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Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen am 1. mai, 1909, von David Hilbert": v. 1, p. [v]-xxxi. 650/1: 0: | a Mathematics. 650/2:0: |aGeometry. Scanned by Imagenes Digitales Nogales, AZ On behalf of Preservation Division The University of Michigan Libraries Date work Began: _ Camera Operator: _ y Google y Google c «^ °''"*\"Ä^^'''' ■ '^ ^ii- m €,;i Äf-Ä <5X . lyTU-^i^itt^r^Sc jby Google GESAMMELTE ABHANDLUNGEN TON HERMANN MINKOWSKI UNTER MITWISKUNG VON ANDBEAS SFSISSB und HllBMAI^N WSYL UBKAUSGRGEBEN VON DAVIB HILBERT EBSTBB BASD MIT EINEM BILDNIS HERMANN MINKOWSKIS UND 6 FIGUREN IM TEXT LEIPZIG UND BEBLIN DEUCK UND VERLAG TON B.G.TEUBNBB 1911 y Google COPYßIGIIT 1311 EY fi, G. TKUESKH IN LEIPZIG. !;, BINBCHLIBSSLICIi DläS y Google INHALT DES ERSTEN BANDES. Gedächtnisrede auf H. Minkowski, von D. Hubert V Zur Theorie der quadratischen rormeu, I. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffiaienten S (In franaöaiBclier Sprache \inteir dem Titel; Memoire Bnr la th^oiie des formes qnadratiqnes, in den MiSmoires prösentiSs par divers navants ä l'Aoadömie des Scienoea de l'Inatitut national de France, Tome XXIX, Ko. 2; 1884.) II. Snr la rödnction des formes quadratiqnes positives quaternaires 145 (Comptes rendna de l'Academie des Sciences, Paria, t. 96, pp. 1206 — 1210; 1883.) m. Über positive quadratische Formen 149 (Crellea Journal für die reine und angewandte Mathematik, Dd. 99, 8. 1—9; 1886.) IV. Untersuchungen über quadratische Formen. Bestimmung der Anzahl veraehiedener Formen, welche ein gegebenes Genus enthält 157 (Inauguraldissertation, Königsberg 1885; Acta Mathematica, Bd. 7, S. 201—258; 1885.) V. Über den arithmetischen Begriff der Äquivalenz nnd über die endlichen Grnppen linearer gansiahliger Substitutionen, . . , 203 (Grelles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd, 100, . 440—458; 1887.) Tl. Zur Theorie der poaitiven quadratischen Formen 212 (Crelies Journal für die reino und angewandte Mathematik, Bd. 101, 8, 196—202; 1887.) Vn, über dieBedingungen, unter welchen zwei quadratische Formen mit rationalen Koeffizienten ineinander rational traneformiert werden können (Auszug aua einem von Herrn H, Minkowski in Bonn an Herrn Adolf Hnrwita gerickteten Brief) 219 (CreUes Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 106, S. 5-26; 1890.) Zur Geometrie der Zahlen. Vin. über die positiven quadratischen Formen und über ketten- bruchähnliche Algorithmen 243 (Grelles Journal flir die reine und angewandte Mathematik, Bd. 107, S. 278— 297; 1891.) y Google IV Inhalt des ersten Bandes, IX. Theorömee arithmetiqiies (Bxtrait d'une lettre de M. H. Minkowski ä M. Eermite) 2 (Comptes rendus de l'Aoademie des Sciences, Paria, t, 112, pp. 209— 2IS ; 1891.) X. Über Geometrie der Zahlen (Bericht über einen Vortrag zu Halle) . 2 {Verhandinngen der 64. Naturforscher- und Ärzteyersaiamluug zu Halle, 1891, S. IS, und Jahreaberioht der Deutschen Mathematiker- Vereinigung, Bd. 1, S. 04—65; 1892.) XI. Extrait d'une lettre adressße a M. Hormite 2 (Bulletin des Seiencee matMmatiques , 3" sörie, t. XVII, pp. 24—29: 1893.) XII. Über Eigenschaften vou ganzen Zahlen, die durcb räuraliehe Anseliauung erschlossen sind 2 (Mathematioal Papers read at the international Mathematical Congreas lield in connection with the world'a Coinmbian Exposition Chicago, 1893, pp, aoi— 207; ferner unter dem Titel: Siir les propriötös des nombies entiers qui sont dörivees derintuitionde!'e9pace,yoiiL.Lftiigel ins FranzOsiselie übersetzt, in Nouvelles Ännales de MathematiqueB, 3" sörie, t. XV, pp. 393—403; 1996.) XIII. Zur Theorie der Kettenbrüche S (Von L. Laugel ins Pranzösische überaetat unter dem Titel: Gene- ralisation de la th^orie des fractions eontinues, in Annales de l'ficole Normale supörieure, 3° sörie, t. XIH, pp. 41—60; 1896.) XIV. Ein Kriterium für die algehraisohen Zahlen i (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissensohaften zu Göttingen, mattematiseh-pliysikaLische Klasse, 1899, S. 64 — 88.) XV. Zur Theorie der Einheiten in den algebraischen Zablkörpern ! (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gattingen, matheniatisch-phyBikalisehe Klasse, 1900, 8, 90—93.) XVI. Über die Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen ; (Mathematische Annalen, Bd. 54, S. 91—124; 1901.) XVn. Quelques nouveaux theoremes sur l'approximation des quan- tit^E i. l'aidc de nombres rationnels ; (Bulletin des Sciences mattömatiques, 3" serie, t, XXV, pp. 72—76; 1901.) XVm, Über periodische Approximationen algebraischer Zahlp.n. . . ; (Acta Mathematica, Bd. 26, S. 333—351; 1902.) y Google Hermann Minkowski. Gedächtnisrede, gehalten in der öffentliclien Sitzung der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen am 1. Mai 1909 DaTid Illltoert. (Nachrichten der £. Gesellschaft dev Wissenschaften zu Göttiugen, 1909.) Einen schweren unermeßlichen Verlust haben ku Beginn des Jahres 1909 unsere Gesellschaft, unsere Universität, die Wissenschaft und wir alle per- sönlich erlitten; durch ein hartes Gfischiek wurde uns jäh entrissen unser KoUege und Freund Hermann Minkowski im VoilbesitK seiner Lebenskraft, aus der Mitte freudigsten Wirkens, von der Hohe seines wissenschaftlichen Schaffens. Seinem Andenken widmen wir diese Stunde. Hermann Minkowski wurde am 22. Juni 1864 zu Alexoten in UuSland geboren, kam als Knahe nach Deutschland und trat Oktober 1872 im Älter von Sy^ Jahren in die Septima des jiltstädtisehen Gymnasiums zu Königsberg i. Pr. ein. Da er von sehr rascher Auffassung wai' und ein vortreffliches Gedächtnis hatte, wurde er auf mehreren Klassen in kürzerer als der vorgeschriebenen Zeit versetzt und verließ das Gymnasium schon März 1880 — noch als Fünfzehnjähriger — mit dem Zeugnis der Reife. Ostern 1880 begann Minkowski seine Universitätsstudien. Insgesamt hat er 5 Semester in Königsberg, vornehmlich bei Weber und Voigt, und 3 Semester in Berlin studiert, wo er die Vorlesungen von Kummer, Kronecker, Weierstraß, Helmholtz und Kirchhoff hörte. Seine Befähigung zur Mathematik zeigte sich früh; fiel ihm doch im ersten Semester bereits für die Lösung einer mathematischen Aufgabe eine Geldprämie zu, auf die er freilich zugunsten eines armen Mitschülers verzichtete, so daß sein frühzeitiger Erfolg zu Hause gar nicht bekannt wurde — eine kleine Begebenheit, die zugleich die Bescheidenheit und Herzensgüte kennzeichnet, wie er sie sein ganzes Leben hindurch allen Mensehen gegenüber, die ihm im,her kamen, betätigt hat. Sehr bald begann Minkowski tiefgehende und gründliche mathematische Studien, Ostern 1881 hatte die Pariser Akademie das Problem der Zer- legung der ganzen Zahlen in eine Summe von fünf Quadraten als Preis- thema gesteht. Dieses Thema griff der siebzehnjährige Student mit aller y Google VI Gedäditnierede auf H. Minkowski. Energie an uüd J.öste die gestellte Aufgabe aufs glänzendste, iadem er weit über das Preisthema hinaus die allgemeine Theorie der quadi-atisclieii Formen, insbesondere ihre Einteilung in Ordnungen und Geschlechter — zunächst sogar für beliebigen Trägheitsindes — entwickelte*). Es ist erstaunlich, welch sichere Herrschaft Minkowski schon damals über die algebraischen Methoden, insbesondere die Elementarteilerfcheorie, sowie über die transzendenten Hilfsmittel wie die Di richlet sehen Reihen \uiä die Gaußsehen Summen besaß, — Kenntnisse, die noch heute lange nicht all- gemeines Eigentum der Mathematiker geworden sind, die aber freilich zur erfolgreichen Inangriffnahme des Pariser Preisthemas eine notwendige Voraussetzmig bildeten. Hören wir, wie Minkowski selbst in dem Begleit- achreiben zu seiner der Pariser Akademie eingereichten Arbeit sich aus- spricht**): „Durch die von der Academie des Sciences gestellte Aufgabe an- geregt", so schreibt der jugendliehe Student, „unternahm ich eine genauere Untersuchung der allgemeinen quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten. Ich ging dabei von dem natürlichen Gedanken aus, daß die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von fünf Quadraten in ähnlicher Weise von den quadratischen Formen mit vier Variablen abhängen würde, wie be- kanntlich die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von drei Quadraten von den quadratischen Formen mit zwei Variablen abhängt. Diese Untersuchung hat mir in der Tat die gewünschten Resultate über die Zerlegung einer Zahl in eine Summe Ton fünf Quadraten geliefert. Indessen erscheinen diese Resultate bei der großen Allgemeinheit der von mir gefundenen Sätze nicht überall als das eigentliche Hauptziel der vorliegenden Arbeit; sie stellen vielmehr nur ein Beispiel für die gewonnenen umfangreichen Theorien dar. Wenn daher viele der nachfolgenden Betrachtungen nicht immer unmittelbar auf das Thema der Preisfrage hinweisen, so wage ich dennoch zu hoffen, daß die Akademie nicht der Ansicht sein werde, ich würde mehr gegeben haben, wenn ich weniger gegeben hätte." Mit dem Motto: „Rien n'est beau que le vrai, le vrai seul est aimable" reichte der noch nicht Achtzehnjährige am 30. Mai 1882 die Arbeit der Pariser Akademie ein. Obwohl dieselbe, entgegen den Bestimmungen der Akademie, in deut- scher Sprache abgefaßt war, so erkannte die Akademie dennoch unter ausdrücklicher Betonung des exzeptionellen Falles auf Zuerteilnng des vollen Preises, da — wie es im Kommissionsbericht heißt — eine Arbeit von solcher Bedeutung nicht wegen einer L-regularitäfc der Form von der *) „Memoire sur la thöorie des formeB quadratiques 4 coefücient nt Mömoirea prösentös par divers savants ä rAcadömie dea Sciences de l'Institnt nat n I de France, T, XXIX. No. 2 (1884). Unter dem Titel „Grandlagen für eine Tte e d quadratiselien Formen mit ganzaahligen Koeffiaienten", diese Gea. Äliha ilu i, n Bd. I, S. 3—144. "■") Vgl. dieaö Gea. Abliandluiigou, Bd. I, 8. 4. y Google GedächtniErede auf H, MinkoTTski. VII Bewerbung auszuschließen sei, nnd erteilte ihm im April 1883 den Grand Prix des Sciences Math^matiques, Äla die Zuerkennung des Akademiepreises an Minkowski in Paris bekannt wurde, richtete die dortige ehauvinistisehe Presse gegen ihn die unbegründetsten Angriffe und Verdächtigung en. Die französischen Aka- demiker C. Jordan und J. Bertrand steRten sich sofort rückhaltlos auf die Seite Minkowskis. „Travaiilez, je vous prie, ä devenir un geometre emi- nent." In dieser Mahnung des großen französischen Mathematikers C. Jordan an den jungen deutschen Studenten gipfelte die bei diesem Anlaß zwischen C. Jordan und Minkowski geführte Korrespondenz, — eine Mahnung, die Minkowski treulieh beherzigt hat; begann doch nun für ihn eine arbeits- frohe und publikationsreiche Zeit. GauB hat in seinen Disquisitiones arithmeticae die Theorie der binären quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten und damit zugleich den wesentlichen Inhalt der heutigen Theorie der quadratischen Zahl- körper geschaffen. Nach zwei verschiedenen Richtungen hin war die Ver- aUgomeinerung der Gaußscben Theorie möglich: einmal als Theorie der quadratischen Formen mit beliebig vielen Variablen und dann als Theorie der zerlegbaren Formen höherer Ordnung, d. h, als Theorie der Zahlkörper von beliebigem Grade. Durch das Pariser Preisthema war Minkowski zunächst auf die erstere Verallgemeinerung der Gaußschen Theorie hin- gewiesen: in der Tat sehen wir Minkowski in den folgenden Jahren aus- schließlich seine ganze Arbeitskraft dem Studium der Theorie der qua- äratisiAen Formen imd der aufs engste damit zusammenhängenden Fragen widmen. Die Gaußsehe Theorie der quadratischen Formen hatte eine wesentUche Ergänzung durch Dirichlet erfahren, indem es diesem gelungen war, auf Grund einer ihm eigentümlichen transzendenten Methode für die Anzahl der Klassen binärer quadratischer Formen mit gegebener Deter- minante geschlossene Ausdrücke aufzustellen. Es lag nahe, diese Methode nach jenen beiden oben gekennzeichneten Kichtungen hin zu verall- gemeinern. Nach letzterer Richtung hin, nämlich für die Theorie der algebraischen Zahlkörper, war jene Verallgemeinerung der DiriehietscLen Methode bereits von Kummer und in allgemeinster Weise von Dedekind vorgenommen worden; in ersterer Richtung aber, nämlich für das Problem der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen, lagen nur einige Vorarbeiten von St. Smith, jenem schon bejahrten englischen Zahlen- theoretiker, vor, welcher auch bei der Bewerbung um den Pariser Preis Minkowskis Konkurrent gewesen war. Minkowski führte nun die Be- stimmung der Anzahl der in einem Geschlecht enthaltenen Klassen qua- dratischer Formen von beliebig vielen Variablen — denn darauf spitzt sich das in Frage kommende Problem zu — nach der von Dirichlet für binäre y Google VIII Gfedächtnisrede auf H, Hfinkowaki. quadratische Formen ar^ewanttfcen transzendonten Methode durch. Die hierbei gefundenea Resultate bilden den wesentlichen Inhalt der Inaugural- Dissertation*), auf Grund deren Minkowski am 30. Juli 1885 Ton der phi- losophischen Fakultät in Königsberg zum Doktor promoviert wurde. Wie glücklich die Ideen des jugendlichen Minkowski auch auf anderem als rein zahlen theoretischem Gebiete waren, ei-sehen wir aus der bei dieser Gelegenheit von ihm aufgestellten These, die so lautete: „Es ist nicht wahrscheinlich, daß eine jede positive Form sich als eine Summe von Formenquadraten darstellen läßt." Es fiel mir als Opponent die Aufgabe zu, bei der öffentliehen Promotion diese These anzugreifen. Die Dispu- tation schloß mit meiner Erklärung, ich sei durch seine Ausführungen überzeugt, daß es wohl schon im teruären G-ehiete solch merkwürdige Formen geben möchte, die so eigensinnig seien, positiv zu bleiben, ohne sich doch eine Darstellung als Summe von Formenquadi-afcen gefallen zu lassen. Die Miukowskische These war für mich später die Veranlassung, die TJntei-snchung der Frage aufzunehmen und für die in der These aus- gesprochene Vermutung den strengen Nachweis zu erbringen. Es stellte sich außerdem späterhin heraus, daß das Problem der Darstellung definiter Formen durch Formen qua drate auch bei der Fi'age nach der Möglichkeit geometrischer Konstruktionen mittels gewisser elementai-er Hilfsmittel eine interessante EoUe spielt und andererseits mit gevrissen tieferen Problemen über die Darstellbarkeit algebraischer Zahlen als Summen von Quadraten zusammenhängt. Auch von anderer Seite ist seitdem das Problem auf- genommen worden und hat zu interessanten speziellen Ergebnissen geführt. Angeregt durch eine von Kronecker gestellte Forderung, die eine schärfere Fassung des arithmetischen Begriffs der Äquivalenz von Formen betraf, gelangte Minkowski zu der interessanten Frage nach dem Verhalten linearer ganzzahliger Substitutionen von beliebiger Variablenzahl im Sinne der Kongruenz nach einem beliebigen Modul**). Minkowski gewann dabei den anwendungs reichen Satz, daß eine homogene lineare ganzzahlige Sub- stitution mit n Variablen von einer endlichen Ordnung, die nach einem ganzzahhgen Modul ^ 3 der identischen Substitution kongruent ausfällt, selbst notwendig die identische Substitution ist. Mit Hilfe dieses Satzes *) Uiiterauchungen über quadratische Formen. I. BestimmuDg der Anzahl ver- Bcliiedener Fonnen, welche ein gegeheoes Genus enthält. Acta Mathematica, Bd. 7 (1885), S. 301—258. Diese Ges. AhhaBdlungen, Bd. I, 8, 157—202. **1 Ueher den arithmetischen Begriff der Aequivalenz und über die endliühen Gruppen linearer ganaaahliger Subatitutionen. Grelles Journal, Bd, 100 (1887), S. 449 —458. Diese Gea. Abhandlungen, Bd. I, S. 203 — 211. Zur Theorie der positiven quadra- tischen Formen. Crellos Journal, Bd. 101 (1887), 8, 196—202. Dieae Ges. Abhandluagen, Bd. I, S. 212—318. y Google Gedächtnisrede auf H. Minkowski. IX gelingt es Minkowski unter anderem zu zeigen, daß die Ordnung jeder endlichen Gruppe von homogenen linearen ganzzahligen Substitutionen mit «Variablen stets ein Divisor der Zahl 2«(2"- 1)(2"- 2) ... (2"- 2"-i) ist, und desgleichen stellt er eine nur von n abhängige Zahl auf, in weicher notwendig allemal die Anzahl der ganzzahligen Substitutionen aufgellen muß, die eine deflnite quadratische Form mit n Variablen in sich selbst überführen. Die beiden Abhandlungen, welche diese Eesultate entwickeln, reichte er der philosophischen Fakultät in Bonn als Habilitationsschrift ein; April 1887 erteilte ihm diese die venia legendi för Mathematik. Noch eine Arbeit Minkowskis sei hier genannt, die ich der Jugend- epoche seines mathematischen Schaffens zuzahle, da sie ebenfalls aus- schließlieh das Gebiet der quadratiachen Formen betrifft; es ist diejenige*), in welcher Minkowski die Bedingungen dafür aufstellt, daß eine qua- dratische Form mit rationalen Zahlenko effizienten sieh vermöge einer linearen Substitution mit rationalen Zahlenkoefflzienton in eine andere ebensolche quadratische Form oder ia ein rationales Vielfaches einer solchen Form transformieren läßt. Als äußerer Anlaß dazu diente ihm eine von Hurwitz und mir gemeinsam verfaßte Arbeit über ternäre dio- phantißche Gleichungen vom Geschlechte Null. Die Untersuchung von Hurwitz und mir hatte ergeben, daß jede ternäre diophantische Gleichung vom Gesehlechte NuU durch eine rationale eindeutig umkehrbare Trans- formation in eine quadratische Gleichung übergeführt werden kann; die weiter entstehenden Fragen, insbesondere die Frage nach den Kriterien dafür, daß eine quadratische diophantische Gleichung bei beliebiger Vari- ablenzahl durch rationale Zahlen lösbar ist, finden durch Minkowski ihre vollständige Erledigung; doch gestaltet sich noch darüber hinaus die Be- arbeitung des Problems durch Minkowski zu einer vollständigen Invaiianten- theorie der quadratischen Formen im zahlentheoretischen Sinne. Nunmehr beginnt für Minkowskis mathematische Produktion die reichste und bedeutendste Epoche; seine bisher auf das spezielle Gebiet der quadratischen Formen gerichteten Untersuchungen erhalten mehr und mehr den großen Zug ins Allgemeine und gipfeln schließlich in der Scbaffiing und dem Ausbau der Lehre, für die er selbst den treffenden Namen „Geometrie der Zahlen" geprägt hat und die er in dem großartig an- gelegten Werke gleichen Titels dargestellt hat. Das Problem, aus den unendlich vielen Formen einer Klasse durch *) Oelier die BedingungeB, unter welchen zwei quadratische Foimen mit rationalen Coefficienten in einander rational transformiert werden können. Grelles Journal, Bd. 106 (18S0), S. 5—26. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. Sia~239. y Google X Gedächtnisrede auf H. Minkowski. bestimmte TJngleichheitsbedinguiigen eine einzige auszusonderi], d. h. das Pioblem der Reduktion der quadratischen Formen, hatte Minkowski schon wiederholt beschäftigt. Vor allem ergriffen ihn die berühmten Briefe, die 1850 Ch. Hermite über diesen Gfegenstand an Jacobi gerichtet hatte, und insbesondere der dort von Hermite aufgestellte Satz, daß die kleinste von Null verschiedene Größe, die durch eine positive quadratische Form von n Variablen mit der Determinante 1 mittels ganzer Zahlen darstellbar ist, niemals einen gewissen, nur von der Zahl n abhängigen Betrag Übersteigt. Durch die Beschäftigung mit diesem Satze wurde Minkowski zu Betrach- tungen veranlaßt, auf die wir ein wonig näher eingehen müssen. Wir denken uns nach Minkowski dasjenige würfelförmig angeordnete, den ganzen Raum erfäUende Punktsystem, welches entsteht, wenn man den reehtwinkhgen Koordinaten x, y, alle ganzzahligen Werte erteilt. Minkowski nannte ein solches Punktsystem ein Zahlengitter. Bedeutet nun F(Xj i/, s) eine homogene positive quadratische Form von x, y, z mit der Determinante 1, so stellt die Gleichung F{x, y, s)^ c für irgendeinen positiven Wert der Konstanten c ein bestimmtes EUipsoid mit dem Null- punkt als Mittelpunkt dar. Wir denken uns nun um jeden Punkt des Zahlengitters als Mittelpnnkt ein diesem EUipsoid kongruentes und ähnlich gelegenes Ellipsoid konstruiert: ist dann der Wert der Konstanten c ge- nügend klein, so werden diese Eüipsoide offenbar sämtlich völlig von- einander getrennt liegen. Der größte Wert von c, bei welchem dies noch der Fall ist und die Eüipsoide demnach einander nur in einzelnen Punkten berühren, sei \ M. Da bei dieser RaumerfiiUung auf je einen Würfel mit der Kanten^nge 1 je eines der EUipsoide kommt, so folgt leicht, daß der Inhalt des Ellipsoides i^(a:, 3/, «) = ^JM" notwendig kleiner als der Inhalt jenes Würfels ausfällt, d. h. es ist gewiß \Y©'<:. Andererseits ist leicht zu erkennen, daß das Ellipsoid F{x, y,s) = M gewiß außer dem Nullpunkt keinen Punkt des Zahlengitters in seinem Innern enthält; liegen doch auf seiner Oberfläche gerade noch diejenigen Gitter- punkte, die die Mittelpunkte der das Ellipsoid F(x, y,ä) =\M berührenden Eliipsoide sind, d. h. M ist der kleinste von NuU verschiedene, durch ganze Zahlen darstellbare Wert der quadratischen Form, und jene Ungleichung liefert für dieses Minimum die obere Schranke M<]/K Dieser Beweis eines tiefliegenden zahlen theoretischen Satzes ohne rechnerische Hilfsmittel wesentlich auf Grund einer geometrisch anschau- y Google Gedächtnisrede auf H. Mixikowsti. XI Uchen Betrachtung ist eine Perle Minkoivakiselier Erflndungakunst, Bei der Yer allgemeiner ung auf Formen mit n Variablen fuhrt der Minkowski- Bche Beweis auf eine natürlichere und weit kleinere obere Sehranke für jenes Minimum M, als sie bis dahin Hermite gefunden hatte. Noch wichtiger aber als dies war es, daß der wesentliche Gedanke des Minkowskischen SchluSverfahrens nur die Eigenschaft des Ellipsoides, daß dasselbe eine konvexe Figur ist und einen Mittelpunkt besitzt, benutzte und daher auf beliebige kouvexe Figuren mit Mittelpunkt übertragen werden konnte. Dieser Umstand führte Minkowski zum ersten Male zu der Erkenntnis, daß überhaupt der Begriff des honvexeii Körpers ein fundamentaler Begriff in unserer Wissenschaft ist und zu deren fruchtbarsten Forschuugsmitteln gehört. Ein konvexer (nirgends konkaver) Körper ist nach Minkowski als ein solcher Körper definiert, der die Eigenschaft hat, daß, wenn man zwei seiner Punkte ins Auge faßt, auch die ganze geradlinige Strecke zwischen denselben zu dem Körper gehört. Die Bedeutung des Begriffs des konvexen Körpers für die Grund- lagen der Geometrie beruht in dem engen Zusammenhange, der, wie Min- kowski erkannte, zwischen diesem Begriff und dem fundamentalen Satze Euklids besteht, wonach im Dreiecke die Summe zweier Seiten stets größer als die dritte Seite ist. Dieser Satz Euklids, welcher ja lediglieh von elementaren, aus den Axiomen uujnittelbar entnommenen Begriflen handelt, folgt bei Euklid aus dem Axiom von der Kongruenz zweier Dreiecke, wir nun alle Axiome der gewöhnlichen Euklidischen Geometrie mit Ausnahme des Axioms von der Drei eck skongruenz, indem wir vielmehr dieses durch das andere, weniger aussagende Axiom, daß in jedem Dreieck die Summe zweier Seiten größer als die dritte sein soll, ersetzen, so gelangen wir zu einer Geometrie, welche keine andere ist als diejenige, die Minkowski aufgestellt und zur Grundlage seiner geometrischen Untersuchungen gemacht hat. Diese MinkowsMsehe Geometrie ist dann im wesentlichen durch folgende Festsetzungen charakterisiert: 1. Zwei Strecken heißen dann einander gleich, wenn man sie durch ParaUelverschiebung des Baumes ineinander Überführen kann. 2. Die Punkte, die von einem festen Punkte gleichen Abstand haben, werden durch eine gewisse konvexe geschlossene Fläche des ge- wöhnlichen Euklidischen Raumes mit als Mittelpunkt repräsentieiii, so daß an Stelle der konzentrischen Kugeln der gewöhnlichen Euklidischen Geometrie ein System ineinander geschachtelter, durch Ahnlichkeits- transformation erzeugter konvexer Flächen tritt. Insofern in der Minkowski sehen Geometrie das Parallelenaxiom gilt, dagegen an Stelle des Axioms von der Dreieekskongi'uenz der gewöhn- y Google XII ftedäclitniirede auf H, Minkowski. liehen Euklidisclien Geometrie jenes weniger aussagende Axiom tritt, daß im Dreieck die Summe zweier Seiten die dritte übertrifft, ist die Min- kowskische Geometrie eine der gewohnÜehen Euklidisclieii Geometrie näckststehende Geometrie, ebenso wie die Bolyai-Lobatschefskyache Geo- metrie, zu der sie ein GegenBtüok bildet. Wie die Bolyai-Lobatsebefs- kysebe Geometrie in verschiedenen mathematischen Disziplinen, besonders in der Theorie der analytischen Funktionen mit linearen Transformationen in sieh, die fruchtbarste Anwendung findet, so zeigt sich die Minkowskis che Geometrie besoaders fflr die Zahlentheorie von hervorragender Bedeutung. Übertragen wir die eben angestellten geometrischen Überlegungen ins Analytische. In gewöhnliehen rechtwinkligen Koordinaten 3;^, .. .,3:^ des n-dimeuaionalen ßaumes kann die Oberfläche eines konvexen Körpers in der Gestalt /■(»„^...»