nach bekannten Sätzen herleiten.*) Man
gelangt BO zu folgenden Beziehungen:
1. wenn % = (mod 2),
A-{l-(,.p-i), 9 _ ((- 1) ".:_j.-,.^-_i?i) .
2. wenn « = 1 (mod 2),
^ _ (l + ». . p-'-''-) , ». _ (crJ) l_!Vi^- -i) .
Im Falle X = 1 hat man sich d^— 1 zu denken.
Wir können weiter die Größe f{p ] auf f^"^ [p ] zurückführen. Man
findet :
fip]-*-f>M,
wenn 9( den folgenden Ausdruck bedeutet; im Falle x = (mod 2),
a^^(i-,4)(:-i)..(i-,-i-.).(i-iy
und im Falle xsl (mod 2),
«-^(i-?)(i-f)"-('-,-^)-
Fui em X = 1 stimmt diese Gleichung unmittelbar mit (5) überein,
wählend sie für tm x > 1 leicht aus (5) mit Hilfe eines Schlusses von
3C — 1 auf X hervorgeht Man biaucht nur zu beachten, daß dem Reste
/"' in derselben Weise die Zibl x — l tuigebört wie dem Reste f die
Zahl X
Für alle ungeraden Primzahlen p, welche nicht in der Determinante
A dei Form / aufgehen, wird x = «, also Kjaj.-.a^^A (modp), wäh-
lend f''"' sich als Lin Rest von Null Variablen erweist Filr alle diese
Primzahlen p kommt daher:
1. wenn n^O (mod 2),
1 p^ 1
2. wenn » ^ 1 (mod 2),
fw ='^^'- (' - ?) ('-?)■■■ (1 - ,-^.) ■
*) Lebesgne, RechercheB sur les iiombres, § 5 (Journal de Liouville, T. 2,
pp. 266— S75). — O.Jordan, Comptes rendua, 1866, I, pp. 687—690; Traitö des
Bubstitutiona, 197—300; Journal de Liouville, 2°'^ aerie, T. 17, p. 372. — F. Q.
artt. VII- Vm [[8. 46-58]].
y Google
Anzahl der Formen in einem Genus. 171
Um die Größen f{p] voUständig darzustellen, woUen wir endlich f
als Haupirest für den Modul p' voraussetzen, Falls die Bezeichnungen
aus 4. gelten, so heißt dieses, f soll den Typus haben:
{p] gehört zu jeder von den X
Zahlen x,., welche gerade ausfällt, eine Einheit 9. Setzt man ^j_i = »'
*j = s, und ist also s — r = x^-^O (mod 2), so nimmt eine solche Einheit
den Wert nn:
Endlich sei q ^ 2. Nach Voraussetzung sind alle Zahlen tp^ ungerade,
und f stellt eine Gnmdform für den Modul 2 vor. Man gewinnt dabei',
nach F. Q., pp. 34—36 [[8. 33—35]] einen Hauptrest
q. = { *j + 2"». i; l ist, nicht die Bedingungen
(7) 1^ ^ ^, ^ - . . ^ I, ^ ö, (mod 2)
erfüllen. Über aUe diese Wertsysteme |^ (4= 0, 0, , . ,, 0) ei-strecheri wir
alsdann die Summe
um
und wir wollen den Grenzwert ermitteln, welchen diese Summe für ein
positives, nnendiich abnehmendes p erreicht.
Die definierten Wertsysteme |; werden in einer gewissen Anzahl A
von arithmetischen Progressionen
li - HAB ■ X^ + v„ ^3 = 8A-R -X^ + v^, .. ., |„ = 8AB ■ X„ + »„
enthalten sein. Man bezeichne mit 2^'-'"~^> • A^, wenn k> l, die Anzahl
aller deijenigen Lösungen S,^ (mod 8) von
-yg>(^.) = a (mod 8),
welche nicht zugleich den Bedingungen (7) genügen, und wenn x = 1,
die Anzahl aUer möglichen Lösungen dieser Kongruenz; femer mit
2k-i._^^ die Anzahl aller Lösungen von
fpi^^^) = Gj^cc (modj)),
wenn p eine der ungeraden Primzahlen aus AB bedeutet. In den Aus-
drücken von Ä^ und A^, erscheint a, wie wir wissen, nur in den Einheiten
C(«). Dieser Umstand läßt erkennen, daß die Anzahl A den Wert hat:
A_(8AS)".i/7j^-(l-|)4J, (5-2, 8,r)
WO q die 1 + b + r Primzahlen von 8Alf durchläuft.
Setzt man für die 1; zunächst nur alle diejenigen Systeme, welche
in einer der A Progressionen vorkommen, so ergibt sich der Grenzwert
der entstehenden Summe für ein p = + 0, nach F. Q., p. 148 [[S. 121]],
gleich
y Google
Zur Theorie aar quadratisclien Por
{ SAB)-"
Für die gan/.fj Summe £ wird daher
,, = gS + b + t y^ i,.i «' \i ; ; '
WO (8AJil)i das über alle Primzahlen q TOn 8A2i erätreßkte Produkt
Yl (l — -) bedeutet.
Eine Summe X, von ähnlicher Beschaffenheit wie £, mag jetzt nur
alle solchen Systeme ^, = «j umfassen, in welchen die n Zahlen |^, Isi ■ ■ -i ^
keinen gemeinschaftlichen Teiler haben. Offenbar entstehen alle mög-
lichen Systeme ^j, wenn wir diese besonderen Systeme x^ mit allen posi-
tiven und KU SAR relativ primen Zahlen z multiplizieren. Man findet
daher
und in der Grenze für p =- 0:
Die hiei* auftretende Summe hat bekanntlich den Wert;
(8AJfX-S„,
wenn jS^, die Summe 1 -f -^-„- + -S7, + ■ ■ ■ ^nid (8 AB),, das über allti Prim-
zahlen q von 8AÜ erstreckte Produkt / / (l ~ir) ausdrückt.
Wir bemerken noch, daß die Summe X. sich in t{f") untereinander
identische Summen Xp zerlegen läßt. Dabei ist imter t{f)j wie in 1.,
die Anzahl aller Substitutionen von der Determinante 1 verstanden, welche
die Form /' in sich selbst transformieren. (Solche Summen X^ haben
dann auch in Fällen indefiniter Formen einen Sinn.)
Wir bilden endlich die Doppelairmme:
erstreckt, einmal: über alle die in äquivalenten Formen f{^ rp, mod 6, - 8Aif),
die wir oben als Repräsentanten der einzelnen Klassen des (rciius auf-
y Google
ÄnEabl der Formen in einem Gemiä, |91
gestellt hatten; und dann, für jede dieser Formen /': über alle solehen
Systeme x^, x^, . . ., «„ ohne gemeinsamen Teiler, weiehe einer Kongi'uenz
'l^} = «2a (modSAJi)
geniigen, wo z zu 8 ATE relativ prim ist, und weiehe dabei, falls x > 1,
nicht alle Bedingungen
(7) x^ = x^ = - ■ ■ = x.^ = G^ (mod 2)
erfüllen.
Der Grenzwert l der früheren Summe X hatte sich als unabhängig
von der speziellen E'orm /' erwiesen. Infolgedessen muß der Grenzwert L
dieser Doppelsumme gleich f x^ jj^^ sein. Durch die hier erscheinende
einfache Summe ist aber das Maß M unseres Genus dargestellt; man
erhält demnach:
L^e„- '^ ■ -- '-- ■ ■ ^_' . 17^, ■ -^li"- (i = 2, ., r)
" a^ + h + t (8Aii)„-S^ VA 11 '
Wir werden jetzt für L einen zweiten Ausdruck ableiten, und
durch Vergleichung der beiden Ausdrücke werden wir dann die in S. auf-
gestellten Formeln als richtig erkennen.
10. Bestimmung öesselh«n Grenzwertes auf anderem Wege.
Wir huben soeben den Grenzwert L gefunden, indem wir uns die
Summe S erst nach den einzelnen Formen f, und dann nach der nume-
rischen Größe der Zahlen --■-* geordnet dachten. Nun handelt es sich
in S um lauter positive Glieder; wir müssen daher zu demselben Grenz-
wert L gelaufen, wenn wir die Summe S direkt nach der Größe der
Zahlen — f{x^ = m anordnen. Durch ein solches Arrangement entsteht
für S zunächst ein Ausdruck von der Gestalt:
M{m )
>2-
WO die Summation alle positiven Zahlen m betrifft, die zu 8A7? relativ
prim sind und den Gleichungen G(m) = Cia) genügen.
Für jede dieser Zahlen m hat die Größe Jf (m) folgende Bedeutung.
Es bezeichne m{f), wie oft eine bestimmte Form f die Zahl a^m mit
Hilfe von Systemen x^ darzustellen vermag, welche keinen gemeinsamen
Teiler > 1 haben, und außerdem, falls )t> 1, nicht alle Bedingungen i^7~i
erfüllen. Dann ist:
y Google
192 2ur Theorie der quadratiechen Formen,
wo die Summe sich über alle die Formen f erstreckt. Die Größe M{m)
bildet also, wie wir uns nach F. Q., p. 142 [[S. 116]] ausdrücken, das
Maß für alle die definierten Darstellungen x^ der Zahl ffjm durch die ver-
schiedenen Formen f des Genus G.
Treten in der Zahl m im ganzen ft ungerade Primzahlen p^, p^, ■ ■ ■, p^
auf, so erscheint, nach F. Q., p. 143 [[S. 117]], dieses Maß M(^}i) als das
2''-faohe YOn dem Maße eines bestimmten positiven Genus G()k) von
Formen mit n — 1 Variablen, welches enge mit dem Genus G zusammen-
hängt. Von den Sätzen, welche diesen Zusammenhang feststellen, wollen
wir hier soviel anführen, als für die Bestimmung der Größe M{m) von
Wichtigkeit ist (vgl. F. Q., art. XVIE [[S. 102—113]]).
1. Es sei zunächst w — 2, in welchem Falle A und öj identisch
sind. Je nach der Beschaffenheit der Zah! m bieten sich zwei Möglich-
keiten dar.
Entweder ist für die Zahl m die quadratische Kongruenz
— A-^E^s^ (mod 6^in)
nicht losbai In diesem Falle existiert auch das Genus G(m) nicht, und
man hat sein Maß gleich zu setzen.
Odei diese Ivongruenz ist lösbar und besitzt 2-" Lösungen s (mod e^m).
Alsdann wud das Genus G{m) von der einen Form = |^ gebildet und
liefert das Maß 1.
In beiden Fällen kann man schreiben:
Der zweite Fall ereignet sich beispielsweise, wenn man für e,«* den
ersten Koeffizienten einer der Formen f wählt, was man tun darf. Denn
nach Voraussetzung ist ein solcher Koeffizient = ß^a (mod 6^-8A7J). Man
hat dann jedenfalls ( 1 =^ 1, worin eine Bedingung für die Einheiten
0{m) = G{a) liegt.
2. Ist n > 2, so erkennt man zunächst, daß die Invarianten von
G{m) durch die Zahl m\G{m) ^ C{u)\ und die Invarianten von G stets
in solcher Weise ausgedrückt sind, daß das Genus (?(m) wirklich existiert.
Wir haben bereits bemerkt, daß dieses Genus sich als positiv erweist.
Man findet es auch primitiv. Seine Invarianten o und ff erlangen die
Werte;
Es sei A^ =77"'""'' ""'' 3^^= JJ"'''''^^"""'''- ^^™ßi' f*^^^^ ^«'•'le Cli^-
yGoosle
Anzahl der Pormen in einem Genus. 193
raktere derart aus, daß für jede seiner Formen g = ^^ c,.j. §, ^j die —
Kongruenzen :
(18) — o^c^i^ = a-^S). (mod a^m)
je 2'' Lösungen zulassen.
Wir nelimen nun an, die Formeln aus 8. seien bereits für den Fall
w ~ 1 erwiesen, imd wir wollen dieselben benutzen, um das Maß YOn
G{m) aufzustellen. Wir bilden zu dem Behufe für irgendeine Form g
dieses Genus alle Großen g{i], und wir schreiben:
('-)(-^-C-7Bf)^
L G{m) erhalten wir dann einen Ausdruck:
. .t^!_^.^^_!. . E^^E.'-E.^. . . JS/
wo c„__^ eine Konstante bedeutet; und die Größe M{in) ergibt sich gleich
diesem Ausdrucke, multipliziert mit 2". Es sind jetzt die Größen E^ zu
ermitteln.
1) Ist zunächst q irgendeine ungerade Primzahl, die weder in AJEi,
noch in m aufgeht, so kommt nach 8., wenn « ~0 (mod 2):
und wenn « es 1 (mod 2):
1-
/(-i) ■
In dem letzteren Falle hat man zugleich" 1 ) = ( ) Bildet maii
das Produkt JJE^ über alle nicht in 2Afi»; aufgehenden Primzahlen q
in ihrer natürlichen Reihenfolge, so kann man für dasselbe, je nachdem
« s= (mod 2) oder w se 1 (mod 2) ist, entwedei 1 ndei die Summe
i>„-iL(— l)"'^~ffi»»Afi=J setzen.
2) Ist weiter q=p eine der p ungeraden Primzahlen aus m, und p^
die höchste Potenz dieser Primzahl, welche m teilt, so besitzt das Genus
G{m} Reste vom Typus:
g^c%'^p'{c,%,'+--- + c„_^V._i) {mo&p'), (t>d)
wo die Größen c, (\, . . ., c^_j sämtlich zu p prim sind. Aus den Kon-
gruenzen (18) erschließt man das Bestehen einer Kongruenz:
y Google
194 Zur Theorie der quadratisclien Formen.
— OyC = s^ (mod ^);
man findet ferner:
(iCj . . . c„_.g SS (— "') ■ A^ (mod ^'"'').
Im Falle eines n^O (mod 2), wo zugleich (— — 1 = (— ] , kommt also
;eben in diesem Falle:
K"-
dagegen, wenn k je; 1 (mod 2):
^p" = 2" ■
3) Ist endlich g eine der Primzahlen aua SAB, ao besitzt das ge-
gebene Genus G für einen jeden Modul q' Haaptreste f^ mit einem ersten
Koeffizienten G^m. Ana diesen Hsmptresten entspringen, nach den Sätzen
aus F. Q., arfe. XVIII [[S. 102—113]], in einfacher Weise Hauptreate des
Genus G(m).
Bedeutet q zunächst eine der ungej-aden Primzahlen /, r, so hat
ein f^ den Typus:
f,~e,mi'+ ^''^^^ (modg').
Der hier auftretende Rest /'''■' (mody'-"'') bildet dann einen Beat des
Genus G{m).
Ist g = 2, so 'müssen die Falle öj = 1 und o^ = 2 unterschieden
werden.
Im ersteren Falle hat ein /j den Typus:
f^-mh,^ + ^' (mod 2'),
wo /■''^i einen in bezug auf 2 primitiven Rest vorstellt, welcher im Falle
Oj^ = 1 (mod 2} eine erste Invariante ö gleich 1 liefert In diesem /''''
(mod 2'"*"!) finden wir einen Rest von G(m).
Im zweiten Falle (ö, — 2) hat f^ den Typus:
fi « f (^1
f, -^ 2(m|ä + Ä^ l+mi^) + -—-■ (mod 2'),
wo Ä ungerade und /"*^' primitiv in bezug auf 2 ist, und man gewinnt in
fm ^ (^.a^jrA'> rj' ^ 2ög/-(^i (mod 2'+')
einen ftest des Genus G(m).
y Google
AiiKahl der Formen in einem Genus. 195
In allen Fällen ergibt sieb, nun, nach 5. und 6., wenn t groß geuug
gewählt ist, die Beziehung:
■wobei A,^ mit der in 9. auf diese Weise beKeicbneten Größe ideutisch ist.
Für die Ausdrücke E^ und E^ folgt hieraus, wenn w = (mod 2) und
> 2, die Gleichung:
und wenn « 3S 1 (juod 2) :
_Ei_
AiiBu
Im Falle w = 2 findet man in ähnlicher Weise: f{q\ — -^j, also, da
hier E^ = ~.- ist: A^E,^ = 1.
Fassen wir alles Vorhergehende zusammen, so können wir die Große
M(m), wenn w > 2 ist, in folgender Form sehreiben:
~— ■ JJ^A^E^ ■ (m), (<1 = 2, d, r)
wobei im Falle eines geraden n:
und im Faüe eines ungeraden n:
(•■') - (Sit; ■ ■°»;-''-'^ lf'\>»AiS'] .
Dieser Ausdruck bleibt nun auch für w = 2 gültig, wenn Ci = 1 ge-
nommen wird.
Wir vergleichen jetzt den früher gefundenen Ausdruck von L mit
dem Grenzwerte Lim ( o ^ - \ ■ Dadurch erhalten wir eine Be-
Ziehung für das Maß M des gegebeneu Genus. In dieselbe setzen wir
jjf = c„ ■ ^ ^-—■~— ■ Yl^) ■ ^^ ■ -^c C^ = ^' <*'
wo Dr = J sei für ein ungerades n, und gleich 7>„L(— 1)^ AiJ^J für ein
n, und wo 2!) = A ■ E^ und ^
c^ = 2^(h-2); =-^.|-(«=eO, mod2i m>2);
yGoosle
196
Zur Tkeorie der quadratisclieii Formen.
die Größen aus 8. bedeuten sollen. Die Größe M^ erweist aicli dann als
unabliängig von der Zahl B^ und es wird Mg = 1 sein müsaen, damit die
in 8. für M aufgestellten Ausdrücke in Wirküchkeit gelten.
Schreibt man noch '-q für 9, so lauten die Endformeln: wenn n^2,
wenn w is (mod 2) ivad > 2,
(20)
( 8AJi),
i>A_{—iyABU
wenn « ^s 1 (mod 2),
' + f-'f^^^
(21)
(SA«, (8AÄ),_^.S,,_^, j.
gS + b + r' {8ÄÄ)„.S„ * ^"0
_Lim!(_2',/'Ti-"iJ("
Dabei durchläuft m, wie erinnert werden mag, alle positiven und
zu SAR relativ primen ganzen Zahlen, für welche die 2 + b + t Ein-
lieiten
«w (-1)"^'. (=)' (f). (-:')
gewisse feste Werte annehmen, die für ein n ~ 2 jedenfaUa der Bedingung
,„ = 1 genügen.
... (8Ajri)i
Diese Zahlen m bilden offenbar die Individuen von (8Aif)" ■ s + b + c
arithmetischen Progressionen SAB ■ U + m^, (P=0, 1, . . ., oo) von
der Differenz SAH. Infolgedessen muß nach Dirichlet die
bestehen :
(8 AB),
(221
T = Lim
{^2M
Von derselben werden wir sofort Gebrauch machen, um in allen
Fällen das Resultat Mn= 1 abzuleiten.
11. Beweis, daß Ma=l ist.
Wir schicken die folgende Betrachtung voraus:
Es sei eine ganze positive oder negative Zahl JV teilbar durch ai!
ungeraden Primzahlen, die unter einer gewissen Grenze G^ + 1 liegei
y Google
Anzahl der formoa in einem Gfenna. 197
ferner soll p die sämtlicheu Primzahlen irgendeiner zn 2N relativ primen
Zahl m durchlanfen; endlich sei v > 1 und y —
die Ungleichungen:
1 - ;' < I>rW\ < 1 + r; K (^^'K ■ -5,. < i + y;
In der Tat, man erhält zunächst
wo die Sumniation sich auf alle zu 2^ relativ piimen und positiven
Zahlen m bezieht. Die kleiaste dieser Zahlen ni, welche von 1 ver-
schieden ist, besitzt mindestens den Wert G + 1. Die vorstehende Summo
liegt daher zwischen den beiden Größen:
1 ± ((ff+"iy> + (e + 2? + ■■■)■
Da nun
A... < r^
S/i ~ ^^^ ganze Zahlen linden, indem mau immer zuerst p,^ ~ der
Kongruenz
j)/'"'^ — — — ll^L_^.— - . (modj*/') (h = d^-\,d + 2,...,n)
gemäß wählt und hernach
q, = -^ (k = d+l,d + 2,...,n)
setzt. Beispielsweise kajin man für die Zahlen p,!" die höchsten in den
Zahlen r,^" überhaupt aufgehenden Potenzen irgendeiner Primzahl p nehmen,
wodurch man auf die für uns wichtige Zerlegung kommt.
y Google
Rational ineinander transforinierbare quadratische Formen. 235
Mit dem Nachweis der inTarianten Natur der Einheiten C^ ist zu-
gleich die Existenz der oben verraittels dieser Eialieiteo definierten Zahl B
sichergestellt, und es erübrigt nur noch zu zeigen, daß in der Tat mit
den Zahlen n, I, A, Ji das Systeru derjenigen Funktionen einer quadra-
tischen Form, welche bei allen rationalen umkehrbaren Transformationen
der Form ungeändert bleiben, vollständig erschöpft ist.
Zu dem Ende gehe ich wieder von irgendeiner gaazzabligen qua-
dratischen Form f aus, und ich suche dieselbe rational in eine ganzzahlige
Form mit möglichst kleiner Determinante zu transformieren. Es fr{^
sieh, kann dabei ein bestimmter Primfaktor p der Determinante in Wegfall
kommen oder nicht.
Ee sei zunächst p eine ungerade Primzahl. Man bestimme irgend-
eine mit f äquivalente Grundform in bezug auf ^; aus einer solchen folgt
für einen jeden Modul p' ein Hauptrest von dem unter (5) angegebenen
Typus; es werde eine solche Potenz p' gewählt, welche die zu /' gehörige
Potenz p'"~^ überschreitet. Sowie dann in dem betreffenden Hauptreste (5)
einer der Exponenten ?>^_j sich ^ 2 erweisen sollte, kann derselbe um 2
verringert werden, dadurch daß man die zugehörige Variable dem p'*"
Teile einer neuen Variable gleich setzt, bei welcher Operation alle Koeffi-
zienten des Hauptrestes ganze Zahlen bleiben werden. ludem man diese
Reduktion so oft als angänglieh wiederholt und am Schlüsse nötigenfalls
noch eine Umstellung der Variablen vornimmt, kommt man zn einer Form
mit einem Reste:
worin alle «^ zu p relativ prim sind. Die Determinante dieser Fonu ent-
hält genau die Potenz jp'" als Faktor, und m ist eine Zahl zwischen
und n. Ob m gerade oder ungerade ausfällt, wird davon abhängen, ob
die Primzahl p in der Zahl A von f nicht enthalten war {S = 0) oder in
ihr vorkam [ß = 1). Die Einheit C^ erhält liier den Ausdruck
ItR Falle n ^ 2 ist dalier, sowie p in A nicht vorkommt und — A quadra-
tischer Rest von p ist, immet- 0^=1 (nämlich sowohl für m = 2 wie
für m = 0).
Die erhaltene Form kann nun unter Umständen so transformiert
werden, daß an die Stelle von m eine kleinere Zahl tritt. Hat man näm-
lich eine binäre Form
/ pa \
y Google
236 2ur Theorie der quadiatiaohen Pormeu,
(icli bezeichne hier die Form durch das quatiratische Schema ihrer Koef-
fizienten), in welcher a und ß znp relativ prim sind, und ist — aß quadra-
tischer Rest von p, so kann man eine Zahl rj finden, so daß k -|- ßtj'
durch p, aber nicht dnrch p^ aufgeht, und jene Form verwandelt sich
durch die Substitution ■ L. in eine andere Form, deren Deter-
minante genau die Potenz p^ enthält, von der sich aber der quadratische
Ip-i I
Faktor p^ ablöst, den man durch die Substitution i beseitigen
I P \
kann; es resultiert dann eine Form, deren Determinante überhaupt nicht
durch p aufgeht und welche wieder eine Grundform in bezug auf p ist.
Ist aber in jener binären Fonn — aß quadratischer Nichtrest von
P, so fällt a + ßtf (joioAp) für alle ^— — modulo j? inkongmenten und
von Null verschiedenen Quadrate r}^ von Null und von a verschieden aus,
und muß deshalb für mindestens eines dieser ij einen anderen quadrar
tischen Charakter in bezug auf j) liefern als a. Durch die mit dem be-
treffenden :; gebildete Substitution wird dann aus j 1 (modß^)
I ij 1 1 _ _ _ V pßj
eine Grundform in bezug auf p, die sich in einen analogen Hauptrest
überführen läßt, in welchem aber die anstelle von a tretende 2ahl einen
anderen quadratischen Charakter in bezug auf p hat als k. Aus dieser
letzten Bemerkung ersieht man, daß, wenn die Zahl m oben ^ 3 ist, man
es immer so einrichten kann, daß unter den letzten m Zahlen k,^ sich
zwei solche befinden, deren negativ genommenes Produkt quadratischer
Ecst von p ist, und welche also zu der vorher beschriebenen Reduktion
Gelegenheit bieten. Ob dantf, wenn m gerade und bereits auf 2 gebracht
ist, jene Operation noch einmal anwendbar eracheint, ob also die Prim-
zahl p durch rationale Transformation aus der Determinante ganz heriius-
geschaift werden kann oder aber die Determinante immer durch p* teil-
bar bleiben muß, wird davon abhängen, ob C^ -= 1 ist oder = — 1. Man
sieht demnach, daß, je nachdem die Determinante von f eine gerade
Potenz von p enthält und Cj, •^^ 1 ist, oder sie eine ungerade Potenz von
p enthält, oder eine gerade und C^ — — l ist, man von f zu einer Form ff
gelangen kann, deren Determinante überhaupt nicht durch p aufgeht, oder
den Faktor p enthält, oder den Faktor p^. Für diese Form (/ existieren
dann außer c und C keine weiteren quadratischen Charaktere in bezug
auf die Prim7:ahl p. Denn alle derartigen Charaktere müßten sich, wie
bereits oben bemerkt wurde, aus den Werten der dieser Form zugehörigen
Gaußscben Summen g{0 sieh noch nicht der Formel (2)
anpassen, einfach Null sind.