■j-i dargestellt werden, so daß f eine positive homogene (nicht notwendig rationale) Funktion ersten Grades bedeutet, deren wesentlichste Eigenschaft die ist, die durch die Funktionalungleichung f{l>l + y„ ■■;', + 9.) ä fe, ■ . ., «.) + ftSi, ■ ■ ■ , 9.) zum Ausdruck gebracht wird. Die Minkowskisclie Entfernung zwischen zwei Punkten a^j, . . ., a:„ und y^, . . ., i/^ wird dann allgemein durch den Ausdruck definiert. Die ursprünglich zugrunde gelegte Fläche f f(x„ ...,xj=l heißt Eiehfläche; sie ist das Minkowskische Analogon der Kugel im ge- wöhnhchen Euklidischen Räume. Das Ausgangs bei spiel des Ellipsoides erhält man, wenn man hier für/ die Funktion "[/i^ nimmt, wo F die oben (S. X) erwähnte quadratische Form bedeutet. Nun werde als Eiehkörper ein konvexer Körper mit Mittelpunkt, d. h. ein solcher konvexer Körper genommen, der einen Punkt im Innern aufweist, in welchem alle hindurchgehenden Sehnen dfs Körpers halbiert werden. Dann gut für die so definierte Minkowskische Entfernung der Satz, daß für die kleinste Entfernung zwischen zwei fiitterp unkten, d. h. für M, eine obere Sclu'anke existiert, die allein vom Volumen des Eieh- kÖrpers abhängt; und zwar schließt man leicht, daß ein konvexer Körper mit einem Mittelpunkte in einem Punkte des Zahlengittera und vom Volumen 2" immer noch mindestens zwei weitere Punkte des Zahle ngitters, sei es im Innern, sei es auf der Begrenzung, enthalten muß. Dieser Satz ist einer der anwendungsreichsten der Arithmetik; aus ihm leitet Minkowski seinen bekannten Determinantensatz ab, demzufolge y Google Gedächtniarede auf H. Minliowaki. man in irgend n ganzen liomogenen linearen Formen von n Variablen mit beliebigen reeRen Koeffizienten und der Determinante 1 immer den Variablen solclie ganzzahligen Werte, die nicht sämtlicli Null sind, erteilen kann, daß dabei alle Formen absolute Beträge < 1 erlangen; ferner die das Wesen der algebraischen Zahl tief berührende Tatsache, daß die Diskri- minante eines algebraischen Zahlkörpers stets von + 1 verschieden ist, d. h. daß es für einen algebrai sehen Zahlkörper stets wenigstens eine durch das Quadrat eines Primideals teilbare Primzahl, eine sogenannte Ver- zweigungszahl, gibt, analog wie in der Theorie der algebraischen l'unktionen bekanntlich gezeigt wird, daß eine algebraische Punktion stets Verzweigungs- punkte besitzen muß. Aber der obige Satz vom Volumen des Eichkörpers, den ich einen der anwendungsreichsteü der Arithmetik nannte, bildet doch nur das An- fangsglied einer Reihe weiterer auf geometrischer Anschauung fußender SchluÖweisen von weittragender Bedeutung, So gelangt Minkowski durch eine sehr siimreiche geometrische Überlegung, bei der der zugrunde ge- legte konvexe Körper sukzessive nach bestimmten Vorschriften dilatiert wird, zu einer Erweitei^ung des ursprünglichen Satzes, die so lautet: Ist das Volumen des Eichtörpers j^leich 2", so ist nicht nur, wie oben be- hauptet, die kleinste Minkowskische Entfernung < 1 , sondern sogar das Produkt der n kleinsten Entfernungen, in n unabhängigen Eicktungen genommen, fällt stets ^ 1 aus. Die Endlichkeit der Klassenanzahl der positiven quadratischen Formen von n Variablen mit gegebener Deter- minante ist unter anderm eine leichte Folge dieses allgemeinen Satzes. Wie oben ausgeführt wurde, hat Minkowski für das Minimum einer quadratischen Form F von n Variablen mit der Determinante 1 mittels seiner geometrischen Methode eine obere, nur von n abhängige Sehranke aufgestellt. Das genaue Minimum, d. h. der kleinste von NuU verschiedene Wert, den F für ganzzahlige Variablen erlangt, ist notwendig noch eine Funktion der Koeffizienten der Form F; lassen wir diese beliebig variieren, so jedoch, daß die Determinante beständig 1 bleibt, so können wir nach dem Maximum /c„ der Minima aller dieser Formen fragen; dasselbe wird eine nur vou n abhängige Zahl sein, welche jene obere Schranke ebenfaUs nicht Übersteigen kann. Durch völlig andere Hilfsmittel, aber ebenfalls ausgehend von einer geometrischen Betrachtung, bei dei' nunmehr der Begriff des Str ablenk Örpers an Stelle des konvexen Körpers die wesent- lichste BoUe spielt — Strahlenköi-per ist ein Körper mit einem gewissen Punkte im Innern, der alle Strecken zwischen diesem Punkte und einem beliebigen Punkte des Körpers ganz enthält, so daß ein StrahienkÖrper von einem gewissen Punkte aus diejenige Eigenschaft aufweist, welche bei einem konvexen Körper ftir jeden seiner Punkte öi-füUt ist — gelangt y Google SIV Gedäclitciarede auf H. Minkowski, Minkowski für jenes Masimnm h^ des Minimums der quadratischen Form F aucli zu einer unteren Sehrante. Ein überrascliendes und für die Ge- nauigkeit der Minkowskis chen Methode zeugendes Resultat ist es, daß diese untere Schranke und die früher gefundene obere Schranke asympto- tisch für « = oo ineinander fließen, so daß Minkowski die Limesgleiehung auasprechen konnte. Gh. Hemiite, damals der Senior der französischen Mathematiker, hatte Yoa Anbeginn die zahl entheoreti sehen Arbeiten Minkowskis mit höchstem Interesse and lebhaftester Freude verfolgt. Es ist rührend, wie rückhaltlos er die Vorzuge der Minkowskisehen Methode gegenüber seinen eigenen Entwicklungen anerkennt, als Minkowski ihm die eben besprochenen Resultate mitteilt. „Au premier coup d'iBil j'ai reconnu", so schreibt Ch. Hermite in einem der an Minkowski gerichteten Briefe, „que voub aTGZ ete bien au delä de mes reeherches en nous ourrant dans le domaine aritbmetique des voies tont es nouyelles." Und in einem zwei Jahre späteren Briefe vom November 1892 heißt es; „Je me sena rempli d'etonne- meut et de plaisir devant vos principes et vos resultata, ila m'ouvrent eomme IUI monde arithmetique entierement nouveau, oü les questions fondamentales de notre scienee sont traitees avec un eelatant succes auquel tous les geo- mfetres rendront hommage. Vous voulez bien, Monsieur, — et je vous en suis sincerement reconnaissant — rapporter ä mes anciennes reeherches le point de depart de vos beaux travaux, mais vous les avez tant depassees qu'eUes ne gardent plus d'autre merite que d'avoir ouverfc la voie dans laquelle vous Stes entre," Hiernach nimmt es nicht Wunder, daß Hermites Begeisterung für die zahlentheoreti sehen Methoden Minkowskis keine Grenzen kannte, als die erste Lieferung seiner Geometrie der Zahlen 1896 erschien. „Je crois voir la terre promise", so schreibt Hermite an Laugel, von dem er sich eine Übersetzung des Minkowskisehen Buches zu seinem persönlichen Gebrauch anfertigen ließ. Und in der Tat, welche Fülle der verschieden- artigsten und tiefliegendsten arithmetischen Wahrheiten werden in diesem Hauptwerke Minkowskis durch das geometrische Band gehalten und ver- knüpft! Die Theorie der Einheiten in den algebraischen Zahlkörperu, Sätze über die Ordnung einer endlichen Gruppe von homogenen linearen ganzzahligen Substitutionen und Über die Zahl der Transformationen einer positiven quadratischen Form in sich, der Beweis für die Endlichkeit der Klassenanzahl von positiven quadratischen Fornien mit gegebener Deter- minante, die Annäherung an behebig viele reelle Größen durch rationale Zahlen mit den gleichen Nennern, die Theorie der Linear formen mit y Google GedilclikliBi-ede auf H. Minkowski, XV ganzen komploxen Koeffizienten, Sätze Über Minima ¥on Potenzsummen linearer Formen, die Theorie der Kettenbriiche usw. bilden, von den schon vorliin aufgefülirten Gegenständen abgesehen, die Themata des Mintowski- Hchen Buehes über die Geometrie der Zahlen. Minkowski legte besonderen Wert auf die Darstellung, die er in seinem Buche der Theorie der gewöhnlichen Kettenbruche hat zuteil werden lassen; er war der Meinung, daß dnreh seine geometrische Veranachan- üchung erst das wahre Wesen des Kettenbruches enthüllt werde. In einer späteren Arbeit*) gelangt er, ebenfalls geleitet durch ein geometrisches Verfahren, welches in der sukzessiven Konstruktion von Parallelogrammen besteht, zu einer neuen Art von Kettenbruchentwicklung für eine beliebige reeRe Zahl a. Diese Minkowskische Kettenbruchentwicklung ist so be- schaffen, daß die dabei auftretenden Näherun ssbrüche — auch ohne Ver- mittlung des Kettenbruehes direkt durch die Ungleichung i 'j\ 2 1/S charakterisiert werden können; sie stellt demnach das bis dahin vermißte Analogon in der Größentheorie dar zu der in der Funktionentheorie üblichen Kettenbruchentwicklung, bei der ja ebenfalls die sämtlichen Näherungs- brüche, die der Kettenbrueh einer Potenzreihe liefert, auch ohne den Kettenbruch unmittelbar definierbar sind. Die Schlußlief ening von Minkowskis Geometrie der Zahlen ist nicht mehr erschienen, doch hat Minkowski den Stoff, den er für diese Lieferung plante, im wesentlichen in seinen späteren Abhandlungen zur Darstellung gebracht**). Wenn wir uns diesen zuwenden, so haben wir vor allem eines Pro- blems zu gedenken, dem Minkowski schon früh sein lebhaftes Interesse schenkte und auf welches er dann die in der ersten Lieferung seines Buches entwickelten Methoden mit sehr bemerkenswertem Erfolge an- wandte***). Nach Lagrange fällt bekannthch die Entwicklung einer reellen Zahl in einen Kettenbrueh immer dann und nur dann periodisch aus» wenn die Zahl Wurzel einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Insofern dieser Satz ein notwendiges und hinreichendes *) lieber die Aanähening an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. Mathema- tiscte Annalen, Bd. 54 (1901), S. 91—1^4. Diese Gea. Al)iiandlungen, B. I, S. S20— 362. **) Die posthum veröffentlichte „aweite Lieferung der Geometrie der Zahlen" (Leipzigl910)ent8pricht nicht der ursprünglich vonMinkowakigeplantenSchlußlieferuag, sondern bringt vielmehr nur das fünfte Kapitel der erste» Lieferung zum Ahschlaß. ***) Bin Eriterium für die algebraischen Zahlen. Machrichten der E. Geaellschafli der WiEBenaehaften zu Göttingen, mathematiBch-phyBikalische Klasse, 1899, 9. 6i — 88. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 293—315. y Google XVI Gedächtnisrede auf H. Minkowski. Kriterium für die quadratische Irrationalität enthält, lag es nahe, einen entsprechenden Satz für die algebraische Irrationalität beliebigen Grades n aufzustellen; doch waren alle bis dahin in dieser Bichtung liegenden Ver- suche — ich erinnere an den Jacobisehen Kettenbruchalgorithmus zur Entwicklung der kuhischen Irrationalität, dessen Periodizität noch bis heute nicht festgestellt ist — Tergeblich geblieben. Es gelang Minkowski zum ersten Male auf Grund sehr tiefliegender arithmetischer Sätze, zu deren Beweis seine geometrischen Methoden herangezogen werden, das ge- wünschte Kriterium für die algebraischen Zahlen beliebigen Grades n zu gewinnen. Der Minkowskische Algorithmus ist nicht ganz einfach; er besteht zunächst in einer Vorschrift, wie man aus der beliebig vorgelegten Zahl K in eindeatig bestimmter Weise eine Kette von gewissen linearen Substitiitionen von n Variablen bestimmt und alsdann aus diesen gewisse lineare Formen ableitet: die Zahl a ist dann algebraisch vom Grade n, wenn die Kette niemals abbricht und zugleich alle jene unendlich vielen Formen aus einer endlichen Anzahl unter ihnen durch Multiplikation mit Faktoren entstehen. In einer weiteren Untersuchung über die periodische Approximation algebraischer Zahlen*) beantwortet dann Minkowski insbesondere die Frage nach denjenigen algebraischen Zahlen «, für welche jene Substitutionen periodischen Charakter aufweisen, denen also in diesem Sinne genau die von Lagrange für die quadratische In'ationalität entdeckte Eigenschaft zukommt. Minkowski fand, daß die verlangte Periodizität außer für die quadratische Irrationalität nur noch in fünf ganz bestimmten Fällen statt- findet: nämlich im Falle n = 3, a komplex; femer « = 3, « reellj während die zu K konjugierten Zahlen komplex sind; im Falle n = 4, wenn a nebst allen konjugierten Zahlen komplex ist, und endlich in Je einem speziellen Fall bei « = 4 und w = 6, Hatte Minkowski das ganze von ihm erschlossene Gebiet Geometrie der Zahlen genannt, weil er zu den Methoden, aus denen seine a.rithme tischen Sätze fließen, durch räumliche Anschauung geführt worden war, so blieb er auch bei der weiteren Erforschung dieses Gebietes stets dem Bestreben treu, durch engen Anschluß an die geometrischen Vorstellungen und Bilder die Fruchtbarkeit seiner Methoden zu zeigen; er wird nicht müde, durch originelle Modifikationen seine ursprünglichen Überlegungen zu vertiefen, die gefundenen arithmetischen Sätze zu vervollkommnen und neue zu ersinnen. So gelangt Minkowski**) zu einer gitterförmigen Bedeckung der Ebene "■} Ueber periodieclie Approiimationen dJgebraiacker Zahlen. Acta Mathematica, Bd. 26 (190a), 8.333—351. Diese Gea. Abhandlungen, Bd. I, S. B&7~371. **) Üeher die Annäherung an eine reelle (Troßc durch rationale Zahlen. Mathe- matisciie Annalen, Bd. 54 (1901), S. 108 ff Dieie Gps Ahliaadlungeii, Bd. I, S. 336 ff. y Google Gedächtnis rede auf H. Minkowski. mit Parallelogrammen, bei der die ganze Ebene vollständig und i keine Partie der Ebene mehr ab zweifach überdeckt wird; diese Tatsache führt ihn unmittelbar zu einem Satze von Tschebyscheff über nicbthomogene lineare diophantische Ungleichungen und zwar in einer aUgemeineren und vollkommeneren Form, als derselbe von Tschebyscheff aufgestellt worden war. Ferner wirft Minkowski die Frage auf*), unendlich viele untereinander kongraente und parallel orientierte Körper derart anzuordnen, daß sie, ohne einander zu durchdringen, sieh so dicht als überhaupt möglich zu- sammenschließen, während ihre Schwerpunkte ein paraUelepipedischea Punktsystem bilden. Wählt man für die Körper Kugeln, so zeigt sich dann, daß im Eaume von drei Dimensionen zwar die bekannte tetraedrale Anordnung von Kugeln die dichteste ist, daß aber in. Räumen von höheren Dimensionen die dieser entsprechende tetraedrale Anordnung keineswegs die dichteste KugeUagerung liefert. Das Problem der dichtesten Lagerung von Kugeln im n-dimensionalen Baum lauft auf die Beetiramung des Maximums k^ hinaus und hiingt zusammen mit der Fr^e nach der Re- duktion der positiven quadratischen Formen; diesem Problem wendet sich Minkowski in seiner zahlentbeoretischen Abhandlung über den Diakon- tinuitiitsbereich für arithmetische Äquivalenz**) noch einmal zu, es in voll- endeter Form lösend, gleichsam als offensichtUehes Wahrzeichen für die Leichtigkeit und Überlegenheit seiner gegenwärtigen mehi' geometrischen Methoden im Vergleich zu dem Standpunkt seiner Jugendarbeiten. Die Beweise der allgemeinen Sätze: der reduzierte Raum für die positiven quadratischen Formen von n Variablen ist eine konvexe Pyramide mit der Spitze im Nullpunkt, die von einei' endlichen Anzahl durch diesen Punkt laufender Ebenen begrenzt wird; und: im Gebiet der positiv-defi- niten Formen grenzt der reduzierte Raum nur an eine endliehe Anzahl von äquivalenten Räumen an; femer die Berechnung des Volumens des reduzierten Raumes für alle Formen, deren Determinante eine gegebene Grenze nicht übersteigt, sowie die Anwendung hiervon auf die Bestimmung des asymptotischen Wertes der Klassenanzahl positiver quadratischer Formen sind die Glanzpunkte dieser letzten und inhaltreichsten zahlen- tbeoretischen Abhandlung Minkowskis. Von der Bedeutung der Zahlentheorie, wie sie in den Werken ihrer Heroen Fermat, Euler, Lagrange, Legendre, Gauß, Ilemiite, Dirichlet, Kummer, Jacobi und in deren begeisterten Aussprüchen sich wider- ") Didiieategitterförmige Lagerung kongruenter Körper. Nachrichten derK-Geaell- schail der Wisaeßschaften au Göttingen, mathematiBeh- physikalische Kasse, 1904, S. 311— 3Ö6. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 3— -42. *'") Diskontinuitätsbereich für arithmetische Äc|uivalenz, Grelles Journal, Rd, 12y (1905), S. 320—274. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 58—100. y Google X¥m GedächtniBrede auf H. Minko^v»ki. Spiegelt, war Minkowski aafa tiefste durchdrungen; ihre Beize empfand er jederzeit aufa lebhafteste: war doch, was man an der Zahlentheorie rühmt, die Einfachheit ihrer Grmidlagen, die Genauigkeit ihrer ] und die Reinheit ihrer Wahrheiten ganz und gar zu seinem We; und seiner innersten Neigung am meisten zusagend. Wenn es zutrifft, da£ nui- ein enger Kreis von Mathematikern der Pflege der Zahlentheorie sich hingibt und so viele „von den eigenartigen, durch die Zahlentheorie ausgelösten Stimmungen kaum einen Hauch verspüren": den Gfrund hierfür erblickt er darin, daß die Schöpfungen eines Gauß und der andern Gfroßen zu erhaben sind. Und um in dieser gewaltigen Musik, wie er die Zahlen- theorie nennt, für diejenigen, die nicht nur erbaut, sondern auch ergötzt sein woUen, die einschmeichelnden Melodien herauszuheben und so zu ihrem Genüsse mehr anzulocken, dazu veröffenthchte er die Vorlesung, die er Winter 1903/04 in Göttingen gehalten hat, und in welcher er in leicht faßlicher Weise ohne die Voraussetzung besonderer Vorbenntniase die wichtigsten Grundsätze der Geometrie der Zahlen und die einfachsten Anwendungen auf die Theorie der quadratischen Formen, auf die Zahl- körper und vor allem auf die Anmiherung reeller und komplexer Größen durch rationale Zahlen auseinandersetzt. Das so entstandene Buch „IHo- phantiscke Approximationen"*) kann vorzüglich zur Einführung in die von Minkowski geschaffenen Methoden dienen. Minkowski ist es zu danken, daß nach Hermites Tode die FührerroKe in der Zahlentheorie wieder in deutsche Hände zuröckfiel und, wenn man Über- haupt bei einer solchen Wissenschaft, wie es die Arithmetik ist, die Beteiligung der Nationen an den Fortschritten und Errungenschaften ahwägen will: wesentlich durch Minkowskis Wirken ist es gekommen, daß heute im Reiche der Zahlen die bedingungslose und unbestrittene deutsche Vorherrschaft statthat. Die "Überzeugung von der tiefen Bedeutung des Begriffes eines kon- vexen Körpers, dessen Verwendung in der Zahlentheorie so erfolgreich gewesen war, hatte sich bei Minkowski immer mehr befestigt, und dieser Begriff bildet denn auch das Bindeglied zwischen denjenigen Arbeiten Minkowskis, die wesentlich zahlentheoretische Ziele im Auge haben, und seinen rein geometrischen Untersuchungen. Das ursprüngliche Ziel, das Minkowski bei seinen rein geometrischen Untersuchungen im Auge hatte, war, die Begriffe Lauge und Oberfläche mittels des Begriffes Volumen, „dieses elementarsten Begriffes der Analysis des Unendlichen", zu erfassen**). In der Tat gelingt ihm diese Reduktion *) Diophantische Äpprosiniationen. Eine Einfilbtung in die Zahlentheoriß. Leipzig 1907. *•) Volumen und Oberfläcte. Mathematische Annaleu, Bd. &7 (1903), S. 447—495. Diese Ges. Abhandinngen, Bd. H, S. 330—376, y Google Gediichtnisrede auf H. Minkowski. XIX durch ein einfaches Grenzverfahren. Ist ö^twa eine Kurve im Räume ge- geben, so denkt sich Minkowski um jeden ihrer Punkte eiue Kugel mit dem Radius r abgegrenzt. Das Volumen des eo insgesamt in der Um- gebung der Kurve abgegrenzten Bereiches nach Division durch den Inhalt des Kreises vom ßailius r strebt in der Grenze für verschwindende Werte von r im allgemeinen einer Größe zu, die nunmehr als die Länge der Kurve eingeführt wird. Ähnlich kann der Begriff des Inhaltes einer Fläche eingeführt werden, und insbesondere die so entstehende Definition der Oberfläche ist es, durch die Minkowski zu einer wichtigen Verall- gemeinerung des Begriffes der Oberfläche gelangt, indem er nämlich an Stelle von Kugeln beliebige einander ähnliche und ähnlich gelegene konvexe Körper verwendet — - genau im Sinne der vorhin bei Besprechung der zahlentheoretisehen Abhandlungen geschilderten Minkowskischen Geometrie, Durch den Ausbau des Gedankens, die Kugel durch einen beliebigen Bichkörper zu ersetzen, gelangt Minkowski zu demjenigen Begriffe, der das Fundament seiner ganzen Theorie bildet, zu dem Begriffe des ge- mischten Volumens von irgend drei konvexen Koi-pern. Das gemischte Volumen von drei konvexen Körpern K^, K^, K^ ist eine ganz bestimmte eindeutig aus denselben durch ein dreifaches Integral darzustellende Zahl Fjj^ , die in das gewöhnliche Volumen eines Körpers übergeht, wenn man jene drei Körper miteinander identifiziert, die in die gewöhnliche Oberfläche eines Köi-pers übergeht, wenn man zwei von jenen drei Körpern mitein- ander identifiziert und den dritten gleich der Kugel mit dem Radius 1 nimmt und die endlich mit der totalen mittleren Krümmung der Ober- fläche eines Körpers übereinstimmt, wenn man für zwei von jenen drei Körpern die Kugel mit dem Radius 1 wählt. So erseheint der Begriff des gemischten Volumens als der einfachste übergeordnete Begriff, der die Begriffe Volumen, Oberfläche, totale mittlere Krümmung als Spezialfälle enthält, und diese letzteren Begriffe sind damit in viel engeren Zusammen- hang miteioander gebracht; steht doch deshalb auch von vornherein zu erwarten, daß wir auf diesem Standpunkte über das Verhältnis zwischen jenen Begriffen einen weit tieferen und allgemeineren Aufschluß erhalten, als bisher möglich war. Das Hauptergebnis, welches in dieser Hinsicht die Minkowskische Theorie liefert, gipfelt in der Ungleichung "P"ä •> TT- Y einer Ungleichung, die lediglich quadratischen Charakter trägt, während beispielsweise der bekannte Satz, daß die Kugel unter allen Körpern gleicher Oberfläche das größte Volumen besitzt, für Volumen V und Ober- fläche eines beliebigen Körpers durch die kubische Ungleichung 365rFä> 0» yGoosle SX GedäclitniBrede auf H. Minkowski. ausgedrückt wird. Diese kubische Ungleichung aber und somit ins- besondere jener Satz über das Maximum des Kugelvolumens erseheint bei Minkowski ak spezieller Ausfluß der genannten inhaltreicheren und ein- facheren quadratischen üngleicbnng; zugleich treten neben jenen Satz vom Maximum des Kugelvolumens eine ganze Reihe gleich wichtiger Sätze über die Kugel. Über das gemischte Volumen stellt Minkowski den all- gemeinen Satz auf, daß, wenn Jnan aus droi Köi'pern vom Volumen 1 das gemischte Volumen bildet, dieses stets ^ 1 ist und nur dann gleich 1 wird, wenn die drei Körper miteinajider identisch sind oder durch Trans- lation miteinander zur Deckung gebracht werden können — ein Satz, der ebenfalls die in Bede stehende Maximaleigenschaft der Kugel als spezielle Folge mit enthält. Zur analytischen Durchführung dieser Gedanken bedient sich Min- kowski im wesentlichen der Methode der Ebenenkoordinaten. Die letzteren erseheinen in der Tat als das naturgemäße Hilfsmittel zur Darstellung der Minkowskischen Theorie; ist doch das Mischvolumen nichts Anderes als eine zweimalige Bildung der ersten Variation des gewöhnlichen Volumens, f:Jls man dieses durch Ebenenkoordinaten ausdrückt. Des weiteren beschäftigt sich Minkowski mit dem einfachen und elementaren Begriffe des konvexen Polyeders und weiß diesem vielbeban- delfcen Gegenstande neue und fi-uchtbare Seiten abzugewinnen. Sein grund- legender Satz sagt aus, daß ein konvexes Polyeder stets durch die Rich- tungen der Normalen und die Inhalte seiner Seitenflächen bis auf eine Translation eindeutig bestimmt wird. Aus diesem Satze leitet Minkowski durch Grenzübergang das merkwürdige Theorem ab, wonach es immer eine und nur eine geschlossene konvexe Fläche gibt, für die die Gaußsche Krümmung als stetige Funktion der Bichtungskosinusse ihrer Normalen vorgeschi-ieben ist. Indem hierbei Minkowski die Krümmung — unmittelbar an die ursprüngliche Betraehtungs weise von Gauß anschließend — durch eine Integralforderung definiert, vermeidet er es, die Existenz der zweiten Ableitungen der die Fläche definierenden Funktion vorauszusetzen, und erreicht eben dadurch jene größtmögliche Einfachheit und Allgemeinheit in der Fassung und Entwicklung des Theorems. Das Minkowekische Problem der Bestimmung der geschlossenen kon- vexen Flächen mit vorgesdiriebener Gaußscher Krümmung ist wesentlich identisch mit dem Problem der Integration einer gewissen parUellen Diffe- rentialgleichung vom Monge-Ampereschm Typus-^ ao kommt es, daß .die ursprünglich rein geometrische, auf dem Begriff des konvexen Körpers beruhende Methode Minkowskis zugleich für die Theorie der Integration niehtlinearer partieller Differentialgleichungen bis dahin unbe- .nte Fragestellungen und Hussichts reiche Angriffspunkte liefert. y Google Gedächtnierede auf H. Minkowski. XXI Endlich werde ooch eines kleinen Vortrages*) von Minkowski Er- wäbniing getan, den er vor seiner Übersiedelung nach Göttingen in der hiesigen mathematischen Gesellschaft gehalten hat und der bisher nur in einer russischen Übersetzung publiziert worden ist; derselbe enthält einen Satz von elementarem Charakter, wonach die Körper, deren Breite kon- stant d. h. in jeder Richtung genommen die nämliche ist, und andererseits die Korper konstsrnten Umfanges miteinander identisch sind; dabei ist unter Umfang der Umfang des Que]^chnittes des in irgendeiner Richtung dem Körper umschriebenen Zylinders zu verstehen. Sein Interease für die physikalische Wissenschaft hat Minkowski frühzeitig bekundet. Schon in den ersten Jahren seiner Privatdozenten- zeit in Bonn beschäftigte er sich mit theoretischen Untersuchungen über Hydrodynamik. Helmholtz legte 1888 in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin eine Arbeit**) von Minkowski über das Problem der kräftefreien Bewegung eines beliebigen starren Körpers in einer reibungslosen inkom- preasiblen Flüssigkeit vor. Um die Bewegung des Körpers völlig zu icenn- zeichnen, ist die Bestimmung von seehs unbekannten Funktionen der Zeit erforderlich Das wichtigste Resultat von Minkowski besteht nun in der Reduktion des ursprünglich durch das Hamiltonsche Prinzip gelieferten Variationspi oblems auf ein Vaiiationsproblem, welches nur zwei unbekannte Funktionen der Zeit enthalt Die Feiienzeitpu wählend dti Bonner Jahre verlebte Minkowski in der Regel in Königsberg, dem Wohnorte seiner Familie, wo er dann mit Horwitz und mu fast taghch zufammenkam, meist auf Spaziergängen in der Königsbeigei Umgebung Einmal, Weihnachten 1890, blieb Minkowski in Bonn, auf mein Zureden nach Königsberg zu kommen, steRte er sich in einem launigen Briefe al« einen physikalisch völlig Durchseuchten hin, der erst eme zehntägige Quaiantane durchmachen müßte, ehe Hurwitz und ich ihn in Königsberg als mathematisch rein zu unseren Spaziergängen zulassen würden. ,^ch habe mich", so fährt Minkowski in seinem Biiefe fort, „ganz der Magie, wollte sagen der Physik ergeben. Ich habe meine praktischen Übungen im physikalischen Institut, zu Hause studiere ich Thomson, Helmholtz und Konsorten; ja von Ende nächster Woche an arbeite ich sogar an einigen Tagen der Woche in blauem Kittel in einem Institut zur Herstellung physikalischer Inatrumente, also ein Praktikus schändlichster Sorte." Von Heinrich Hertz in Bonn fühlte sich Minkowski *) Ueber die Körper konstanter Breite. Moskau, Matbematiaelie Sammlung (Matematifieskij Sbornik), Bd. 26 (1908), S. 505—508. Diese Ges. Abhandlungen, Brt. K, S. 277—379. **) Ueber die Bewegung eines festen Körpers in einer J'lSssigkeit. Sitaungsberichte derBerlinerAkademie, 1888,8,1095— 1110. Diese Ges. Abhandlungen, Bd.II, S.283— 297. y Google XXII Gedächtuiärede auf H. Minkowski. stark angezogen; er äußerte, daß er, wenn Hertz am Leben geblieben wäre, sich scbon damals mehr der Physik zugewandt hätte. August 1892 war Minkowski zum außerordentlichen Professor in der philosophischen Fakultät zu Bonn ernannt worden. April 1894 ermög- lichte auf Minkowskis und meinen dringenden Wunsch der damalige Ministerialrat ÄIfchoff, der SoJiarfbliekende, in dem Minkowski sehr früh- zeitig einen Gönner und Bewunderer gefanden hatte, die Versetzung Min- kowskis na^h Königsberg, und ein Jahr später wurde Minkowski dann in Königsberg mein Nachfolger im dortigen Ordinariat für Mathematik. Avis diesem Amte schied er Oktober 1896, um einem Rufe als Professor für Mathematik an das Eidgenössische Polytechnikum in Zürich au folgen. Dort verheiratete er sich im Jahre 1897 mit Auguste Adler aus Straßburg i. E. In Zürich blieb er bis zum Herbst 1902. Da war es wiederum Althoff, der Minkowski auf den für seine Wirksamkeit ange- messensten Boden verpflanzte; mit einer Kühnheit, wie sie vielieieht in der Geschichte der Verwaltung der Preußischen Universitäten beispiellos dasteht, schuf Althoff aus nichts hier in Göttingen eine neue ordentliche Professur, und dieser Tat Älthoffs danken wir es, daß seit Herbst 1902 Minkowski der unsrige gewesen ist. Bereits Oktober 1901 hatte ihn unsere GeseUschaft zu ihrem korrespondierenden Mitgliede in der mathematiach- physikalisehen Klasse gewählt. Als Frucht der vielseitigen theoretisch -physikalischen Studien, die Minkowski auch in Zürich betrieben hatte und in Göttingen fortsetzte, ist der Enzyklopädieartikel über Kapillarität*) anzusehen, in welchem er in wahrhaft musterhafter Weise in aller Kürze, dem beschränkten Kaum ent- sprechend, die sämtlichen theoretischen Gesichtspunkte dieses Kapitels der Physik ause blander setzt und die schwierigen mathematischen Grundlagen, insbesondere soweit sie die Variationsrechnung betreffen, in origineller, zum Teil ganz neuer Form entwickelt. Aber am nachhaltigsten fesselten Minkowski die modernen elektro- dynamischen Theorien, die er mehrere Semester hindurch mit mir ge- meinsam betrieb, insbesondere in Vorträgen, zu denen das von ihm und mii' geleitete Seminar Anlaß bot. Die letzten Schöpfungen Minkowskis entsprangen diesen Studien, denen er mit großem Eifer oblag; hatte er doch für die nächsten Semester Vorlesungen und Seminar über Elektronen- theorie geplant. H. A. Lorentz hat zuerst erkannt, daß die Grundgleichungen der Elektro- dynamik für den reinen Äther die Eigenschaft der Invarianz gegenüber denjenigen gleichzeitigen Transformationen der ßanmkoordinaten x, y, a und *) Enzyklopädie der mathematis eben Wissenschaften, Bd. Vi, Heft 4, S. 558— S13. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 298—351. y Google Gedächtnisrede auf H. Minkowaki. XSTIL tlei Zcitp ti imeters t besitzen, die — - falls mau die Lichtgeschwindigkeit gleich 1 nimmt — den Ausdruck x^ ■{- y^ -{• z^ — f in sich überführen. Im Zuaamnieöiiang mit dieser rein mathematischen Tatsache und in der Absicht, divon Kech^nschaft zu geben, daß eine relative' Bewegung der Erde gegen den Lichtather nicht wahrgenommen wird, war jener scharfsinnige Forscher in küLaem Gedankenfluge zu der Einsicht gelangt, daß der Begriff des starren Körpers in dem bisherigen Sinne nicht aufrecht zu erhalten sei, sondern in der Weise modifiziert werden müsse, daß Elekfa:izitUt nnd Materie, sofern sie eine Bewegung von der Gescbwindigkeit v besitzen, in Bichtimg dieser Bewegung eine Verkürzung ihrer Ausdehnung erfahren und zwar im Ver- hältnis 1 : )/l — v^. Daß eine weitere Konsequenz dieser Idee eine neu- artige Auffassung des Zeltbegriffes ist, und insbesondere alle den Lorentz- Transformationen entsprechenden Bezugsysteme zur Einführung eines Zeit- parameters gleichberechtigt sind, dies erkannt zu haben, ist das Verdienst des Physikers Einstein. Die Ideenbildungen von Lorentz nud Einstein, die man unter dem Najnen des ßelativitätsprinzipes zusammenfaßt, waren es, die Minkowski die AnreguDg zu seinen wichtigen und auch in weiteren Kreisen bekannt gewordenen eleMrodynamischen Untersuchungen gaben. Minkowski*) legte sofort jener mathematischen Tatsache der Invarianz der elektrodynamischen Grundgleichungen gegenüber den Lorentz-Transformationen die allgemeinste und weitgehendste Bedeutung bei, indem er diese Invarianz als eine Eigen- schaft auffaßte, die überhaupt allen Naturgesetzen zukomme, ja daß sie nichts Anderes als eine schon in den Begriffen Raum und Zeit selbst ent- haltene und diese beiden Begriffe gegenseitig verkettende und miteinander verschmelzende Eigenschaft seL Auch dem Nicht-Naturforscher ist die Tatsache geläufig, daß die Naturgesetze von der Orientierung im Räume sowie von der Zeit unabhängig sind, und ferner lehrt die gewöhnliche Mechanik, daß, wenn ein System sich bewegt, stets auch diejenige Be- wegung statthaben kann, bei welcher die Geschwindigkeitsvektoren sämt- licher materieller Punkte je um einen konstanten Vektor vermehrt sind: darüber hinaus behauptet nun nach Minkowski das Relativ itätsprinzip ■ — oder, wie es Minkowski später nennt, das Weltpostuiat — , daß die Natur- gesetze in einem noch viel höheren Sinne von Raum nnd Zeit unabhängig, nämlich invariant gegenüber allen Lorentz -Transformationen sind. Indem nun durch die Lorentz-Transformationen gewisse Abänderungen des Zeit- parameters zugelassen werden, die nicht bloß auf eine veränderte Wahl des Zeitanfanges hinauslaufen, fällt konsequenterweise überhaupt der Be- *) Die Grundgleioliungeii für die elektiomagnetiBchen Vorgänge in bewegten Körpern. Naehricliten der K, Gesellschaft der Wiesen sc}] aften zu Göttingen, mathemati ach -physi- kalische Klaaae, 1908, S. 53—111. Diese Ges. Abhandlungen, Bd. II, S. 352—404. y Google XXrV Gedäcttniarede auf H. Mmkowski, griff der Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse als an sieh existierend. Nur weil wir gewohnt sind, eia bestimmtes Bezugsystem fiir Raum und Zeit stark approximativ eindeutig zu wählen, halten wir den Begriff der Gleich- zeitigkeit für einen absoluten — ungefähr wie Wesen, gebannt an eine enge Umgebung eines Punktes auf einer Kugelob erfläehe, darauf verfallen könnten, die Kugel sei ein geometrisches Gebilde, an welcbem ein Dureh- messer an sich ausgezeichnet ist. Tatsächlich ist die Sachlage die, daß stets zwei Ereignisse, die an zwei Orten zu zwei verschiedenen Zeiten stattfinden, als gleichzeitig aufgefaßt werden können, sobald die Zeit- differenz kleiner als die Entfernung beider Orte, d. h. diejenige Zeit ausfallt, die das Licht braucht, um von dem einen Orte zu dem andern zu gelangen. Ähnlieh verhält es sich mit drei Ereignissen zu drei ver- schiedenen Zeiten, die ebenfalls als gleichzeitig stattfindend aufgefaßt werden können, sobald gewisse Ungleichheiten zwischen den Raum- und Zeitparametern erfüllt sind. Erst durch vier Ereignisse ist im aUgemeiuen das Bezugsystem von Raum und Zeit eindeutig festgelegt. — „Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken, und nur noch eine Art Union der beiden aoil Selbständigkeit bewahren." So bekannte sich Minkowski eingangs des eindi'ueksvoEen Vortrages*), den er auf der vorjährigen Naturforscherversammlung zu Köln vor einer zahl- reichen, ihm mit größter Aufmerksamkeit folgenden Zuhörerschaft, be- stehend aus Mathematikern, Physikern und Philosophen, gehalten hat. Um die in Rede stehende Invarianz der Naturgesetze richtig zu ver- stehen, ersetze man sowohl die Raum- und Zeitparameter x, y, s, t, vrie auch diejenigen Größen, die in den die Naturgesetze ausdrückenden Glei- chungen als Funktionen von x, y, s, t auftreten, durch die entsprechend linear transfonnierten Größen: dann müssen die erhaltenen Gleichungen die nämliche Form für die neuen Größen in den neuen Veränderlichen aufweisen. Beispielsweise sind im Falle der elektrodynamischen Gmnd- gleichungen die mit der Dichte multiplizierten Geschwindigkeitskompo- nenten u, V, w zusammen mit der Dichte p als vier Größen anzusehen, die in gleicher Weise mit den Variablen x, y, s, t transformiert werden; die Vektorenpaare di^egen, der elektrische imd der magnetische Vektor einer- seits und die elektrische und magnetische Erregung andererseits, sind als je sechs Größen anzusehen, die wie die sechs zweireihigen Determinanten einer Matrix zweiei Raumzeitpunkte, d. h. etwa wie die Plückerschen Lißienkoordinaten sieh tiansfoimieren. Da demnach bei diesen Trans- formationen eine Vermischung von Geschwindigkeiten und Dichte und ') Eaum und Zeit PlIJS!kah^clle Zeitschnfl, 10. Jahrgang, Wr, a (1909), S. 104—111 ; Jahresberichte der DentBchen M^ithematik er- Vereinigung, Bd. 18 (1909), S. 75—88. Diese Ges, Abhandlangen, Bd II, ^ 431 -Ji4 y Google Gedächtnisrede auf H. Micko-wski. XXV ebenso yon elektrischen und magnetischen Vektoren stattfindet, so ist absolut genommen eine Festlegung von Geschwindigkeit und Dichte der Substanz, sowie der elektrischen und magnetischen Vektoren nicht möglich; diese Begriffe hängen vielmehr ebenfaUs wesentlich Ton der Wahl des Be- zugsyetems für x, y, z, t ab. Minkowski wendet nun das eben gekennzeichnete und von ihm mathe- matisch präzisierte Weltposfculat — und darin erblicke ich seine bedeut- samste positive Leistung auf diesem Gebiete — dazu an, um die elektro- dynamischen Umndgleichungen für bewegte Materie, deren definitiye Form unter den Physikern außerordentlich strittig war, herzuleiten. Dazu sind nur drei selir einfache Grundannahmen nötig: nämlich 1) die Annahme, daß die G-eschwindigkeit der Materie stets und an allen Orten kleiner als 1 d. h, als die Lichtgeschwindigkeit ist; 2) das Axiom, daß, wenn an einer einzelnen Stelle die Materie in einem Momente ruht — die Umgebung mag in irgendwelcher Bewegung begriffen sein — dann für jenen „E an m Zeitpunkt" zwischen den magne- tischen und elektrischen Vektoren und deren Ableitungen nach x, y, s, t genau die nämlichen Beziehungen statthaben, die zu gelten hätten, falls aUe Materie ruhte; 3) die Annahme der von niemand bestrittenen elektrodynamischen Grrundgleichungen für ruhende Materie. Die elektrodynamischen Grundgleichungen, die Minkowski auf diesem Wege erhält*), lassen, was Durchsichtigkeit und Einheitlichkeit betrifft, nichts zu wünschen übrig; sie stimmen mit den bisherigen Beobachtungen Überein, weichen indes in mannigfaltiger Weise von den bis dahin ge- brauchten, von Lorentz und Cohn aufgestellten Gleichungen ab, indem diese keineswegs das Weltposfculat genau erfüllen. Die Minkowskiscken eleldrodymmiischen Grundgleichiingen sind eine notwendige Folgerung des Weltpostulates — sie sind von derselben Gewißheit wie dieses. Immer mehr und mehr befestigte sieh Minkowski in der Überzeugung von der allgemeinen Gültigkeit und der eminenten Fruchtbarkeit und Trag- weite seines Weltpostulats und - — die wunderbaren, yielverheiß enden Ideen von M. Planck Ober die Dynamik bewegter Systeme bestärkten ihn darin — ■ von der Notwendigkeit einer Reform der gesaraten Physik nach Maßgabe dieses Postulats. Was die Mechanik betrifft, so gelangte Minkowski durch Einführung •) Mit der Ausaibeituag einer Ableitung dieaer Gleichungen auf Gruad der Tor- Btellangen der Blektronentheorie war Minkowski ia den letaten Wochen seines Lebens beschäftigt. Unter Benutzung der nachgelassenen Papiere ist eine solche Herleitung in Minkowskis Sinne von Herrn M. Born {Mathematische Annalen, Bd. 68 (1910), S. sae— &B1; diese Ges. Abhandlungen, Bd. 11, S. 40B— 430) dnichgefuhrt worden. y Google XXVI Gedächtnisrede auf H. Minkowski. des Begriffs der Eigenzeit eines materieUen Punktes zu einem gewissen System modifizierter Newtonseher Bewegungsgleichungen, bestehend aus vier Gleichungen, von denen die drei ersten in die gewöhnlichen Newton- schen Gleichungen übergehen, wenn man die Lichtgeschwindigkeit c un- endlich werden läßt, während die vierte eine Folge der drei ersten ist und den Satz Ton ' der Erhaltung der Energie ausspricht. In dieser dem Weltpostulat gemäß reformierten Mechanik fallen die Disharmonien zwischen der Newtonsehen Mechanik und der modernen Elektrodynamik von selbst weg. Aber die Minkowskisehe Untersuchung führt darüber hinaus zu der prinzipiell interessanten Tatsache, daß auf Grund des Welt- postulates die voüetändigen BewegungsgesetBC allein aus dem Satz von der Erhaltung der Enei^ie ableitbar sind, Ferner zeigte Minkowski, wie Aaa Newtonsche GraTitationsgesetz zu modifizieren sei, damit es dem Weltpostulat genügt. Das Minkowshische Gravitationsgesds verknüpft mit der Minhowskischen Mechwnih ist nicht weniger geeignet, die astronomischen Beobachtungen zu erklären als das Newtonsche Gravitationegesetz verknüpft mit der Newtonsehen Mechanik. Dabei bedeutet die Minkowskisehe Formulierung eine Fortpflanzung der Gravitation mit Lichtgeschwindigkeit - — was unserer heutigen Anschau- ungsweise über Fernwirkung weit besser entspricht als die albe Newtonsche Momentanwirkung. Als Beleg dafür, wie die Minkowskisehe Betrachtungsweise, die sich stets in der vierdimeasionalen Raum -Zeitmannigfaltigkeit x, y, z, t — Welt genannt — bewegt, erst imstande ist, die innere Einfachheit und den wahren Kern der Naturgesetze zu enthüllen, sei nur noch auf den wunderbar durchsichtigen, von Minkowski angegebenen Ausdruck für die so lußeist Lomplizieite ponderomotoiische Wirkung zweiei bewegter elektiischei Teilchen hingewiesen Damit ist die Würdigung der hiuptsii hlnhaten Eigebnis'^e der Publi- kitunen Minkowskis beendigt, ibei die wissenschaftliche Wirksamkeit seiner Person i=«t durch die zui Veröffentlichung gel rngtin Schriften keineswegs ei schöpft Nach welchen Richtungen weiterhin und in wel- chem Sinne sich diese Wirksamkeit Minkowsl is vornehmlich ersti-eckte, bedarf noch einer kui/en Daileguug, da eiot dann die \olle Bedeutung Minkowskis fui die Entwicklung dei Mithemitik dei Gegenwart sich er- kennen hßt Zunichst gedenke ich der ^teUimgnahme Minkowski'; gegenüber der- jenigen mathematischen Disziphu welche heute eine heivonagende Rolle m unseier \^ issensehift emnimmt und ihren gewiltigen Einfluß auf aUe Gebiete der Mathematik ausströmt, nämlich der Mengentheorie. Diese von Georg Cantor zuerst in fruchtbarer Weise in Angriff genommene und y Google Godächtuisrede auf H. Minkowski, XXVII durch kühne Ideen zu gewaltiger Höhe geführte Lehre wurde damals von dem im Gehiet der Zahlenthoorie maßgebenden Mathematiker Kronecker aufs enteehiedenate bekämpft. Obwohl Minkowski in Berlin bei Kroneeker studiert hattö und sich dem mächtigen Einfluß, i3en dieser in der Zahlen- theorie ausübte, willig hingab: die Vorurteile, von denen Kroneeker be- fangen war, durchschaute er frühzeitig; er war der eiste Mathematiker unserer Generation — und ich habe ihn darin nach Kräften unterstützt — , der die hohe Bedeutung der Cantorsehen Theorie erkannte und zur Gel- tung zu bringen suchte. ,fDie spätere Geschichte", so führt Minkowski in einem in Königsberg gehaltenen Vortrag über das Aktual- Unendliche in der Natur aus, „wird Cantor als einen der tiefsinnigsten Mathematiker dieser Zeit bezeichnen; es ist sehr zu bedauern, daß eine nicht auf sacli- hchen Gründen aUein beruhende Opposition, die von einem sehr ange- sehenen Mathematiker" — gemeint ist eben Kronecker — „ausging, Cantor die Freude an seinen wissenschaftlichen Forschungen trüben konnte." Minkowski verehrte in Cantor den originellsten zeitgenössischen Mathematiker zu einer Zeit, als in damals maßgebenden mathematischen Kreisen der Name Cantor geradezu verpönt war und man in Cantors transfiniten Zahlen lediglich schädliche Hirngespinste erblickte. Min- kowski äußerte wohl, daß Cantors Name noch genannt werden würde, wenn man die heute — weü sie modisch sind — im Vordergrunde stehen- den Mathematiker längst vergessen hat. Der Umstand, daß ein Mann wie Minkowski, der das exakte Schließen in der Mathematik gewisser- maßen verkörperte und dessen Sinn für echte Zahlentheorie über allem Zweifel war, so urteilte, ist der Verbreitung der Cantorsehen Theorie, „dieser ursprünglichen Schöpfung genialer Intuition und spezifischen ma- thematischen Denkens", wie sie mit Recht kürzlich ein jüngerer Mathe- matiker genannt hat, sehr zustatten gekommen. Minkowski hat stets danach gestrebt, nicht nur über die Methoden der reinen Mathematik die Herrschaft zu erlangen, sondern auch den wesentlichen Inhalt aller derjenigen Wissensgebiete sieh anzueignen, in denen die Mathematik als HUfswissenschaft eine entscheidende RoRe zu spielen berufen ist. Wie tief er dann in solche Wissensgebiete, die eigentlichen Arbeitefelde fern lagen, eindrang und wie kritisch auch hier sein Bhck war, zeigen di verschiedenen Anlässen, namentlich gehalten hat, sowie seine Universi mannigfachen Vorträge, die er bei a unserer mathematischen Gesellschaft, ivorlcsungen. Zumal in Göttingen hat Minkowski außer den üblichen Vorlesungen eine große Anzahl von Spezial Vorlesungen über die verschiedensten Gegenstände gehalten, z. B. über Linien- und Kugelgeometrie, Anal/sis situs, automorphe Funktionen, Invarianten theorie, Wärmestrahlung und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Diese y Google XXVni Gedächtnisrede auf H. Minkowski. Vorlesungen waren stets klai- durehdaeht und fein get'oi-mt; ihr Ziel war, die Ergebnisse neuester Forschung kritisch zu sichten, anf die einfachste ^orm zu bringen und alsdann in Verbindung mit den alten Sätzen der Theorie einheitlich zur Darstellung zu bringen. Wie sehr es ihm dabei gelang, auch den schwerfälligeren Zuhörern die Wege zu ebnen und die reiferen ganz für sich zu gewinnen , beweist der steigende Zuspruch, dessen eich diese Vorlesungen in Göttingen eifreaten. Besonders verstand er es, in höheren Vorlesungen junge Mathematilfer zu eigenen Forschungen anzuregen. Unter den Dissertationen, die seiner Anregung zu verdanken sind, seien nur die von L. KoHroa, Un algorithme pour l'approximation simnltanee de deux grandeurs (1905), und E. Swift, Über die Form und Stabilität gewisser Fliissigkeitstropfen (1907), genannt, deren wei-tvoUe Resultate in weiteren Fachkreisen bekannt geworden sind. Daß Minkowski auch Niohttaehleuten luicb de Heranziehung tfeffcn- der Gleichnisse und anschiulichei Bildei ibei chwienge mathematische Gegenstände vorzutragen \ nd m ihnen em "V o Stellung von der Große und Erhabenheit unseiei ^^ issen^chitt zu erwecken wußte, zeigt am besten die ßedc, die ti i lei Festsitzung^ dei Gottinger mathematischen Gesellschaft zur hundertjahn^ei Wiedeikehi des G bnrtstages von Di- richlet gehalten h^t'*) Die bege sterten md klaien Ausführungen, die dort Minkowski über den Chirakter d^r Zahlentheoiie, ihre Bedeutung und ihre Stellung zu m leren DiszipliLien machte bei ihen auf einer tiefen Erfassung des Wesens dei Zahlentheoiie und sind las Beste, was je über diese wunderbarste Schöpfung menschlichen Geistes gesagt worden ist. Hierfür sei das Zeugms desjenigen Mathem'itil eis angerufen, der als. Schüler von Dirichlet ein kn nj etentes Urteil h'it un 1 den wir heute im In- und Auslande als den benioi lei Mathematikei als den einzigen lebenden Heros aus dei gitßten Fjoche dei /ahlentheoi e verehren dürfen. „Ich habe Ihren Vortiag so ichrieb Riehard Dedekmd an Minkowski, „mit größtem Genuß finfnial und noch Tiel ftei duiehgelesen und bin besonders von der gtoßen hi tonn hen Auffassii^ ergiiffen, mit der Ihr Vortrag die tiefsten Gedanken unseiei W ssensehaft deutlich erfaßt und in ihrer Entwicklung verffl_,t Trotz seiner millen Denka t wu M nkowsLi ira Grunde kritisch, er erkannte leicht die Schwachen einei Beweist ihrui ,, oder einer Ideen- bildung und legte im al^ememen luch an die 4.ibeiten anderer einen strengen Maßstab in Ei unteisuhied sehaif zw sehen oberflächlichen und soliden Mathematik m "\ in omei guten mathemafciachen Arbeit ver- *) P. 0. Lejeune Dinchlefc nd seine Bedeut vag fu die heutige Mathematik. Jahresbericht der De it^chön Mathemat Ler ^ eiP n gnng Bd 14 (11)06), S. 149—163. Diese Ges. Abhandlungen B 1 11 S 14 — 4()1 y Google Gedächtnisrede auf H, Miakowski. XXIX langte er, daß in ilir eine klar gestellte und des Interesses werte Frage gelöst werde. So sehr er von echter Bescheidenlieit war und mit seiner Person gern im Hintergrunde blieb, war er doch von der innersten Überzeugung getragen, daß vieles von dem, was er schuf, die Arbeiten anderer zeit- genössischer Autoren überleben und einst zur allgemeinen Anerkennung gelangen würde. Den von ihm gefundenen Satz von der Lösbarkeit linearer Ungleichungen mit der Determinante 1, seinen Beweis für die Existenz von Verzweigungszahlen im Zahlkörper oder die Reduktion der kubischen Ungleichung, die die vorhin genannte Maxi male igen seh aft der Kugel ausdruckt, auf eine quadratische Ungleichung stellte er wohl inner- lich seihst den besten Leistungen der mathematischen Klassiker auf dem Gebiet der Zahlentiieorie und Geometrie gleichwertig an die Seite. Man müsse fleißig sein, das Lehen sei ja so kurz, äußerte er wohl. Und in der Tat, die Wissenschaft begleitete ihn überall, sie war ihm zu jeder Zeit interessant und ermüdete ihn an keinem Ort, sei es auf einem Ausflug, in der Sommerfrische oder in der Bildergalerie, in dem Eisen- bahueoupe oder auf dem Großstadtpfiaster. Noch in den letzten Nächten, die er zu Hause zubrachte, beschäftigte ihn die Formung der Worte in seinem Kölner Vortrage, und er über- legte, welche Wendung dem naiven Sprachgefühl besser entspräche. Das war eh ai'akter istisch für ihn: er strebte zuerst nach Einfachheit und Klarheit des Gedankens — Dirichlet und Hermite waren darin seine Vor- bilder — , dann bemühte er sich, dem Gedanken auch eine vollkommene DarsteRung zu gehen. Er war von großer Genauigkeit und einer ins kleinste Detail gehenden Eigenheit, was die Wahl der Bezeichnungen und der Buchstaben betraf, eine Genauigkeit, die — freilich wie bei Min- kowski gepaart mit einem aufs Große gerichteten Blick — dem rechten Forseher stets eigen ist, und die wir heute bedauerlicherweise seltener werden sehen. Auch sonst, wenn er im kleineren Kreise über einen wissenschaftlichen Gegenstand sprach, legt« er auf die Form und den Ausdruck Wert, und hesonders in unserer mathematischen Gesellschaft verfehlte er selten, seinem Vortrage einige wohl überlegte, die Zuhörer anregende Bemerkungen vorauszuschicten. Fiel von aller vorgefaßten Meinung und von aller Einseitigkeit zeigte er auch im die entferntesten Anwendungen der Mathematik Interesse — immer dei Meinung, daß diese auch der reinen Wissenschaft schließlich zum Vorteil dienen würden. So nahm er auch an den Sitzungen der Göttingei Vereinigung für angewandte Mathematik und Physik aufs regste teil. Er besaß eine scharfe Beobachtungsgabe auch für Dinge, die nicht y Google XSX Gedächtnisrede auf H, Minkowski. seine Wissen seil aft betrafen. Wie er denn überhaupt für alles, was Menschen bewegt — Ton der Politik Ijis zum Theater — ■ Verständnis, nicht selten Eifer und Lebhaftigkeit bekundete. Dem Femerstehendeu schien es mitunter bei dem im allgemeineu ruhigen Temperament Min- kowskis, als schenke er einer Sache wonig Interesse: oft fiel gerade dann von JMinkowskis Seite eine Bemerkung, die den Kern der Sache traf, oder er hatte gar ein Zitat aus Faust bereit, den er vollständig auswendig konnte. Noch in der letzten arbeitsreichsten Zeit seines Lebens liebte er es, seinen Kindern Gedichte von Goethe und Schiller auswendig vor- zutragen — mit der Begeisterung, die ihm aus seiner Jugendzeit frisch geblieben war. Für seine Person war er äußerst einfach und anspnichslos, mehr bedacht auf das Wohlergehen seiner Angehörigen als auf sein eigenes. Er war von unentwegtem Optimismus, stets überzeugt, daß das Gute und Richtige zum schließlichen Siege gelangen würde. Für junge heran- wachsende Mathematiker hatte er viel persönliches Interesse und sah sie häufig bei sich im Hause; er sprach sich bisweilen überschwenglich Über die Kenutnisse und den Fleiß einzelner unter ihnen aus und setzte große Hoffnungen auf ihre Zukunft. Seit meiner ersten Studienzeit war mir Minkowski der beste und zuverlässigste Freund, der au mir hing mit der ganzen ihm eigenen Tiefe und Treue. Unsere Wissenschaft, die uns das liebste war, hatte uns zusammengeführt; sie erschien uns wie ein blühender Garten; in diesem Garten gibt es geebnete Wege, auf denen man mühelos genießt, indem man sich umschaut, zumal an der Seite eines Gleich empfindenden. Gern suchten wir aber auch verborgene Pfade auf und entdeckten manche neue, uns schön dünkende Aussicht, und wenn der eine dem andern sie zeigte und wir sie gemeinsam bewunderten, war unsere Freude vollkommen. Sein stiller Sinn stand nicht nach äußeren Zeichen der Anerkennung; doch empfand er eine lebhafte Genugtuung, wenn mir eine solche zuteil wurde. Allem, was mich betraf, brachte er sein stets gleichbleibendes Interesse und seine herzlichste Teilnahme entgegen. Zumal die kleine Stadt hier erleichterte unsern Verkehr: ein Telephonruf zur Vermittlung einer Verabredung oder ein paar Schritte über die Straße und ein Stein- chen an die klirrende Scheibe des kleinen Eckfensters seiner Ärbeitsstube — und er war da, zu jeder mathematischen oder nichtmathematischen Untern eh muug bereit. Noch auf der Krankenbahre liegend — todeswund — galten seine Gedanken dem Bedauern, daß er in der nächsten Stunde des Seminars, in der ich meine Lösung des Waringseheu Problems vortragen wollte, nicht zugegen sein könne. Seinem Andenken darum habe ich meine die Lösung y Google Gedächtnisrede auf H. Minkowski. XXXI enbtalteiide Abliandlung gewidmet, die ei'ste, von dertsn Inhalt ei- keine Kenntnis mehr genommen hat und über deren liorreJtturbogen sein sicheres Äuge nicht geglitten ist. Er war mir ein Geschenk des Himmels, wie es nur selten jemand zuteil wird, und ich muß dankbar sein, daß ich es so lange besaß. Jeder, der ihm näher stand, empfand die Harmonie seiner Persön- lichkeit und den Zauber seiner Genialität; sein Wesen war wie der Klang einer Glocke, so hell in dem Glück bei der Arbeit und der Heiterkeit seines Gemütes, so voU in der Beständigkeit und Zuverlässigkeit, so rein in seinem idealen Streben tmd seiner Lebensauffassung. Wie er gelebt hat, ao starb er — als Philosoph. Wenige Stunden noch vor seinem Tode traf er die Anordnungen über die Korrektur seiner im Druek befindlichen Arbeit und überlegte, ob es sich empfehlen würde, seine unfertigen Manuskripte zu verwerten. Er sprach sein Bedauern über sein Schicksal aus, da er doch noch vieles hätte machen können; seiner letzten elektrodynamischen Arbeit aber würde es vielleicht zugute kommen, daß er zur Seite trete — - ]uan werde sie mehr lesen und mehr anerkennen. Zum Abschiednehmen verlangte er nach den Seinigen und nach mir. Mehr als sechs Jahre hindurch haben wir, seine nächsten mathema- tischen Kollegen, jeden Donnerstag pünktlich drei Ilbr mit ihm zusammen den mathematischen Spaziergang auf den Hainberg gemacht — auch den letzten Donnerstag vor seinem Tode, wo er uns mit besonderer Leb- haftigkeit von den neuen Fortschritten seiner elektrodynamischen Unter- suchungen erzählte: den Donnerstag darauf — wiederum um drei Uhr — gaben wir ihm das letzte Geleit. Dienstag, den 12. Januar, mittags, waj- er einer Blinddarmentzündung erlegen; bei dem bösartigen Charakter, mit dem die Krankheit auftrat, hatte auch die Sonntag Nacht ausgeführte Operation nicht mehr helfen können. Jäh hat ihn der Tod von unserer Seite gerissen. Was uns aber der Tod nicht nehmen kann, das ist sein edles Bild in unserem Herzen und das Bewußtsein, daß sein Geist in uns fortwirkt. y Google y Google ZUR THEORIE DER QUADRATISCHEN FORMEN y Google y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzaMigen Koeffizienten. (Mfimoiies prcaKnt^B yii diTeia sa\anta a lAi.'ilPmie des Sc ences dp llnshtit national de Fiance Tome XilX No 2 1884 V rbemerkung des Herai agebers Diese Abhandlung ist \oii Minkowski im Mai 18H2 der Piiiser Äcademie des Sciences als PieiBBchnft und zwar m Oestalt eines m deutsolier Spca.clie lerfaBttn Mannakriptea ein gei Picht worden (vgl Comptes hendus Bd 96 (l'i83) pp 87i» — SS ) In den Memoirea d s Sil inta etraugera ist aie \ on Minkowski selbst ins Franzosiiche ul e ti og n unter dorn Titel M^n jire sui la, theonp des fonnea q^nidratiquea k coefiicienfs entieii ei=chiPnen Dip lorliLgeide dLiitsUiP Ausgabe fo frinzos s he Test als unmittel bare Überaetaung des ptes gelten kann dem letzteren an den zahlreioken S abwaiiAen ist der iranzisiachi, Text als maßgebend kübersetzt worden. Ein Ver- aeichnis der hauptsä sieh am Schlüsse der Abhand- lung, Von dem H g und Anmerkungen sind durch doppelte eckige Klamm [[Begle h J'ai rhonneii d ci-joint, intitule: J" coeffidaits nunm-tq Sciences mathnnai de la decomposit ä Tont ea espL la g^nöraliser en m en plus d'uD rapp Arrive il y ment de ces atti Yoyaut qu'il ne que juste le tem m'a ete impossibl des Scienoes.]] e l'Äcademie mon Memoire des formes guadratiques ä eours au Grand Frix des n de la question: «Theorie ne somme de cinq carres.» !a question proposee, et ä rindulgence de l'Aeademie e poiiit d'ample developpe- iiiterrompre mon ouvrage, ver au terme du l'^' juin, st pourquoi avant tout il fran^'aisj ce qui, du veate y Google 4 Zur Theorie der quadratischen Formea, ä l'etat actuel de mea connaissances dans cette laague, je n'aurais su faire que d'une fa^on assez imparfaite. Cette insuffisance de temps m'a empeche d'epuiser tout le materiel que j'ai trouve pour cette qnestion interessante, ainsi que de donner ä la redaction tous ces soins que j'aurais voulu y porter, pour rendre mon ouvrage aussi en fait de forme, plus digne du noble forum, au jugement duquel j'ose le soumettre. Je prie rAcademie de bien vouloir excuser ces faiblesses et de daigner examiner mon ouvrage tel que je suis force ä le presenter. L'auteur du memoire portant l'iSpigraphe: «Bien n'est beau qiie le vrai, le vi'a.i aeul est aimalile,* le 29 mai 1882. Durch die von der Academie des Sciences gestellte Aufgabe „Theorie de la deeomposition des uombi-es entiere en une somme de einq carres" angeregt, unternahm ich eine genauere Unter suehung der allgemeinen quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten. Ich ging dabei von dem natürlichen Gfedanken aus, daß die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von fünf Quadraten in ähnlicher "Weise von den quadratischen Formen mit vier Variablen abhängen würde, wie bekanntlich die Zer- legung einer Zahl in eine Summe von drei Quadraten von den quadra- tischen Formen mit zwei Variablen abhängt. Diese Untersuchung hat mir in der Tat die gewünschten Resultate über die Zerlegung einer Zahl in eine Summe von fünf Quadraten geliefert. Indessen erscheinen diese Resultate bei der großen Allgemeinheit der von mir gefundenen Sätze nicht überall als das eigentliche Hauptziel der vorUegemlen Arbeit; sie stellen vielmehr nur ein Beispiel für die gewonnenen umfangreichen Theorien dar. Wenn daher viele der nachfolgenden Betrachtungen nicht immer unmittelbar auf das Thema der Preisfrage hinweisen, so wage ich dennoch zu hoffen, daß die Akademie nicht der Ansieht sein werde, ich würde mehr gegeben haben, wenn ich weniger gegehen hätte. Ich teile kurz die bemerteus wertesten Sätze dieser Arbeit mit. — Es sei /=^«,. eine quadratische Form mit ganzzahligen Koeffizienten ra^^ und von einer nicht-verschwindenden Determinante A, welche sich durch eine reelle Transformation in eine Summe von n — / positiven und I negativen Qua- y Google GiTiDdlagen für eine Theorie der quadratischen Pormen. 