Fassen wir alle diese Resultate zusammen, so ist in der Tat gezeigt,
daß jede vorgelegte Form f rational in eine Form eines durch ihre
Zahlen A und B völlig bestimmten Geschlechts von der zu diesen Zahlen
gehörigen Determinante J.BB (B bedeutet den Quotienten aus B und
dem größten Divisor von A und B) transformiert werden kann, und
zwar, mit Ausnahme des Falles « = 2, ■— J. = 5 (mod 8), C^^ — 1, in
eine Form der ersten Art.
Wenn n > 2 ist, kann unter Umständen noch ein zweites G-esehlecht
von der Determinante .4BB und mit denselben Invarianten /, A, B vor-
handen sein, nämlich wenn diese Deteiminante und diese Invarianten gan«-
zahligen, uneigeutlich primitiven Formen angehören können; die Haupt-
leste dieses Geschlechts in bezug auf Moduln 2' müßten dann aus lauter
Formen ( | mit ungeraden a und 6 und eventneU noch einer Form
2«!^ mit ungeradem ce zusammengesetzt sein, was zu den Bedingungen
«=0, ^sl (mod 2), c = l, Ca=C, oder w = l, ^ = (mod 2), c^= C^
führen würde. Haben diese Bföiiehungen statt, so existiei-t jenes zweite
Geschlecht wirkhch, und wählt man dann, was für « > 2 immer möglich
ist, einen jener Hauptreste so, daß die Zahl y in irgendeinem seiner
binären Teilreste durch 2, aber nicht durch 4 aufgeht, so kommt man
durch eine mit den Variablen dieses Teilrestes vorgenommene Trans-
[2 j
formation L, i auf eine Form des ersten, eigentlich primitiven Ge-
schlechts zurück.
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ZUR GEOMETRIE DER ZAHLEN
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über die positiven quadratisclieii Formen und über
kettenbruchälinUclie Algorithmen.
(Ci-elles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 107, S. 218—397.)
Die wesentlich positiven quadratischen Formen verdienen und ge-
statten eine besondere Behandlung durch den Umstand, daß sie die ein-
fachsten Formen sind, bei welchen durch den Wert der Form zugleich
die Wert« eämtUcher Veränderlichen begrenzt sind. Ans diesem Grunde
erscheinen sie als ein naturgemäßes Hilfsmittel für die Untersuchung von
Reihen dislcreter Größen, und in diesem Sinne sind sie namentlich von
Herrn Hermite zu wiederholten Malen mit bedeutendem Erfolge ver-
wendet worden.
Wenn ihren Koeffizienten imh gmz 1 eliebige reelle Werte, nicht
durchaus rationale beigelegt weiden --o stellen sie doch immer geeignete
Formen für Zahlen vor, d h es hit einen Smn, die Unbestimmten in
ihnen auf die Reihe der ganzen Zahlen zu bebehranken. Bei einer solchen
Auffassung können diese Foimen im speziellen als der analjtiacbe Aus-
druck gewisser einfacher geometrischer Gelulde gelten, der parallelepipe-
disch angeordneten regelmitBigen Punktsjöteme, und es müssen irgend zwei
Formen als äquivalent betrachtet werden, welche auseinander durch lineare
Substitutionen mit ganzzahligen Koeffizienten und von einer Determinante
+ 1 hervorgehen.
Nun entsteht die Aufgabe, eine Vereinigung äquivalenter Formen,
eine Klasse, vollständig durch Invarianten zu charakterisieren. Erst für
binäre Formen hat durch die Untersuchungen von Herrn Kroneeker
diese Aufgabe insofern eine vollkommene Lösung gefunden, als hier in
hinreichender Anzahl invariante Bildungen als explizite Funktionen eines
beliebigen Elements der Klasse und in einer Gestalt, welche die In-
varianten ei gen Schaft unmittelbar in Evidenz treten laßt, gewonnen sind
Ähnliche Aufschlüsse hinaichtlieh der Formen mit höherer Variablenzahl
mögen aus den jüngsten Arbeiten dieses Forschers zu erwarten sein.
Indes ist die genannte Aufgabe einer Lösung noch in einem anderen
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244 Zur Geometrie der Zahlen.
Sinne fähig. Gelingt es, aus den unendlich vielen Formen einer Klasse
durch bestimmte Bedingungen eine einzige auszusondern, so stellt eine
solche sogenannte reduzierte Form gewissermaßen ebenfalls ein vollstän- ■
digea Invariantensystem der Klasse vor, nur daß der Ausdruck dieses
Systems von irgendeiner gegebenen Form der Klasse auch jedesmal erst
durch ein gewisses besonderes Verfahren (das dafür aber nur arithmetische
Operationen in beacb.ränkter Zahl erfordern darf) hergeleitet werden kann.
In solcher Art hat Lagrange*) die Theorie der biliären quadrati-
schen Formen in Augriff genommen und zu einem glänzenden Abschlüsse
gebracht. Seine Resultate über die definiten Formen erhielten durch
Legendre**) eine Fassung, welche wohl auf ihre Verailgemeinerungs-
fähigkeit hinweisen konnte.
Aus der fünften Sektion der „Disquisitiones arithmeticae" entnahm
Seeber***) die Anregung zu einem Studium der analogen Fragen be-
treffs der ternären definiten Formen. Seine äußerst mühsame und nicht
erfolglose Arbeit fand eine angemessene Würdigung in einer von Gaußf)
hen-tthrenden, höchst bemerkenswerten Anzeige. Namentlich durch zweierlei
ist diese Anzeige ausgezeichnet: einmal durch den Hinweis auf das von
uns schon erwähnte geometrische Äquivalent einer Klasse von positiven
quadratischen Kormen, dann durch eine eigentümliche Identität, mittels
deren eine wichtige, von Seeber nur durch Induktion gefundene Grenze
für die Koeffizienten seiner reduziei'ten Formen direkt in Erscheinung tritt.
Die beschwerliche Methode und die verwickelten Beweise von Seeber
veranlaßten Diriehletff), für den das nicht Einfache überall nur ein
Zeichen des Unvollkommenen war, zu einer von Grund aus neuen Be-
handlung, bei welcher er besonders auch durch die von Gauß nur mehr
in ihren Umrissen angedeutete geometrische Einkleidung eine außerordent-
liche Durchsichtigkeit erzielte. Der große Fortschritt von Dirichlet
bestand darin, daß er nicht mit dem schwerfälligen rechnerischen Aus-
drucke der Ungleichungen operierte, durch welche Seeber reduzierte Formen
definiert hatte, sondern mit deren wohlerkannter innerer Bedeutung,
welche darauf hinausging, die reduzierte Form von gewissen in dem zu-
*} Eecherchos d'Arithnietique. Memoirea de rAcademie de Berlin, 177S, p. 365.
(Oenyree, T. UI, p. 695.)
") Theorie des Nombres, S"" ed., T. 1 @ VIII.
■***) Untersuoliiiagen über die Eigens ciafteii der positiven terniiren quadratischen
Formen, Preiburg i. B,, 1831.
t) Göttingische gelehrte Anzeigen, Jahrg. 1831, H. S. 1065 (auch Grelles Journal,
Bd. 20, S. aia und Werke, Bd. n, S, 188).
tt) Ueber die Reduction der positiven quadratischen Formen mit drei unbestimmten
gauKeii Zahlen, Grelles Journal, Bd. 40, 1850, S. 209. (Werke, Bd. II, S. 21.)
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Ülier kettenbruchähnliclie ÄlgoritLraeu. 245
gehörigen Punktsysteme vorkommenden kleinsten Entfernungen abLiingig
zu macben.
Dasselbe ebenso einfache wie sachgemäße Prinzip, doch in rein aritb-
metiacher Fassung, befolgte Herr Hermite*) in seinen zablentbeore-
tiscben Briefen an Jacobi, welche in demselben Bande von Grelles Jonrnai
gedruckt sind, in dem die ausfübrlicbere Darstellung Diricblets nach
einem bereits vorher im Monatsbericht der Akademie (Jahrg. 1848) ge-
gebenen Auszuge erschien. Die Untersuchungen von Herrn Hermite
bezieben sich auf Formen mit beliebiger Variablenzahl; sie beginnen mit
der AufsteRung des Fnndamentalsatzes der Reduktion, wonach die kleinste,
durch eine positive quadratische Form von n Variablen mittels ganzer
Zahlen darstellbare, von Null verschiedene Größe in ihrem dimensions-
losen Verhältnis zur 71^"'^ Wurzel aus der Determinante der Form niemals
einen gewissen, nur von der Zahl n abhängigen Betrag iibereteigt; und
sie stellen sich in ihrem Verlaufe als ein ununterbrochenes Zeugnis für
die Fruchtbarkeit dieses Satzes in fast jedem Abschnitte der Zablenlehre
dar; es seien nur die Anwendungen auf Kettenbrüche, komplexe Einheiten
und approximative Auflosung von Gleichungen hervorgehoben.
Insbesondere ergibt sich aus jenem Satze mit Leichtigkeit und noch
auf mannigfache Weise die Endlichkeit der Klassenanzahl bei Beschrän-
kung auf ganzzahlige Werte der Koeffizienten und einen festen gana-
zahügen Wert der Determinante. Für diese spezielle Folgerung mußte
offenbar bereits ein Verfahren genügen, um aus jeder Klasse überhaupt
nur eine endhche Anzahl von Formen, nicht gerade eine einzige auszu-
sondern. Eine wertvoRe Ergänzung lieferte deshalb Herr Camille Jor-
dan**) durch den Nachweis, daß bei gewissen Festsetzungen wenigstens
eine bloß von der Variableuxahl abhängige Grenze für die Anzahl der im
Maximum aus einer Klasse ausgesonderten Formen besteht, indem über-
haupt die Substitutionen, durch welche die ausgesonderten Formen inein-
ander bei Äquivalenz oder in sich selbst übergehen könnten, von vorn-
herein mit der Variablenzahl und zwar in beschränkter Anzahl angewiesen
erscheinen.
Neue Gfesichtspunkte eröffneten Korkine und Zolotareff***), indem
sie jene besonderen Formen heranzogen und bis zur Variablenzahl fünf
vollständig bestimmten, für welche das in dem Fundamentalsatze von
Hermite genannte Verhältnis (des durch ganze Zahlen erreichbaren Mini-
mum zur «'™ Wiu-zel aus der Determinante) ein Maximum ist.
•) Crellae Journal, Bd. 40, 1860, S. 261—315. (Oeuvres, T, I, pp. 100—163,)
**) Mömoirc sui l'equivalence des formea, Journal de l'Bcole Poljtechnique
T. SXIS, Cah. 48, 1880, p. 111,
*♦*) "Mathematisehe Annalen, Bd. 6, 1873, S, See unä Bd. 11, 1877, S. 242.
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246 2ur Geometrie der Zahlen.
In ^,i, + ■■■ + 9>„*i. {i-i.,2,.. ., n)
so muß daher
abs, x^ ^ ")/(?(abs. 91^^ + abs. ^x^-\-)fiX^^--- +V,«„
konstruiert, wobei die Additionen in geometrischem Sinne zu verstehen shid.
Hiernach würde man folgendermaßen zu den sämtlichen Punkten mit
ganzzahl igen Bestimmungsstücken X-^, x^ . . ., x^ gelangen können: Man stelle
in die am Punkte von den dort ausgehenden n Strecken p-^, (J^, . . ., p„
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248 2iu; Geometrie der Zahlen.
gebildete K-kantige Ecke — das Vorhandenaein einer solchen wirkliehen
Ecke ist die Folge der Unabhängigkeit der Gleichungen (la) — ein mit
diesen n Strecken als Kanten konstruiertes w-dimensionales Parallelepi-
pedum. Von den 2n (w — l)-dimensionalen Begren zun gs ebenen dieses
ParaUelepipedum wollen wir die n durch den Punkt nicht hindurch-
gehenden in ihrer ganzen Ausdehnung, d. h. mit aUen ihren GrenKÜnien
verschiedener Dimensionen, also im besonderen mit aUeu übrigen Eck-
punkten, als nicht mehi- zu dem Bereiche des ParaUelepipedum gehörig
betrachten; in ähnlichem Sinne wollen wir uns auch künftighin den Bereich
jedes irgend einmal vorkommenden ParaUelepipedum festgesetzt denken.
An jede der 2m Begrenzungsfläclien dieses GrundparaUelepipedum lege
man gleichgerichtet ein vollkommen gleiches ParaUelepipedum, an die
noch freien Begren anngsflächen dieser Parallel epipeda wieder ein gleiches,
und dieses Verfahren denke man sich unbegrenzt fortgesetzt. Dann finden
sich die gesuchten Punkte in den einzelnen Hauptecken dieser nacheinander
konstruierten Parallelepipeda.
Das vollständige System dieser Punkte mit ganzzahligen Bestim-
mungsstiicken x^jX^, . . .,a:^ ist um jeden einzelnen seiner Punkte in gleicher
Weise gelagert. Wir nennen es deshalb ein regelmäßiges Punktsystem.
Wir werden ein solches System mitunter einfach mit dem Buchstaben ^
ohne weiteren Zusatz, oder wenn die Dimension des Systems kenntlich
gemacht werden soU, mit ^'"' bezeichnen. Ein System ^ besetzt nach
irgendeiner ParaUelvereehiebung entweder voUständig neue Punkte oder
tritt wieder ganz in die anfänglichen Lagen seiner Punltte ein.
Da die zu konstruierenden Parallelepipeda den ganzen vorausgesetzten
)i-dimensio aalen Raum lüclienlos erfüUen werden, und da sie überdies nach
den Punkten des Systems zählbar, d. h. ihnen eindeutig zugeordnet sind —
nach unseren Festsetzungen über den Bereich dieser ParaUelepipeda ist
ein jeder Punkt des Baumes einem und nur einem der Parallelepipeda zu-
zuteilen — -, so wird innerhalb eines, überallhin gleichmäßig ins Unend-
liche ausgedehnten Gebiets (man denke beispielsweise an einen w-dimen-
sionalen Würfel mit unendlich großer Kante) im Durchschnitt ein Punkt
des Systems auf einen Baumteil gleich dem Volumen des GrundparaUel-
epipedum kommen. In der Maßzahl dieses Volumens erkennen wir hier-
nach eine für das Pimktsystem an sich charakteristische und von der
Wahl des Gerüsts, durch welches wir die Punkte verbunden haben, völlig
unabhängige Konstaute; und den reziproken Wert dieser Maßzahl werden
wir passend als die mittlere Dichtigkeit des Punktsystems bezeichnen können.
Zu jedem Punktsysteme gibt es offenbar ein geometrisch ähnliches
Punktsystem von der mittleren Dichtigkeit 1.
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über kettenliruchähnlio}ie Algorithnien, 249
3. Erneuter Beweis der Gmiideigenscliaft.
Die in 1. bewiesene Grundeigensehaft der wesentlich positiven qua-
dratischen Formen läßt sich nun auch leicht geometrisch einsehen.
Die gesamten Begrenzunga flächen der vorhin konstruiert gedachten
Parallelepipeda sind enthalten in n verschiedenen Scharen von lauter
parallelen und äqaidistanten (n — l)-dimerisionalen Ebenen, als deren
Durchschnitte eben die Punkte unaerea Systems sich ergehen. Die Di-
stanzen in den einzelnen Seharen werden durch die n Höhen des Gruud-
paraUelepipedura geliefert; die Längen dieser Höhen mögen Äj, A^, . . ., A„
heiSen.
In jeder einzelnen Schar sind die Elemente nach einer bestimmten
der n Zahlen Xi, x.2, ■ . ., X^ zu numerieren. Im Nullpunkte kreuzen sich
die Nullelemente aller Scharen; in einem Punkte P mit ganzzahligen Be-
stiramuugsatücken iCj, iCj, . . ., ;r„ das Xj^ Element der ersten, das x^^ der
zweiten, . . ., das x^ der w*™ Schar. Nun kann der Abstand OP nicht
kleiner sein als der senkrechte Abstand zweier durch und P gehenden
(k — l)-dimenaionalen Parallelebenen. Soll also der Abstand OP eine
gegebene Länge YG nicht übers ehr eiten, d. h. soll:
f(x^, x^, . . ., x^)^ G
sein, so müssen um so mehr die Ungleichungen statthaben:
(3) /(„abs.iC^^^G, {a=l,2,...,n)
und diesen kann wieder nur eine beschränkte Anzahl von ganzen Zahlen
4. Positive quadratisclie Form imd Parallelepipeduin.
Die mit Ausnahme des Falles w = 1 immer vorhandene Willkür in
der Darstellung einer positiven quadratischen Form /' als Summe von n
Quadraten linearer Formen betrifft geometrisch nur die Neigung der Ele-
mentar parallelepipeda gegen die rechtwinkligen Koordinatenachaen, auf
welchen die linearen Formen ihre Auslegung finden: es sind ji'amlich die
Projektionen der Strecken ()j auf die Achsen der |j, |j, . . ., ^„ genau die
Koeffizienten :t^j, n^^j, . . ., !r„j der zugehörigen Variablen x,, in den linearen
Formen |^, g^, . . ., |^.
Die Figur des Elementai-purallelepipedum, ohne Rücksicht auf ihre
Stellung im vorausgesetzten n-dimensionalen Räume, aber mit Kennzeich-
nung ihrer Ursprungsecke und der Reihenfolge der Kanten an dieser Ecke,
bestimmt eindeutig den Ausdruck der Form f in ihren Koeffizienten. Soll
dieser:
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".yi
250 Zuv aeomokie der Zahlen.
lauten, so bedeutet jedeamal ein Koeffizient q^^^ mit gleichen Indizes das
Quadrat der Ijänge der Strecke p„, und ein Koeffizient q^,^ mit verschie-
denen Indizes das Produkt aus den Längen der Strecken p^ und })^ und
dem Kosinus des Neigungswinkels dieser Strecken. Ferner bedeuten:
1. die Determinante der Form, \%i,\ — ^, das Quadrat des Inhalts des
Parallelepipedum , 2. die symmetrischen Unter determinauten x- — die Qua-
drate der Inhalte seiner paarweise einander gleichen Begrenzunge ebenen,
so daß für die n Höhen des Parallelepipedum die Ausdrücke resultieren:
(a = l,2,...,n)
Alle diese Beziehungen sind am einfachsten durch ein Zurückgehen auf
das rechtwinklige Koordinatensystem der |,, l^, . • •, |„ einzusehen, werden
übrigens sofort noch klarer hervortreten.
Umgekehrt gehören dagegen zur gegebenen wesentlich positiTen Form
f (Formel (4)) in dem gleichen Räume von n Dimensionen immer zwei ver-
schiedene Arten von «-kantigen begrenzten Ecken, und dem entsprechen de
Parallel epipeda. Denn zunächst haben wir jedenfalls in 2, eine solche Art
gefunden, and zwar auf Grund irgendeiner Darstellung von f als Summe
der Quadrate von n linearen Formen. Um das dabei angewandte Ver-
fahren beschreiben zu können, ohne auf die Bedeutung der | - Koordinaten
wieder eingehen zu müssen, wollen wir uns auf den positiven Seiten der
rechtwinkligen Koordinatenachsen der |^, |g, , . ., |^ die n Punkte Ej , E^, ■• -t^n
markiert denken, welche in der Einheit der Entfernung von abliegen,
und die geometrischen Strecken nach diesen Punkten mit Cj, e^, ■ ■ ■, e„ be-
zeichnen. Dann entsteht die erste, zur Form /■ gehörige Ecke 0{F^F^.. ., P„)
aus 2. einfach, indem in die Strecken:
(4a) ^=%jei + 'Käi.e3+--- + 5t„je„ (6 = 1,2, ...,)()
angefügt werden. Der günstige Erfolg dieser Operation läßt sich am
besten mit Hilfe einer von Graßmann eingeführten Symbolik übersehen:
Das Produkt aus den Längen zweier Strecken I und m und dem Kosinus
ihres Neigungswinkels mag das innere FroäuH dieser Strecken heißen
und I|nt geschrieben werden. Offenbar gilt für diese Art von Multi-
plikation neben den Regeln i^l^a^^! ^«1^*= ^ (^^ + ^) ^^^ distributive
Gesetz, und daraus geht sofort pJPt'^ 'lab tervor. Andereraeits aber folgt
allein aus den Beziehungen p„|pt= 3„sj sowie man mit Hilfe der aus (Ib)
entnommenen Koeffizienten n Strecken:
(4b) ^a-fPalp! + 'r'as9i+ ■■■ + :tj + a^'-'^X, + ■■■ + w,f *^„)^ (/* = 1, ä, . . ., «);
die linearen Formen in diesem Ausdrucke sollen die n mit der Form cj
Minkowski, GcBsmmclte AbbandluDBen. I. IT
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258 Zur Geometrie der Zatlen.
konjugierten Formen yorstellen; unter (abs.)^ soll das Quadrat des abso-
luten Betrage einer solehen Form Terstanden werden, die Vai-iabien als
reelle Größen gedacht; femer soUen die Aj beliebige positive Konstanten
bedeuten. Eio solches f ist eine wesentlich positive quadratische Form,
und die Determinante dieser Form hat den Ausdruck jf^A^ abs. D, unter
abs. D den absoluten Wert der Diskriminante D verstandea. Die mittlere
Dichtigkeit in dem, zu einem Ideal a gehörigen Punktsysteme St wird
demnach
1 :Nra(a)l/y7ii-abs.D
betragen. Fassen wir uun in dem Punktsysteme 5t einen Punkt ins Auge,
welcher möglichst nahe dem Nullpunkte hegt, und benutzen wir die
in (6a) gegebene Grenze für die kleinste Entfernung zweier Punkte in
einem regelmäßigen Punktsysteme, so können wir aus dem Orte dieses
Punktes n Zahlen x-^, x^, . . ., x^ erschließen, für welche
m^x^ -\- co^x^ -\- ■ • ■ + o„Ä„ = (i
eine Zahl in a ist, und zugleich erweist sich für diese Zahlen der Ausdruck
Ein besonderer Nachdruck ist aus einem bald ersichtlichen Grunde darauf
zu legen, daB hier das Zeichen < und nicht etwa ^ sieh einfindet. Be-
nutzen wir nun, daß eine Summe von n positiven Größen niemals kleiner
ist als das w-fache der w'™ Wurzel aus dem Produkte der n Größen,
und setzen wir zugleich (Nm ft)^ für JJ (ahs. ^<**)^, so können wü- aus
der vorstehenden Ungleichung die weitere entnehmen:
n yiJX,^-{Nmi>.y < n VUK ■ (N"™ af abs. D. (h = 1,2,..., n)
Ist m das Ideal, welches die Gleichung Oft = am befriedigt, so haben wir
Nm(a)Nra(ni) = + Nm(^), und wir finden demnach:
Nm(m) < ")/abs. D.
Zu jedem Ideal gibt es hekufs Herstellung emes HawpUäeals mindestem einen
Multiplikator, bei welchem die Norm weniger 'bdrägt als die Wursel a/as dem
ahsolufen Werte der DisTmminanie.
Als eine spezielle Folgerung geht daraus der bekannte Satz hervor,
daß eine endhche Anzahl von Multiplikatoren ausreichend ist, um alle
Ideale in Hauptideale zu verwandeln*). Eine andere, sehr bemerkenswerte
*) Dieser Satz ist auf Herrn Kroneokei zunickKufiihreß. Vgl. die Bemerkungen
auf 8. 64 der Festschrift zu Herrn Kummera Doktorjubiläum, Grelles Journal, Bd. 92.
(Werke, Bd. 11, S. 320.)
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über kettenbru oh ahn liehe Algoiithmen. 259
Folgerung ist diese: Da die Norm eines Ideals eine ganze Zalil, mindestens
gleicli Eins ist, so eigibt die letzte Ungleichung 1 < y abs. D, also muß
D von ± 1 verschieden sein, d h
Jede Disknnnfwnte enthalt P)imzalilen als Faktoren.
Diese das We&en der aigebraiBclien Zahlen tief berührende Eigen-
schaft findet sich auf Seite 21 dei eben zitierten Pestschrift von Herrn
Kronecker ausgesprochen; doch ist ein Beweis dieser Eigenschaft bisher
nicht veröffentlicht worden.
Überhaupt kommen die kleinsten positiven wie negativen Zahlen bis
zu gewissen von der jedesmaligen Ordnung n abhängigen Grenzen als
Werte von Diskriminanten nicht vor.
Denn benutzen wir die zweite in 6. gefundene Grenze fär das Mini-
mum einer positiven quadratischen Fonn, so finden wir im übrigen nach
genau demselben Verfahren, wie bei der ereteu Grenze, eine schärfere Un-
gleichung, nämlich die folgende:
r(i + f) ,. ^
(7 b) Nm (m) < ^ — - - /»bs. D,
und diese können wir wieder mit der Ungleichung 1 ^ Nm(llt) verbinden;
so zeigt sieh, daß der absolute Wert einer Diskriminante n'" Ordnung
(t)"
sicherlich immer die Große ~y~ übertrifft.