5 draten transformieren lasse. Die Zahl I heißt der Index der Form f. Das System nennen wir das quadratische System der Form f. Der größte Teiler aller /i-reihigen Unter determinanten des Systemes Ä sei d,,_^^, der größte Teiler aller doppelt genommenen unsymmetrischen und einfach genommenen symmetrischen Ä-reihigen Determinanten von A sei gleich s^d^_i. 0,, ist gleich 1 oder gleich 2 ((j„ = l, ä„_^ = (,— ly ■ A). Ist !>-2'' ■.i/iVi eine zweite quadratische Form, welche durch eine ganzzahlige Substitution von der Determinante 1 aus f hervorgeht, so heißt g der Form / äqui- valent, und es gelten, wenn der Form g die Zahlen ej_^ und p^ [[in der- selben Weise wie df^_^ und 6^ der Form f]] angehören, die Beziehungen Wii- betrachten hauptsächlich Formen f, für welche der größte Teiler der Koeffizienten a^^, nämhch c^^, gleich 1 ist, sogenannte primitive Formen. Für eine primitive Form setzen wir (Z, = öl , Die Zahlen ö^ und 6,, nennen wir die Invarianten der (primitiven) Form f. Alle Formen /', für welche die 2()ä — 1) -f- 1 Zahlen C;^; ::::"::)'" gleiche Wette haben, fassen wir in eine Ordnung zusammen. Zwei äqui- valente Formen gehören derselben Ordnung an. Die Existenz einer Ordnung ist (wenn wir 6(| = 1, Oo= 0; 0^=1,0^^ = setzen) an die folgenden Häuptbedingungen gebunden: I. Die Größen o,, sind ganze Zahlen. IL Die Zahlen 0^ und öi_i 'O,, ■ e,,^i sind nicht gleichzeitig durch 2 teilbar (ff^ ist relativ prim zu ffj_] -ö^- ffy,_^i). III. Die Größen —— — ~ und — -■ - sind ganze Zahlen. y Google 6 Zur Theorie der quadratisclieri Formen. Außer diesen Hauptbedingungen besteht im Falle, daß nicht sämtliche n — 1 Zahlen öj_;^o^öj^j Quadratzahien sind, die einzige Nebenbedingung; Wenn w s (mod 2) und &^ = 2, 63 = 1,..., ö„_3 = l, ö,^i = 2 wird, so ist, wenn wir die in den Zahlen o^ anfgeienden Potenzen von 2 gleich 2'"'' setzen, ni ,(-1) f(m„a4). Im Falle, daß die sämtliehen n — 1 Zahlen öj^jO, e,,^j Quadrate sind, treten noch mehrere einfache Nebenbedingungen hinzu. Alle Ordnungen, welche mit den von uns aufgestellten Bedingungen verträglich sind, ent- halten wirklieh Fornienklassen. Zum Beweise dieser Sätze in betreff der Formenordnungen fuhren wir den folgenden, sehr fruchtbaren und leicht auf Formen you beliebig hohem Grade auszudehnenden Begriff ein: Eine quadratische Form B-2'^« heißt ein Rest einer Formenklasse f in bezug auf einen Modul N, wenn sich in dieser Formentlasse eine Form *=^ Ä,u X, X. vorfindet, für welche die sämtliehen ] A^^=B,^ (mod2V) statthaben. — Wir können den Rest i2 der Formenklasse /" so wählen, daß er nach dem Modul N in eine Summe tod mehreren Einzelfonnen mit einer oder zwei Variablen zerfällt, und wir nennen einen Rest R, für welchen die Anzahl dieser EiuKelformen den größtmöglichen Wert erhält und in welchem die « Variablen in bestimmter Weise geordnet sind, einen Hauptrest der Klasse f. Ein Hanptrest ü einer Klasse f hängt, wie wir zeigen, nur von den Resten seiner n mittleren*) Koeffizienten ab. Wir bezeiehnen die aus den ersten h Reihen einer Form f gebildeten symmetrischen Unterdeterminanten durch (i,,d,^_^f,^. Wir können in jeder Formenklasse f eine Form 93 bestimmen, für welche die Zahlen g>j zu den Zahlen Söjög . , . o„_^'9);j_j ^;,_|_i relativ pnm ausfallen. Eine derartige Form heißt eine charatteria tische Foi'm der Klasse f. Die aus den ersten *) [[Die Sjj werden als mittlere, die JS^.j, {i ^ k) als seitliche Koeffizienten einer quadratiaclien Form B='S'R^i.x^Xj^ hezeictnet.]] y Google Grundlagen für eine Theorie der quadraiäachen Formen. 7 h [[Horizontal- und Vertikal-]] Reihen des quadrati sehen Systems von

if'^g) Es besteht dei Fundamentalsatz ; A. Wewn zwei Formen einer dt itteti oqutvnlent sind, w sind sie unter- einander äquivalent. Denn ist _ _ so haben wir Die Gesamtheit aller einer bestimmten Form /' äquivalenten Foraien nennen wir eine Formenklasse. Infolge des Satzes A. sind zwei Formen, welche derselben Klasse angehören, untereinander äquivalent, während zwei Formen aus verschiedenen Klassen nicht äquivalent sind. Wir werden ine gegebene Form selten als besonderes, durch seine — ^— ^ — - Koeffi- .enten bestimmtes Individuum betrachten; meistens wird sie uns nur als Eepräse^itant der ihr entsprechenden Formenklasse gelten. Eine jede Form / von n i cht -y er seh windender Determinante kann, wie man weiß, durch eine lineare Transformation mit reeRen (keineswegs immer ganzzahligen) Koeffizienten in eine Summe von n zum Teil posi- tiven, zum Teil negativen Quadraten Übergeführt werden. Es mögen bei irgendeiner solchen Transformation I=I(f) Quadrate das negative und n — I Quadrate das positive Vorzeichen erhalten; alsdann ist nach einem bekannten Satze die Zahl I für die Form f charakteristisch, und es wird eine jede Darstellung von f durch eine Summe von n positiven oder ne- gativen Quadraten die Gestalt f-"2'v+2'='" erbalten. Wir gewinnen hieraus leicht für die algebraische Äquivalenz zweier Formen f und g die Bedingung m - Kay Die Zahl I(f) beißt der Index der Form /. Die Form ? = !&,„) sei in der Form f={ai^] vermittels einer Sub- stitution S ~ [sl] enthalten. Wir bezeichnen die Suhdeterminanten A"" Grades y Google le Theorie der quadratisclien Forc \m,, *.,•,, ■■■; >\'; \..,\..., ■■■, \,, :d- oder, wofern die besondere Wahl der h Horizontal- und Vertikalreiheu unter den gegebenen n Horizontal- und Vertikal^eihen gleiübgiiltig ist, durch A^, B,, S, oder V- Wir gebrauchen für die symmetrischen Af^ und B/^ die Buchstaben F,^ und G^ und für die unsymmetrischen A^ und B^ die Buchstaben Pj und Q/^. Nach einem bekannten Determioanteusatze ist \wij, m^, . . ., inj (1.2.-.A).(1.2...ft) In der Entwicklung eines G^ sehen wir die F^ mit einem Faktor 8,f, die P,, mit einem Faktor 2S^S^ behaftet; in der Entwicklung eines Q,^ weisen sowohl die F,^ als die P,, einen Faktor S/ß^ auf: a^ = '^F,ß,^ +^P^ '^S.S^" , Wir schließen aus dieser Bemerkung, daß der größte Divisor der F^, Pj in dem größten Divisor der Gf^, Q^ und der größte Divisor der F,^, 2Pj in dem größten Divisor der G^, 2 Q^ aufgeht. Den größten positiven Divisor der F^, P^ setzen wir gleich . Koeffizienten a^^ nach den Moduln N in Betracht, und wir liönnen daher diese Koeffizienten durch beliebige, ihnen nach ien Moduln N kongruente Zahlen ersetzen. Eine Form B = [R^] heißt ein Best der Formenklasse f m hemg auf den Modul N, sobald in dieser Klasse eine Form ^-^j^j) anzutreffen ist, für welche sämtliche Kongiuenzen Ä,, = R^, (mod AO erfüllt sind. Wir gebrauchen alsdann die Bezeichnung tl) = {Ii,.j) (modÄf). Wir werden für eine jede Formenklasse eine Reihe besonders aus- gezeichneter Formenreste bestimmen, zu denen mau gelangt, wenn man auf eine beliebige Fonn der betreffenden Klasse Substitutionen Ton der folgenden Art ausübt; S|5l : ^i - <> ^A = ± < + «/- «* = ^^' ß 4= «, k) und P,, ^j: Xj = a;J,, x^ x^', x,^ = x^ {k =j= l, m) und ^i - < ^-^'s.^, T., = x: (h + i). Zunächst verschafft uns die Betrachtung der so gewonnenen Klassen- reste den Satz: B. Mir eine jede Ordnimg, wddie wirklich Formen enthält, werden die Invarianten o,, ganze Zahlen. Wir können diesen Satz auch in der folgenden veränderten Weise aussprechen; C. Ist die quadratische Form /■-= [a^t] in bezug auf eine Primzahl q primitiv und sind die höchsten, in den Zahlen dy,d^, . . ., d^_^ der Form f aufgehenden Potenzen von q resp. ^', q\ . . ., 5^«-', so fallen die Größea '^h = {^i ~ ^ft-i) ~ (^*-i "" ^h-i) nicht negativ aus. Die o^ sind mit den (^ durch die Gleichungen ?,, = Awj + (h~ l)ß)2 + h W/. verbunden. Die Potenzen g^"h sind offenbar diejenigen Potenzen von q, welche in den Größen 0, = -^ : ,— aufgehen: sobald also keine der y Google 14 Zur Theorie der qaadratiEclieD Formen, Zahlen «^ negativ ist, müssen die öj sämtlich ganze Zahlen sein. Die erste Ton verschiedene der Zahlen ra^ ist gewiß positiv, da sie gleich der ersten von verschiedenen Zahl 8^ iat. — ■ Wir werden die Gültigkeit des Satzes C. für Formen von n Variablen ans der Annahme der Gültig- keit desselben für Formen von weniger als n Variablen herleiten. Hier- durch ist dann zugleich seine Ällgemeingültigkeit dargetan; denn da dieser Satz für K = 1 gewiß richtig ist ■ — in diesena Fall existiert überhaupt kein o^ ■ — , wird er sofort auch für n -= 2, 3, . . ., »i erwiesen sein. Für den Beweis des Satzes C. genügt die EinfÜhning besonderer Formenreste für Moduln, welche Potenzen der Primzahl q sind. Nur müssen wir den Fall einer ungeraden Primzahlpotenz q' =- p' Yon dem Falle einer Potenz g' = 2' sondern.*) I. Wir beginnen mit dem Falle einer ungeraden Primzahl q^p- 1. Jede in bezug anf p primitive Form f = ^^a-f^x^x^ von n Variablen ist einer Form a, 0, Ü (mod p'), f„ = «i'+p' '■■2 a.fxpxj-'^ (modjj') äquivalent, deren erster Koeffizient a zu p relativ prim ist, während f''^^ °^ ^j "^Ä" ■''■**' ^*''' ^'°^ ^^ bezug auf p primitive Form von w — 1 Vari- ablen darstellt. Beweis: Wenn f in bezug auf p primitiv ist, so sind die Zahlen a,j, 2a^j gewiß nicht alle durch p teilbar. Ebenso können aneh die Zahlen a^^, «jj ± 2«^,. -|- ir^j nicht alle durch p teilbar sein; denn sie haben offenbar denselben größten gemeinsamen Teiler wie die a^^, 2af^. Sollten also die Koeffizienten o,-; der Form f sämtlich durch p teilbar sein, so würde eine der Zahlen a^^ ± 2ajj -{- a^^ zu p relativ prim sein, und wir dürften auf f nur eine Substitution S,r-i anwenden, um in der veränderten Form die zu p prime Zahl a^i ± Sa^j + a^^ als einen mittleren Koeffi- zienten zu erzielen. Wir können demnach von f voraussetzen, daß es einen durch p nicht teilbaren Koeffizienten a^^ besitzt. Durch Ausübung 1 durch q eine beliebige und durch p eine ungerade y Google Grundlagen einer Substitution P,. fm" Theorie der quadratischen Formen. 15 delt sich f alsdann iu eiaen Bepräsentanten (mod p'), welchem a zu p prim ist. Auf /j^i weiiden wir , K„ E„ ..., K„_ 1, 0, ..., die Substitution 1 an. Eine solche Substitution läßt a ungeandei-t, während sie ^^ in Terwaiidelt. Bestimmen wir daher dis K,^ aii.s den gewiß lösbaren Kon- gruenzen E^^aK^^f) (mod _p'), so geht die Form /"^j durch die Substitution S'^ in eine Form /■(!>- . 0, 0, {mod p'') über. Ist f^a^, so wird p°'' die größte Potenz von p sein, welche in allen r^'^ enthalten ist, und wenn wir r^^ = p"' a^J setzen, so haben wir die angegebene Gestalt von f„. erlangt. 2. Der Form /(■^/'(d) teilten wir n — 1 Zahlen d^, d^, . . ., d^_i zu; K — 2 Zahlen (7^*^', tZ^C', . . ., (i,P_lg von ähnlicher Bedeutung gehören der Form /■(^ = {",t'l an. Ea bezeichnet d^^}^ für fW den größten gemein- samen Teiler aller -4j'^l Es seien die höchsten in (^,'^', f?^*^', . . ., d^^}^ aafgeheuden Potenzen von p resp. p^' , p^* , - ■ ■, t^"~'- Für die Form /Jjj gelten die Kongruenzen ^p,;, = K-p(*-i|"'AW,, p''"^Ä,^% (mod 1)'). Wir wollen den Modul p' größer gewählt denken als die größte der Zahlen p^', jA, . . ., p^»-' . Dann muß die höchste Potenz von p, welche in allen ^4,^/, aufgeht, d. i. die Potenz p^''~', zugleich die höchste Potenz von p sein, welche in allen a •y*"''"''-^^'-!' iJ*""'-^!'^' aufgeht. Die höchste Potenz von p, welche in den u ■i>'*~'*°''-l + (/i- l)c3g« + ■ ■ ■ + w^i) bestimmten Größen ra^'^) positiv oder gleich NuU ausfallen, und es wird woraus sich wegen (Oi ^ Qi ~ i)cjj + 3 «3 ^ /*DJ, + a w^ ergibt. Von diesen beiden Zahlen ist also jedenfalls die erste nicht großer als die zweite, und wir erhalten folghch oder, wenn wir setzen und die Gleichungen ausführlicher schreiben: r^ = ha, + (A— l)oj3 ■\ h OT^, ro,, > 0. 11. Wenn die Primzahl q = 2 ist, unterseheideo wir die Fälle ö^ = 1 und 01 — 2. (Jj = 1. — 1. Jede in bezug auf 2 primitJTe Form /■= ^, '^ik^i^tJ welche eine Invariante ß, — l besitzt, ist einer Form /(.)- a, 0, ..,, 0, 2"^aW, ..., 2"'^alfl (mod 20, äquivalent, in welcher der erste Koeffizient a ungerade ist, während f"^^ '^^j ''■ti''^/^^'''i^' ^'-"^^ ^^ bezug auf 2 primitive Form vorstellt, welche im Falle ra^ = eine erate Invariante e gleich 1 besitzt. Beweis: Es befinden sich, wenn ö^= 1 ist, unter doa Eoeffizienteu a^ ungerade Größen. Außerdem muß es im Falle ra^ = eine ungerade Determinante t^^j^f^,,,, — ^^^ geben. Denn wären alle diese Determinanten gerade, so würden die Kongruenzen y Google Gruttdlagen für eine Theorie der quadratiachen Formen. 17 lind ^kh ^kh ^ ^ii ^/ih % h "•?, h ^ "'kl, ^i h ('^O'l 2) gelten, und folglich wären auch alle Determinaaten ^^1%^^, — ßi^,»i^Ä ge- rade, so daß die höchste Potenz von 2, welche in allen diesen Determinanten enthalten ist, nämlich S""', nicht gleich 1 sein könnte. Wir können im Falle Wj = ferner voraussetzen, daß die Form f für denselben Index i sowohl ein ungerades' a^j als auch eine ungerade Determinante Oni<^^^ — «.^ besitzt. Denn waren in f die Indizes i der ungeraden a^ alle von den Indizes fe, h I hätte 1 der ungeraden Zahlen a^^ \^^, . verschieden, s s 0, a,, = 0, sO, 1 gleichzeitig (mod 2), d. h. / 1, 0, -^ 1 = 0, 0, 1 (mod 2). V 0, 1, / Durch Ausübung einer Substitution S^^. auf f erhielte man eine Form^ in welcher die Zahlen a^. und a..aj^^~ a.^^^ bzw. durch die Zahlen und (a^^ffl^^ — a.]\ ± 2ra^j«jj — %i^a^,'\ + (ai,^a^^ — a^^jj ersetzt erscheinen, welche beide ungerade sind. Vermittels einer Sub- stitution JP[i^n können wir jetzt f in eine Form ec, £,, ..., E^_ K, c,,, . . ., c, „, f(i)- (mod 20 tranaformieren, in welcher « und im Falle cj^ = auch eine der Größen €cC;i — £(* ungerade ist. Diese Form fi^. geht durch eine Substitution ' 1, K,, K., ..., K„_ 1 in welcher die K,^ den Kongruenzen £, + kX^ s (mod 20 in eine Form y Google Zor Theorie der quadratischen Formen. • «, 0, . . ., 0, 2'"-a'», ..,, 2'^«m (mod 2') 0, 2™.aW, a'^> über, im ■welcher f^^i = { a,.^* ) in bezug auf 2 primitiv ist. Hierin fällt, wenn üjj = ist, eine der Größen tt2°'^af^'> ^ afp (mod 2) ungerade aus, und folglicb wird in diesem Falle die Form /■<"' eine erste Invariante ff gleich 1 besitzen. 2. An die Form f,,^ können wir sofort dieselben Schlüsse anknüpfen wie in Absatz I, 2. dieses Kapitels, und wir gelangen, indem wir der Form /■(^' .n — 2 Zahlen co,y^ zuerteileu und den Modul 2' größer als die größte der Zahlen 2^', 2^', . , ,, 2^»-^ wählen, in derselben Weise zum gewünschten Ziele: ffj = 2, — 1, Jede in bezug auf 2 primitive Form f = welche eine Invariante öj ^ 2 besitzt, ist einer For ' 2«, 91, 0, ..., 91, 2a, -2" tii) — 0, (mod 2'), 0, 0, 2-.aO), 0, 0, 2™'(tJ^^,, ..., 2'^oj^ig /;„a2(«|>+St|l+«l') + 2-^2' "'!>"*<"''" ('"°'' '•'"> äquivalent, in welcher die Zahl 9t einen willkürlicb. gewählten ungeraden Wert hat*), a ungerade und /^^ = /^ ''iit ' ^j''* 3;,.^ eine in bezug auf 2 primitive Form ist. Beweis: Wegen e^ = 2 müssen alle a^^ gerade ausfallen, während mmdcitens eines der fl,j. (,( + /) ungerade wird. Wir können annehmen, daß gleichzeitig «„ = 1 (mod 2) und «,-; ^ 2 (mod 4) gilt. Sind nämlich für ein ungerades a,j gleiehaeitig «;,- und «^^ durch 4 teilbar, so genügt es, auf f eme Substitution )S,-„ anzuwenden, um zu erzielen, daß der i.oeftizient a^, duieh die Zahl «iti 2a;j -f a^jS 2 (mod 4) ersetzt wird. *) ^ jx be/Gichneu mit Jl at^'ts ungerade Zahlen, welche willkürlich gewählt werden durfpii y Google Grundlagen für eine Tlieorie dw quadratischen Formen. 19 Durch eine geeignete Umstellung der Variableu mittels der Substitutionen -P(i,.V -^(3,*) können wir daher der Form f die Gestalt verleihen 2a, Ä, E„ ..., E„_ A, 2a, E„ ■ßi. A, «^n. U)'— {mod 20, in welcher k und A ungerade sind. Auf dii atitution M, Zj, K,^, 1, 0, Eine solche Substitution läßt 2 ^ in ^ + während dieselbe aM verwandelt. Kongraenz stete Lösungf die Koiij £, in E^ + 2ttKj^ + AK^, {E, + AK,^ + 2aK,) + M(E, + 2aK^ + AK,) St eine beliebige ungerade Größe, so hat die 2aM^%-A (mod 20 I und ebenso sind wegen 4ß«-^^ = l (mod 2) E,+ 2aK^+ AK^ =0 _E,. + AK, +2aZ'^ = ! ergeben ^ __ .aJ^s — 2oAj -r> _ ^E^ (mod 2*) i:, = - (mod 2*)- Mit Hilfe der so bestimmten Werte der M, K^, K, geht daher die Form /pi in eine Form /L. von der gewünschten Art über. In dieser Form /jj, müssen wegen dj = 2 die aSmtliehen 2'"^ a^f> gerade sein. Folglieh sind im Falle ojg = auch alle a^^ gerade, imd die Form P'={«(^^') wird in diesem Falle eine erste Invariante 5 gleich 2 besitzen. 2. Die höchste Potenz von 2, welche allen A^^^f der Form t\i){^f') gemeinsam ist, d. h. die höchste in d,^_^ aufgehende Potenz von 2, sei wieder 2^''-i, die höchste in den A,}^'^ der Form /"'^' aufgehende Potenz y Google 20 Zur Theorie der quadratischen Formen. von 2 sei 2 h-i. Wir bemerken, daß die Potenz 2^', welche unter anderem in 4ß« — W aufgehen muß, offenbar gleich 1 ist und daß infolgedessen 0j = wird. Wir haben für die Größen Ä^^^l, die Kongruenzen 2ä-2(''-i)'"'^/l>^, Wählen wir nun t größer als die größte der Zahlen S^, Sg, , , ., e^_^, 80 wird die höchste in allen Af^^i, aufgehende Potenz von 2, nämlich 2^*-i, zugleich die höchste Potenz von 2 sein, welche allen auf der rechten Seite der vorstehenden Kongruenzen befindlichen Größen gemeinsam ist. Es ist aber die höchste in allen in allen 2« ■ 2'^''-''>'"^Ä(^^, 9t ■ 2<''-^>'"'^/2|i 2ß ■ 2'-''-'}"'^A^^}^, in allen aufgehende Potenz von 2 resp. 2(A-a)m,+a,;i'8 2('''-i''"= + ^''-ä, 2'""=-^^i*-'. Souach wird ö^_j mit der kleinsten der drei Zahlen (Ä-2)aj3 + 0»„ (A-l)(aa + 0,(!J2, Ära, + e/^^ übereinstimmen müssen. Nehmen wir jetzt an, für die Form f <^1 = { a^^'' ] von n~~2 Variablen wäre der Satz C. richtig, so werden die Größen <»(**', welche durch die Gleichungen ?;,« = h(0,i') + (Ä- l)ß)/) + - . . + ej;/^l bestimmt sind, nicht negativ ausfallen, und es müssen demnach die Un- gleichungen statthaben. Umaomehr gelten dann wegen (o^^O die weiteren Un- gleichungen {h - 2) coa + Sl'l^^ {h - 1) Ws + Sflj^ hoy, + gf_>^. Mitliin wird 0j_i, welches der kleinsten der vorstehenden drei Zahlen gleich werden soll, gleich (h — 2) Wg -f- Sj-^}_ ^ werden, und wir erhalten in diesem letzten Fall, indem wir c^ _ 3, = und cJ,;ä)a= ^'. C' > 2) setzen, gleichfalls yGoosle Grundlagen für eine Theorie der quadratiachen formen. 21 Wir führen jetzt einige Bezeicluniiigen ein, welche für die folgenden üntersuehungen wichtig sind. Wir setzen für eine jede Primzahl g(q ^p oder = 2) ^1=0?^, »Ig = (Oj + «a, . . ., »„_!= OJj + 1»^+ ■ ■ ■ + ^'„„l, woraus sich sofort ergibt. Die Potenzen /f- sind diejenigen Potenzen von g, welche in den Größen -j — aufgehen. Ferner nehmen wir an, von den « — 1 Zahlen ejj seien im ganzen 1 — 1 (1 < A < h) von Null verschieden, nämlich die Größen (Oo=0) a»,, o)3j, ..., (o»i_a, 03g^_^, (*i=«) und wir bestimmen l Zahlen % durch die Gleichungen *i=«n ^s=''i + ''a, ■ ■■, n-^&^ = x^+Xs-\ h«^, {^k= ^k— ^k-t)- So oft der besondere Wert der Primzahl § hervorgehoben werden soll, ■werden wir den sämtlichen Größen ra, v, r, X die Zahl q in Klammern beifügen. Kap. III. Hanptformenreste und Haiiptrepräsentanten für einen Modul Jf. 1. Der Modul iV" möge ein Produkt von c„ zuemander relativ pnmen Zahlen Nj, JVg, . . ., N^^ sein. Wir beweisen den folgenden Satz: Wenn in der Klasse f sich c^ Formen B^= SJS^ (c =- 1, 2, . . . , c^) vorfinden, welche die Reste iJ^ = { ,■//) } (mod A'J (c = 1 , 2, . . , , Co) besitzen, so können wir einen Repi'äsentanten Il = SfS~{r,^} (modi>7") dieser Klasse angeben, welcher den Kongruenzen j;^ = rW (modWJ (c=l,2, ...,Co) Beweis: S^ läßt sieh als Substitution von der Determinante 1 be- kanntlich in eine gewisse Anzahl Teilsubstitutionen von der Art Xf'^ Xf'+M^Xi^', Xf^^xl, x^^xl (h=^i,}c) zerlegen. Führen wir in diesen Teilsubstitutionen anstatt der M^ be- liebige andere Zahlen M* ein, welche gleichzeitig den Kongruenzen Mf = M, (mod WJ und M* s (mod -|^) genügen, und setzen die so veränderten Teilaubsütutionen in genau der- selben Weise, wie sie durch Zerlegung von 8^ entstanden sind, zu einer neuen Substitution 8* zusammen, so wird offenbar y Google Zur Theorie der quadratischeu Formen. 1, 0, ..., S'aS, (moüN,), S.* = 0, 1, ..., 0, 0, ..., 1 Es folgt also B* - S*fS* ea B, (modJV,), «.*=/■ und für die Form ■/•.s,*s,*...s B - Sj'S * . . r^/ haben wir in der Tat B = 8, 'fS* = E. (modj?;). f Hf), Dieser Satz zeigt uns die Möglichkeit, yermittels der Formenreste nafili den Teilmoduln N^, N^, . . . , N^ einen Formenrest nach dem an- sammengesetzten Modul N zu finden. Insbesondere können die N^ die ver- schiedenen in N enthaltenen Primzahlpotenzen bedeuten; wir kommen daher mit der Bestimmung ansgezeichneter Formenreste für Primzahlpotenzen q' als Moduln aus. Es genügt auch völlig, wenn wir nur Modnln q' ober- halb gewisser Grenzen betrachten; denn ea ist ein jeder Formenreat für einen Modul N zugleich Formeurest für alle in N aufgehenden Moduln N^; insbeaondere wird daher ein jeder Formenrest für einen Modul q' auch Formenrest für alle Moduln q'" sein, welche kleiner als q' sind. Durch eine wiederholte Anwendung der in Kap. II gewonnenen Sätze erkennen wir, daß eine jede Formenklasae für jeden Modul q' Reste be- sitzt, welche sich als Summen tou Formen mit einer oder mit zwei Variablen darstellen. n. (g = p.) Aus der Klasse äquivalenter Formen, tvddier die su p primitive Form f angehört, hann ein Eepräsenfant (mod p'^) a^tsgewählt werden, in welchem die Kj, Kj, 0%, ■ ■ -, k„ sämtlich zu p relativ prime Zahlm sind. Wir beweisen diesen Satz, welcher für »i = 1 selbatveratändlich ist, yei-mittela eines Schlusses von « — 1 auf n. Angenommen dieser Satz sei für Formen mit w ■— 1 Variablen bereits bewiesen, so können wir die Form p'"ifW des Repräsentanten /(„=ttf + i.'V<') (moäp') diirch eine gewisse Substitution in eine andere überführen, deren Rest nach dem Modul p' aus lauter eingliedrigen Einzelformen besteht. Durch y Google Grundlagen für eine Theorie der quadtatischen Potmen. 23 dieselbe Substitution geht dann /Ji) in eine Form von der Gestalt