Die zuletzt gefundene Grenze für die Norm eines Multiplikators
woUen wir noch in einem Beispiele anwenden. Herr Wolfskehl*) hat
vor kurzem den Nachweis geliefert, daß der zweite Faktor der Klassen-
anzahl fär die aus den 13™" Wurzeln der Einheit gebildeten Zahlen gleich
Eins ist. Dieser Nachweis erforderte außer einer Benutzung der Reusehle-
sehen Tafeln noch recht verwickelte Keehnnngen. Wir können hier ein-
facher zu demselben Satze gelangen und noch hinzufügen, daß die gleiche
Erscheinung auch bei den 17*™ und 19'™ Wurzeln der Einheit eintritt;
ja später werden wir sogar durch ähnliche Mittel dieses Resultat noch
weiter auszudehnen imstande sein.
Stellt X eine ungerade Piimzahl vor, so bedeutet der zweite Faktor
der Klassenanzahl für die aus den A'™ Einlieits wurzeln gebildeten Zahlen
— wir machen augenblicklich von der Kummerschen Terminologie Ge-
brauch — dasselbe wie die Klassenanzahl für die aus den - „—■ zwei-
■*) Grelles Journa-l, Bd. 99, S. 173.
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260 Zur Geometrie der Zahlen.
gliedrigea Perioden dieser Einheits wurzeln gebildeten Zahlen. Die Diskrirai-
nante des Syatems dieser letzteren Zahlen hat den Änsdruck X^ ; setzen
wir in die Uügleichung (7 b) diese Große für D und zugleicli — ^ — ^^^ '*i
so erlangt die rechte Seite dort folgende Werte:
für ;i = 5, 1, 11, 13, 17, 19,
1, . . . , 2, . . . , 13, ... , 34, ... , 311, . . . , 1027, ....
Bis zu diesen Grenzen hätten wir also höcbstenä die Normen der Multi-
plikatoren zur Hervorbringung wirklicher Zahlen zu suchen, und wenn
alle Zahlen bis zu diesen Grenzen sich in wirkliche Faktoren zerlegen
lassen soUten, so kommen in den hier betrachteten Fällen ideale Multi-
plikatoren und demgemäß auch ideale Zahlen überhaupt nicht YOr. Nun
entnehmen wir aus den Eeuschleschen Tafeln, daß für die soeben auf-
gezählten Werte von X alle Zahlen unter 1000 sich in wirkliche Paktoren
sen. Wir haben also nur noch in bezug auf X = 19 fest-
saß hier die Primzahlen zwischen 1000 und 1027, das sind
1009, 1013, 1019, 1021, ebenfalls einer solchen Zerlegung innerhalb des
durch die entsprechenden zweighedrigen Perioden bestimmten Gebiets
fähig sind. Nun gehören in bezug auf die Primzahl 19 die Zahlen 1009
und 1021 zum Exponenten 18, die Zahl 1013 zum Exponenten 9; diese
Zahlen sind also in dem fraglichen Zahl engebiet der zweigliedrigen
Perioden selbst noch Primzahlen. Die Zahl 1019 endlich gehört modnio 19
zum Exponenten 6, ihre Primfaktoren werden also von den drei sechs-
gliedrigen Perioden der 19'°" Eiuheits wurzeln abhängen. Diese sind die
Wurzeln der Gleichung 73^ + r/^ ~ Gt] ~ 1 = 0, deren Diskriminante den
Wert 2) = 19* hat. Da nun in dem durch diese Wurzeln bestimmten
Gebiete nach den Beuschleschen Tafeln die Zahlen bis zu yD = 19 in
wirkliche Faktoren zerlegbar sind, so können in diesem Gebiete ideale
Teiler nicht existieren, und demnach muß auch 1019 in drei wirkliche
Faktoren zerlegt werden können.
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IX.
Tlieoremes aritlimetiques.
Extrait d'une lettre de M. H, Minkowski k M. Hermite.
(CompteB renduH ' de l'Acad^mie des Scienees, t. 112, pp. 209 — 212.)
»La methode geometrique de inon travail*), traduite en langue
purement aualytique, conduit ä ce theoreme susceptible d'une application
tres etendue:
»Soit n un nombre plus grand que 1; soimt |, t;, £,..., n formes
Unetmes mdependantes ä n variables x, y, s . . . . Farmi ces formes, soient
ß pmres ^imaginaires cor>jtig^es et les (mtres n — 2ß = a formes reelles.
JJtm OM l'a/afyte des nombres a et ß peut aussi etre egal ä sem. SoU A le
däerminaM des formes !,»;,£,.... Soit enfin p une quanüie guelcongue
^1. On peut toiijows assigner ü x, g, g, . . . des valems enti&res, de sorte
que la somme
(abs, ty + (abs. riy + (abs. 0^ + ■ ■ ■
sott diffä-ente de «öVö et en mtme iemps plus petite qiie la quantite
r(> + i
qui est dle-meme plus petite que
«(abs. &)".
Ici abs. signifie « valeur absolue de » et P designe la i'onction gamma,
» En saivant une voie indiquee dans vos admirables lettres ä Jacobi,
je tirerai du tb^or&me que je viens d'exposer plusieurs conclusioas fonda-
mentales s\a les nombres algebriques.
*) üfeer die positiven quadratischen Formen imd über kettenbruchähnlicke Algo-
rithmen (Journal de Grelle, t. 107, p. 278). Diese Ges. Abhündlungen, Bd. I, S. 243—260.
y Google
262 Zur Geometrie der Zahlen.
» Soit ua Corps algebrique quelconque, irrdductible et d'ordre w, et
soit 5 une forme lineaire qui, pour toutes les valeurs entiöres de ses n
TEiriables x, y, z, . . ., represente fcous les entiers algebriques de ce corps;
soient, de plus, rj, ^, , . . les m — 1 formes eonjuguees ä §. Le discriminant
du Corps est represeute par le carre du determiuant A, et ee carre est
un entier ratioanel D du signe (— l)**. Eu faisant usage de l'inegalite
ishs.^rit...y^_[-
(abB.|)P + (abs.Ji)" + (abs-S)" -f •
et en remarquant que abs. | j; £ . . . est un entier ^ 1, pourvu que x,y,z,...
Boient des entiers et qu'ils ne s'evanouissent pas tous, les iuegalites du
theoreme enonce eutraineront celles-ci:
!<©'■ ""'"^"''
»Faisant d'abord abatraction du terme intermediaire, nous aTona ainsi
demontre le postulat profond de M. Kronecker*), que cbaque discriminant
est difFerent de ±1, c'est-ä-dire que chaque dis&iiminant corUieni des
nombres premiers comme fadeurs. C'est lä un detail bien digne d'attention.
Toufc nombre alg^brique iiratiomiel a ainsi aes nombrea premiers oritiques,
eomme toute fonction algebrique irrationnelle a aes pointa d'embranchemeat.
»Le terme dont nous n'avona pas tenu compte nous foumit pour la
valeur absolue d'un discriminant des limites inferieures plus complefces.
Ces autres limites, oü figure encore le nombre ß, s'accroiasanfc indeflniment
aveo l'ordre n, il est evident qu'w« nombre dotme quelconque ne peut etre
discriminoM que pow un nombre fint d'ordres n.
»De quelle manifere fixerart-on le mieux ia quantite ß, assujettie jus-
qu'ä present ä la Beule condition de ne pas etre moindre que I'unite?
Ou se convainera aisement que les limitea dont nous venona de parier
devront a'agrandir aussi longtemps que la valeur de p decroit. Ce n'eet
donc pas quand p est egal ä 2, valeur qui repond aus formes quadratiques,
mala dane le caa de p = 1, que cea limites seront le plus avaneees. II
en reaulte enfin ce th^orfeme:
» Le discriminant d'un Corps cägebrique, faisant partie de n Corps con-
jugues doni 2ß sord imaginaires et n — 2ß reels, est en valeur absolue tou-
jours plus grand que
*) Journal de Grelle, t. 92, (Werke, Bd, II, S. 269).
y Google
ThöoLÖmes aiitlimötic[ueB, 263
»Pav exemple, un discriminant du deuxieme ordre doit etre ou > 4
ou < — 2, .... Les valeurs les plus petites 5 et — 3 se trouveut däns
les equations o^+oi — 1 = et ia^+aj + l = 0.
» Un diseriminant du troieieme ordre doit etre ou > 20, ... ou
< — 12, .... De la limite precise du minimum des foraiea quadratiquea
positives temaires on aurait tire, en suivant utiß marclie tout analogue,
les inegalites D ^ 13,5 ou ^ — 13,5. La limite que nous avons trouvee
plus haut n'est douc pas, il est vrai, une limite precise, mais malgr^ cela
eile DOus foumit dejä des r&ultata que les formes quadratiques n'onfc pas
encore donnes. »
y Google
X.
Ober Geometrie der Zahlen.
Bericht über einen Vortrag KU Halle.
(Verhandlungen der 64. Naturforacliec- und ArzteverBammlung zu Halle, 1891, 8. 18
Jahresbericht der Deutschen Mathematiker -Vereinigung, Band 1, S. 64^65.}
Wenn man für den Raum rechtwinklige Koordinaten einführt, so ent-
sprechen den Systemen von drei gansen Zahlen diskrete Punkte, welche
derart über den Raum verstreut liegen, daß sie eine gewisse Nähe in
hezug auf jede beliebige ßaumsteUe erreichen. Den Inbegriff aller dieser
Punkte mit lauter Koordinaten, die ganze Zahlen sind, nennt der Vor-
tragende das dreidimensionale ZahlengiUer; unter dem Titel „Geomeirie
der Zahlen" begreift er geometrische Studien Über das dreidimensionale
Zahlengitter und Ober das entsprechende Gebilde in der Ebene, und in
weiterem Sinne auch die Ausdehnung der Ergebnisse solcher Studien
auf Mannigfaltigkeiten behebiger Ordnung. Natürlich besitzt jede Aus-
sage Über die Zahlengitter einen rein arithmetischen Kern. Das Wort
„Geometrie" erscheint aber durchaus am Platze im Hüiblick auf Frage-
stellungen, zu welchen die geometrische Anschauung verhilft, und auf
Untersucbungsmethoden, welche fortwährend durch geometrische Begriffe
ihre Richtung angewiesen erhalten.
Der Vortragende hat sich in betreff der Zahlengitter hauptsachlich
zwei Fragen gestellt; sie ei^änzen einander in gewisser Beziehung, und
folgendes ist ihnen gemeiosam: Es handelt sich, wenn speziell vom
Räume gesprochen wird, jedesmal um eine sehr allgemeine Kategorie von
Körpern, welche so konstruiert werden, daß sie einen bestimmten Punkt
des Zahlengitters — es sei dies etwa der Nullpunkt — in gewisser Weise
umschließen, und es soll dann jedesmal bei diesen Körpern eine gewisse
Eigenschaft in bezug auf das Zahlengitter allein durch die Größe des
Inhalts der Körper zustande kommen.
Die erste Kategorie von Körpern besteht aus allen denjenigen
Körpern, welche im Kullpunkte einen Mittelpunkt haben, und deren Be-
grenzung nach außen hin nirgends konkav ist; und die fragliche Eigen-
y Google
über Geometrie der Zahlen. 265
Schaft für diese Kategorie lautet: Wenn der Inhalt eines Körpers dieaer
Kategorie ^ 2^ ist, so schließt der Körper notwendig noch weitere Punkte
des Zahlengitters außer dem Nullpunkte ein.
Die aweite Kategorie von Körpern ist noch umfassender; sie besteht
aus allen Körpern, welche den Nullpunkt enthalten, und deren Oberfläche,
vom Nullpunkte aus gesehen, nach jeder Richtung hin nur einen Punkt
darbietet; und die fragliche Eigenschaft für diese zweite Kategorie lautet:
Wenn der Inhalt eines Körpers dieser Kategorie
ist, so können stets Deformationen des Körpers angegeben werden, hei
weichen der Inhalt sich nicht ändert, der Nullpunkt fest bleibt und gerade
Linien gerade Linien bleiben, und nach deren Ausführung alle Punkte
des Zahlengitters mit Ausnahme des Nullpunkts ihren Ort außerhalb des
Körpers finden.
Der Vortragende weist auf die außerordentliche Tragweite dieser, in
ihrer Allgemeinheit ebenso einfach wie plausibel klingenden Sätze hin.
y Google
XL
Estrait d'nne lettre adressee ä M. Hermite.
(Balletin des Sciences niatheinatic[ueB, 2« sörie, t. XVII, pp. 24—29.)
Veuillez bien permettre, Monsieur, que je yous donne un rapide re-
suDie de mon Ouvrage.*) La plus grande partie du livre traite des fonc-
tioüs q> k n varial>le8 ar,, x^, . , ., 3;,^, qui, eorame la racine cairee d'une
forme quadratique positive, satisfont aus conditions
Iq>(x^,x^, .. .,x„) > 0, si Ton n'a pas x^ = 0, x^= 0, ..., x^= 0,
y(0, 0, ...,0) = 0,
^r
(B) (p (X^ + )/i, Xs + JJ3,-. ., X^ + y„)<(p i^i, «3, ...,xj + (— x^, ~x^,..., — xj='^ (x^, «3, . . ., xj .
Soient Ij, Ig, . . ., 1^ ua iiombre fiui de formes liaeaires ä coefficieuts
reels et aux variables a;^, iBj, . . ., x„, et parmi cea formes soient n formes
ä deterniinant different de zero. Soit
'^(XifX^, ..., xj
le maximuin parmi les valeurs absolues de 1^, |g, ..., |^, Une teile foae-
tioa satisfera evidemment aux conditions d'ime fonction 95.
J'etablis d'abord ee theoreme:
ff etant une Solution quelconque de (A), (B), (C), et ö une quantite
positive choisie ä volonte, on peut toujoura trouver des fonctions "t» comrae
je viens de les caracteriser, de sorte que, pour toutes lea valeurs possibleg
de 3^1, Xj, ..., X , on ait
II en resulte que l'integrale ff . . . Jdx^dx^ ... dx^ etendne eur ie
domaine (pix^^jX^, ..., x^ -^1 aura toujours une valeur determinee. Soit
J" cette valeur. Je demontre alors que Von pmi tmtjowrs trowver des
nombres entiers x^,x^, ...,x^ pour lesquels on ait
(I) 0<^{x,,x„...,x„)<^-
F^
*) Gemeint- ist die „Geometrie der Zahlen." (Anm. d. Herausg.l
y Google
Estrait d'une lettire adressäe ä M. Hermite. 267
J'ajoute ce theoreme aupplementaire:
Le cas qu'il n'esiste pas de nombres entiers x^, x^, ..., x„, pour leg-
quels on ait
0 (Äi = l,2,...,n;7ij = l,2, ...,«;.. .;Ä„== 1,2,..., n),
ou n^ nombres entiers i^j ä determinaut ± 1, de sorte que ce Systeme
rfes une permutation convenable des hgnes, prenne une forme
{ c^i ... c„^
satisfaisant aus conditions
O^Cjj ], g, so hat man
immer
(1) agl < A.
yGoosle
282 Zur Geometrie der ZaUea.
Es enthält {a,g, l] genau einen Gitterpunkt auf jeder Seitenfläche, auf den
gegeniSterliegenden Flächen GUUrpunkte mit entgegmgesetsten Koordinaten.
Man kamt darunter immer om/" eine und nur eine Weise drei Gitterpimkie
r, s, t; r', s', t'\ r", s", t" auf nicht gegenüberliegenden Flächen ^ ^ sa,
ri^^sg, ^ = s'l finden, so daß se'e"= + l ist, und wenn das System
8^, Et], E't, durch
Ir, r, r" "i f <*, ± ^i ± f' 1
s, s', s" in *= ±A 9) ±^
t, t', t" J ( ±j, ±1, l ]
übergeht, die Größen a, h, e, f, g, h, j, Tc, l sämtlich positiv sind und ihre
Vorzeichen eines der folgenden sechs Systeme, ergeben:
I.
+ + +
+
n.
VI.
+
+ -
+ +
- + + i +
in den Fällen I. bis V.
+ -- + + +
+ ++ - + - - +
+ + + + +-
Dabei erweist sich dann die Determinante von P
gl^h l, im Falle VI. gleidi 0, und hat mam
(2) a>h, a>c; g>h, g>f; l>j, l>k,
und dazu noch je nach den einzelnen Fällen, die hier durch ihre Nummer
hmnüich gemacht sind, folgende weitere Bedingungen:
b~>c oder A>/' oder j>/e c>ii oder />Ä oder 'k>j b-\-c=a, h-^f=g,j-\-'k=l.
Von den hier durch das Wort oder verbundenen, zwei oder drei Be-
dingungen hat jedesmal wenigstens eine statt.
Es heiße {a,g,l\ in den Fällen I, — V. von der ersten, im Falle VI.
von der zweiten Art, und von der Substitution F, welche ihrerseits {a,g,l]
vöUkommen bestimmt, sage man, sie sei eine zu %, tj, £ gehörende Sub-
stitution.
Ist eine ganasahUge Substitution P mit der Determinante 1 so besdiaffen,
daß durch sie £§, e'^, e"S mit geeigneten Vorseichen s, e, s" in ein System
übergehen, welches eine der vorstehenden Bedingungen I. bis V. erfüllt, so ist
sie stets eine sm g, ij, g gehörende Substitution.
3. Man bilde für ein äußerstes {a,g,l} die Systeme F und 0, Ist
darin & > c, so befindet sich in {b,g,l] der Gittei-punkt r', s', t' auf dem
y Google
Zur Theorie der Ketteabrüche. 283
Rande einer |- und einer ij-Seite and der Gfitterpunkt r", s", t" im Inneren
einer g-Seite. Es muß dann {ö,tt, ZL dem in (1) liegenden Satze zu-
folge, ein bestimmtes äußerstes {h,gy,l] mit einem Parameter gi>g ent-
halten, und dieses wird dann wwfer allen möglichen äußersten {«o'^oj^oIj
in welchen go'^g, h'^l und ar,l)za. Dieses so in jedem Falle bestimmte {i,gi,l],
beziehlich {c,g, l^] heiße d^ ^-Nachbar von {a, g,l]. Zu diesem
I-Naehbar kann man wieder den ^-Nachbar bilden usf. ins Unendliche,
dabei kommt man offenbar auf lauter Terschiedene äußerste Parallelepipeda
für I, 7j, £. Analog kann man sodann einen Tj-Nachbar imd einen ^-Nachbar
TOn {a,g,l} definieren. {a,g,l] selbst wird, je nachdem fc>c oder
6?„=[' j, i" welcher eut-
ß-lzs,5==;.:=d-3ssO (,mod 4),
oder
« + d ^: - 2 (mod 8)
und dabei nicht
K + l = ^ = j, = tS + l = (mod 4)
ist,
y Google
210 7uc rheoriP lei qii'id atiBcIien Formen.
wenn rs > 2 ist, eine ganzzahlige Substitution von einer Determinante
1, welclie der identischen Substitution modulo i kongruent ist.
Die S„, die ''^ die S , alle S^ bilden tJruppen. Von solchen vier
Gruppen ist jede folgende eine in sgezei ebnete Untergruppe jeder vorher-
gehenden. Im Falle »; = 2 entsteht die Gruppe der S„ aus der Gruppe
der ß^ durch Hinzunahme dei Substitution
t:,- ~yi 's — y ■
Zwei bin re S i neu geiader Dimension wekbe dureb ein 8,^ ineinander
übergehen lassen »«ich lahei auch duii,h fiu S^ ineinander überführen.
Zwei homogene gaize Formen heißen nquivalent, wenn sie durch ein
S„ etjettltcJ aquoaletf wenn sie duieh em S^ ineinander transformiei-t
werden kon n
Zwei Foin en llen volhtanätg^) äquivalent heißen, wenn sie durch
ein S inemindei tiin'*! imieit weiden konneu
^ 1 wolle 1 ns a f Formen be^chianken, welche nur eine endliche
Äi zahl von h eaien gau/zahl^en Tian&foimationen in sich zulassen. Jede
solche jPo m i%t s cl selbst uui vermittels dei identischen Transformation
vollstmli^ luivalent Daher enthalt eme Khsse vollständig äquivalenter
Formen ebensoviel verschiedene Furmen, aX& verschiedene Substitutionen
S^ existieren. Dti Begrift der voU^tiudigen Äquivalenz führt also, der
Kroneckerschen loideiuug entspitt-hend zu einer für alle Klassen kon-
stanten, nur von dei Vaiiablenzihl » abhängenden Dichtigkeit.
Geht eine Form / duich /(/) Iransformitionen in sich selbst über,
so wird die Klasse der mit / äquivalenten Formen, je nachdem ^^ = 2
oder >2 ist, sich in — ^^ oder in -rrp- verschiedene Klassen von unter-
'(/} f[/}
einander vollständig äquivalenten Formen auflösen. N bedeutet hier die
Zahl aus § 5. Da t{f) stets in 2"iV aufgeht, so werden in den Fällen
'*^3 die Klassen anzahlen den Faktor 2"°"" enthalten.
Auf Grund der Untersuchungen von Herrn Camiile Jordan über die
Zusammensetzung der linearen Gruppe {Traue des SubsUtutions, 127 — 140}
läßt sieh femer nachweisen, daß man nicht durch eine von der hier ge-
gebenen abweichende Fassung des Begriffs der vollständigen Äquivalenz
zu kleineren Klassen an zahlen, d. i. zu einer größeren konstanten Dichtig-
keit in den Klassen gelangen kann, wenn man nur folgendes voraussetzt:
Die Gesamtheit der Substitutionen, welche vollständige Äquivalenz heivor-
rufen, soll eine a-usge^eichnele Untergruppe der Gruppe derjenigen Sub-
stitutionen sein, welche Äquivalenz hervorrufen; oder (was dasselbe ist):
*) KiOQecker, Über bilinearo Foiinen mit vier Yariabeln, S. 9. (Werke, Bd. 11,
S. VH.)
y Google
über die endlichen Gruppen ganzuahliger Substitutionen. 211
Zwei yollständig äquivalente Formen sollen, irgendeiner äquivalenz-erzeu-
gendon Transformation zu gleicher Zeit unterworfen, vollständig äquiva-
lent lileiben.
Wollte man indes von dieser Voraussetzung absohen, so tonnte man
in den Fällen « ^ 3 dem Begriffe der Tollsiändigen Äquivalenz z. B. die
Gruppe derjenigen Substitutionen von der Determinante 1 zugrunde legen,
in welchen
ffl.j = 1 (mod 4), «,, s= (mod 4) (Ä < h), a^,^ = (mod 2) Qi > l)
ist; dann würden sich Klassen von einem 2 ^ -mal so großen Formen-
inhalte ergeben,
jberg i. Pr., 1886.
yGoosle
Zur Theorie der positiven quadratischen Formen.*)
(Grelles Journal für die reine nnd angewaniite Mathematik, Band 101, S. 196—202),
Eine wesentlicii positive quadratischö Form von n Variablen, mit
reellen Koeffizienten und nichtvers eh windender Determinante, kann — wie
eine Darstellung der Form als Summe der Quadrate von n unabhängigen
reellen linearen Formen leicht erkennen läßt — nur bei einer endliehen
Anzahl ganzzahliger linearer Transformationen ungeändert bleiben. Jede
einzelne von diesen Transformationen muß daher eine endliehe Ordnung
besitzen, d. h. nach einer endlichen Reihe von Wiederholungen zur iden-
tischen Transformation fähren, uad kann deshalb, nach § 1 meines Auf-
satzes Über den arithmetischen Begriff der Äqui'caleftz , niemals der iden-
tischen Transformation modulo 4 kongruent sein, ivenn sie nicht mit
derselben übereinstimmt.
Das Gleiche gilt nun in bezug auf eine jede UQgerade Primzahl als
Modul; und ans diesem Umstände e]:geben sich einige Aufbohlu&se über
die gesamte Anzahl der in Rede stehenden Transformationen, eme Anzahl,
von welcher zuerst Herr Camille Jordan bewiesen hat, daß sie eine
nur von der Zahl n abhängende Grenze nicht libersoh reiten kann ■"* i
8 1.
Eine lineare Transformation
^' ^;. = <^hiy-i. + "'hiVi ■\ 1- o^h^y,, Q''^h 2, ..., w)
von endlicher Ordnung ist dadurch charakterisiert, daß die mit einem
Parameter r gebildete Determinante
nur für Ein hei ts wurzeln verschwindet, und zwar für einen mehrfachen,
*) Der nachfolgende Aufsatz wurde iu Verhindung mit dem Aufsätze Üher den
arWhmeH&chen Begriff der Äquivalent (Grelles Journal, Bd. 100, S. 44B — 458; diese
Qea. Abhandlungen, Bd.l, S. 201— 211) vom Verfasser im Mmk 1887 der philosophischen
Fakultät zu Boim als HabilitatiouBsckiift vorgelegt.
**) Journal de l'ßcole poljtechiiique, cah. 48, p. 133.
y Google
Zur Tlieorie der positiven quadiatiselien Formen. 213
etwa jK-faclien Nullwert zusammen mit allen ihreo (m — 1)*"" Uuter-
determiBanten *).