(il + W) -I 1- 9(3) —"^ 9'W (modji'), < i-^X %,< ■ ■ ■ < W3;_i . (5 = 2.) 1. Es sei f eine in bezug auf 2 primitive Form, und es mögen die Xj — l ersten Zahlen Oj dieser Form gleich NuU sein {m^ = 0, (Og = 0, .,., a)Ki-.i=0), während die jc^'" Zahl ta,.^ (1^%^**) "^^^ ^^^''^ der Zahlen ej^ sei, welche nicht verschwindet. Wenn dann die Invariante ffj von /^ gleich 2 ist, muß Xj^O (mod 2) sein. Wir können, falls 6^=1 ist, statt /■ einen 1 fw: K^W KgW T'ia]'' (mod 2') 2""' «.'-'.,. i> ■■■> ä""'».'?,, einführen, in welchem die Zahlen K^^\ «a'^', . . ., ßj" ungerade sind und ^("i) = ^ (( ™ a; ™ 3; ™ eine in bezug auf 2 primitive Form vorstellt; falls aber s^ = 2 ist, einen Repräsentanten 2«im,91iW SIj<^',2ßim, 2s''',a,i" Sl,<'),2«,l'), A-l" 2<,ai;' 2"'.o,';'', . . ., 2"».'"' ,2"«.o'' (mod 2"), y Google 24 Zur Tteorie der quadratischen Formen. in welchem die Zahlen 3lj(*>, Stg'^', . . . , 2(J," beliebige ungerade Werte haben, die Zahlen «jW, «^'^1, . . ., ai^' ungerade sind und die Form fi':) = ^ M^(Ki)ai^.(Ki>^^('i) in bezug auf 2 primitiv ist. Beweis. Wir hatten in Kap. 11 für f im Falle ffj -= 1 zunächst einen Bepr äsen tan teu /-(ji^ß^^+S"!/-« (mod2') [a=l (mod 2)] gewonnen, in welchem /''^' == { «/j' } eine in bezug auf 2 primitive Form vorstellte, die, falls m^ = war, eine erste Invariante ß gleich 1 besaß, und im Falle ff; = 2 einen Repräsentanten /;,j= 2(aV+ nl + &V) + 2»./-ffl (mod 2^, [ß=l, 91=1 |niud2)], hl welchem /''^' == [ a^f } eine in bezng auf 2 primitive Form vorstellte, die, falls Wg = war, eine erste Invariante gleich 2 besaß. Im Falle x^ ^ ßj haben diese Repräsentanten die Gestalt, welche unser Satz verlangt. Wenn x^ > ß^ wird und mithin On, = ist, besitzt die Form /''"''={ ö/^'' ) ebenso wie f eine erste Invariante 6 gleich ff^. Nun ergibt sich aus den in Kap. 11 bewiesenen Gleichungen «,*[!'*, = <''j,(^> *i) infolge unserer Annahme über die Größen gj^ sofort Folglich wird für die Fonn /'("il schon die (x^ — 6j)** der Zahlen al"''' größer als Null ausfallen. Machen wir also die Annahme, unser Satz wäre bereits bewiesen, sobald die erste von verschiedene Zahl m sich unter den % — s^ ersten dieser Zahlen befindet, so werden wir 2\f^"'> durch gewisse Substitutionen in eine Form überführen können, welche die in dem Satze geforderte Gestalt besitzt, und wenn Bi(f^"'>) = ^lif) = 2 ist, wird }£j~ö^ = )(j— 2:sO (mod 2) sein. Dieselben Substitutionen trans- formieren alsdann die Form f\„^) in Formen von der Gestalt /J^,,), und im Falle e^ = 2 wird Xj = (mod 2) sein. Hierdurch ist unser Satz für den Fall bewiesen, daß eine der x^ ersten Zahlen la nicht verschwindet. In derselben Weise, in welcher der Form f die w — 1 Zahlen to^ ent- sprechen, gehören zui- Form /'*'J gewisse n — x,^— 1 Größen ta^''^; durch eine wiederholte Anwendung der Relationen finden wir leicht ".-"£',. (*>».)■ 2. Eine m hesug auf 3 primitive Form f hm.n in einen tanten y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratiaclieii Formen. 25' tp = 9?^,+ 9D(j)+ ■ ■ . + q[.(jj =^ ^(j) (mod 20 h-ansformieri werden, in welchem die Formen y^, Reste von der Gestalt (ly v,.,= 2'».-._§.,l>l|«t<'> (mod 2') oder im Falle Xj. = (mod 2} auch von der Gestalt hesitsen. <«!5,<''9,< ■■■ <»#;-,■ Für ein Z = 1 erbellt die Richtigkeit dieses Satzes schoa aus den in 1. gewonnenen Resultaten. Infolge der Relationen o),, = ro^'^''^ (/*>3ii) erkennen wir, daß, wenn A ^ 1 von den n ~ 1 zur Form /(;,j gehörigen Zahlen w^ nicht verschwinden, alsdann von den n ~ x^~\ zur Form f^'i^ gehörigen Zahlen mjf'^ nur i. — 2 größer als NuU ausfallen. Machen wir daher die Annahme, unser Satz wäre richtig für alle Formen, welche nur k — 2 von verschiedene Zahlen o besitzen, so wird die Form 2'"'^,) (mod 20 aus, in denen 'i),^. und f'-"'-^ in bezng auf 2 primitive Formen bezeichnen. Die Xi~~l Zahlen ff der Form |i) setzen wir gleich pj!'', p^*^', . . ., p^^^i und die n — x^~l Zahlen e der Form /"'"J gleich 6<-'''-'>, ff^'''', . . . , 6^^'^ _, . Femer bezeichnen wir die Ä-reihigen Unter determinanten der Formen fM, f-''^ *(i) durch .t',,,;.,) oder P^,,,^-,, F^") oder Fl'-\ D,m oder M,p, indem wir einen Buchstaben F,7> anwenden, sobald die beti-effende Unter- determinaate symmetrisch ist, dagegen einen Buchstaben P, M, sobald die- selbe unsymmetrisch ausfällt. Die aus den ersten % Heihen von /Jj^^j ge- bildete symmetrische Determinante möge gleich | O^j | sein. Für die Invarianten ö der Form fy > {p^f} erhalten wir die folgenden Sätze. Es ist In der Tat zeigen die Kongruenzen F,^ ,= m\ J^Z^M'^.O ^"°'^^ ^^<''^^' daß einerseits die höchsten Potenzen von 2, welche in allen Zahlen i^,j.^>, Pii,.y\ und in aEen Z)J^', M^^> aufgehen, und andererseits die größten Potenzen, welche in allen F.^_.^., ^P^.^^f «nd in allen I)W, 2_M"W aufgehen, nach dem Modul 2 kongruent sind. Da nun die höchste in den Größen ■^ih-xv -^(hx) (^^^i) aufgehende Potenz von 2, nämlich 2^-', infolge unserer Annahme über die Zahlen m^ (h < Xj) gleich 1 ist, so wird die höchste in allen JW, JlfW aufgehende Potenz von 2 ebenfalls gleich 1 sein müssen, und die höchsten Potenzen von 2, welche in den F ., 2P„.^, und in den Df\ 2Jlf}^^' aufgehen, werden die Werte e^ und p['l haben. Jetzt müssen die Größen e^ und pW^ da sie nach dem Modul 2 kongruent und zugleich ^ 2 sind, identisch sein, und es ergibt sieh demnach in der Tat e^-pW für Ä.«.)■ Für die Determinanten JF*,;^.^ und Pn,.^-. (^ > «i) bestehen die Kon- gruenzen 2<'-".)'"-.._MWpW (mod 20 «o S — /lo" ' ' 2(Ä-fc,)"';-,TJT(l)p(''ll (Ao=0, 1,,.., J£i-1; -DW = 1, -MW=0), Machen wir jetzt die Annahme t > 9^_j + 1, so wird eine jede Größen- reihe, welche nach dem Modul 2' mit der Größenreihe F.^_^,, 2P über- einstimmt, dureh eben dieselbe Potenz 0^^''-^ und durch keine höhere Potenz von 2 teilbar sein wie die Großenreihe i^ 2P„.^,. Nun ist die höchste Potenz von 2, welche den Zahlen gemeinsam ist, gleich während in den Zahlen 2.2"'"^'"''iD"'p'^' , eine Potenz Wir bekommen daher für ein Ä > x, die Beziehung Aus der oben gewonnenen Gleichung ö^'^'^ = o^ {h > k^) folgt aber ohne I sonach wirklieh zu dem Resultat 0,^^ 0^^2\ (^ > ^i)- y Google 28 2uv Theorie der quadratiscten iPormen. 2. Sei jetzt 9 = *,„ + 2 '•'■ I *,« + 2".'. [*,„ + . . . + 2".';. ^. («(„) . .] 1 (mod 20 ein Hauptrep rasen tant der Klasse f nach dem Modul 2'. Wir wollen die Invarianten 5 der Formen 0(j.i durch bezeichnen. D. Die Invwrianien ffj Jcönnen vermittels der Delationen e3^,_^^.^=pW (7(^1, 2,..., -^,-1) (fercA (^j'e Invarimttai p^f*' ausgedrückt werden. Beweis: In 1. erhielten wir die Gleichungen dieselben rechtfertigen im Falle ;l = 1 den Satz D. voUständig, während eie uns in den Fällen A > 1 eine Gelegenheit znr Änwendimg eines ScUoBses von l — 1 auf l verschaifen. Wie wir in Kap. III gesehen haben, gehört der Form f'-"'-^ in derselben Weise die Zahl X — 1 zu, wie der Form f die Zahl A entspricht, und es ist sofort klar, daß der Haupt- repräsentant (p (mod 2') der Klasse f einen Hauptrepräsentanten 2"''^'9>*'^*= 2">^>{*„)+ 2"'^.[ct>(„+ . ■ . + 2"^^ -1 (*(,)) ■ -11 (mod 2^) für die Form 2"^'/'''''' mit sich führt. Machen wir nun die Annahme, der Satz sei richtig für Formen mit X^ 2 von Null verschiedenen Zahlen l) hervorgehen; dieselben beweisen zusammen mit den Gleichungen e^^^ßW (^k-1,..., «,-!) imd 03^=1 den Satz D. für die Form f, welche i — 1 von Null verschiedene Zahlen et besitzt. y Google Grundlagen für eine Theorie der qnadratisohen Formen. 3, Je nachdem „ ., *,, .... ., *., ""' "-' C'V) Reste von der Art (En) lassen, während alle X-— X^ übrigen Formen tt)(j) Reste von der Art (Ri) besitzen mögen. Wir können dann sagen, der Form f gehöre die Kombination an, und es ist sofort einleuchtend, daß durch diese Kombination von Zahlen n aus der Reihe der Zahlen 1, 2, . . ., 1^ die n—\ Invarianten 6 der Form f vollständig bestimmt sind. Wir erschließen daraas leicht den Satz: y Google 30 Zur Theorie der quadratischen Formen. E, Wenn die n —- 1 lavarianten o^ und der Index J gegeben sind, so führen höuhstena von den sämtlichen 2""^ verschiedenen Kombinationen welche eich überhaupt bilden lassen, zu wirklich existierenden Ordnungen M:; :;:::; :::)'- In der Tat ist die .Anzahl aUer überhaupt zulüesigeu Kombinationen (0J,) höchstens ao groß wie die Anzahl sämtiicher angehbaren Kombi- nationen \7C^, Jta,. . ., Kj ]. Diese letztere Anzahl ist aber offenbar gleich ^K \ {K--i-)---{K~'i-j^-i) ^ 2^. Hieraus geht das Behauptete sofort hervor. Wie wir später (im Kap. XI) nachweisen werden, ist die Anzahl der- jenigen Kombinationen {pi), welche, mit den m — 1 Größen ö^ und der Zahl I verbunden, zu wirklich existierenden Ordnungen führen, in der Tat mit nur wenigen Ausnalmien gleich 2^. Eine dieser Ausnahmen kann eintreten, wenn X =■ Xf, ist. Alsdann sind sämtliche Zahlen Xj, %, . . ., x^ und mithin auch ihre Snmme «1 + «2 + ■ ■ ■ -1- Ji^ = w gerade, und es fragt sich, ob die Kombination [1, 2, . . ., i] eine wirklich bestehende Ordnung zu Hefern vermag. Für diese Kombination müßte ej = 2, 6a =1, ..., ö„_3=l, ff„_i=2 sein, und es müßten sämtüche Reste tl),j, die Gestalt (Rn) erhalten. Für die Determinanten } „. | dieser Formen werden daher die Kongruenzen gelten aus welchen sich sofort 1 «>(.) 1 1 *(« i ■ ■ • I *s) ' = (- 1)'^^^^ ' = (- 1) " ('-"1 *) *) Es ist )i^5tj -j-Kj -| 1- K, , und wir haben m^ >0, also Hj ^ 2. Demnach komrat n ^ 2A„ oder J-c ^ "ä J ■ y Google Gnmdiageu für oiae Theorie der (luadratiBchen Formec. 31 ergibt. Nun ist die Deteitninante der Form ip, wie man leicht erkennt, (-!)'■ <*.-, = I *„, 1 I ,.,l • ■ • 1 *(„ 1 ■ 2'— (»O'i 2'+».-.) [Ol +?.-,]■ Wir erhalten hieraus die Kongruenz Beaditen wir jetzt die Beziehungen « = (mod 2), wir zu der Bedingung 17 äfe =(-!)"' (™")- Dieselbe liefert den folgenden Ausnahmefall: Sobald A — Jlo [«sO (mod 2)] und wird, führen höchstens 2'-°-^ Kombinationen der ffj zu wirblich existie- renden Ordnungen, da in diesem Falle die Kombination ff^ = 2, 6^ = 1, ..., e„_3 = l, ö„_i = 2 nnmöglich ist. II. Den gewonnenen Resultaten wollen wir jetzt einen Ausdruck geben, welcher uns ohne weiteres in den Stand setzt, zu entscheiden, ob irgendeine Ordnung Formen enthalten kann. Eine Ordnung /ö'y = l; fli, 62. ■ ■ ■! ö„_3i ö'n-n ö« = 1\ U^^O; Ol, 0,,..., o„_3, o„_,; o„ = oj' ist «!**■ äann möglich, wenn die gansen ZaJden 0^, 0^ und I den folgenden Gesetzen gehorehen: 1) Die Zahlen 0^ und e'i.iO^e^^i sind nicht heide sugleich durch 2 teilbar (6^ relativ prim mt ß;._iO;.flA+j^- 3) Die Größen —''--' - und -^^^^ sind ganze Zahlen. y Google 32 Zur Theorie der quadratiacteu Formen, 3) Wenn « = (mod 2) und öi = 2, e^ = 1, . . ., 6„. ist, so ivwd n?if^=<^^>'"^ ("o"'' Damit diese Gesetze ohne Ausnahme auch für A = 1 und h = n — 1. gelten, hahen wir den 2(n— 1) Invarianten o^ und e^ noch je zwei weitere Invarianten Oq == 0, o^, = und ß^^^X, ff« = 1 hinaugefügt. Der Safa; 1) zerfällt in zwei Teile: a) Wenn o,, = (mod 2) ist, so wird 6;. = 1 , und wenn 6^ = 2 ist, ■so wird 0^ ^ 1 (mod 2). Es ergibt sich dieses aus der Relation ö^ = 1 ; denn sobald O;, ^ (mod 2) ist, muß h mit einer der Zahlen ■9-^ übereinstimmen, und sobald 9^ = 2 ist, muß h von den Zahlen &^ verschieden und fo^lich o^^l ■(mod 2) sein. j3) Wenn öj =■ 2 ist, so wird e^.i ^ 1, e^^^ = 1. Dies erkennt man sofort aus dem Satze D. und den Werten, welche die Größen q^'''^ annehmen können. Den Satz 2) können wir auch folgendermaßen aussprechen: Es ist ö^_iO( = ffi_iO;;U,,^,j ^ Oje'j^.;^ (mod 2); oder: Wenn ff^^i + öj^i, also (>,^_^e,^^^ =-=2 ist, so muß 0^ = (mod 2) sein; oder: Wenn öa-i^a'^^i+i durch 2 und nicht durch 4 teilbar ist, so wird e,,_, ^ 1, 6,+i ^ 1. Die Werte der p^W zeigen, daß stets ö^_^ = ff^_|., ist, sobald h keiner 4er Zahlen Q-j. gleich ist; es kann demnach nur dann ff^_j + 6j_|_j sein, wenn h mit einer der Zahlen ft,, übereinstimmt, also o,^ e= (mod 2) ist. Aus den Gesetzen 1) und 2) läßt sieh der Satz E, von neuem herleiten. Kap. V. Sätze üT>er Hauptreste. — Grundformen für einen Modul J!V. Die Haupta-este einer primitiven Eormenklasse f besitzen eine Reihe interessanter Eigenschaften, von denen wir einige in dem Folgenden mit- teilen wollen. I. AVir setzen die höchste in dem Produkt ö„_iOiÖ2 .. .o„_i auf- gehende Potenz einer Primzahl q gleich $^''*; für ein ungerades q=p wird diese Potenz offenbar gleich ß%-i'*'), dagegen für 3 = 2 gleich «a-i ■ 2''''"^'^'- ^^ nachdem eine Zahl g'^g'^t«) oder > g'^M ist, treten in den Hauptresten von f für den Modul q' mittle]-e Koeffizienten auf, welche y Google Gnindlageii für eine Theorie der quadratischen Formen. 33 durch den Modul g' teilbar sind, oder es ist keiner dieser Koeffizienten durch g' teilbar. Aus diesem Grunde beechränlien wir uns auf die Uuter- aachung Ton Moduln N, deren Primfaktoren g'(i>0) die Potenzen i^'^W übersehreiten. Es möge die Form ip einen Hauptrepräsentanten der primitiven Klasse f in bezug auf einen derariiigen Modul N bedeuten. Wir bezeichnen die aus den ersten h(— 1,2, ... ,n) Horizontal- und Vertikalreihen der Form

j"''') be- stehen. Ein Blick auf die Hauptrepräsentanten 9 zeigt uns, daß die Determinanten S^d^_i(p,^ sich für ein q^ = p' als Produkte ans den Po- tenzen p^A-iff) nnd aus zu p primen Zahlen darstellen, während sie für ein ^' = 2' gleich Produkten aus den Potenzen 6j-2^*-i'^* und aus un- geraden Zahlen werden. Hieraus schließen wir, daß die (p^^ in dei; Tat zu der Primzahl q relativ prim sind, Falls N sieh aber aus mehreren Prim Zahlpotenzen g''(>g''''') zusammensetzt, so ist der Hauptrepräsentant

^'^ bildet nach dem Satz 1. offenbar jeder Haupt- repräsentant in bezug auf einen Modul N* ^ ql'q^' . ..q''^\t^':> G{q^, e = 1, 2, ..., cj eine Grundform für den Modul N. Wir haben die folgenden Sätze: Eine Grundform für einen Modul N ist Grundform für alle in N enthaltenen Faktoren; und umgekehrt: Eine Form, welche für gewisse Primzahlen q eine Grundform ist, stellt auch für jeden Modul N, der nur durch diese Primzahlen q teilbar ist, eine Grundform vor. Mit Hilfe von Betrachtungen, welche denen in Kap. H angestellten analog sind, kann man den Satz beweisen: 3. Jede Grundform ii> für einen Modul N kann vermittels einer Sub- stitution 1, 1) in einen Hauptrepräsentanten S die Relationen 91,, = ^;. gelten. Da mm einerseits nach 2. aus den Größen qs^j eines Hauptreprä- sentanten 90 (mod Nq) sofort ein Hanptrest der Klasse /' für den Modul N^ gefunden werden kann und andererseits die Zahlen ^^ der Grundform 1/1 (mod N) mit den Zahlen 9;^ übereinstimmen, so können wir auch un- mittelbar von der Grundform ip ohne Zuhilfenahme der Form (p zu Hauptresten der Klasse f für den Modul JV^ gelangen, und wir erhalten den Satz: 4, Eine jede Grundform ip (mod N) führt unmittelbar zu Hauptresten in bezug auf jeden Modul N^, welcher keine anderen Primzahlen enthält als der Modul N. Insbesondere achließen wir hieraus: F. Eine jede Grundform ip für sine Primzahl q liefert Hauptreste für alle Moduln q'. Die Bestimmung einer Grundform i/j fijr eine Primzahl q kann sehr leicht geschehen. Denn es besteht der folgende Satz, in welchem A (9) — 1 die Zahl der durch q teübaren Größen ff,_j0^ff,,^^(A = 1, 2, . . ., w — 1) bezeichnet: Eine jede primitiTe Form f kann durch höchstens n ~ X(q) Substitu- tionen Ton der Art iS * ? : Xf = Xj, 3:11=' ± X- + %' ; 3;^ = cc^' (h + i , k) und durch höchstens n ^ 1 Substitutionen von der Art in eine Grundform ^ für die Primzahl q transformiert werden. Die Substitutionen P(7^^) sind offenbar sehr einfach auszuführen, da sie im Grunde nur eine Vertauschung zweier Reihen der quadratischen Koeffizienten Systeme bedeuten. H. Wenn für eine primitive Form f die Zahl ß,,_iO^0^_^i durch eine Primzahl q teilbar ist, so gibt es unter den Ä-reihigeu symmetrischen BJf) Determinanten D,,{f') der Form f solche, für welche die Zahl — j — = A^(f) zu q relativ prim wird. Beweis: Es sei zunächst q ^ p. Ein Hauptrepräsentant tp (mod pf>^Gtf)^ der Klasse f läßt einen Reat (mod p*). y Google 36 Zur Theorie der quadrafciachen Formen. Aus demaelben ersehen wir, daß die höchste Potenz von p, welche : der Determinante [1,2,..., -h\ , aufgeht, gleich jp^*-i ist, während die höchste, iu allen übrigen /i-reihigen Determinanten ... (h,h> ■■■,H\ der Form rp enthaltene Potenz von p gleich ffit-i^'"!!, wird. Geht rp in die Form f durch die Substitution Über, so bekommen wir für die symmetrischen Ä-reihigen Unterdeter- miiianten der Form f die GleJchungeu ^ /i„i„...,i,\ M„l„...,l,) ft, ;,, ...,l„) -Öft,^a.--->U = - (l.s..-?.)-(i-2---ft) Dieselben liefern infolge der soeben gemachten Bemerfeui^ die Kongruenz -^.^.-.9p.-(;7S;|;;;;;'^])'(«.ody.-.".) (1,2, oder (2) A (k, !„..., i,) =■ y. . (f/Ä- 'j; ■ ; ;'_ ';])' (modr'«). Die Zahlen U\^' i' ' ' -J^ können keinen gemeinsamen, von 1 ver- schiedenen Teiler besitzen; denn ein solcher Teiler müßte zugleich die Determinante | M,*^ | teilen, und diese könnte mithin nicht gleich 1 sein. Es müssen sich demnach unter den Zahlen ü;}'^'''''}\ solche be- (1, 2, . . ., Ji) finden, welche zu p prim ausfallen. Wenn nun die Größe ß/,„iöft<'j,+i durch p teilbar ist, so wird ofi'enby.r C3,^[p) ^ 1, und es entspricht alsdann infolge der Kongruenz (2) einer jeden durch p nicht teilbaren Zahl f^)7' 9 ' ' ' i\ öiiiß durch p nicht teilbare Zahl AQ^,!^, . ■ .,1^. Hier- aus erhellt die Richtigkeit unseres Satzes für den FaU J=i>- Wenn q ~ 2 ist, so gelangen wir durch Betrachtung eines Haupt- repräsentanten ip (mod 2'> 2"'^*) iu ähnlicher Weise zu einer Kongruenz (3) A ft, l^,..., l,) = ip, ■ X,f (mod S,_,2'"i<('><^^ + i), yGoosle Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 37 und diese Kongruenz zeigt uns, daß unter den Größen A (^j, ?a, . . . , ij sich ungerade befindon müssen, sobald ffj.iO^ffj^^^O (mod 2) wird. — Dieses letzte Resultat erhalten wir einfacher, wenn wir beachten, daß einerseits 6^ gleich 2 sein müßte, sobald alle AQ^,!^, . . .,1,) gerade werden, während andererseits nach Kap, IV, Absatz II zu einem 6^_[0jiJj^i ^ (mod 2) stets ein ö^ gleich 1 gehört. Aus jeder Grundform i> iu bezug auf eine Primzahl g können wir nach dem Satz F. für einen jeden Modul q' Hauptrepräsentanten tp her- leiten, deren Zahlen 9),, den Zahlen ip,^ gleich werden. Infolge dieses Umstandos dürfen wir die Kongruenzen (2) und (3) durch die Kon- gruenzen (4) ||^^ - A, (f) = t. . X,; (mod 2,"««) und (5) ^-^ = A,(f) = ip^ ■ XI (mod ß,_i2»'.WV,^j) ersetzen, welche resp. für eine Grundlbrm ij} {mo&p) und ^ (mod 2) gelten werden. Für eine Grundform j/i in bezug auf den Modul 2 ifo^ müssen offenbar sämthche Kongruenzen (4) und (5) zu gleicher Zeit statthaben, und wir bekommen daher für eine Grundform 1^ (mod 2 jf/öj) die Be- ziehungen dieselben liefern uns für irgend zwei beliebige Zahlen A^(f) und A.'^(f) eine Kongruenz Alif) - A;:(0 ^ [A;;"(f)f (mod 0,_,o,0,^,). Kap. VI. Forraeiigruppen für einen Modul JT. — Charaktere. I. Zwei Formen 9> = { ß^i } und ^ ^{ßa] heißen hmgruetd nach einem Modul iV, wenn sie den sämtlichen Kongruenzen K;^ = ß^j^ (mod iV^) ge- nügen, d. b. wenn sie für den Modul JV den nämücben Rest ergeben. Gleicherweise nennen wir zwei Formenklassm f und g für einen Modul iV kongruent, wenn sie irgend zwei nach diesem Modul N kongruente Re- präsentanten enthalten. Wir drücken die Kongruenz zweier Formen

^^(mod N)] aus. y Google 38 Zur Tteorie der quadratisclieii Formen. Wir beweisen den Satz: Wenn für irgend zwei Repräsentanten

^c ^^^' ^° erfordert das Bestehen einer Kongruenz y Google (c-1, 2, .. ■.«.) a den Klassen f nienzen (c_l,2,.. ,«.) 1 tf und i/i sind Grundlagen für eine Theorie der quadratiecten Formen. 39 f^g (mod IT) das gleichzeitige Beatehen der c,, einzelnen Kongruenzen f^g (mod JV;) {c=l,2,.. ., c^), und umgekehrt findet die erstere Kongruenz wirklich statt, sobald die c^ letzteren Kongruenzen sämtlich erfüllt aind. In der Tat ist jeder Rest der Formenklassen f und g in bezug auf den Modul Hl zugleich Rest dieser Pormenklasse für die sämtlichen Moduln iVj.. Ist also f^g (mod Jf), so wird auch f'^g (mod ^^) sein. Falls umgekehrt die Cq Kongruenzen f^g (mod iVJ (c = 1, 2, . . ., c^ alle erfüllt sind, so können wir zunächst in der Klasse f gewiß c^ Formen (p^ und in der Klasse g ebenfalls c^ Formen ^^ angeben derart, daß die c^ Kor^uenzen rp^ ^ ijs^ (mod N^ statthabeu. Darauf können wir nach Kap. III, Absatz I ii und g je eine Form rp und V' augeben, welche den Kongi fp^fp^ (mod N^), ip^ip^ (mod iVJ genügen. Die Koeffizienten dieser beiden letzten Former nun in bezug auf die sämtlichen zueinander primen Moduln JV^,, also auch in bezug auf den Modul N = ^f^N^ ■ ■ - jVi^^ kongruent; mithin wird (p ~ij; (mod N), und hieraus ergibt sich auf der Steile t '^g fmod "\) Wählen wir für die Zahlen JV lie verschiedenen in N enthaltenen Primzahlpotenzen q so zeigt ^ith diß die Unfcersuchun,, von Gruppen für einen belieb gen Modul j\ auf die Untersuchung von Gmippen in bezug auf Pi-imzahlpotenzen q' hinauslauft ni. Wir w llen die notwendigen und hinren-henden Bedingungen für die Kongruenz zweiei FoimenkliBsen iiich einem Modul N auffinden. Nach Aufstellung dieser Be hnaungen wei ien wir lazu übergehen, au prüfen, ob es verschiedene lormenklassen ^on dem=(elben Index I gibt, welche nach allen iberhiupt m glichen Moduln kDß^ruent sind, und aus diesen nach jedem Modil konp,nenten Foimenklasiitn werden wir die Genera von Foimen bilden Nehmen wii an die Klasseu / und g si-ien nach lem Modul N kon- gruent, und setzen wii f ruLi der grcßeien Emfaobheit halber, voraus, daß f und g in bezug auf i\ jiiinitiv smd und laß die Faktoren q^ (^>0) von N für ein q=p die Potenzen p° i ? und für e n q^2 die Po- tenaen 2°" i ^' welche den Foimen / und y entsiieehen, übersteigen. y Google 40 Zur Theorie der quadratiBeiieii Formen, 1. Nacli den soeben bewiesenen Sätzen besitzen die Formenklaesen /" und g für einen jeden der in IV" aufgebenden Moduln q' yollatändig die- selben Reste und folglich auch dieselben Hauptreste. Aus der Gestalt dieser Hauptreste für die Moduln 5;'(> §**''') können wir aber die Werte der Zahlen q""^, ^"^, . . ., (fn-i nnd, wenn g = 2 ist, auch die Werte der Zablen ^11 ^i> • ■ ■> ö„_i, welche zu den beiden Klassen f und g gehören, unmittelbar ablesen. Polg- lich müssen die Formen f und g für alle in N aufgehenden Primzahlen g dieselben Gfrößen q"''' und, falls q = 2 ist, auch dieselben Größen ö^ darbieten. 2, Es seien A(/') und A((f) die Determinanten der Formen f und g. Für A(^) =- I &ji| besteht die Beziehung ^0)-2^«'^+'2'" Hierin ist die größte Potenz einer Primzahl q, welche in allen -^"^ i 2-.j - aufgeht, für ein q=^p gleich ^"-ä'''* und für ein 3 = 2 gleich 6„_i ■ 2^n-3l^). Verändern wir also die Koeffizienten der Form g um Viel- fache der Größe g*, so wird die Determinante Ton g sich um VieUaehe der Große jj'+^n-aW oder der Größe ö'^_, ■ 2'+^''-!(^' ändern, je nachdem q =1) oder ^ = 2 ist. Erinnern wir uns, daß es zu f äquivalente Formen f^ gibt, für welche f^^ g (mod N) ist, so schließen wir daraus im Falle q — p die Kongruenz A(/') = AO) (mody+».-.W) und im Falle q — 2 die Kongruenz A(f) = A(g) (mod e„_i ■ 2'+»'.-al^*), 3. Man kann gewisse als Funktionen der Koeffizienten der Formen f und g ausdrückbare Einheiten angeben, welche für f und für g dieselben Werte annehmen. Wir bezeichnen durch Gißf^_^A^(f') die symmetrischen Ä-reihigen Unterdeterminanten, welche sich aus dem quadratischen System der Form f bilden lassen, und durch 6j(^a_i(/'J alle aus h Reihen einer be- liebigen Form der Klasse f bestehenden ünterdeterminanten. Die Reste der Zahlen öji^s-iCi) ^^'^ einen Modul N sind offenbar durch die Beste der Formenklasse f für den Modul JV schon völlig bestimmt. Wenn also zwei Formenklassen f und g für den Modul N gleiche Beste lassen, so nehmen auch die Zahlen (iißj,_.i{fi^ und «ißi^^iißi) für den Modul N y Google Giundlagen für eine Theorie der quadratisclieD Formen. 41 kongruente Werte an. Daher sind die Eigenschaften der Kongruenzen für die Gruppe, welcher die Form f fär den Modul JV angehÖi-t, charak- teristisch. Wir apreehen den Satz aus: Wenn die Kongruenz (/;) = % (mod i^^) [i^?«^K-l] für ein be- stimmtes »n^ Lösungen besitat, so sind auch alle weiteren Kongruenzen (f^ ^ fn^Z^ (mod N^ lösbar, in welchen Z eine beliebige zu ff,, relativ prime Größe bedeutet. Denn besitzt die Kongruenz (f^ s % {med N^) Lösungen, so muß es in der Klasse f eine Form d> geben, welche eine Ä-reibige symmetrische Determinante ^h^h-x^i,^)^ '^:ßi-^i''^h C™'*'^ ''s'^i-i^o) aufweist. Da die Zahl Ä ^ 1 und ^ m — 1 ist, können wir annehmen, daß in dieser Deter- minante Glieder ans einer gewissen, etwa der i'"" Heihe des Systems (f, dagegen keine Glieder einer gewissen andern, etwa der Ä*™ Reihe dieses Systems erscheinen. Weil die Zahl Z zu JV,, relativ prim sein soU, können wir eine Zahl Z^, bestimmen, welche der Kongruenz ZZ^ = i (mod iV/) oder einer Gleichung ZZ^-^N^s^Na^l genügt. Durch die Substitution Xi — Zxi + eN'o'^i,', ^h = ■^o-^o< + ^o^k \x^ = ZXf, Xj.^ -yX^ (mod JV,))! von der Determinante 1 geht dann die Form in eine Form <\>^ über, in welcher an die Stelle der Determinante e'^(^j_iÄ;j(fl) ist gleichfalls eine der Zahlen (f^), und es besitzt sonach die Kongruenz (/j) ^ w*j2^ (mod N^ in der Tat Lösungen. Aus dem vorstehenden Satz ersehen wir, daß bei einer Untersuchung der Kongruenzen (/j) ^ m,, (mod N^) vor allem dei' quadratische Charakter der Zahl m^ in Betracht kommen wiid. Nehmen wir beispielsweise an, der Modul Jf^ sei eine Potenz einei Primzahl p (N^ = p'-*) und die Kon- gruenz (ff^ E= m^ (mod p'') nicht lui alle zu p primen Zahlen m^ lösbar. Dann ist diese Kongruenz entweder nur für alle solche zu p primen m^, lösbar, welche quadratischo Reste von p sind, oder mir für alle solche zu p primen m^, welche quadratische Nichtreste von p sind. Wenn wir den y Google 42 Zur Theorie der quadratiBchen Formen. Formen f im ersten Fall einen Charakter i}^-''''^ = + 1 im zweiten Fall einen Charakter \^\ = — 1. so kann die Einheit \-^)y welche der Form f entspricht, dazu dienen, die Gruppe, welcher die Klasse /"für den Modnl p^+^/i-ilf) angehört, Ton anderen Gruppen nach diesem Modul zn trennen Wenn wir Bmym sollen daß he Großm (/J einer Klasse f Qeuissp geg^ene CJutraUere hebitgeii s gemiqt es, die leiden f Igenden PunJäe fpstsmfdlen 1 daß die Zahlen Aj((p) eimr bebUmmten Form tp der Klasse f tiiih lieh du gegebenen Charahieie hesitzen ' daß wmn äte Zahlen Aj(ß=''-i(*>) mit Ausnahme einer ein- zigen kongruent Null (moäp), und dieses eine zn j3 prime Aj(g)) besitzt selbstverständlich einen bestimmten Charakter (— "— ) ' (f^ = 2). Wenn ö^^jO^ff^^^si (med 8) ist, so sind die Ai,{(p) eines Hauptrepräsentanten gü (mod 2'>6„„i'2''''-il^') mit Ausnahme eines einzigen sO (mod 4), und dieses eine ist ungerade. Im Falle Cj.iOjß^^i = 4 (mod 8) besitzen also die ungeraden A^(y) einen A;.W-l Charakter (—1) ^ und im Falle ßi-iöiffi+i = (mod 8) zwei Cha- AaM-1 / 2 \ raktere (—1) ^ und (■ J , während die geraden A^{;'-"'t' , Ist jetzt zunäclist o^^O (mod^), so sind die Zahlen ^' und entweder beide =0 (mod^), oder es wird wenigstens eine relativ prim zu p. Im ersteren FaRe wird infolge der Kongruenz tj^^(p^'/.' (l+^) oder =*;'(l±^>) (modi>). In beiden Fällen besitzt offenbar F^ keinen andern quadratischen Charakter in bezug auf p als die Zahlen 0^. Sobald 6s_iöj,ö,,^^=4 (mod 8) oder =0 (mod 8) wird, ist die Zahl ff^ immer gleich 1. Wird hier eine der Zahlen 0^', 0^" ungerade, so ist das betreffende Fi_ nach dem Modul 4 oder 8 entweder / 0'."-,2 0'.", B = *. (l±i;p) oäer = *." (1 ± - iv) ; wenn dagegen / sowohl als i" kongruent Null (mod 4) wird, so ist wegen j'(l>j"— (0,y')ä = (med ö'j.iOjff^+i) ,''" gerade, und der Aus- druck J'"'^ = ,;"+ *," erhält gleichfalls einen Wert = (mod4). Demnach besitzen die F^ immer dieselben quadratischen Charaktere für den Modul 4 oder 8 wie die 0^. Aus dem Satze 11 (Kap. V) ersehen wir noch, daß die Charaktere, welche wir soeben betrachtet haben, leicht aus einer jeden vorgelegten Foi-m f erschlossen werden können, ohne daß es nötig wäre, f einer linearen Transformation zu unterwerfen. Denn sobald o^^O (mod p) ist, gibt es unter den Größen Aj(/^), welche ja selbst Zahlen (f^) sind, solche, die zu p relativ prim werden und für die demnach (-^) = (^) ist; und ähnlich gibt es in den Fällen ff,^_jOiffi^i=^0 (mod 4) oder ^0 (mod 8) unter den Größen Aj(/') immer ungerade, für welche also resp. (_i) . ^(_i) . ^d (^)-y ■wird. y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. Eine zweite Methode zur Herleitung der Charaktere (f)- (-'^'"^ © ergibt sich unmittelbar aus den Formeln (2) und (3) des Kap, V, Außer den Charakteren, die wir bisher gefunden haben, gibt es noch eine Reihe weiterer Charaktere, deren Existenz mit HenuUung des quadra- tisdien üeziprositätsgesetzes durch ein analoges Verfahren nachgewiesen werden kann. Wir behalten uns vor, die hierauf bezüglichen Bemerkungen bei einer anderen Gelegenheit ausfahrlicher darzulegen. Jetzt wenden wir uns dazu, den Fall 7* = 1 der Kongi'uenzen (/■j) = m^ (mod iVfl) zu diskutieren. Kap. VII. Über die Anzahl der Losungen der Kongruenzen f=^atk3CiX/t^ni (mod JV). I. Wir bezeichnen die Anzahl sämtlicher für den Modul JV inkongruenten Lüsungssysteme (X^) der Kongruenz durch f{m;N\. Gehören die Formen f und g zu derselben Gi-uppe nach einem Modul N, so wird (9) f{m;N]-s{m;N). eine äquivalente Form f^^ g (mod N) übergehen. Wir gewinnen dann aus einem jeden Systeme (Y^ {ma^If), för welches (/(T^) = ^(T^) = m (mod N) wird, ein bestimmtes System X; = ^ s/ T^ (mod 2f), für welches f{X^ ^ m (mod N) wird, und aus zwei modulo N verschiedenen Systemen (Tj,) gewinnen wir wegen [s^*| = l stets zwei modulo A'" verschiedene Systeme (X^). Folglich wird /■{»«; A'"} >(? {m; Ä} sein. Aber auf die- selbe Weise schließt man f [m; N ) ^g {m-, N] , woraus sich die zu be- weisende Gleichung ergibt. Die verschiedenen Zahlen f{m-, N], welche einer bestimmten Form f angehören, hängen einesteils von der Ordnung, andernteiis von den Cba- rakteren dieser Form ab. Um dies zu zeigen, tun wir gut, anstelle der y Google 46 2ur Theorie der quadratischen Formen. Größen f{m;N], welelie im illgemeinen ziemlich kompliziert ausfallen, Verbindungen derselben einzuführen, welche sich in einer einfacteren und übersichtlicheren Wei-^e ausdiuoken lassen. Zu solchen Verbindungen ge- langen wir durch Hinzaziehnng von Ein heits würz ein. Es möge die TTroße ■? 2,_^. ^ 2. < -COSj^ + .smy, welche eine primitive j\ *" Emheitswurael vorstellt, gleich r^ gesetzt werden. Wir wollen die Summen (10) f{l;y] ry + f |2; N\ r^ + .^^+f{N;N] ,%'■ betrachten, in welchen h eine ganze Zahl bedeutet. Infolge der Gleichung r^=-l nehmen diese Summen f(Ji-^N) für zwei nach dem Modul N kongruente Zahlen Ä gleiche Werte an. Erteilen wii- der Größe h die JV" für den Modul N inkongruenten Werte 1, 2, . . ,, JV, so entstehen im ganzen N Größen nUN), f(2;N)....,f(,N;N), durch welche sich umgekehrt die Zahlen f{m; N] ausdrücken lassen. Wir bekommen (11) /•|».iJr)-i.