Bei ganzzahligen Koeffizienten a^^ liefert daher eine Zerlegung in
irreduktible Faktoren für A einen Ausdruck:
m ('-irfyWA')-; (».iO, r>l)
wenn mit fjr) für eine ganze Zahl v > 1 diejenige ganze Funktion
ip(vy™ Grades bezeichnet wird, welclie für die primitiven r*™ Einkeits-
wurzeln verschwindet und als Koeffizient des höchsten Gliedes die Zahl 1
hat. T)er Grad von (1) ist;
w = wi + (p(v'') + q>{v") H
Soll die Transformation A in bezug auf irgendeine ungerade Prim-
zahl p der identischen Transformation koDgrueut sein, so muß sie mit
derselben zusammenfallen.
Denn ist
«it = ^M (modp), {li,k=l.,2,...,n)
und setzt man für r eine ganze Zahl
(,' = 1 -{- p (mod p^),
so geht A durch p" auf. Damit aber der Ausdruck (1) durch p" teilbar
werde, ist notwendig, daß in A kein /^(O (*'>!) auftrete, daß also
A = (r — 1)" sei. Dehn (c — 1)"' enthält zwar genau p"", irgendein f^(c)
aber, wenn v > 1 ist, niemals die Potenz pi'^"''.
Letzteres sieht mau in folgender Weise ein. Ist eine Zahl v ein
Vielfaches von p', aber nicht mehr von j)^"'"^, so findet man;
(,'■ =i 1 4" rp (modp' + ^);
also enthält c' — 1 dieselbe Potenz von p wie pv. Ein /^(r) hat den
Ausdruck :
wenn a, ß, y, . . . die verschiedenen Primzahlen aus v sind; also geht in
/■,(c) dieselbe Potenz von p auf wie in
Diese Zahl ist 1, wenn v sieh aus mehreren ungleichen Primzahlen zu-
sammensetzt, dagegen, wenn v Potenz einer einzigen Primzahl ist, gleich
■■') Hermite, CreUes .Journal, Bd. 47, S. S12 (Oeuvrea, T. I, p. 198); C, .Torilan,
Ürellea Journal, Bd. 84, S. 112,
y Google
214 Zur Theorie der quadratiscliei! Formen.
dieser PrimzaliV Die höchste in f^{c) enthaltene Potenz Yon p ist dem-
nach p^ oder p°, je nachdem v eine Potenz von p ist oder nicht. Im
ersteren Falle ist aber, v>l vorausgesetzt, ^(1") mindestens gleich
j) — 1 ^ 2, im letzteren mindestens gleich 1.
Hat man nun A = (r — 1)", so müssen, damit A eine endliche Ord-
nung besitze, aaeh alle (n~l)'™ Unterdeterminanten, also die Koeffizienten
von A für )■ = 1 verschwinden, d. h, A ist die identische Transformation.
«2.
Es bezeichne /' irgendeine positive quadratische Form mit n Variablen,
reellen Koeffizienten und nichtverschwindender Determinante, und es sei
i.{f) die Anzahl der verschiedenen ganzzahligen Transformationen, durch
welche die Form in sich selbst übergeht.
Sollten in f die Koeffizienten nicht sämtlich in rationalen Verhält-
nissen zueinander stehen, so kami man immer leicht eine beliebig wenig
von f verschiedene positive Form herstellen, in welcher solches der Fall
ist, und welche dabei genau dieselben ganzzahligen Transformationen in
sich zuläßt wie f. Letzteres tun ferner alle Formen, welche in den Ver-
hältnissen ihrer Koeffizienten mit f ganz übereinstimmen. Im folgenden
können wir deshalb voraussetzen, die Koeffizienten von /' seien ganze
Zahlen ohne gemeinsamen Teiler.
Die t{f') Transformationen bilden eine Gruppe, und au anderer Stelle
werde ich nachweisen, daß man, ausgehend von positiven quadratischen
Formen, wenn auch nicht zu allen möglichen endlichen Gruppen ganz-
zahliger linearer Transfoiinationen, so doch im besondem zu allen den-
jenigen gelangen kann, welche nicht in umfassenderen Gruppen als Unter-
gruppen enthalten sind.
Die in Rede stehende Gruppe ist einsiufig isomorph zur Gruppe der
Reste ihrer Transformationen in bezug auf irgendeine ungerade Prim-
zahl p. Denn lieferten zwei ihrer Transformationen, etwa A und B,
gleiche Reste modulo p, so würde die Transformation A~''- ■ B, welche,
als Angehörige der Gruppe, ebenfalls von endlicher Ordnung wäre, der
identischen Transformation modulo p kongruent, aber von ihr verschieden
sein, was nach § 1 nicht angeht.
Die Gruppe der t(f) Transformationenreste ist oö'enbar eine Unter-
gruppe der Gruppe sämtlicher inkongruenter Transformationenreste modulo jj
von einer Determinante ^+1 [modp), und ihre Ordnung, die Zahl t(f),
daher ein Divisor der Ordnung der letzteren Gruppe, d. i. der Zahl
(2) 2(f-l)p-^(p'~'-l)p-'...(p'-l)p*).
*) Qalois, Journal de Licuville, T. XI, 184B, p. ilO. (Oeuvres, p. 27.)
y Google
Zur Theorie der positiven quadratischen Formen. 215
Jene Gruppe ist aber ebenso schon eine Untergruppe der Gfruppe
aller derjenigen Tranaformationenresie modulo^, welche die Porm/'modulop
ungeändert lassen, Die Ordnung dieser Gruppe hat für alle ungeraden
Primzahlen p, weiche niclit in der Determinante I) der Form f aufgehen,
also jedenfalls für sämtliche Primzahlen über einer gewissen Grenze l,
den folgenden Ausdmck*), wenn n gerade ist:
(S) pi"—'-2{i,'-l)(p'-i)...(f—~l)(p'i~,),
(=
ist:
(4) p''-' ■2(p'~i)(s^~i)...(r"'-n
Als Divisor sämtUcJi&r Zahlen (3) oder (4) für ungerade Primzahlen
p>l ist die Zahl t{f) auch ein Divisor des g^roßten gemeinscJtafÜieJien
Divisors aller dieser Zahlen.
Um ein Resultat zu erhalten, das von der speziellen Form /* unab-
hängig ist, denken wir uns in (3) den Faktor p^ — s durch sein Vielfaches
--(p"— 1) ersetzt; ferner möge l mindestens gleich n -\-l sein. Dann ist
jener größte gemeinsame Divisor dargestellt durch:
"1=/Tä'- ' (t2 = ^.3>5,7,ll, ...)
wenn unter der Bezeichnung [es] die größte in a enthaltene ganze Zahl
verstanden wird, und wenn q die Reihe der Primzahlen soweit durchföuft,
bis das Produkt von selbst abbricht, d. i. bis zur größten Primzahl, welche
noch ^ »* + 1 ist-
Man hat, um dieses einzusehen, für eine jede Primzahl q eine Zahl
(3) bzw. (4) aufzusuchen, welche eine möglichst niedrige Potenz von q
enthält. Man gelangt zu einer solchen, indem man die Primzahl p in
folgender Weise wählt: wenn g" > « + 1 ist, als primitive Wurzel in bezug
auf 2; wenn g^w + l und ungerade ist, als primitive Wurzel für den
Modul q^\ wenn q = 2 ist, als Zahl der Form = + 1 + 4 (mod 8). Die
Existenz von Primzahlen p dieser Formen über der Grenze l ist eine
Folge des bekannten Theorems über die arithmetischen Progressionen.
Im ersten der drei unterschiedenen Falle ist dann die in Betmcht
kommende Zahl (3) oder (4t durch q überhaupt nicht teilbar; im zweiten
*) Vgl. Untersuchungen über ixuaäratmhe Forinen, Acta. Mathematica, Bd. 7,
S. 218, Diese Ges. Abhandltingen, Bd. I, S. 170.
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216 Zur Theorie der quadratischen l'ormen.
gellt g in ^' — 1 uur auf, wenn v ein Vielfaches von 9 —1 ist, und zwar
dann in derselben Potenz wie in q- -, mithin in der Zahl (3) bzw.
(4) in derselben Potenz wie in lyLs-iJ ■ 1 -2 ■■ ■ ^^t i '"i dritten enthält
jfiy _ \ dieselbe Potenz von 2 wie 8v, a!so die Zahl (3) bxw. (4) die-
selbe wie 2'"^UJ-1 ■2- --[y]-
Die Identität der hier auftretenden Primzahlpotenzen mit denjenigen
aus n\ ergibt sich durch Anwendung der bekannten Relation:
1 . 2 ■ . . w = »*! -Yl^~^^ ^ ^^^ ^ L^J "" ■ ■ ■, (2 - 2, 3, 5, 7, . . .)
und man erhält damit in der Tat den Satz:
Dit Anmlil der ganssahUgen Transfamtaiionen einer posiUvm quadra-
tischen Form mit n Variahlen (imd von nicli^ersckwindender Determinante)
in sieh seihst ist ein Divisor der Zahl «i.
Ah größter gemeinsamer Divisor aller Zahlen (2) wUrde sich 2Lm. «j
ergeben haben.
Die Zahl «i selbst ist ein Divisor von (2m)1; denn in ihrem Aus-
drucke verkleinert man keinen der Exponenten, wenn man in denselben
anstatt g — 1 überall —q schreibt.
Als spezielJe FäUe seien die folgenden erwähnt: die Form
geht dnreh ^^"-nl, die Form
von der Determinante n-\-l dnrch 2'(m-!-1)! ganzzahlige Transforma-
tionen in sich selbst Über.
Die Zahl « ist ferner das Hetnste gemeinsame Vielfache aUei- mög-
lichen Anzahlen t(f).
Denn zunächst enthält die der Form D^ angehÖrige Zahl i(Q„) die-
selbe Potenz von 2 wie wj. Ist ferner q eine der ungeraden Primzahlen
^M+ 1, und büdet man eine Form f als Summe von -^j Formen
® j und der Form O . r ^ .,, == Q mit fortlaufend numerierten
*) Die Form S)„ ist von den Herren KorTtine und Zolotareff eingehender
imteisncht worden, vgl, Msithemaliaclie Annalen, Bd. 6 nnd 11.
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2ar Theorie der positiven quadratischen Formen.
Variableis, so ist fiir diese Form f die Zahl
W)-(2-s!)L.-"'J^[-ij]l((0)
durch dieselbe Potenz von q fceilbao- wie B^
Man hat im einzelnen 2. = 24, 3' = 48, 4 = 5760 iisw. und üll-
gemein:
2^»+li =2-2«, 2n =2;^, -2«- \-, n\ ^'2''-W...b
wenn unter !}„ eine Zähl verstanden wird, welche alle and nur solche
Primzahlen q enthält, für welche 2n durch q — 1 aufgellt, und jede der-
selben in einer Potenz ^"^^ falls sie in n in der Potenz g^ {k ^ 0)
auftritt.
Bezeichnet ß^ die w" ßernouliische Zahl, so stellt ft,, den Nenner
von B„ vor*).
Die Bestimmung der ganzzahligen Ti^ansformatioiien einer positiven
Eorm /'= ^^ a^i/x^x,, in sich selbst geschieht durch Vermittlung der äqui-
valenten reduzierten Formen.
Nach der Definition von Herrn Hermite**J. gelten in einer positiven
Klasse f diejenigen Formen als redusiert, welche das kleinste System
(d. i. kurz ausgedrückt den kleinsten Wert von
»11^""' + «32i;''"^H +«„„
bei hinreichend großem positivem g) ergeben.
Den Sätzen, welche ich in Grelles Journal, Bd. 99 [[diese Ges. Ab*
haudlungen, Bd. I, S. 153 — 156]] mitgeteilt habe, schließen sich die folgen-
den flir den Fall von sechs Variablen an.
Eine Form f mit sechs Variablen ist immer und nur dann positiv
und reduziert, wenn sie allen Ungleichungen
f{iyi^, m^, . . ., m^) ^ «,,, (h = 1,2,..., 6)
genügt, für welche die Zahlen m in folgender Tabelle enthalten sind:
*) Vgl. Lipscliita, Grelles Journal, Bd. 96, S. 4.
"') CreDes Journal, Bd. 40, S, 302. {Oeuvres, T. I, p. liii.'i
y Google
Zur Theorie der quadratischen Formen.
1 1 1 1 2
1 1 1 1 J_ 1_
111 1 1 _ 2_
(die nicht aufgeführten Größen m sind gleich Null zu setzen), und ferner
den Ungleichungen:
Nur für die reduzierten und die aus denselben durcli Perniutation
der Variablen hervorgehenden Formen nehmen die Verbindungen
«11 + »ä2 + ■ ■ ■ + «66. ■ ■ ■' «u%ä---«66
ihre kleinsten Wei-te an.