^/'(*;AOV-. Die Gleichungen (10) und (11) zeigen, daß die Unfcei-suchung der Größen f{m]N] vollständig auf eine Untersuchung der Größen /"(/*; iV) hinauskommt. Für zwei nach dem Modul JV kongruente Formen f und g liefert die Gleichung (9) die Relationen f(h;N)=ff(h;If). Beachten wir, daß eine jede Form g, welche der Kongruenz g'^f (mod J?") genügt, einen Rest der Klasse f in bezug auf deu Modul S vorstellt, so können wir den Satz aussprechen: H. Ist 95 ein beliebiger Rest der Klasse f, so gelten die Gleichungen f(k;N)^(p{h;N') und f{m;N} =>p{m;I{}. Es hat die Identität (12) 2f{m; N] r-;" = ^»j/<^'l statt, sobald in der zweiten Summe jede der Variablen ^^ ein vollstän- diges Restsjstem nach dem Modul N durchläuft. — Denn erteilen wir einer y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 47 jedea Größe |j die sämtlichen N Werte = 1, 2, . . ., JV (mod N), so nimmt /■(Q je f{l;N]-mal einen Wert sl (mod A), je f{2; N]-m»l einen Wert =2 (modiff), usf., je /'[A'; if |-mai einen Wert = JV (mod iV) an. je /"(SjjVj-mal ein Glied j^-'', usf., je f{N;N}-m3l ein GHed r^-'' auf- treten, und daraas ergibt sich die Gleichung (12). Die Identität (12) liefert, mit der Gleichung (10) verbunden, eine neue Definition der Größen f(h; N), nämhch Aus dieser Gleichung fließt leicht der folgende Hauptsatz, durch welchen die Bestimmung dieser Größen außerordentlich erleichtei-t wird: J. Wenn die quadratische Form f nach dem Modul N in eine Summe von quadratischen Formen f^ [{mit getrennten Variablen]] gerfälU: so wird r(/.;Ä)-/J /;(*;*')• Denn bezeichnen wir die Variablen der einzelnen Formen /^ mit £|f*, so erhalten wir die Relationen /■,(»; if)- 2''/"'*'' (s- l,2,...,s.), il.) deren Multiplikation unmittelbar ^'r''"' -2''¥'*''-/'(»;J») ergibt. II. Die Größen f(h;N) sind infolge der Beziehung r^^l unab- häugig YOn den besonderen Restsystemen, welche von den einzelnen Variablen |. durchlaufen werden. Wir schließen aus diesem Umstände die Sätze: 1) Wenn iV^ ein Teiler von N ist, so gilt (13) /■(*;»,)-(#)""■/■(*#;«)• *) Die Summen fQi; N) sind von Herrn Weber im Band 74 des Crelleschen Journals hehandelt worden. y Google Ziu; Theorie dei quadratischen Formen. Bekanntlich setzt sich ein jedes vollständige Rest System für den Modul N aus -jj- vollständigen Restsystemen für den Modul JV„ zusammen. Es ist daiier ^•^"'■=(ir-^<:'^ und hieraus geht sofort die Gleichung (13) hervor. Wenn insbesondere N eine Primzahlpotenz q' ist, so folgt für t^t„ /■«! ««•)-s-"--' ■/■(*«'-'■; «■)• 2) Es ist f(hZ';S)-f(h;N), sobald Z eine zu N relativ prime Zahl bedeutet. Wegen fiZxl) = Z^f(x^ ist die Grröße fQiZ^\ N) gleich der Summe J,>/"" Setzen wir nun Zx^ = |; (luod N), so werden offenbar die Zahlen |j zu- gleich mit den Zahlen x^ vollständige Restsysteme nach dem Modul JV durchlaufen. Also wird diese Summe gleich /'(Ä; N) sein. 3) Wenn die Zahl JV ein Produkt aus c,, zueinander relativ primen Zahlen N^ ist, so wird _. Beweis: Wir wollen die Zahlen -,>- = i. setzen. Jede dieser Zahlen L, ist offenbar zu der entsprechenden Zahl N^ relativ prim, während sie durch alle übrigen Größen JV». (c* =|- c) teilbar ist. Wenn wir in dem Ausdrucke I = i:jW + 4I<^1 + ■ ■ ■ + i^|(""' (med N) die Größen |*''* vollständige Restsjsteme nach den Moduln N^ durchlaufen lassen, so erhalten wir N Zahlen, welche ein vollständiges Restsystem für den Modul N bilden. Denn es können nicht zwei von diesen JV Zahlen nach dem Modul N kongruent sein, da aus einer jeden Kongruenz auf der Stolle _ ... r ^ m i -• ^t\ 4|W = 4lo(=l (modJVJ oder, weil die Zahlen L^ zu den Größen N^ relativ prim sind, |(=) = g^(=) (modJV,) folgen würde. Wir dürfen demnach für die Größe f(h; N) schreiben f{hiN)^2^r, y Google Grundlagen für eine Tkeorie der q^nadratiachen Formen. 49 Durch Multiplikation der beiden Kongruenzen |,= 2^J/" (modjy) und |, = ^i,$,W (modJ^^) erhalten wir, da das Prodiikt L^L^.' für zwei ungleiche Indizes c und c* gleich N---^'- sO (mod i^O wird, Ui^2^'^-^''^^^^ (mod^), also Demnach bekommen wir für f(h; N) die Gleichung .?> •-' ^tf ^ Die Einzelglieder des Produkts in dieser Formel sind jetzt wegen r''' -- r gleich f(liL^; N^, und wir gewinneoi ■wirklich die Identität, welche wir beweisen wollten. Wählen wir für die Zahlen N^ die Terschledenen in iV enthaltenen Primzablpotenzen q', so können mit Hilfe des soeben bewiesenen Satzes die Größen /'(A; N) auf Größen f(h; q') zurückgeführt werden. Es erhellt hieraus sofort, daß wir uua weiterhin auf die Betrachtung von Größen f(h] (f) für Primzablpotenzmoduln g' beschränken dürfen. Wir brauchen femer nur solche Moduln zu untersuchen, welche gewisse Grenzen q^'-'i^ überschreiten. Denn es lassen sich mit Hilfe des Satzes 1) die Größen fih'i l'°) ^^^ Moduln g*" < 3' stets durch Größen /'(Ä; q') ausdrücken. in. Um die Größen /"(Ä; 5^ für einen Primzahlmodul q' zu finden, gehen wir von einem Hauptrest ip der Klasse f für den Modul q' aus. Die diesem Reste tp angehörigen Größen y (Ä; q') sind nach dem Satz H. den Größen f{h; q') gleich. fg=_p). Wenn nun zunächst q' -^ p' ist, so zerfäUt der Hauptrest (p (modjj') in eine Summe von Einzelformen Ton der Art F^.p'^cc^^ (modp'), [cc relativ prim zu p] nnd die Größen ip(h;p') können mit Hilfe des Satzes J. durch die Großen 1=1 dargestellt werden. y Google 50 Zur Theorie der quadratiacten Formen. (q = 2). Wenn hingegen q' = 2' ist, so zerfällt der Hauptrest

-=^x,x^^i^^' J (modi»), iür welchen ist. Die Form besitzt nach unseren Sätzen einen Hauptreprasentanten /a,V\ 00= ( } = ax^ + a^x^^ (modß), \0, «o/ in welchem a und a^ zu p relativ prim sind. Die Determinante dieses Repräsentanten tl>(, wird mit der Determinante von nach dem Modul p übereinstimmen müssen; wir erhalten daher y Google Grundlagen für eine Theorie dei quadrati sehen Formen, 51 imd es ist für die Form *(, Da nun wegen S (, (mod p) die Größen (l;^) und ^f,(l;p) identisoli sein müssen, so bekommen wir die Gleichung und wir können mitliin (l;y) - S"'' p% setzen, wo die Größe d^ eine nur Ton p abhängige Einheit bezeichnet. Bekanntlich ist diese Einheit stets gleich + 1. Vermittels der Größe (l;^)) kann man leicht die allgemeine Summe (t; j>') ausdrücken, und wenn man t =^'''^0 (^o relativ prim zu p) setzt, erhält man die Gleichungen {14(,) für t-'J'£0: (r,p')=p', (14,) füri-r>0: (^;y)=(J)"'i'^#''^~''"'^V-^. (g = 2). Für die Summe (t;2') gelten, wenn man t=2''Tq[To^1 (modS)] aetztj die Formeln (16,) für i-Tl: (.; 2') - (l + i(- 1)"«~) {^)'~'2'^.') Mit Hilfe der Summen (r; 2^ können wir jetzt den Wert der Summe I =^ e '' [^ = 1 (mod 2)J bestimmen. Wir wollen die Größe iaä — 9t* durch D bezeichnen. Es möge zunächst r ungerade vmd ( ^ 1 sein. Für einen Rest von der Art lo, r'ä, 2rJ *) Ganß, Summatio quaruodam serierum singularium. Gesammelte Werke, Bd. II. y Google 52 Zur Theorie der quadratischen Formen. wird 0(1; 2'+0 ^ 4_2;e '' + ' -2^^ ^ = 4 . (1; 2'+^)S. Die Summe {1; 2'+^) erhält nach der Uleiehung (15j), da ^ + 1 nach unserer Annahme größer als 1 ist, den Wert (1 + i)2 ^ , und wir be- kommen daher 0(1.2'+i) = 2"^(l+i)I. Die Form * besitzt, da ihre Determinante ungerade ist und ihre beiden Invarianten ff gleich 1 sind, für den Modul 2'+^ einen Haupt- repräsentanten von der Art (a^,0, ] 00 = p, «T^, = a^x^^-{- a^x^^+ a^x^^ (mod 2'+^), lo, 0, aj in welchem die Größen a^, a^, a^ ungerade sind. Da die Determinante der Form <^q der Determinante von für den Modul 2'+^ kongment wird, 80 besteht die Kongruenz a,^a^a^='D-t^ (mod 2'+^), aus welcher (i,ffj«3=— 1 (mod 4) folgt. Es müssen demnach von den Größen a^, a^, Oj entweder eine oder drei s— 1 (mod 4) sein; wir erkennen leicht, daß der erste oder der zweite Fall eintritt, je nachdem die Einheit gleich -f 1 oder gleich — 1 ist. Um zu entscheiden, welchen Wert diese Einheit annimmt, beachten wir, daß die Kongruenzen = 1 (mod 4) und ^fl ^ 1 (mod 4) wegen ^ Oo (mod 2'+^ ^4) gleich viel Lösungen zu- lassen müssen. Nun finden wir die Anzahl der LÖsimgen der Kongruenz (t ^ 1 (mod 4) gleich 2* 1 -1- -^ 1-^] nnd die Anzahl der Lösungen von D ^ 1 (mod 4) gleich 2* i 1 -j- — ^j ; es wird daher die Beziehung bestehen. Für den Formenrest '^^ ergibt sieh 00 (1; 2'+i) = («i; 2'+') • ((i^; 2'+^) ■ (a^; 2'+'). Mit Hilfe der Formel (löj) schließen wir hieraus, da i + 1 > 1 ist. yGoosle Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Foi-men, ».(1; 2'f) _ [l + .■(- l)^][l + i(~lf^'][l + i{- if Aue der KoBgruenz 1) • t^ ^ a^a^a^ (mod2'+'^4) gewinnen wir die GleiehuDg lern er finden wir [l + i(-lf'"'][l + !(-l)'^][l+i(-l)^']-2(l + »)«-2(l + ')(i,) <|..(l;2'+>)-(|)'(l+.-)2" Da nun wegen * rvi 0(1 (mod 2'+^) die Größen *(!; 2'+^) und 0,(1; 2' + ^ einander gleich sind, so erhalten wir Wenn die Größe t durch eine Potenz von 2 teilbar ist, so können wir T in der Form t = 2^Tq [r^ = 1 (mod 2)] darstellen, und wir bekommen alsdann die beiden Formeln {16o) für t-T^O: 1 = 2^', (16,) inTt-T>0: Z=(jy"^2'+^. II, Wir benutzen jetzt die gefundenen Summen zur Bestimmung von Größen ^(h;q') für einige besonders einfache Eeste q^ (mod 5'). Wir stellen die Zahl Ä in der Form h = ^\ (hg relativ prim zu g) dar. (2 = i)). Die Größen FQi-^p') eines Bestes F ^ p^a^'" (mod p') [a relativ prim zu p] sind durch die Gleichungen gegeben. Es ergeben sich die Formeln fflr I ^ i - M: FQi;fl) -p', für I < i - M: F(k;p-) _ ^i^y-'-'-p'-'^ii'""''"-'''/!;-''-'. Die Größen fp(}t;p'), welche einem Best y = p^(a, 1,^ + «,1,^ + - - ■ + ajf) =^p"ci,U =2^^ ("^"^ ^') angehören, genügen den Relationen y(;,ij,0-7Jy,(4;i.'). y Google 54 Zur Theorie der quadratiacheu Formen. Setzen wir das Produtfc j j{Xf^i((p') (modio'~^j, so gewinnen wir die Formeln für k'^t — M: f(Ji;P^ = P"', iüx ht- M: 9(fi]P') = v(ß;P^, iarh ; - 1 - -M": F(h; 2') = 2', f&v h = t~l-M: F(h; 2') - 0, fürA<(-l-M: F(k;2') = ll + i{~i) M (^) 2 ' . Die Größen (p(h;2'^) eines Restes genügen den Gleichungen ( - 1 - Jf : (*i2*)-ZT[l + i( -«'"''] -((^ y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratisclren Formen. 55 Die Größen ^(A; 2') eiaea Restea =2'(2"'""2'"<"'^'"'y") =2f. (?""' 2") [i,>0, ;,+ (,+ ...+;__!] sind gleich ^^ (6;2')-/Ycf,(4i2')- Ans den Beziehungen (17) schließen wir für die einzelnen Reste (fi^ die Gleichungen (18.) für S >( — s - (18J mh-t-s-M: (18,) für I < < - s - Jf : ipXh; 2') - 2'.', y.(*;2')-0, p,(»i2o-]Tt+'(-ir^' ]■©" Wenn A^( — Jlf ist, 80 haben für die sämtlichea Größen (p^{h\'2^') die Ueiationeji (18^) statt. In diesem Falle findet sich daher {19„) für Ä ^ i - Jlf; {h; 2') = 2". Befriedigt die Zahl h die Ungleichung t - M>h>J ~ m ~ M, ao können wir eine Zahl m^ aus der Reihe 1,2, ...,m angehen, für welche h = t — »1(1 — M ist. Dann tritt für die Große ^j^^^ (h; 2') des Restes ip^, welcher dieser Zahl m^ entspricht, die Gleichung (18j) in Kiaffc, und es verschwindet daher diese Größe 9s^(Ä;2'). Demnach wird auch h>J~m~M: ti>(h; 2') = 0. Fällt die Zahl h kleiner als l — m — M aus, so gelten für die sämt- lichen Größen ^i,(Ä; 2') die Gleichungen (IS^); es ergihfc sich, wenn wir YI{(p,) ^ () (niod2'-^-™ + i) setzen, (1%) mit-m — M>h: {h;2')=JJJjll+ii~l) ((■P™-,))U™-3))*"(('y^,^_^p„-|\) ■ Vi i+^+'-.'+A _2'A'-- ©"' y Google 56 Zur Theorie dec quadraÜBchen Formen.. Das in dieser letzten Formel auftretende Produkt flU + K-i)^' \ besitzt die Gestalt ' r i?;'l n_|7Li + i(-i) > J. Wir wollen jetzt nachsehen, von welchen Argumenten ein derartiges Pro- dukt eigentlich abhängt. — Nehmen wir an, von den Größen ( — 1) " seien im ganzen ?(, gleich — 1 und l — If, gleich + 1, so erhält TT den Wert n^(i + 0'-'"(i-0'" .oder wegen der Beziehung (1 — i) =^ ~ i(l -f- j) den Wert Nun ist i.=/B].-'ffl=(-i)[*]/-'ra, nnd die Größe i L^-i wird offenbar gleich 1 oder gleich /, je nachdem l^ gerade oder ungerade ist. Wir können daher schreiben /-''B]_i+fci>':H- '-(-«'!; = iv and wir bekommen die Gleichung n = (- i)[-a [i+tlt - i-~-±=iti] (1 + i).. Dieselbe zeigt uns, daß einerseits das Produkt TT durch die Zahl I und die beiden Einheiten (— l)"" and (— 1)I-^J vollständig bestimmt ist, während anderereeits aus dem Werte von TT die Werte der Größen ?, (—1)'°, (— l)LäJ erschlossen werden können. Die Einheiten (— 1)'", (— 1)1-^-1 lassen sich in der folgenden Weise durch die Einheiten (— 1) ^ ausdrucken: (-i> = {-iy- , (-ip}^(-if<' Denn da erstens '-„— gerade oder ungerade wird, je nachdem (~1) ° gleich + 1 oder gleich — 1 ist, so erscheinen in der Summe ^^ — - — , y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratiecten Formen. 57 tfj — 1 ■welche sich üher alle Zahlen — - erstreckt, im ganzen l — l^ gerade und ^u ungerade Glieder; die Summe ist daher ^; l^, (mod 2). — Zweitens dj, — 1 Sf — i wird die Größe - - - ■ - — ungerade oder gerade, je nachdem die Zahlen (— 1) ^ und (— 1) ^ alle heide gleich — 1 sind oder das •^^S., — 1 V— 1 Gegenteil stattfindet. Bilden wir daher die Summe ^.-—a — , — über aEe möglichen Kombinationen zweier verschiedener Indizes k' und k", so treten in dieser Summe genau soviel ungerade Glieder auf, als Ver- . von je zwei Größen (—1) ^ = — 1 und (— 1) " = — 1 existieren. Unter den l^ Zahlen (—1) * , welche gleich — 1 sind, gibt , ?!>i^o^) j^[^] (mod 2)) derartige Verbin- dungen, und es wird demnach - 1 ^, 2^^-- V-=Ö](">»''2). f< k" Anstatt der Formel (19g) erhalten wir jetzt für t - r !* 1 - (- if ' " (01-1 K J(-l) ■ ■ ' 8 2 ).../' / 2 w-j/-„,-i- ■er" Wir sehen, daß alle nicht -verschwindenden Größen 0(7*; 2') sich in zwei Faktoren zerlegen lassen, von denen der erste eine Potenz von i =]/ — 1 ist, während der zweite dem absoluten Werte nach mit ^{h\ 2') übereinstimmt und allein von den Größen /(, 2*; m, l^, M abhängt. Setzen wir diesen zweiten Faktor gleich 0(7t;2'), so gewinnen wir die Formeln (20„} für Ä ^ i! - üf : (D(A; 2') = *(/»; 2'), (200 für f-lf>Ä^i-OT-lf: Qi;2') = Q, [■20j) für t — m~M>h: yGoosle Zur Theorie der quadratiachea Formen, (01-1 -1-1) ' , r (01-1 . f_rri^-'^(l\-'-'-'-'-i'\ (^J\ . . . / ^ L\ '*' V(».,-i)'V?.,_,,v I f^.^i_,r!!LlW i ■ 2 -'^■^' . (_ 1) (n.-i+(*",»'i Von Bedeutung für die Folge ist die Bemeririmg, daß sowohl im (01-1 FaUe i - 1 als im Falle ! - 2, (- 1) ' _ - 1 die Einheit (- Iji-^'^-^ gleich + 1 gesetzt weiden muß. Für die Größen t|)(Ä;2') eines Restes CD = 2^(«gä + %%l + ßf) (raod 2') gelten, wenn wir 4«« — 91^^ («t) (mod 2^+'~^) setzen, die Formeln iv.vl>t~M: (h; 2') = 2«' ^ *(/*; 2'), für Ä < ^ — ilf : *(*; 2') - ©"'"ä-t-" = *(S; 20 • {^)-'-\ worin die Größen *(/(; 2') allein von den Zahlen /(, 2'; Kap. IX. Charaktere der Hauptrepräsentanten und der Grundformen. Wir werden jetat nachweisen, daß die Größen f(h; q') einer allge- meinen Form f ebenso wie die Größen q>{h] q') der besonderen Reste (p, welche wir soeben betrachtet haben, in zwei Faktoren von wesentlich verschiedener Art zerfallen. Der eine dieser Faktoren, den man durch /{h^q') bezeichnen kann, hängt, wenn Q—p ist, aliein von den Zahlen j)""*-, und wenn g = 2 ist, allein von den Zahlen 2"* und 6^ ab, während der zweite sich im Falle q ^p mittels einer, im Falle 2 = 2 mittels einer oder zweier Eiuheiten C dar steilen läßt. — Diese Einheiten C werden eich dann umgekehrt durch Größen f(h; q') und f(hj q') aus- drücken lassen. Da aber sowohl die Größen f{h; q^ als die Größen f{h- g') für alle in bezug auf den Modul q' kongruenten Formenklassen f gleiche Werte erhalten, so werden auch die Einheiten G für alle nach y Google Gnindlageii für eine Theorie der quadratischen Potmen. 59 dem Modul 5' kongruenten Foiinenklasseii f die gleichen Werte annehmen, d. h. diese Einheiten werden Charaktere der Formen f vorstellen. Die Charaktere C, zu welchen wir auf diese Weise gelangen, werden sich zunächst als Funktionen der Koeffizienten eines Hauptrestes 90 (raod^^ darstellen. Nun haben wir aber in Kap. V gesehen, erstens, daß wir die Koeffizienten eines Hauptrestes y durch die n -[- 1 Zahlen 9)4 eines zum Hauptreste (fi gehörigen Hauptrepräsentanten ausdrücken können, nnd zweitens, daß sich eine jede Grundform j^ (mod q) einer Klasse f in einen Hauptrepräsentanten (p (mod q') transformieren läßt, dessen Zahlen tp^ den Zahlen iji^ gleich sind. Wir können demnach auch die Einheiten C durch die Zahlen qs^ eines Hauptrepräsentanten (p ausdrücken, und wir werden alsdann die Werte dieser Einheiten unmittelbar aus einer jeden beliebigen Grundform ^ (mod q) herleiten können. I. Es möge zunächst q~p sein, und es sei f eine in bezug auf ^i primitive Form. Jeder Hauptrest tp der Klasse f für einen Modul p' (^ß'n-iWJ besitzt dann die Gestalt 9 = 91 + 9^-^ ^ fi'^^Vi (mody), y. == p'^i-i^aJ-%<-'>i,'-'i (mod pO- Wir finden daher nach Satz J. in Kap. Vll die Größen q>{h-,p') = f(h; p') durch die Gleichungen (21) v(i<;p')-n bekommen. Wir wollen die X + 1 Zahlen \=t-M^=i; h^ = t~-M^; h^=^t — M^, ..., /i;_i = ;- JM;._,; Ä^ = * - M;. = einführen. Ans den Ungleichungen (22) ergeben sich sofort die Un- Jia>\>K>---> A;._i > \. yGoosle 60 ^ui^ Theorie der quadratiacten Formen. Wenn wir die Zahl h in der Form A =p^- h^ {h^ relativ prim zu p) darsteEeii, so gelten für die Größen ipf.Qi-^p') nach Kap. VlII, Aljsatz II, die Relationen (24.) fflrXäl,,,: ft(/.;y') - »(»iÄ (24,) rürl;p') - k(.l>;f) ■ (f)"-'~\ in welchen die Faktoren ip^Qt-p') nicht-verscliwindende und allein von den Zahlen Ä,ß'; o^ip) abhängige Zahlen bedeuten. Aus der Gleichung (21) und den Formeln (24) erkennen wir, daß die Größen ) nur von den Ein- heiten (— ^) abhängen können. Wir wollen diese Einheiten umgekehrt durch die Größen rpQi;p^ und cp,.(h-,p') ausdrücken. Wenn wir der Zahl h die Werte 1,2,.. ., p' erteilen, so durchläuft der Exponent h das Intervall (, t— 1, . . ., 0. Beachten wir, daß hf, = t und Äj = ist, so leuchtet ein, daß dieses Intervall mit dem Intervalle Kl \> \i ■ ■ •! ^A-lJ K flb ereinstimmt. Falls wir von der Große h = t absehen, für welche offenbar fc = jP* . jfjj^ ^ (modji') und q>Qi; p') -- p"' ist, wird daher eine jede der Zahlen h(j=- t — 1, ...,0) einer und nur einer Ungleichung (25) hi^,>h>^h, genügen. Wir woUen die Zahlen h, welche der Ungleichung (25) ge- nügen, durch hf-*^ und die diesen Zahlen W* zugehörigen Zahlen h durch äW bezeichnen; die Zahlen h, deren h gleich Äj ist, mögen hg heißen. Infolge (23) erfüllt jede Zahl Ä^'^ die Ungleichungen (26o) P^Ä, >fci+i>--->Äj_i>Äi, (26i) B^ k'^k; ist, das sind die Größen (p(0>-,p'). Aus der vor- stehenden Gleichung (27) ist nun einerseita klar, daß wir zur Bestimmung dieser GfrÖßen höchstens der Einheiten O^'^i-i-* bedürfen, während andererseits diese Einheiten sich durch Größen fpQf^p') und 9)j,(Ä;jj') aus- drücken lassen. Unter den Einheiten 0*i-i-''' befindet sich, da die Differenz Äf_| — %'''> die Werte 1, 2, ..., h,_,~h,>l durchläuft, die Einheit 9; selber. Wenden wir dieses Uesultat der Reihe nach für die Werte * = 1, 2, . . ., Jl an, so erhalten wir den Satz; Die Größen tp(h;p^ p> «j,_i(i')] hängen außer von den Zahlen p"'(''l von den ip + 1 Eiaheiten '"-V 7 (i-0,l,2,...,V, [O.-l] ab, und umgekehrt können die l^ + 1 Einheiten durch Größen (p(h;p') und durch die Zahlen ^""0) ausgedrückt werden. Sowohl die Einheiten 0, als die Einheiten (— ) = ^^ sind also Charaktere der Form f. Wir drücken jetzt die Charaktere 0; durch die n-i-1 Zahlen q»,^ eines Hauptrepräsentanten aus, welcher den Rest ip liefert. Zunächst erkennen wir, daß die beiden Charaktere O,, und 0j nur von der Ordnung der Form f abhängen. Denn es ist (^-). und für 0^ erhalt man mit Hilfe der Kongruenz y Google 62 Zur Theorie der riuadrati seilen Formen, die aus Kap. VI (S. 40) folgt, die Beziehung Die übrigen Charaktere 9^ lassen sich mit Hilfe der Kongruenzen /T (?'*)-'?*, ^7^ (mod/^-i) "1=1" P ' durch die Einheiten ausdrücken. Diese Charaktere C{p) sind mit den in Kap. VI gefundenen Charakteren (— ) identisch. Die Anzahl derjenigen Charaktere C(p), welche nicht schon von vornherein durch die Ordnung der Form ip gegeben sind, beträgt X^ ~ 1. Nun ist für alle Primzahlen p, welche in dem Produkte JJoi^ nicht aufgehen, X == 1. Folglich werden nur diejenigen Primzahlen p, welche in diesem Produkt enthalten sind, besondere Charaktere G(p) liefern. Auf diesem Umstände beruht es vornehmlich, daß die Anzahl aller un- abhängigen Charaktere, welche einer gegebenen Formenklasse f angehören, einen endlichen Wert besitzt. II. Ea möge jetzt g =- 2 sein, und es stelle f eine in bezug auf 2 primitive Form vor. Wir betrachten irgend einen Hauptrepräsentanten y der Klasse f für einen Modul 2'> ■ 2""-'^. Sobald irgendeine In- variante ffr der Form f den Wert 1 erhält, verschwinden von den Koeffi- zienten Rf^ {i < Je) des Restes q> alle diejenigen modulo 2', für welche i ^T und h'~> T ist. Wenn ^r = 1 ist, zerfällt demgemäß der Rest cp für den Modul 2' in zwei Einzelreste "t" und O,,, von denen der eine, 4», die T ersten Reihen des Restes ip und der andere die n — T letzten Reihen dieses Restes entMlt. Wir überzeugen uns ferner, daß der Rest zu 2 primitiv wird, während die höchste, in allen Koeffizienten des Restes 't'p aufgehende Potenz von 2 den Wert ^t annimmt, sowie daß die In- varianten ff des Restes 4i gleich ff^, ffj, . . ., ffy.i und die Invarianten ff des Restes O^ gleich St+u ^r+a» ■ ■ -j ^n-i T^ei^^en. Wiederholen wir diese Bemerkungen für mehrere Invarianten öy = 1, so gelai^en wir ohne Schwierigkeit zu dem folgenden Satze: y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratiachen Formen. 63 K. Wenn wir von den m — 1 Invarianten ß der Form f beliebige L — 1 auswählen, welche den Wert 1 haben, etwa (2; = 0) er, =• 1, ßr, = 1, ■ . -, flr^_a = ^> ^^i-i = ^> (^''^ = ") und die Zahlen T^ — Tf_-i = K^ setzen, so tonnen wir aus den K^ ersten Beihen von rp einen Rest 0^, aus den K^ folgenden Reihen einen Reat 03, usw., aus den Kj. letzten Reihen von ip eine Form 0i bilden, und der Rest qi zerfällt für den Modul 2' in L Einzelreste (p = <\>^ + %-\ h *j. (mod 2')- Die Reste 0, erscheinen als Produkte aus einem Paktor S'^i-i und einer zu 2 primitiven Form. Bezeichnen wir die Ä'j — 1 Invarianten dieser zu 2 primitiven Form durch P/' und die K^— 1 Invarianten m(2) dieser Form durch iJj,*'"', so bestehen die Relationen P^W^ffj,._^^^, Q/) = (o^,,^^^. (k = l,2,...,K,~l) Einige besondere Fälle dieser Zerlegungen von (p in Formen 0^ haben wir schon im Früheren unteraucht. So bekommen wir erstens die Zerlegung von (p in lauter Formen ^=2^«!^ (mod 2'} von einer Variablen oder Formen F,^2^(ah.' + ml+&l') (mod2*) von zwei Variableu, indem wir für die Größen T^ ohne Ausnahme alle diejenigen Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . ., n—l wählen, denen eine In- variante ffr = 1 entspricht. Zweitens entsteht die in den Kapiteln III und IV betrachtete Zer- legung von 9 in A Formen y^, indem wir die Zahlen T^ gleich den l— 1 Zahlen &^ annehmen, welche zu den A ^ 1 nicht -verschwindenden Zahlen a^ gehören. Eine dritte Zerlegung des Restes q>, welche gleichfalls durch- das an- gegebene Verfahren gefunden werden kann, wird uns jetzt zur Bestimmung der Großen ,(*l2') bestimmen. Nach dem Satze K. müssen die Zahlen p W ^2-"^'' P^W , (yfc = 1, 2, . . ., m^ni-i - 1) mit den Zahlen übereinstimmen. Da nun diese letzteren Zahlen unserer Annahme gemäß sämtlich kleiner als 4 sein sollen, so folgt, daß auch die Zahlen Pj.<^j2-'^* P^(^^ sämtlich gleich 1 oder gleich 2 sein werden. Wir über- zeugen uns nun leicht mit HOfe der in Kap, IV, Absatz II aufgestellten Sätze, daß dieses dann und nur dann eintrifft, wenn die ßeste 0^ von der Gestalt (28,) , = 2""'-_2(2"-2"'-" ^'■'* ^''^) ^^°^ ^') oder von der Gestalt (28,) 0,3^ 2''''-^ + '(«s^+ 9111 + «=^) (med 2') sind. Wir wollen jeder Form "S^, je nachdem sie yon der Gestalt (28j) oder von der Gestalt (28^) ist, eine Zahl t^ gleich 1 oder gleich 2 zu- teilen. Wir haben die Beziehungen r, = p« = p»„,,_,_^_, oder Wir führen ji -^ 1 Zahlen M^ vermittels der Gleichungen 2^^ = T^^ai, 2^'- = T,-2'''h, 2^' = T3-2''"', . . ., 2^^.-1 = 1:^-2%-», 2^^. = 2', und ^ Zahlen M; vermittels der Gleichungen yGoosle Giundlagen für eine Tteorie der quadratiacken Formen. 65 ein. Die Potenzen 2 '~^ werden, wenn t^ = 1 ist, gleich 2''''i-i, und wenn Tj = 2 ist, gleicli 2''>i-i'^^; die Potenzen 2""'-! sind, wenn T( = 1 ist, gleich 2 ■'""'li-i = 2 +'"*'^ '-i^ dagegen wenn t,- = 2 ist, gleich 2^+''>i^-i _ 2^'-i. Folglich hat man stets ^i_i^JKi_i- Ferner erhält man wegen ö,ji-i 2"'" ff^.+i ^ 4: und 2' > -^ ■ 2"«-! für t < ft: und so daß man die Ungleichungen findet (29) M^^M^<,M^^M^^- ■ ■ ^ M^^^ ^ M^_i ..K>.K>h>.---^ K~i ^ K-i > h " ^' nnd es gelten die Relationen für Tj ■= 1 : ^(_i = K--1 + 1 + ^i, für T; — 2: fti_i = Ä(_i, und (31) 2i.-.-».- ""-''J' " -tel^l (;<;,); Wir wollen für einen jeden Best <]>j von der Gestalt (28,) , = 2* - '^ (^" '2 "•-'" ^■■"' ^'■') ■ 2 ''■" ('°°'' ^') eine Einheit ^ ((<-.))((<-.)) ■■■((d[^]))' (-1) /ZW und für einen jeden Best O; von der Gfeatalt (28g) . a J.f_i1(.',.')+(-",.") yGoosle 66 2ur Theorie der quadratisolieii Formen. eine Einheit bilden. Fttr die GvÖ&sr ^(h; 2') lh = 2'%, h^,^! (moil 2)] ergeben sich jetzt die Formeln (32o) für % ^ K,_, : j(Ä; 2') = l,{h; 2'), (32,) für Ä £ Ä,_j : ^(h; 20 ^ ^^(A; 2-) ■ 1^ • /'^fzi— (32s) und für t^ = 1, h^_, >h> \_, : 0^(Ä; 2«) = 0, in welchen die Faktoren ^i(h;2') nicht- verach wind ende und allein von den Zahlen h,2'; ff, »(2) abhängige Großen bedeuten. Wir wollen die Zahlen h, welche der Ungleichung genügen, durch Ä'*' bezeichnen. Eine jede Zahl ftf'^l befriedigt infolge (30) außerdem die Ungleichungen (33j) ^'*'^^* >K^r'^---^hf,^i^h^, (33^) A'*) £ h^_-, ^ fti_2 ^ ■ ■ ■ ^ A, ^ Ap- Demzufolge gehorchen alle Größen <^f(2'' \;2'), deren Index i einer der Zahlen }c+l, i: + 2, ..., (i gleich ist, den Geset/en (32,)) und alle Größen j(2^ Ag; 2'), deren Indes i einer der Zahlen 1, 2, ..., Ä gleich ist, den i (32j). Wir bekommen demnach für den Quotienten |»i'')i-i (fflr i-i+l,;t+2,. -.,,«), die Gleichungen und für i ^ k: l''<*M.= '. I*"'l,-(fis)"""""' (»'■ '-I-2 *-l) Für das Produkt lJfi{2'"'K; 2') - y(2''''*o; 2') ergibt siok jelit y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratisclien Formen. 67 (2*<*'A„;2')-l,.(-i)* '■^"i'" '(-1) ""' ^ ■ f», -f.f(^^''h^;2'). Denn ist t^j^I, so wird Äi_i = fi.j_j + 1 -|-J»j, und die sämtlichen Zahlen h, welche ^h^ sind, genügen entweder der Ungleichung Ä^Äj_i oder der Ungleichung Ä^_i > Ä > '»i-i oder der Ungleichung ^j_j^Ä^Äj. Ist aber Ä^Äj_i, so ist die Größe g)(2*AQ; 2') schon bekannt, und erfüllt h die Ungleichung Ä^i_i > /^ > Ä^_i, so wird (|>^(2''S.u; 2') =■ 0, also auch ip(2''\\2^) -^0. Es sind mithin in der Tat nur diejenigen Größen y(2*Äo;2') KU betrachten, för welche ^k~i^^^\ '^^^' W^ni^ hingegen Tj = 2 ist, so wird Äj_i = ^*i,_ij und die Zahlen A, welche ^ \ sind, ge- nügen entweder der Ungleichung ^^Äj_j, in welchem Falle die Größen ^(2^Aq; 2*) als bekannt anzusehen sind, oder sie genügen der Ungleichung Mit Hilfe der Gleichungen (34j) und (Sij) ziehen wir jetzt den fol- genden Schluß: L. Wenn alle Größen ip (^''\\ 2'), deren h, ^ Äj_i ist, gegeben sind, so bedürfen wir zur Beetimmui^ der sämtlichen Größen 9(2" /»,,; 2') höch- stens der Einheiten Ij, ( — 1) ^ , / — ^ ■ \ , und umgebehrt [rmj können diese Einheiten stets durch Größen ip{'^h^\2') und "^((S^/ii,; 2') (h ^ Äj) ausgedrückt werden. y Google Zur Theorie der quadratifichen Formen. Die Größe Äj,_j — Ä'*' erhält, da die Zahlen W> der Ungleichung 1 ^ ^'■'' ^ kf. genügen sollen, die Werte 0, 1, 2, ..., \_^-\. Unter den Einheiten / — \ wird daher die Einheit / — ^ \ selber aufti-eteo, sobald Äj_i— Ä^^l ist. Wir wollen annehmen, voa den Zahlen 6i_i2'"'6;^i (* =^ 1, 2, . , ., n — 2, n — 1) seien im ganzen v — 1 (1 ^ v ^ )») größer oder gleich 8, nämlich die folgenden: wo Ä = 0) t,-VK,, .. ., C-i -- VK^_, (.K = ^) ist, während alle übrigen n~v Zahlen ffi_i2"iff,.^^ liöchsteas gleich 4 sein mögen. Es sind dann infolge der Gleichungen (31) von den fi Zahlen Ä^_, — Äj, {k=l,2, ...,fi) die v folgenden hji ^i — hj[, hg _-^ —hx , ■ ■ ■, h^ -1 ~" ^K ^^^ hg _j — hg größer oder gleich 1, während die übrigen f* — v dieser Zahlen Ter- schwinden. Wenden wir das Besultat L. der Reihe nach für die Werte k = 1, 2,...,fi an und beachten wir einerseits, daß alle Großen -—-2""-^'^^ hängen von den Zahlen ff, 2"'W und den 2 (/t + 1) + (v + 1) Einheiten Hj = (- 1) " ' (Ä = 0, 1, 2, . . ., (i) [Ho = 1], ^"^f-^!--] {k^0,l,2,...,v) [A=l], (t-O, 1, 2, ..., rt [E.-1] y Google Grundlagen für eine Theorie der ciuadratisclien. Pormen. 69 ab, und umgekehrt können diese sämtlichen Einheiten durch die Zahlen ö, 2"'^ und durch Größen (p{k;2') ausgedruckt werdeö. Die Einheiten E^, H^, Zj sind also ebenso wie die Einheiten Ij, (— 1) ^ Charaktere der Form f. Die Anzahl der Reste Oj, denen ein t^ = 2 entspricht, ist gleich der Anzahl aller derjenigen InTarianten a der Form f, welche gleich 2 werden. (0t) - 1 Die Charaktere (~ 1) ^ , welche einer Form j die Gestalt 0, = 2««^a (mod20 oder die Geatalt ""1.-1 (0t) - ' -* ' ' ■ ' ist, während der andere allein von der Ordnung der Form f und dem Charakter C.(4) -(-!)"'■" abhängt. Bei einer Aufzählung sämtlicher Charaktere für den Modul 2' können wir daher die Charaktere Ej durch die Charaktere ©4(4) ersetzen. Kap.X. [[Bedingungen fiir dieOülügkeit der Kongruenz/^ g(mod g*).]] Wir haben gesehen, daß die Kongruenz zweier Klassen f und g nach einem Modul q', der die höchsten in den Größen ■o^o^...o^_f der beiden Formen f und g aufgehenden Potenzen Yon g übersteigt, von den folgenden Bedingungen abhängt: I. Die Klassen f und g besitzen, wenn 2=^J, dieselben Größen p'"'' und, wenn Q — 2, dieselben Größen 2"*, e^. II. Die Determinanten der Klassen f und g sind, wenn q=p ist, nach dem Modul jj'+^w-alP), und wenn 5 = 2 ist, nach dem Modul e^^j- 2'+^''-«(^' einander kongruent. ni. Die Hauptreste der Klassen f und g besitzen, wenn q — p, die- selben Charaktere 6(j)) und, wenn q = 2, dieselben Charaktere E(4), H(4), Z(8); oder (was auf dasselbe hinauskommt): Die Größen f{h',q') und g(h;q^) sind identisch. Diese Bedingungen sind aber auch hinreichend dafür, daß die Klassen f und g nach dem Modul q' kongruent sind; denn es gilt der Satz: M, Genügen zwei Klassen f und g den Bedingungen l, II, III, so kann mau jede Form der einen in äquivalente Formen transformieren, welche nach dem Modul g' einem beliebigen Repräsentanten g der andern kongruent sind. Mau kann sich zweier verschiedener Methoden bedienen, um diesen Satz zu beweisen, indem man ihn entweder durch einen Schluß von y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratiBchen Formen. ^ 1 «g( der Klasse g über- führen. — Da die Zeit drängt, muß ich darauf verzicliten, diese Metboden liier zu entwickeln.*) Kap, XI. Genera toh Formen, — Bedinguügen für die Existenz eines Genus. Die Zahl der Charaktere, welche zu einer gegebenen Fonn f gehören und nicht von vornherein durch die Ordnung dieser Form bestimmt sind, ist stets endlich. Denn wir sahen, daß allein die in dem Produkt 2 ■ ——o^o^ . . . o^_i = T\(f) enthaltenen Primzahlen derartige Charaktere liefern können. Wir fassen alle diejenigen Formenkla,ssen, welche dieselbe Ordnung und dieselben Charaktere wie eine gegebene Form besitzen, in ein Genus von Formen zusammen. Der Satz M. in Kap. X zeigt uns, daß die Klassen eines und des- selben Genus in bezug auf jeden Modul y >p''n-iW und in bezug auf jeden Modul 2'> 2"i-i(S) kongruent sind, woraus wir mit Hilfe des Satzes II in Kap. VI schließen, daß swei Klassen desselben Genus m bezug auf jeden beliätigen Modul kongruent sind. Umgekehrt ist klar, daß zwei Klassen f und g von gleichem Index I, welche verschiedenen Genera angehören, nicht in bezug auf jeden Modul N kongruent sein können. Denn wenn die Invarianten oder die Charaktere der Klassen f und g nicht die gleichen sind, so kann, wie man leicht er- kennt, nicht gleichzeitig f^g (modTT(/^)) und f^g (modTT(^)) sein. Man kann die sämtlichen Charaktere einer Klasse f mit Hilfe eines Hauptrestes dieser Klasse für den Modul IT herleiten. FolgKch werden zwei Klassen derselben Ordnung die gleichen Charaktere besitzen, so- bald sie in bezug auf den Modul TT einander kongruent sind. Also kann man ein Genus von Formen auch in der folgenden Weise definieren: Ein Genus f besteht aus allen denjenigen Klassen, welche der Ord- nung f angehören und in bezug auf den Modul TT [f) der Klasse f kon- gruent sind. I. Um zu entscheiden, ob zwei Klassen derselben Ordnung in dem- selben Genus enthalten sind, kann man sich der Grundformen dieser Klassen für den Modul TT bedienen. — Wir behaupten: *) SiehR die Bote [[am Schlüsse dieser Abhandlung, S. 136—143]]. y Google 72 Zur Theorie der qa ad rati sehen Formen. Jede primitiTe Formenklaese f der Ordnung besitzt fftr den Modul TT Grundformen tp, in welchen die Zahlen 90^ zu den Zahlen ^/.„i ■ g't^.i relativ prim sind. lu der Tat: wir bemerken zunächst, daß eine Form /'j_j., =■ !*^V^'i (i, /i = 1, 2, . . ., Ä -j- 1) von 7i + 1 Variablen und von einer Ordnung stets in eine äquivalente Form \rf^ j (i, k — 1,2, . . ., h + 1) transformiert werden kann, in welcher die Teilform f,^ = [rf^] {i,k ^ 1,2, . ..,h) von h Variablen eine Ordnung \0i, Da, . . ., 0(_3, G^fpi,- o^^J mit einer zu der Zahl TT ■ ?);,^i relativ primen Zahl qs,^ besitzt. Um eine Form von der gewünschten Beschaffenheit zu erhalten, brauchen wir näm- lich nur eine Grundform der Klasse f^_^^ in beaug auf den Modul TT-^i^.^^ zu bestimmen. Wenden wir diese Bemerkung fiir 7t = w— 1, n — 2, ..., 1 an, indem wir von der Form f — f„= l*";^'} (*,^ = 1, 2, ..., m) ausgehen, so ge- winnen wir einen Repräsentanten

| (i,k-l,2,.. ., h) eine Ordnung /6j^, Sg, . . ., 0j_3, e^_;^ \ \0^, 0^, . . ., Oj_ä, G^(Pi,- Oi^_J besitzen, während die Zahlen tp,^ zu den Zahlen T^-ft^i relativ prim sind. Dieser Repräsentant (p gibt uns also eine Grundfonn für den Modul TT mit Zahlen tp^, welche zu den Zahlen der Klasse f vorUegen. Wir wollen die Formen von h Variablen, welche aus den /( ersten Reihen des Systems von qo gebildet sind, durch { y^ | bezeichnen. Es mögen die Indizes dieser Formen [ip,^] (h ^ 1, 2, . . ., n) gleich /,, sein. Dann ist I„ = I, und wir setzen noch /^ <= 0. Wir schreiben (— l)'^'' =- e,^. Die « -f 1 Einheiten 8^ stellen die Vorzeichen der Größen (p^ vor, und es werden daher die Größen e^y^ sämtlich positiv. Für die Formen [tp,^] erhalten wir nach einem bekannten Satz die Zerlegungen '**' Vnfi 'Pl'Pi 9:^-l'P/, Fähren wir jetzt n Einheiten S^, d^, ..., iS,, vermittels der Beziehungen äf^ = f.f,£,^_^, £,, = dj^a . . . i5j ein, so müssen von den h ersten Einheiten y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 73 Öj, ^2, . . ., dj im ganzen 7^ gleich — 1 und A — I,^ gleich + 1 sein, und wir Ijekommen insbesondere Wenn wir diese Einlieit durch die Großeu e^ ausdrüclten, so ergibt sich (_ 1) . _ (- 1)... . Aus der in Kap, VI (S. 43) anfgestellteu Gleichung (8) gewinnen ■wir eine Kongruenz (35) — eh-\'^'°''^h+Afh-i9h-\-i = -^/f ("lod 5^fp,^), in welcher die Zalil Jf,, zu ß^f^ ^ßl^t''^ prini ausfällt, da nach unserer Voraussetzung über die Form (p die Zahl — '^h-i^h^h+i'Ph-i'f'h-^i '^'^ ^h'Ph relativ prim ist. Aus dieser Kongruenz folgt auf der Stelle die Gleichung welche wegen (^-(-^ Wir gewinnen demnach die w + 1 Formeln (5^)-(Ä;) = (-')^(^s'-')(~i)^-^©. y Google 74 Zur Theorie der quadratiachen fformen. Wir multiplizieren jetzt diese « + 1 Gieichimgeii miteinander und benutzen dabei das Eeziprozitätsgesetz, welches aicii für zwei ungerade, zueinander relativ prime Zahlen 17 und V, deren Vorzeichen gleich m und V sind, in der Formel ausspricht. Dadurch erhalten wir die Relation. Bilden wir das Produlit aus den ersten i^^ oder aus den ersten »jj + 1 der obigen Gleichungen, so erkennen wir, daß der Charakter ©^(4) mit HÜfe der Charaktere C(p), C(4), G(S) und der Einheit oder der Einheit D;=U^^ (-1) ^ dargestellt werden kann. Infolgedessen können wir statt der Charaktere ®j die Charaktere D^ oder D^ einfüliren. Zwischen den beiden Charakteren I)~ und D^ besteht zufolge der Gleichung (36) die Relation (38) A- ■ A* - i'"'^^,^—) (- 1) " ' ' "'"[-;;)■ Wir können jetzt den Satz aussprechen: Eine charakteristische Form

'..[4.-H.,-.,.)] n r /..[/., H..- «]n V^.'iT^ L(^)(-') ■ JL(fi.:)(-i) ' J-(-i)' '■ Die Bedingungen 1. ergeben sich aus den Beziehungen qs,, = 1, ^^ = (— 1)^; die Bedingung 2. stimmt mit der G-leichuog (38) ubereiu; y Google 76 Zur Theorie der quadratiflchen Pormen, die Bedingung 3. entspringt aus der Kongruenz (35), welche für ein 0,,^2 die Relation ~" ^;i9'*-i9'/.+i = 1 (niod4) liefert; die Bedingung 4. schließen wir aus der Gleichung welche eine unmittelbare Folge von (36) ist; die Bedingung 5. ist eine Identität. — Drücken wir die Charaktere D^ durch die Charaktere ©^(4) aus, so werden sämtliche Bedingungen 2., 4., 5. zu Identitäten, und es bleibßli allein die Bedingungen 3, und die Bedingung (37) zu erfüllen. II. Zu jeder Kombination von Charakteren i., ii., iir., welche allen Bedingungen 1., 2., B., 4, 5. genügt, gehört ein Genus der Ordnui^ 0, welches wirklich primitive Formen enthält. Beweis: Es möge irgendeine Kombination der Charaktere i., Ii., lu. oder der Charaktere 0{p), C(4), C(8), ®(4) gegeben sein, welche keiner der aufgestellten Bedingungen widerspricht. Alsdann können wir leicht w ~ 1 Zahlen ^^ finden, welche zu den Zahlen 20j relativ prim sind und für welche die Einheiten G^(^), C^i^), C^(f), ©^(gs) gleich den gegebenen Großen C(pl C(4), C(8), ©(4) ausfaJlen. Da die Einheiten C^{^), C^(^), Cg(^), ^i{'p) nur von den Resten der Zahlen ^^ in bezug auf die Moduln 8o^ abhängen, so erhellt, daß für irgendein System von Zahlen tp/^, welches den Kongruenzen y^ = 9j (mod 8o,.) {h = l,2,.. ., n — 2, n — 1) genügt, gewiß auch die Einheiten C^((p), 0^((p), Cg(if), ©4(9)) gleich den gegebenen Einheiten C(p), C{4), 6'(8), @(4) sein werden. Wir wählen nun n Einheiten d^, tf^, . . ., d„, von welchen I gleich ~ 1 und n ~ I gleich + 1 sein mögen, und setzen ö^ d^ , . . d^ = £,,. Aus dem bekannten Satz, daß eine jede arithmetische Progression zS + s (s re- lativ prim zu S, s = — 00 ..., — 2, — 1, 0, 1, 2, ... -f-oo) sowohl unendlich viele positive als unendlich viele negative Primzahlen enthält, erkennen wir (mit Hinzuziehung eines einfachen Schlusses von h — 1 auf 7t), daß wir die Zahlen (pi^^ip,^ (mod 80j) (Ji = 1, 2, ,.., w — 2, « — 1) derart bestimmen können, daß die Größen E^tp,^ positive Primzahlen werden, daß die Zahlen (p^ zu 3en Zahlen 2ojOg...ö„_50„_^ ■ ^j_j relativ prim ausfallen und daß n — 1 Kongr-uenzen der Form [95,)= 1] — 0,,^i''^!,^h+i.9h-i9h^i — ^h ("lod e/g?J [9^^ (— 1)'] y Google Grundlagen für e Theorie der q^uadratiseiien Formen, 77 statthaben.*) Nachdem wir n — 1 derartige Zahlen 9^ gefunden hahen, suchen wir n — 1 Zahlen y,, y^, . . . , y„_j auf, welche den Kongruenzen 1 ''Ä+in+' jen, und 1 -■ = yh (nto x^, 80 kann sie dieser Form ^i'"' nicht äquivalent sein, und wir sehen somit, daß die Formen von 8 Variablen und der Determinante 1 mindestens zwei Formenklassen liefern. Entsprechend liefern die For- men von »i(= 8 -^ + )i(|, W|, < 8] Variablen und der Determinante 1 mindestens r^ + 1 Formenklassen. Denn es sind die -„- 1 + 1 Formen Tw - ?>'■'(»„ ■ ^ ., r-.) + ?>'"(«., ■ ■ ■, »..) + ■ ■ ■ + ?>"(».._., . ■ ■,». J + 2*»' (». = 0,1,.,...,[|]) sämtlich von der Determinante 1, und es können nicht zwei von diesen Formen einander äquivalent sein, da die Anzahl der Daratellungen der Zahl 1 durch eine dieser Formen qo,,^, gleich 2(n — 8m) ist und mithin für keine zwei dieser Formen denselben Wert erhält. III. Die Anzahl der sämtlichen Kombinationen der Charaktere i., II., III,, welche mit den aufgestellten Bedingungen verträglich sind, möge durch g bezeichnet werden. Wir wollen die Anzahl der Größen U^^iöje^^^ {h=l,2, . ..,n~2,n — 1), welche durch eine ungerade Primzahl p oder durch die Zahl 4 oder durch die Zahl 8 teilbar sind, von neuem gleich J. — 1, gleich fi — l, gleich v — \ setzen; die Anzahl der Fälle, in welchen zwei aufeinanderfolgende Zahlen ff^.iOjjffj^^ (A = 0, 1, 2, . . ., n — \,n) gleichzeitig durch 4 teilbar sind, sei gleich ii,, und die Anzahl der Fälle, in welchen ffj = 1, e4_30j_i6;i = = 6^o^^^ff^^3 (raod 4), o^=l (mod 2) (& = 1, 2,...,« — 1) ist, sei gleich ^„; femer möge /J- — f-o ^^^ Anzahl aller Invarianten 0^(h= 1, 2, . ..,« — !) bedeuten, welche gleich 2 sind. Die Zahl g, welche zugleich die Anzahl der sämtlichen wirklich vor- handenen Genera von der Ordnung 0: (•"'»■■■.'.-»».-.), z ergibt, erhält den Aue druck in welchem die Größen g^,, {ji^ — ^„), n3(}i^— jx,— ^„) die nachstehende Bedeutung haben: Es ist y('p-')+K".-i)+{'--') y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratisoten Formen. 79 worin die Summe ^(A ~ 1) über alle Größen }y zw erstrecken ist, eiche einer in dem Prodnil rio aufgellenden ungeraden Primzahl p nteprechen. Es ist Ic«-c „1-0, obald (tg — f( , > isl , nud (,, c,.)-( -If n-,.^ -1 \ h t»- = (mod 2)] \H -. 1 .UM) obald fio ~ /* -0, d t. (., -0, « = 2ft ist. Es wird o (ft(| — ii,— {i„) = 0, wenn (io — tt; ^ !>'„'> ist odec wenn irgendeine der Zahlen ö^.iö^öi+i (Ä — 1, 2, . . ., w — 1) kein Quadrat ist, dagegen wird f=l (."■0 - (*/ - ^u) = ^(m - 21) ■ ■— p},^_t-, I w-2/=| II 3 I 5 I7j0|2| 4 1 6 [(mod 8) 1 (d(w-2/) = ! i,-l|-l;l|l|o|-l|o| r wenn ji^ — (i, — ft„ = ist und die sämtlichen Zahlen e;,_iö^6^^i Qua- drate sind. Offenbar besitzt nach dem Satze IL eine Ordnung stets primitive Formen, wenn nicht g ^ ist. Man erkennt leicht, daß nur in den fol- genden Fällen g = werden kann: (cn = 0) wenn ist; weder oder oder ^0,^ = 0; ii.-O, ^„ = 0, (-1)^ 'J7"5^ — -1 (™<"* ■*) J = — 1) wenn alle Zahlen öä-i^ü^a+i Quadratzahlen sind und ent- ;ig = 0; ft, = 0, (t,, = 0, ^0= 1; f*> = 1? f*;, = 0, ,^0 = 2; ^,^2, ,a„ = 0. ra-2J=4 (mod 8) „-27=3,5 (modS; »1-2/ = 4 (mod 8) n-2J~A (mod 8) yGoosle 80 Zur Theorie der quadratisclien Pormen, Kap. XII. A^uugierte Formen. — Reziprozität zwischeu den /6i, ffg, ■■ ■, e„_a, 6„_i\ Ordnungen ( ], I Vöi, ög, ■ ■ ■, o^_a, ö„_l/ und " ^' " ^' M 7. Es sei (=^0,^x^X1. eine primitive quadratische Form von der De- i,i = i terminante A(/}. Der größte gemeinsame Teiler aller (« — l)-reiliigen Unter determinajiten -0--— ist gleich ä^_^. Setzen wir alao WO s = (— 1)^W ist, BO wird die Form f^'^alj^xfx, ebenso wie die Form f primitiv sein. Diese Form f soE der Form f adjungiert heiBeD, und wir schreiben fxf. N. Wenn die Form f einer Form 3 =^^^imJ/|!/,„ äquivalent ist, so ist die zu f adjungierte Form f der zu g adjungierteu Form g'=^, ^i^Vi'p'^ äquivalent. i,m=i Denn nehmen wir an, die Form f gehe in g durch eine Substitution über, so wird ''2^Q',^"':-'^s"'T- ■■'■■-" s Die Unterdeterminanten 8 ,. . . , stimmen dem absoluten (h»%> ■■■, \-i) Werte nach mit den Zahlen — LL = s'«-f + i überein, und wir erkennen leicht, daß die vorstehende Gleichung sich schreiben läßt y Google Grundlagen für eine TUeorie der quadratischen Formen, gl Demaach wird die Form f in g' durch die Substitution transformiert. Man findet noch jS'| = !S|""\ Wenn also jiSj = 1 and f-^g ist, so wird |5"| = 1 und f ^^ g ■ Die Substitution S' möge der Substitution S adjungiert heißen (S X S"). Wenn f vermittelst einer linearen Substitution in eine Summe von n Quadraten ^^xj+^z,. transformiert wird, so läßt sich die Form f in der Gestalb Kf) n-nj) sehreiben. Es gilt also die Beziehung m - lit') - 1 Wir bezeichnen die n — 1 Inyarianten ö, o, d der Form /" durch <, ö;.< (Ä= 1.2, --■,« — 2, n-1). Man beweist leicht den folgenden Satz: Wenn f der Form f adjungiert ist, wird auch f der Form f" ad- jtmgieri sein. Denn ist f" =^^,a^'i'>^i'x^' die zu f adjungierte Form, so gelten nach einem bekannten Determinantensatz die Gleichungen (ß^-^y^'-^K-Xk = (£<_8)""'-- g„' ^^^^'' (e<-i)""'- «ii, in denen £ = (— 1)' ist. Demnach ist der Quotient — immer positiv und für alle Werte von i und /.: derselbe. Da aber die Gi-ößen tt/j ebenso wie die Oji ganze Zahlen ohne einen geraeinsamen Teiler > 1 sind, so muß — = 1, d. i. /"'-/■ werden. Man kann die Ordnung der Fonn /" aus der Ordnung der Form. /" herleiten. Wenn wir die symmetrischen Ä-reihigen Unter determinanten der Form f und der Form f durch F^ und durch F^ bezeichnen, die unsymmetrischen aber durch P^ und durch P^', so bestehen nach einem bekannten Satz zwischen den F^, P^, F^, P/ die Relationen a. muß erstens der größte positive Teiler aller Zahlen (sd^_^''F^, inkowslcl, Oes&minelte AbhfuidliinBeii, I. 6 y Google 82 ZuK Theorie der quadratisoteE Formen. (E(?^_jy'JY ^^^ "i^^ größten positiven Teiler der Zahlen (£rö^_^y'~^F^_,^, {£d^_{}''~^P„__^ übereinstimmen; zweitens wird der größte positive Teiler der Zahlen (8d^_^)''F/^', {td^_^''2P^ dem größten positiven Teiler der Zahlen («d„_i)*""-^JP„_j, (erf„_,)^~^2P„_,j gleich sein müssen. Wir be- kommen demnaeh die Gleichungen Die Division der zweiten Gleichnng durch die erste gibt znnächst (39) V-e«-.,, öa'=-6„-a, ■■•, <-s -= 6,, Dann führt die Kombination der drei Gleichunger ('l».) adjungierte Form 9' eine Grundform der Klaase f für den Modul N vor. Denn offenbar sind die n + 1 Zahlen q;^' der Form cp' mit den w + 1 Zahlen tp,^ der Form ip durch die Gleichungen d.i. 9/= (— !)>„_,, (p/= (— l)V„_a, ■ ■-, 'P,;-2=(-l)>a- 9'I-i = (-iy9'i verbunden. y Google Grujidlageti fitr e Theorie der quadratisohen Formen. 83 f aus denen der Klasse f Demnacli sind die Charaktere der Eli ableitbar. Wir ecbließen hieraus ^en Satz: Geboren die beiden Formen f und g einem und demselben Genus an, so sind auch die ilmen adjungierten Formen f und g' in einem und demselben Genus enthalten. Infolgedessen werden zwei Genera allemal dann adjungieri heißen, wenn eine Form des einen Genus einer Form des andern adjungiert ist. Über die Darstellung ganzer Zahlen durch quadratische Formen. Kap. XIII. Hilfssatz. Es sei ein System Ton n-v ganzen Zahlen mJ(0 1 besitzen, ao können wir n(n — v) ganze Zahlen m/ (0 ^ ä < w, v^h<^n) so finden, daß die jj-reihige Determinante |m/! (ft,y( = 0, 1,..., n-l) den Wei-t i erhält.*) Beweis. — Dieser Satz ist evident, wenn v ~ ist; denn in diesem FaU kann man w/' = 1 (^ = k), u^ = (& ={= /*) nehmen. Ist v > 0, so wird der größte gemeinsame Teiler der n Zahlen %*, u^, . . ., m"_j in dem größten gemeinsamen Teiler der Determinanten (0, l,.,.,v-l) "(fco, \,..., K_i) enthalten und folglich gleich 1 sein. 1. Wir beweisen zunächst, daß, wenn der größte gemeinsame Teiler der n ganzen Zahlen Uq", u^", . . .', z(°_i gleich der Einheit ist, stets eine Substitution *) Gauß, Disquisitiones arithmeticae, art. 379. y Google 84 2tw Theorie der quadratischen Formen. S, ^,^_2's,*M^ (y, /s = 0, 1,,.., w-1) von der Determinante 1 gefunden werden kann, welche den w Gleiclinngen 2"»»-.".'-» genügt, d.h. welche die n Zahlen %=«/," durch die n Größen 0|, = 1, «,= 0, . , ,, v„_i = ersetzt. In der Tat, falls von den n Zahlen Uq", m,", . . ., u^_i nur eine einzige, etwa M;", von Null verschieden ist, so stellt diese Zahl offenbar zugleich den größten Teiler der sämtlichen n Zahlen u^ vor, und es wird demnach u^^ = ±l, ^ {u^y = l sein. Ist dann i = 0, so kann man als Substi- tution S die folgende wählen: «o=±s- K = ±\i "» = «.(^ + 0-0. in der i^ irgend einen von verschiedenen Index bedeutet; wenn aber i>0 ist, statt dessen die folgende: Falls aber unter den n Zahlen Wq", iii", . . ., u^_i mindestens zwei, etwa u^, u^ von Null verschieden sind, so wird ^^ («,,'')^>1, und wenn (li^y ^ {^k'T ^^% können wir eine Einheit i 1 so bestimmen, daß {uf'Y > (Wj* ±^ u^y ausfällt. Durch Ausübung der Substitution von der Determinante 1 erhalten wir dann n Zahlen T/o", Ui", . - ., U^^^ ohne gemeinsamen Teiler, für welche die Ungleichung 2'«)" >2'V.")- statthat. Nehmen wir an, daß der Punkt 1. unseres Satzes bereits für alle Systeme Uf,", TJ^, . . ., E7^_i ohne gemeinsamen Teiler, für welche die Größe ^ {U°y kleiner als ^ i^h^T ^^^t bewiesen sei, so können wir eine Substitution (r) von der Determinante 1 finden, welche die Zahlen r/o", [/,", . . ,, U^_i durch die Zahlen 1, 0, . . ., ersetzt, und die zusammen- gesetzte Substitution yS = W'Cs) ei^bfc alsdann das gleiche Resultat für die Zahlen m^", u,", . . ., u^_y y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratiscliea Foj 2. Bilden wir das Produkt c in welchem die Zahlen t(/(v ^h <^n) vorläufig unbestimmte Größen sein mögen, und des Systemes 80 ergibt sich « L System toii der Gestalt 0, .. in welchem die Größen Vj.''(l ^ h < v) allein von den s/ und den Zahlen m/ abhängen, während die Größen v^^(v^h <.n) sich durch die s,* und die gesuchten Zahlen m/ ausdrücken. Aus dem umstände, daß die Determinante 1 s/ 1 gleich 1 ist, erkennen wir, daß der größte gemeinsame Teiler der sämtlichen (v — l)-reihigen Unterdeterminanten des Sjstei (*i, K^d (k-l, 1) w- dem größten gemeinsamen Teiler der sämtlichen Unter determinanten (0, 1,...,>--1) (fco, K,--; K--d' d. i. der Einheit gleich sein wird. Nehmen wir also unsem Satz für den Fall n — \, v — 1 schon als bewiesen an, so können wir solche ganze Zahlen v^', . . ., «^_j (v ^h '\ =1 (/c, A = 0, l,...,n-l) wird, und hierdurcb ist unser Satz für den Fall n, v bewiesen. Da er gewiß für den Fall « — v, statthat, ei^bt sicli also seine Gültigkeit für die Fälle n-v + 1, \; M-v + S, 2;...; M, V. Kap. XIV. Darstellung eiuer Form von v Yariablen durcli eine Form TOii n Tariatilen. — Äquivalente Darstellungen und Dar- stelluugsgruppeu, I. Wir sagen, eine Form von V Variablen sei darstellbar durch eine Form von n Variablen (n > v), wenn die Form /' Termittels einer Substitution (r): x,-^r!'i, (i -1, 2, , , ,, »), in welcher die GErößen r/ ganze Zahlen sind, in (p übergeht. Für die Koeffizienten a^^ ergeben sieh die Gleichungen .-^.,. Aus denselben erhellt, daß der größte Teiler (/(, der sämtlichen Koeffizienten a,j in dem größten Teiler der sämtlichen Koeffizienten a^^ enthalten ist und daß die Substitution (r), welche die Form tp durch f darstellt, auch zur Darstellung der Form j" ^ I "^ ( durch die primitive Form-j- ^ j d~ f dienen kann. Infolge dieses Umstandes dürfen wir uns auf die Unter- snchuDg der Fälle, in denen die Form /' primitiv ist, beschränken. Im Folgenden betrachten wir insbesondere Darstellungen (r), für vfelehe der größte gemeinsame Teiler der f-reihigen XJnterdetenninanten y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratisclien Formen. des Systems , , i 11 (yj, rl, ■ ■ ■, t^ r^, rl, . . ., ft iv v) finden derart, daß die Deter- minante . ,, /■ ■/ 1 o \ den Wert 1 erhält. Die Form /' geht alsdann durch die Substitution R: 3,^^-^rn, (i = l, 2, ...,n) in eine äquivalente Form (t> über, in welcher die aus den ersten v Hori- zontal- und Vertikalreihen gebildete Form mit ip identisch ist. Wenn umgekehrt in der Klasse f ein Repräsentant <^ vorhanden ist, in welchem die aus den ersten v Reihen gebildete Form gleich 9 wird, so ergibt jede Subatitutioh, vermittelst deren /'in übergeht, eine eigent- liche Darstellung von ip durch f. Wir gewinnen aus dieser Bemerkung, in welcher die Form f nur als Repräsentant ihrer Klasse erächeint, den Satz : Durch zwei äquivalente l''ormen /" und jf können ebendieselben Formen

•')''■ (•'> *.-> >••/•'.'% (i-1,2, ..,«) y Google 88 2ui' Theorie der quadratischen Formen. anwenden. Hiemacli ist die Form ip durch f vermittels der Substitution darstellbar, in welcher (42) h'-^'-!-'' ist. Nach einem bekannten Satz gelten die Beziehniig« (*^1, 2, ..., «). :;:) \Jc,h = l, 2, .. d.i. ih'h' ■-■' O (h>h, ■■; i) Diese Beziehungen zeigen uns, daß der größte Teiler der sämtlichen ans- V Reihen der Substitution (s) gebildeten Unterdeterminanten gleich dem größten Teiler der sämtlichen aus v Reiben der Substitution (r) gebildeten Unterdeterminanteu ist. Folglieb ist die Darstellung (s) eine eigentliche, sobald (r) eine eigentliche Darstellung ist. Wir wollen die Darstellung (s) = (r) ■ (r) der Form ^!t der Darstellung (r) der Form tp äquivalent nennen und schreiben (r ) --v- (s^. Unter den v-reihigen Determinanten der Substitution (r) gibt es mindestens eine von Null verschiedene; es sei etwa + 0- (1, 2, ...,«) Wählen wir unter den Gleichungen (42) Werten i = %, % ■ ■ ■, % und h — k entsprechen und ] Koeffizienten t^* auf, so erbalten wir (4S) _V- (•', o. (i welciie den sie nach den ■ -. i,)^ Also können die Koeffizienten r/ vermittels der Größen r/" und s/ aus- gedrückt werden. Daraus sehließen wir, daß zwei verschiedene Trans- formationen (r) von (p in ij! niemals dieselbe einer gegebenen Darstellung (r ) äquivalente Darstellung (s^) liefern können. II. Wenn zwei Formen tp und i^ durch f vermittels zweier Substi- tutionen (r) und (s) dargestellt sind, welche die Bedingungen (1,2,.,., «)_^ (1,2,..., ,) ' (i„ i„ . . ., i,) " {i„ i„ . . ., i). ei-fnUen, so ist stets ^ r-^ ip und (r ) '~^ (s^). (44) ('- . . ., n') y Google Grundlagen fflr eine Theorie der quadratischen Tomien, 89 In der Tat: sind die Zahlen r^(h > v) so gewählt, daß die Suljstitution die Determinante 1 besitzt, und setzen wir s^ = r^ Qi > v) , so zeigen die Gleichungen (44) unmittelbar, daß die Subatitution gleicb&lls von der Determinante 1 ist. Die beiden Formen B-f-Ii und B -f-S '=V können wir schreiben etzen wir s^ = r^ Qi > v) , so zeigen die 1 die Substitution ■^",'1, (i - 1, 2, ■ . •. ») i = l 1 ist. Die beiden Form eiben dann wird Offenbar gilt Man erkennt also, daß eich vei-mittels der Substitution E-'S: L-J*.,',., (i_ 1,2, ...,«) in der '■'-^i^'"'* (i,t-l,2,...,n} ist, die Form in V verwandelt. Wie man leicht einsieht, lassen sich die Zahlen -^'—7' (*>»') mit Hilfe (1, 2, . ...v) der Größen *" / ■ - ■ -, und mittels Zahlen r/ {k > v) ausdrücken. Folglieh gilt also ^ 1 (i = 70 "^'-Oü + k) ^'>''^' und die Substitution It~^8 nimmt die Funn an y Google 90 Zur Theorie der quadratiaclien i'onneu. Wir finden sonach und die Form rp geht Termittels der Substitution in j/f über. Die Determinante dieser Substitution ist gleich der Deter- minante der Substitution It~'-S, d. i. gleich der Einheit, Mithin ist die Form