Die Hermiteschen redazierten Formen mit sieben Variablen lassen
sich nicht mehr durch eine Reibe einzelner linearer Ungleichungen voll-
ständig charakterisieren.
Berlin, den 15. Februar 1887.
yGoosle
über die Bedingungen, unter welchen zwei quadratisclie
Formen mit rationalen Koeffizienten ineinander rational
transformiert werden können.
{Auszug aus einem von Herrn H. Minkowski in Bonn an Herrn
Adolf Hurwitz gerichteten Briefe.)
(CrelleB Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band lOö, S. 5 — 26.)
Bei unserem letzten Zusammensein interessierten Sie und Herr Hubert
sicli für die Frage, unter welchen Umständen zwei diophantische Ulei-
chungen zweiten Grades sieh rational ineinander tiunsfoimieren lassen*).
In den folgenden Zeilen will ich eine Entscheidung dieser Frage zu geben
T ersuchen.
Es liege irgendeine quadratische Form mit rationalen Koeffizienten
vor, f. Die Anzahl ihrer Vai-iablen heiße n, und bei dieser Vai'iablen-
zahl habe die Form eine nichtverschwindende Determi]iante ; als Aggregat
von » Quadraten reeller linearer Formen dargestellt, möge f im ganzen
/ Quadrate mit negativem, und also n — I mit positivem Vorzeichen auf-
weisen. Unterwu-it man die Form einer beliebigen linearen Transformation
mit rationalen Koeffizienten und von nicht verschwindender Determinante,
so bleibt dabei zunächst außer den Zahlen « mid 1, da die Determinante
*) Bei der UnterauohuEg dei iemärea diophwitischen Gleichungen vom Geschleohte
Mull wurden Hfirr Hilbeit und lot ant d ese Frage geführt Wenn ?wei liopkan
tische Weichlingen dm h rat onale bi i ieut g umkehrLa e Ttansformaticnen ineinandei
ubergef ihrt we den können ao lassen sich offenbai die Losungen eine jeden diesei
C leioh ingen aue den Lö= ingen der anderen ableiten bei It C leichungen ej r aentierei
al'o im woaentliLhen dieselVe Aufgabe ^ir rLohnen ieehall alle diopliantis:,hen
Gleiüliungen welche ai s einer lurch die tjtnanntpn Transfoimationen hervorgehen m
eine Klasse Unsere Unteitnchnng wekhe dPmn&LliBt m den \cta mathemafica er
scheinen wird f[4cta mathematica Bd 14 ^ 217— 2^i]] ergab nun daß m jedei
Klasse teinixer diophanüscher Gleichungen Tom Geachleclite Nill anok quadratisihe
Gleichungen enthalten »ind Dip sich hier anknüpfende Frage nach, den Invarianten
e ner solchen Klasse findet laher durch die allgememPn Sitze welche Herr Mmko-waki
aufstellt und beweist hre Etleligun^ \ Hurw ta
y Google
220 ZTir Theorie der (iiiadratischen Formen,
der Form sich um das Quadrat der rationalen Transformationsdetermiuante
vervielfacht, die Geaauitheit aller der Primzahlen ungeändert, welche in
der Determinante der Form in ungeraden Potenzen aufgehen. Das Produkt
aUer dieser Primzahlen, mit dem Vorzeichen (~ 1)' der Determinante ge-
nommen, heiße Ä; sind Primzahlen der bezeichneten Art nicht vorhanden,
so -werde Ä = (~iy gesetzt.
Weiter werde ich nun zeigen, daß, weim p eine ganz beliebige Prim-
zahl bedeutet, immer aus den Resten der Form f für genügend hohe
Potenzen von p als Moduln in gewisser Weise eine im allgemeinen nicht
schon durch A allein bestimmte Größe sich herstellen laßt — ich werde
sie C nennen — , welche ihrer Bildung nach nur der Werte 1 oder — 1
fähig ist, und welche den Wert, den sie für /' hat, bei keiner rationaleu
umkehrbaren Transformation von /' verändert (vgl. unten Gleichung (1)
uad (2)). Für alle diejenigen ungeraden Primzahlen, welche weder in der
Determinante noch in dem Generalnenner der Koeffizienten von f wirk-
lich vorkommen (d. h. in nichtverschwind enden Potenzen), findet sich
diese Einheit von voraberein gleich + 1, so daß sie überhaupt nur für
eine endliche Anzahl von Primzahlen — 1 sein kann. Diese Bemerkui^
vorweggenommen, besteht für die Gesamtheit der Einheiten G von vorn-
herein eine Beziehung zu den Werten w, / und Ä, nämlich ihr Produkt,
also 'a^a^'B^ ' ii erweist sich wenn j dte Anzahl der verschiedeneu
Primzahlen von dei Foim 4? + ■' aus i bedeutet gleich 1 oder — 1, je
nachdem die Zahl j - 21 - 2j moduU S den Kest 1, 6, 7 oder 2, 3,
i 5 laßt Auf diese Beziehung giünde ich eben den Nachweis für die
invaiiante Nitui dei Einheiten f^ Rh miche zuerst llai, daß jedesmal
bei emei Transformation hcchstens diejenigen Einheiten C^, sich ändern
konnten welche den m dei Deteimiuante lud dem Generalnenner der
Trinsfoimatifn voikommenden Piimzahlen entspiechen und dann nehme
ich zu Hilfe diß eine jede nationale umkehtbaie Transformation aus
solchen besondeien zu Timmen gesetzt weiden kann m deien Determinante
und Genei alnennei höchstens eme m/ige Primzahl lufgeht. Da nun das
Prrdukt aUei Einheiten C^ nnainut sein soll unl leihalb sich nicht
eine allein andfin k'iuu so bleiben bei derartigen leiltransformationen
und also auch bei jedei Tianafoimation die Einheiten C^, ausnahmslos
Im FiUe ) — 2 gelten mißcidtm noch folgende Beziehungen der
Einheiten C^ zu dem von quadratischen Teilein befreiten Kern der Deter-
mmmte bowie eme Primzihl p in 1 ni^ht verkommt und — A quadra-
ti^chei Eest \on ^ bzw, im Falle p~2, von 8 ist, ist immer 0^ = 1. —
Im Falle « = 1 sind durch die Zahl A bereits sämtliche Einheiten C^ be-
stimmt: Für die in A nicht aufgehenden Primzahlen ist immer C^'^i,
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ßatioual ineinander transformierbare quadratische Formen, 221
für die in A anfgehenden gleich 1 oder ~ 1, je nachdem — quadratischer
Rest oder Niehtrest von p ist bzw., im Falle p = 2, die Form 8( ± 1
oder 8? ± 3 hat.
Nach dem, was Über die Einheiten C^ bereits gesagt ist, müasen
auch alle solchen ungeraden Primzahlen sieh nach jeder rationalen Trans-
formation von f beständig in der Determinante oder dem Generalnenner
der ti'ane formierten Form wiederfinden, welche zwar der Zahl A nicht
gehören, abei" ein C = — 1 ergeben; ist B das Produkt aller dieser Prim-
zahlen, so wird daher, wenn die transformierte Form ganzzahlige Koeffi-
zienten erhalten sollte, ihre Determinante den Fafetor ABB haben müssen.
Durch eine Reihe von sehr einfachen ganzzahligen Transformationen
mit der Determinante 1 und von. solchen i'ationalen Transformationen,
welche jede darin bestehen, daß sie eine einzelne Variable rational ver-
vielfachen, gelingt es nun stets, wie ich zeigen werde, die vorgelegte Form
in eine Form mit ganzzahligeii Koeffizienten und genau von der Deter-
minante ABB überzuführen. Dabei erweisen sich dann diejenigen arith-
metischen Funktionen dieser Form, welche, wie man sich ausdruckt, ihr
Geschlecht definieren, im allgemeinen als eindeutig durch I, A und die
Einheiten G bestimmt. Nur, wenn zwischen n, A und dem Werte der
Einheit G^ eine gewisse Beziehung statthat, könnte noch die erhaltene
Form zwei verschiedenen Geschlechtern von der Determinante J.BB an-
gehören; dann ist von diesen nur eines ungerade Zahlen darzustellen fähig,
und sollte man nicht gerade zu einer Foim dieses ungeraden Geschlechts
gekommen sein, so kann man zu der erhaltenen Form stets solche äqui-
valente Formen finden, welche sich in Formen dieses Geschlechts in der
eingehen Weise überführen lassen, daß man eine gewisse ihrer Variablen
mit 2, eine gewisse andere mit -- multipliziert. Nun hat zuerst Henry
John Stephen Smith*) ausgesprochen, daß irgend zwei Formen einen
Geschlechts immer durch rationale Transformationen von der Determinante 1
und mit einem, zu einer beliebig vorgeschriebenen Zahl relativ primen
Generalnenner ineinander übergeführt werden können, eine Eigenschaft,
welche sie umgekehrt auch als zu demselben Geschlecht gehörig charak-
terisiert. Smith hat diesen fundamentalen Satz der Lehre von den
quadratischen Formen in der Abhandlung „CM the (k-ders and Genera of
Temmy Quadratic FormS" art. 12**) für ternäre Formen bewiesen, und
auf Grund derselben Prinzipien und unter Zuhilfenahme gewisser Resultate
aus meiner Arbeit „Sm- la theorie des formes qmidraiiques ä coeffieients
') Proceedings of the Koyal Society of London, XVI. 1868. p. 202. (Coilected
Papere, vol. 1, p. 51S.)
**) Philosophical Traasautioiia, CLVTT. 1867, (Coilected Papers, vol. I, p, 4S0,)
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222 2i"^ Theorie der quadrati seilen Formen.
miiers"*) kann der Beweis für Formen mit beliebiger Variableuzahl
geführt werden. Demnach wird es immer mÖglieb sein, unsere Form f
in eine bestimmte Form eines, durob die Einbeiten C^ (und durcb n
und I) völlig bestimmten Gescblecbts von der Determinante ABB rational
zu transformieren.
Nun bezeichne S das Produkt aller uberh'iupt vorbandentn ungeraden
Primzahlen, für welche G^ = — X ist dann smd ans dem AA eite \on £ die
Werte sämtlicher Einheiten (J ersichtlich — der Weit von C^ bei Ee
nutzung der Relation für das Piodukt aüei C — , und man wird den Sit/
aussprechen dürfen:
Theorem I. Zwei rationale quadiahbclie Fwniefi mit n VariabJen und
m i > ^„+i, und ist x, y irgendein von 0, 0, von p^, q^
und von — p^, — tf„ verschiedenes System von ganzen Zahlen, so hat
man immer
k-»!/|" + (lsl°>|p,-«S.i° + *l«.P.'*)
Besonders bemerkenswert sind folgende Spezialfälle dieser Ent-
wicklung:
1) Q = oo. Alsdann hat man für ein »^1 immer f'^ = e^, «„^.j = — 1,
und — , - , ... sind die Näherungsbrflehe der gewöhnlichen Kefctenbnich-
entwicklung für a, mit Ausschluß des ersten Näherungsbmches, falls der
Überschuß von a über die größte in a enthaltene ganze Zahl > y ist.
2) £3 = 2. Die Ungleichungen (A) werden hier
1 > 2s„+i
— oder -^x^-,
rn ^ "« + 2
und nach der Eigenschaft 5. wird man diejenige Entwicklung in einen
Kettenbrueh vor sich haben, auf welche Herr Hermite im 41. Bande
des Crelleschen Journals, S. 195 (Oeuvres, T. I, p. 108) geführt wurde.
*) Vgl. hierzu „Geometrie der ZaMen" S. 123. (Anm. A. Horausg.)
**) In der frauKÖaiBchen. Überaetzung findet aicti noch folgender Abschnitt:
6. Lorsc[ue a est irrationnel et racine d'ime öquatioa du second degrö ä coeffi-
cienta rationaels, il exiate un indice l et ua nomhre ji tols que, ä partir de w ^= (,
on aura toigours
f =f , s = £ . (Anm. d. Herausg,)
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280 Zur Geometrie der Zahlen.
3) ß = 1. Die Ungleicliungen (A) gehen dann in
1,1 ? .,
[ oder a
über. Man hat immer T^ ^ V^n "-^^ ^^^^^ '^'^'" ^^^ Zeichen = nur ein,
wenn man a = — ^Äi-~ {Q > 0) hat und dabei P, Q ganze Zahlen ohne
gemeinsamen Teiler sind, und zwar alsdann nur für einen Index n, für
welchen ^„ = ^771? ?i.-i<'3<2n ■w""'^- ^^^ ^'ird danach für jeden
Index « :
haben. — Ist weiter 6 eine beliebige reelle Große, so erfüllen für min-
destens ein System von ganzen Zahlen X, Y, für die man
x-i<-|^