'^1f^\ (p '^ ^" und (r^) -^ (s^-), {»■^) -^ (si'")i s« ist (s^.) ^ (s'^l")- Wir fassen die sämtlichen Darstellungen einer Form die Form ^ «^^ §j §j, von v Variablen be- zeichnen. Es sei f die adjungierte Form von f, B': <=2'<*a; {i^l,2,...,n) die adjungierte Substitution von R und *l*''=^{«/i} (*, fc = 1, 2, ..., w) die adjungierte Form von 0. In Kap. XII haben wir gesehen, daß die Form f mit Hilfe der Substitution K in 0' Übergeht. Wir setzen die Form ^ (v/j 4/ i,i'. Yon n ~ v = v Variablen gleich tp'. Ist die Deter- der Form cf gleich G^d^^x- {ff) ^md die Determinante von qo' gleich S,' (i^._, ■ (')' ^^ gil'' '^iß Beziehung (,.)-(t').(~1)™. Wir wollen sagen, die Darstellung (/): ^-^n'S; (i-l, 2, ...,«) der Form {p' durch die Form /" aei der Darstellung (r): a>,-^rn, (i - 1, 2, . . ., «) der Form y durch die Form f adjungiert, und wollen uns des Zeichens (r^)x(r^-) bedienen. — Ans der Reziprozität zwischen den Formen f und f erhellt, daß, wenn die Darstellung (r^/) der Darstellung {r^) adjungiert ist, umgekehrt die Darstellung (r^) der Darstellung (r^-) adjungiert ist. Da die Systeme R und M' adjungiert sind, bestehen für die Dar- stellungen (r) und (r') die sämtlichen Gleichungen ,.., (1, 2, ..., v) ,(1, 2, ..., v') yGoosle 92 Zur Theorie der quadratischen Formen. in denen die Indizes i und i' so gewählt sein sollen, daß die n Zahlen ?\; M + 1 — */, »hgesehea von der Eeihenfolge den n Zahlen 1, 2, . . ., n gleich sind und die Permutation (h^h,---f%, n+l-i;„...,n+l-i,',n+l-i,'} aus (1, 2, . . ., n) vermittels einer geraden Anzahl von Transpoeitionen hervorgeht. II. Umgekehrt sind die heiden Darstellungen (r^) und (r^-) stets adjungiert, sobald sie die sämtlichen Bedingungen (45) erfüllen. In der Tat: seien die Zahlen p/* (/c > v') so gewählt, daß die Sub- stitution die Determinante 1 besitzt, und sei (f): ',-^l>,'i,+^Bfi, (.'-1,2, ..,,..) die adjungierie Substitution von (p'). Es wird dann (1, 2, ..., -)_(!, 2, ..., .■) "(.h, i„ ■■-, O" ft-, •.-, ..., V)' woraus eich wegen der Gleichungen (45) (1, 2, .., -)_ (1, 2, ..., v) (h,h, ■■;*.) ^i„%, ■■., ergibt. Wir erkennen nunmehr, daß die Substitution B: x,-'^r,n, + '^ltri, (i-1, 2, ...,«) die Determinante 1 besitzt und daß die adjungierte Substitution von R die Form erhält: ü': x; ^'^r;n;, +'^:Ri'il (i = i, 2, , . ., n). Also ist die Darstellung (r") in der Tat der Darstellung (r) adjungiert. ni. Wir können jetzt den folgenden Satz beweisen: Ist (J'^) "^ (Si;,) (y^i/j) und (j*^) >= (v)i i^'p)^^ {^'i'')) ^*' '^* stets (v)-(s;/)(9'-.V'') und WxCs^), (s^)x(v> In der Tat ergibt die Voraus s (1, 2, ..., v) (1, 2, ..., v) ,(1, 2, ..., v') ,(1, 2, ..., v') (*i- »8j ■■■, O (h. h, ■■; (V; V.---- V) (%. V?--'; V)' woraus unmittelbar die Richtigkeit der aufgestellten Behauptung folgt. y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen, 93 Dieser Satz zeigt, daß zwei äquivalenten Darstellungen stets die rten Darstellungen zukommen. Wir nennen zwei Gruppen von Darstellungeii (r), (/) i bald irgendeine Darstellung der einen Gruppe irgendeiner Darstellung der andern adjungiert ist. Aus dem vorstehenden Satz sehließen wir, daß, wenn zwei Gruppen von Darstellungen adjungiert sind, jede Darstellung der einen Gruppe jeder Darsteihing der andern adjungiert ist. Den sämtlichen äquivalenten Darstellungsgruppen, welche zu Formen einer bestimmten Klasse y von v Variablen gehören, sind äquivalente Darstellungsgruppen einer bestimmten Klasse cp' von v Variablen adjungiert. Die beiden IClassen ip und 95' besitzen hiernach eine gewisse Reziprozität in bezug auf die Formen f und f, und man kann sehr bemerkenswerte Relationen zwischen den Indizes, den Ordnungen und den Genera dieser beiden Klassen aufstellen. Wir leiten an dieser Stelle nur die Relation zwischen den Indizes her. Q. Bezeichnen wir durch J" den Index von ' gebildeten ünterdeterminauten gleich ö^d^^^Aj resp. e,'(Z/_iAj, so ist die Zahl J resp. J' gleich der Anzahl der sämtlichen negativen Größen aus der Reihe x— *- (h = l,2, . . .,v^ Ä^, = 1) resp. aus der Reihe xr^ (Ä = 1, 2, , , ., /; Ap.= 1), während die Zahl I gleich der Anzahl der negativen Größen aus der Reihe x~^ C' '"" 1? ^1 ■ ■ -i **) oder aus der Reihe . / (Ä = 1, 2, . , ., n) wird. Nun haben wir nach Kap. XII die Relationen Aft= (— !)'■ A,',_j, (h = 0, 1, 2, . . ., n): dieselben führen mit Leichtigkeit zu dem angegebenen Resultate. Von besonderem Interesse ist der Fall, in welchem die Form

' eine Ordnung y Google 94 '^111^ Theorie der quadratiBclien Formen, Kap. XVI. Darstellung von ganzen Zahlen dnrch Formen mit n Variablen. Wir wollen weiterhin inebeaondere den Fall betrachten, in welchem eine der Zahlen v, v gleich 1 ist. Es sei v =\, v = n^\. Wenn die Form f mit Hilfe der Substitution (f): T.,-tA (i_l,2, ...,«) in eine (einvariablige) E'orm i|^ übergeht, so wird die Zahl ö durch f vermittels der Zahlen (0- ^i=ii dargestellt, un 1 ent- halten, und die Darstellung x^^ = t; der Zahl h durch /' liefert die eigent- liche Darstellung iTj = — der Zahl -^ durch /'. Wir gelangen infolge- dessen zu allen Oberhaupt möglichen Darstellungen einer Zahl h durch eine Form /", indem wir die sämtlichen quadratischen Divisoren v^ von 6 aufsuchen und alle eigentlichen Darstellungen der Zahlen -j- durch die Form f bestimmen. Wir setzen die Form f als primitiv voraus. Zwei eigentliche Dar- steRungen (() und (C) einer Form i|^ oder einer Zahl 6 durch die Form f werden nach unseren Definitionen nur dann äquivalent sein, wenn die sämtlichen Grleichungen t^ = t^ (i = 1, 2, . . ., n) statthaben, d. h. wenn sie identisch sind. Infolgedessen sprechen sich die in Kap. XV aufgestellten Sätze für den Fall v = 1 folgendermaßen aus*): I. Zu jeder eigentlichen Darstellung (() einer Zahl h durch die Form / sind eigentliche Darstellungen (r) gewissei* Formen 95' von n—1 Variablen und der Determinante (— l)^ö^,I_2 ■ '' durch die Form f adjuugierfc. r. Zu jeder eigentlichen Darstellung (r") einer Form 95' von n ^ i Variablen und der Determinante (— 1)^ ^s =2" '**' '* **'■ Mit Benutzung der Summen können wir die Formeln (47) auch schreiben (48) ('=2'^*^'' ^"^'S^'"'^'"- Wir setzen | &/* I "" i 9'' I ' I *« I = I 9^ I '"^^ Da die Formen /"und f adjungiert sind, gelten nach einem bekannten Determinantensatze die Gleichungen ((-l)'.<_,6){(-l)'.<_,t„l-|(-l)'-<_,i,|l(-l)'-' gehört, sind nach dem Modul b kongruent. Jn der Tat, die Summen ^ K^-^+i ■ h ^ K-^i\i ■ K + K'-^ili ■ ^3 "( !■ ^n-i-n ■ K-i nehmen mit Hilfe der Formeln (48) und (46) die Werte au Es kommt also (51) 2 *«-'> + ! ■ '*" ~2'^'>--^'' ^C-, + i = (moib). {i= 1, 2, ..., n) Fassen wir irgendwelche n — 1 von diesen w Gleichungen zusammen, etwa aUe diejenigen, welche einem Index i^g entsprechen, so können wir dieselben nach den » — 1 Größen b;^ auflösen, und es ergibt sich j aiithmeticae, art. Ü8S. y Google Zur 'fhuorie der qaadratieoheLi i'omieii. vermittels der Koeffizienten ^/* der Darstellung (&') ausgedrückt werden können; es sind daher auch die Reste der Zahlen kK hK ■■; K^k nach dem Modul 6 durch diese Zahlen 5'/* voUstäudig hestimmt. Da die Darstellung (S^') eine eigentliche ist, können die n Zahlen t^, t^, ■ ■ ., t^ keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 besitzen, und es müssen sich daher unter diesen n Zahlen solche befinden, die zu einem beliebigen Primfaktor g von 1) relativ prira sind. Infolge dieses Umstandes sind auch die Reste der w — 1 Zahlen 6j für jede in h aufgehende Primzahl- potenz g* und mithin für den Modul 6 selbst eindeutig durch die Koeffi- zienten &^'' bestimmt, und hieraus geht unmittelbar das Behauptete heiTOr. Setzen wir jetzt voraus, man könne n Zahlen t^ i^, ^iK-i+\ "" ^) so finden, daß die Darstellung (%'') zu der Wurzel {6j) der Kongruenzen (50) gehört, und es möge (JJ eine andere, nach dem Modul 6 der Wurzel (6^) kongruente Wurael dieser Kongruenzen sein. Alsdann kann man n Zahlen t! { ^ Vn-i + i ^ ■'-) derai-t finden, daß die Darstellung (%■') zu dieser Wurzel (öj) gehört. In der Tat, es möge Z>^ = h,, + he,^ sein. Für die Zahlen t- müssen die Beziehungen (M) ''2<'-!'*^-^'- -^ ""'•--'■'•-'+• statthaben. Die Differenz der Gleichungen (51) und (51) ergibt sogleich (53) V-','-^ »/-*«.- Daraus geht hervor, daß die Bestimmung der Zahlen t^ jedenfalls nur auf eine einzige Weise möglich sein kann. Führen wir nun für die Zahlen tf die Ausdrücke (52) ein, so ist die Gleichung (51) wirklich erfüllt. Multiplizieren wir dann diese Gleichung mit t^ und bilden die Summe über alle Werte i = 1, 2, . . ., n, so bekommen wir ^■'^K-i+ih'^'^aikii yGoosle E Theorie der quadratischen Formoii. S<:-..A Die Darstellung [&') gehört also in der Tat zu der Wurzel (ÖJ der Kon- gruenzen (50). Ist insbesondere e^ == 0, J^ -= fcj(7i = 1, 2, . . ,, « — 1), so wird t/ ^t.'f^i^'l, 2, . . ., n). Man sieht demnach, daß es nicht zwei ver- schiedene Substitutionen (t') geben kann, welche dieselben Koeffizienten ■&/* besitzen und die Form /" durch dieselbe Form B' ersetzen. III. Zu den eben bewiesenen Sätzen gelangen wir auch auf folgendem Wege*): Es seien t^', t^', . , ., t^' irgendwelche Zahlen, welche ebenso wie die Zahlen i^', ifj', . . .,t^' der Gleichung genügen, und es möge die Form f durch die Substitution (ty- ".'-^».''ii+ii'i' (i-1,2 übergehea. Der Substitution (t') sei die Substitution ((): x,-t,i+^»,% (i-1,2,...,») und der Form S' die Form adjnngiert. Wie man aus Kap. XIV (II) ersieht, geht alsdann die Form B mit Hilfe der Substitution (()-'■(*): l-l+_2'«ri.> S.-l,. (*-l,2,...,»-l), in welcher *) Siehe GauB, Disquisitioi irithmeticae, art, 2 y Google 100 Zur Theorie der quadratischen Fonnen. ist, in die Form S über. Wir bekommen daher k — \ + ^ß/i . ih^h (mod b), und die beiden Lösungen (6,,) und (fi^] der Kongruenzen (50) aind in der Tat kongruent modulo i. Die Substitution {i')~^-ß'), welche die Form B' in B' verwandelt, läßt sich jetzt sehreiben (0-'-(ö: i;-i;-e..A' (ft-i,2,...,»-i), s-f. Durch Zusammensetzung der beiden Systeme (t") und {t'Y'^it") müssen wir zu dem System (t') gelangen. Auf diese Weise erhalten wir von neuem die Bedingungen (ö2). Führen wir aber für die Zahlen (/ die Werte (52) ein, so ist die Substitution (t') in der Tat von ^er Deter- minante ] und verwandelt die Form f in eine Form B', deren ad- juügierte Form B anstelle der KoeffizieDten &^ die Zahlen h,^ aufweist. IV. Man kann leicht die folgende Kelation beweisen, welche später Anwendung finden wird: (63) JJ».' - - (■•- 2)6S--/Jo.+ <>.»,'-^c,.<_,,.-.. In der Tat hat man 1-^1=1* »»Ig. d. i, * ' ^_^ (54) Ojöj . . . 0„_ad'= ^,hk'K-i,n-k- Die Determinante der Form B läßt sieh schreiben daraus ergibt sich Führen wir hierin statt der Zahlen hfi^ die Zahlen — "jCf;, -\-bhf,. ein und benutzen die Beziehimg (54)^ so bekommen wir sofort die behauptete Gleichung. V. Eis ist klar, daß es überhaupt keine eigentlichen Darstellungen der Porm g''=|ft/t] von der Determinante ( — lY-d'^_^-}) durch die Form /' geben kann, sobald nicht die Größen c t = f— 1)^- -y-. — ■■}?, ganze Zahlen werden. Sind aber diese sämtlichen Größen ganze Zahlen, y Google Grundlagen füi eine Theorie der quaduitiBolieii Foi-men. 101 80 wird eine jede eigentliche DareteUang (■&') der Form 9' durch f zu einer einzigen Losung (h^ (mod 6) der Kongruenzen - OjCf^^hfii. (mod i) gehöreUj und wir werden sonach alle mögliehen eigentlichen DarsteUungen (9'') der Form <-2'*."&' (i-1,2,...,«) von tp' durch /", und wir gelangen, indem wir sämtliche verschiedenen Substitutionen {t') von der Determinante 1 bilden, durch welche f in B' transformiert wird, ku allen überhaupt möglichen Darstellungen (ö'^')j welche zu der Wurzel (J'j) gehören, imd zwar zu einer jeden dieser Dar. Stellungen ein einziges Mal. Denn wir haben gesehen, daß zwei ver- schiedene Transformationen (t') niemals die gleichen Koeffizienten */*■■ darbieten können. Kap, XVIII, Index, Ordnuiig und Genus der durcli eine Form von n Varialblen darstellbaren Formen von n—1 Tariablen. Es sei eine primitive Form /= /, «ü^i^j ^"n einem Index I, einer Ordnung 0:1 '| und einem Gfenus G gegeben, und es möge die Zahl h vermittels eines Systems {iy. a;,. = i,. durch f dargestellt sein. Da die Koeffizienten a^^, 2a,.j sämtUch durch e^ teilbar sind, wird die Zahl ö den Faktor 6^ enthalten. Es bedeute S das Vorzeichen der Zahl & und m den absoluten Wert von - Dann wird ö = S-ß-^m. Wir betrachten insbesondere Zahlen 6, für welche die Größe m zu der Deter- minante Ä von f relativ prim ist. Wir nennen den größten gemeinsamen Teiler 1' der n Zahlen 1\ =^ o-iJt den Teiler der Darstellung (t), und sagen, eine Darstellung (t) sei primär, wenn ihr Teiler T gleich 1 ist. Eine primäre Darstellung ist stets eigentlioli; denn der größte gemeinsame Teiler t der n Zahlen tf. geht in allen Summen T^ und folghch auch in der Zahl 2' auf. Ist daher T=l, so wird auch der Teiler t der Einheit gleich sein. — Aus den Gleichungen (48) erheUt, daß der Teiler T der DarsteUung (t) in den sämtlichen Zahlen ?>, 6|, ig, ..., ?!„_, aufgehen wird. Andererseits ei'kemien y Google Grnndlagen für eine Theorie dar quadratiacheo Formen, 103 wir aus den Gleicliungen (öl), daß der größte Teiler der Zalilen h, 6,, in den sämtlichen Zahlen Tf aufgeht. Es stimmt demnach der Teiler T der Darstellung (t) mit dem größten Teiler der Zahlen h, b,^ überein. Die Kongruenzen h^O, 6^ = (mod T) ergeben unmittelbar A ^ (mod T). Folglich wird, falls die Zahl m zu A relativ prim sein soU, der Teiler T in ffj aufgehen, und eine [[eigentliche]] Darstellung (i) der Zahl & wird stets primär sein, außer in dem Falle, daß ff^ = 2, m^l (mod 2) ist und die Zahlen Tg alle gei'ade ausfallen. Der Darstellnug (t) der Zahl i durch die Form f ist eine Darstellung (ß-') einer Form y'=^ '^n^i^k ^^^ '^'^^' Determinante (~ iydj^_^-i durch die Form /"=^ »/tic/^j,' adjuugiert. Wir wollen die Beziehungen unter- suchen, welche zwischen den Indizes, den Ordnungen und den Genera der Form (p' imd der Form f bestehen. Index der Form go'. Nach dem Satze Q. (Kap. XV) muß der Indes der Form cp' gleich I oder 7—1 sein, je nachdem die Zahl b positiv (ß^l) oder negativ (iS = — 1) ist. Da der Index einer Form von « — 1 Variablen stets zwischen den Grenzen und n — l eingeschlossen ist, wird die Form tp' niemals durch die Form f darstellbar sein, wenn 7 = und 6 < oder I = n und J>0 ist. Ordnung dei' Form g>'. Es sei der größte gemeinsame Teiler der sämtlichen Koeffizienten b.'k der Form q)' gleich e', und es seien e^', Cj', . . ., ej_g die Invarianten o und t/, Tg', ..., T„'_ä die Invarianten a der primitiven Form ^- JEs gilt als- dann die Beziehung Wir bezeichnen durch §', q'' die höchsten Potenzen einer Primzahl g, welche in den Größen e', e^ aufgehen. Wir wollen jetzt die Zahlen e', Ej' durch die Zahlen ta^ ausdrücken. 1. Es bedeute zunächst g eine in m aufgehende Primzahl. Wäre die Größe e oder eine der ra — 3 ersten Invarianten c^', e^', ,.., ej_3 durch diese Primzahl g teilbar so müßten die sämtUehen ganzen Zahlen C;j = (— 1)^- -TT ^. , ■ ■ — gleichfalls durch g teilbar sein, und die Gleichung (53) gäbe _//";, oder A ^ (mod 3), was gegen unsere Voraus- y Google ]04 Zur Theorie der quadratiHcten Formen. Setzung streitet, daß die Zahl )w zu A relativ prim ist. Wir finden sonach für jede in m aufgehende Primzahl e' ~ 0; Ej'= 0, %'= 0, . . ., cj_j = 0, Wegen (55) wird daan die Größe g'n-a der größten Potenz von q gleich sein, welche ia ß^m oder in h aufgeht. Indem wir dieses Resultat für die sämtlichen in m enthaltenen Primzahlen q anwenden, erkennen wir, daß die Invariante e^_2 durch m teilbar sein muß. 2. Es bedeute jetzt q eine nngerade Primzahl p, welche nicht in m aufgeht. Da die Zahl b alsdann zu p relativ prim ist, so können wir die Zahlen (&^, b^, . . ., ^„_j), ^u welchen die Darstellung (S-') gehört, so wählen, daß sie neben den Kongmenzen (50) für den Modul b noch den weiteren Kongruenzen 6, = 0, 6^ = 0, ..., 6„^j=0 (modpO für irgend einen Modul p'(>^''n-i'''') genügen. Es wird alsdann o^c^j^ hbf^ {moäp^, und die Form S besitzt für den Modul 2» ' einen Rest , ..., (modp'). Schlösse, welche denen von Kap. III ganz analog sind, zeigen jetzt, daß die Forna ^ c^ sten in den Invarianten o dieser Form aufgehenden Potenzen von p bzw. gleich pK-s,pK-ii,.-.,p'"i sind. Andererseits müssen diese Potenzen gleich p'^-i,p'^-i, . . ., p'i sein; denn die Form {c^^j ist ein Multiplum der zu * adjungierten Form. Wir gewinnen also die Beziehungen Indem wir jetzt diese Werte der Zahlen e^' in die Formel (55) einführen, finden wir noch s'~ 0. Die Form rp' muß also in bezug auf jp primitiv sein. 3, Es möge endlich die Primzahl q gleich 2 sein. Gemäß unserer Annahme, daß die Zahl ni zu A relativ prim sei, werden wir die beiden FäUe m=l (mod2) und w ^ 0, A s 1 (mod 2) zu untersuchen haben. I. Wir betrachten zunächst den Fall m ^ 1 (mod 2). (6i= 1). Ist m diesem Falle ö'j= 1, so wird die Zahl h ungerade sein, und wir können infolgedessen die Zahlen (6j, h^, . . ., &„_i)? '^•^ welchen die Darstellung (&■') gehört, so wählen, daß sie neben den Kon- gruenzen (50) nach dem Modul b noch den Kongruenzen y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratisclien Formen. i, = 0, S, = 0, ..., S._,= (inod2') für irgend einen Modul 2'(> a„„i-2°«-i<^') genügen. Alsdann wird OrC,.^ SS 6b,.j (mod 2') und folglich h, , ..., Bs, 0, (mod 2')- o,V. Aas diesem Rest voü B ersehen wir, daß die Formte 1 1 gu 2 primitiv ausfällt, daß die Zahlen b', e,,' durch die Gleichungen (56) £'==0, e/-m/, %'-<, ..., g;_^ = (a,;_j gegeben sind und daß die Potenzen 0,l_^-2''-' mit den kleineren der Potenzen übereinstimmen oder, was auf daeselbe hinauskommt, daß die Invarianten fl,, _^ mit dea kleineren der je zwei Zahlen t;_j und <_.s_i-2'"i'^"'ä+-+™A überein stimmen. Wir woUen nun annehmen, daß die x^ — ^ 0- '^ ^i ^ *') ersten der Größen to^, nämlich a^, a^, . . ., a^ _^ gleich Null seien, während die %*^ dieser Zahlen, 1, eJ^^^^^^O, <^^,+s = 0, ..., <_s, = 0. Die % — 2 letzten Invarianten t^' können infolgedessen nach den in Kap. IV gegebenen Sätzen nur die Werte (6'.) <-„+.-l. <-,.+.-!. ■■-,<-. -1 oder die Werte annehmen. Der letztere FaR (57g) ist an die Bedingungen k^ — 1 := (mod 2) und x, — I > gebunden. Wenn also j(^= ü (mod 2) und auch wenn x^—l wird, erhalten wir stets i^^' = ö^' (A = 1, 2, . . ., » — 2), Ist dagegen «j ^ 1 (mod 2) und k^ > 1, so sind die Fälle (57^) und (ßl^) aUe beide möglieh. y Google 106 Zur Theorie der quadratischen Formen. Der zweite dieser Fälle tritt offenbar nur dann ein, wenn die Invariante T^j_2 gleich 2 ist, d. h. wenn die Zahlen Cj^ = i- (b\^ - 6-ä) = \, - b, (mod 2) alle kongruent (mod 2) sind, oder, was auf das nämliche hinauskommt, wenn die n — l Kongruenzen (58) h, = h,, (mod 2) [b = 1 (mod 2)] gelten. Wir können voraussetzen, daß der Rest f (mod 2) von der in Kap, ül angegebenen Gestalt f-^^j ist. Geht dann f durch die Substitution (<): >:,-t,i+^»,% (i-1,2,...,«) in IB über, so wird 6; = ij^j' + t^Q-^' -\ 1- t^&l, 6;; ^ ■&/ + iV + [- &i (mod 2), und der Fall (Ö?^) ist durch die Bedingungen (59) (f^_l)*/+(^_l).9.3^ + ...-|-((^-l)*;_=E0(mod2) (i=^l,2,...,n-l) gekejin zeichnet. Zu diesen Kongruenzen können wir noch die Kongruenz (60) (^i-l)^i+ft-l)^+--- + (*.,-l)'., = (mod2), die wegen (^((j— 1)^0 (mod 2) evident ist, hinzufügen. Da die De- terminante der Substitution (t) ungerade (= 1) ist, können die K^-reihigen Unter determinauten des Systems |;,,, »^\ V; ■•■. ■^ä""M ('* = 1-2, , ..,x^) nicht sämtlich gerade sein. Demnach gibt es unter den n Kongruenzen (59), (60) 3(j, deren Determinante ungerade ist. Lösen wir dann diese K^ Kongruenzen nach den X| Größen 'i — 1, ^j — 1, . . . , i;,^ — 1 auf, so bekommen wir ij _1 = 0, 4-1 = 0, . . . , (^^-1 = (mod 2). Man erkennt also, daß die Kongruenzen (58) die einzige Lösung t^ = l, t^^l, ..., t^^^l (mod 2) zulassen. (ö^ == 2.) Es sei jetzt t?^ = 2 und mithin h = d ■ a^m = 2 (mod 4), Die « — 1 Zahlen (&[, b^, . . ., &„_i) sind dann entweder alle gerade, oder es befinden sieh unter ihnen auch ungerade Größen. Im ersteren Falle wird 2"; ^^ a-iA — ("i^d 2) (-i = 1, 2, . . . , n), und folglich ist die ge- gebene Darstellung (t) der Zahl i nur im zweiten Falle primär. Wir wollen annehmen, von den Größen w^ seien die ^ii — 1 (l^^i^w) ersten, nämlich ra,, ca^, . . . , o3._, _i, gleich Null, während die x^'^ dieser y Google Grundlagea für eine Theorie dor quadrati sehen Formen, 107 Zahlen, g>„ , von Null verschieden sein möge, und wir woUen annehmen, daß der Rest f (mod 4) von der in Kap. III aagegebenen Gestalt /j^^j sei. Dann gelten die Kongruenzen r, H= t„ T^ = t„ Tg s t^, T^ = ti, ..., J\_i = t,^, 1\^ = t^^_^; y, = 0(motl2) (h>x\), und es werden die Zahlen T^ nur dann sämtlich gerade ausfallen , wenn (1 = 0, ig = 0, , . ., t.,^^Q (mod 2) wird. Diese Kongruenzen bilden demnach die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die n — \ Zahlen 5,, sämtlich durch 2 teilbar werden. Diese Kongruenzen sind jedoch mit der Aunahrae 6^2 (mod 4) nur in dem Falle verträglich, daß 2"'''0^ _^-^ = 2 und also 2"'''' = 2, ö^ +j = 1 wird. In der Tat, ist 2"'*'iff^ ^^ =0 (mod 4), so sieht man leicht, daß in dem Rest /"= 0,^, + 2'"^i/^'^l'(mod 4) alle Koeffizienten 2'"''ai^^\ 2"''''2 kongruent Null (mod 4) werden. Infolgedessen ist eine jede Zahl b, welche durch f vermittels gerader Zahlen t^, t^, ■ ■ -jt^ dargestellt wird, durch 4 teilbar. Wenn von den n — 1 Zahlen i^, \, . . ., \_i einige ungerade aus- fallen, so werden sich auch unter den Zahlen Cj, = — {r~^^~\~^Wi) ungerade Größen befinden. Die Form = ^,<^ik%^k ^i^*^ daher in bezug auf 2 pri- mitiv ausfalleu und sich in einen Repräsentanten verwandeln lassen, in welchem c^^l (mod 2) ist und die Koeffizienten Cj*, . . ., c*_g kongruent Null nach einem Modul 2'(>6„_^- 2""-!*^') sind. Bedeutet M den größten Teiler der sämtlichen Koeffizienten von 0, so wird die Form -^- der Form ^ adjungiert sein. Wir wollen durch —r die zu -=jj=- adjungierte Form bezeichnen. Dann ist die Form + 2_2''yi,+2'*.>w. yGoosle 108 Zur Theorie der quatlratiflcliBii Formeo. Wir erhalten die Gleichungen — ö^c*= \^—i- fioD, — öjC/*= tgii; — h ■ ^o;, — ^c^^ = ^j 6j — b ■ 6,.^. Da wir ?i 5s (mod 2) und c* s£ 1, c^* 55 (mod 2) vorausgesetzt haben, ergeben sich die Kongruenzen (.(,= 1; &j = 0, ..., &„_a^0 (mod 2). Die Darstellung (■&') bestimmt nur die Reste der Zahlen b/ nach dem Modul b [=2 (mod 4)]. Wir können daher die Zahlen so wählen, daß sie den Kongruenzen \ z3 C|* . . ., b^_^ = c*_a (mod 2'+^) genügen. Alsdann werden wegen b^h^ — b ■ bg^^^ — o^c^ die Kongruenzen h^^ ^ (mod 2') und wegen bfi^— b -b^^^ — Ci'^a "^'^ Kongi^uenzen t^^^O, 2c,^^0 (mod 4) statthaben, und die Form B wird fiir den Modul 2' einen Rest b, b. bo, ftoo (mod 2') liefern, in welchem & = 0, ^-o = * . ho^^> 5 = (mod 2) ist. Dieser Rest von S zeigt, daß die höchste in allen Koeffizienten c^ Potenz von 2 gleich 2"'"-2 + i ist, sowie für die auf 2 primitive Form | , die Invarianten 2"'(^ gleich 2""-3, . . ., 2'"'' und die Invarianten gleich 6,'_s, ■ - ■? ^1 sind. Indem wir dieaes Resultat auf den Rest der Form 4> (mod 2') an- wenden, erkennen wir, daß die Invarianten 2"'^ dieser Form gleich e^- 2""-ä, 2"'ii-3j , . .^ 2"'' und die Invarianten a dieser Form gleich ö,^_äj. ®n-3i ■ ■ ■? "^i' ^^^^- Andererseits ist offenbar, daß die Invarianten 2'"l^' der Form mit den Zahlen S'^-s, 2'"-», , , ., 2''' und die Invarianten s dieser Form mit den Größen t^_^, t^__^, . . ., T■^' übereinstimmen. Polg- lich wird E^'= (Oj', fä'= '■''s'? ■ ■ -J ^i_3= '^«-3? 2'''-S = 0j ■ 2"'«-2, y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 109 Führen wir diese Werte der Zahlen e^' m die Relation (55) ein, so finilen wir noch e' = 0. n. Wir betrachten endlich den FaU, in welchem m^O (mod 2) vind A ^ 1 (mod 2) ist. Ea sei 2" die höchste in m aufgehende Potenz von 2, Wir sahen in 1., daß die Zahlen s', s^' durch die Gleichungen k'=0, «/=0, < = 0, ..., <_, = 0, 2*« -3 = ff, -2° gegeben sind. Wir haben sonach nur noch die Invarianten r,' zu bestimmen. Die letzte dieser Invarianten, t'^_2, wird, da 2'"-^ ^ 2 ist, stets gleich i. Die übrigen w — 3 Invarianten t/ müssen nach den in Kap. IV gegebenen Sätzen entweder die Werte oder die Werte i/=.2, Ta'=l, ..., <_3 = 2 erhalten. Der letztere dieser beiden Fälle ist an die Bedingung « — 2 = (mod 2), also n^O (mod 2) gebunden. Außerdem muß, wie wir leicht einsehen, eine jede Invariante r^' die entsprechende Invariante ö^ als Faktor enthalten. Wir gewinnen daher das folgende Eesultat: Wenn w = 1 (mod 2) wird, in welchem Falle stets e^' = 1, e/ = 1, . . ., a_J_3 = 1, ff,i_i = 1 ist, so haben wir r^' = 1, ^3'= 1, . . ., t^_3 = L, r,^_g = 1; wenn dagegen n^O (mod 2) ist, so wird, falls a^'—l, e'a'^^ 1, ..., 6n_3= li e^_i = 1 ist, entweder t/= 1, t/= 1, . . ., r^_3^ 1, '^^^-3= I oder <— 2, r^' = 1, ..., <^3 =2, <^3 = 1, und falls ß/=2, <= 1, ■■■> ''n-s ^ !-■ ö'b-i ~ ^ wird, haben wir stets t^'=2, Ta'=l, ..., T;_g=^2, <_9- 1. Wir können die Sätze, zu denen wir gelangt sind, in der folgenden Weise zusammenfassen; Wenn eine primäre Darstellung (t) einer Zahl & = ä ■ s^m (m relativ prim zu A) durch die Form f einer Darstellung {&') einer Form y' von n — 1 Variablen und der Determinante (— l)^- (?^_sft durch die Form f adjungiert ist, so fällt y>' primitiv aus und gehört zu einer Ordnung h) (Ä=l,2,...,«-2), J'^I-^--\ deren Invarianten e^' den Gleichungen genügen und deren Invarianten t,' entweder die Gleichungen oder auch, falls ff, = 1, »» s k, := 1 (mod 2), x, > 1 ist, die Gleichungen y Google Zur Theorie der quadratischen Formen. (11) (II) <_,_+!= 2, <_,,^.,= i, ..., T,;_3=i, t;_s = 2, l<_;„ + I=l, <_.,+fl= 1, ■■■, <-3=l, <-S=l. oder, fulls x^= m, 6, = 1, ns =; Mj= (mod 2), )(j> 2 ist, die Gleichungen (V=2, <= 1, ..., <_3==2, <_a = l, Ui'= 1, ös'= 1, . . ., <_8 = 1- <-s = 1 erfüllen. Wir wollen die Ordnung der Form tp', je nachdem die Gleichungen (I) oder (II) statthaben, durch 0/(6) oder durch 0//(&) bezeichnen. Sei jetzt (p die der Form ip adjungievte Form. Aus dem obigen Satz erhellt, daß q? gleich _^c,.j|;gj, oder gleich — ^^c^jSjlt sein wird, je nachdem die Zahl h positiv oder negativ ist. Wir können daher qo = d ■ /;C;i.|^|j setzen, und die Fonn (p wird primitiv sein und der Ordnung (■..«.] angehören. Wir wählen die Form ^' in ihrer Klasse so ans, daß ip einen Haupt- rest für den Modul h vorstellt. Dann wird Cj* ftj*, . . . , c*_ (f; 0, 0, . ,, 0, 0, 0, . ., 0, 0, 0, . , 0, 0, 0, . ., (mod h), "('-" 1 wo c* zu h relativ prim ist, und den -^-^ — - Kongruenzen (61) _ o^c^ = \^ (mod h), — o^cr^ = hj)^ (mod 6), - o, c* = i>.$i_ (mod h) («,Ä=1, 2, ..., »-2) kann nicht anders gentigt werden, als wenn man (62) -ö,c* = V (modo) b,^0, h^ = 0, ..., i„_ä = (mod 6) hat. Es wird daher die Anzahl der sämtlichen inkon] {hg, \, . . ., ^„_a) (mod h), welche den - Systeme - Kongruenzen (61) genügen, y Google Grandlagen für eine Theorie der quadratiaclieii Formen. Hl mit der ÄnzaM der inkongruenten Lösungen feg (mod h) der einzigen Kongruenz (62) übereinstimmen. Diese letztere Anzahl ist, sobald die Kongruenz (62) überhaupt Iteine Lösungen besitzt, gleich Null, dagegen wenn die Kongruenz (62) lösbar ist und wenn in der Zahl b im ganzen ji ungerade Primzahlen p aufgehen, gleich 2'', falls & ^ 1 (mod 2) oder 6^2 (mod 4) ist, oder gleich 2"+^, wenn 6 i^ 4 (mod 8) ist, oder gleich 2/' + ä, faUs ö = (mod 8) ist. Genus der Form (p . Wir wollen jetzt zeigen, daß die Form tp' nur einem einzigen Genus Gi'Q)"} oder Guip) der Ordnung. O/Qi) resp. On{^ angehören kann und daß die Charaktere dieses Genus völlig durch die Charaktere des Genus G' der Form f bestimmt sind. Vergleichen wir zu diesem Zweck die Charaktere der Form tp' und der Form J5' in bezug auf einen Modul g' miteinander. Der Einfach- lieit halber denken wir uns die Form (p' als eine Grundform für den Modul q gewählt. Bezeichnen wir die aus den h ersten Reihen der Form B' und der Form tp' gebildeten symmetrischen Unterdeterminitnten durch 6^d^__iB^ und durch rj'(?,'_j9j', so bestehen die Beziehungen fl;B;=r,>;(/i^K-2) und (^ l)'-B,;_i=|- = Ö-wj. Die Größe (— 1)^ ■ T^_gfp^_ä stimmt mit dem Koeffizienten c* der Form d ■ ip über- ein, so daß wir die Kongruenz (62) auch (63) - (- I)^ ■ o,<,s<_s = \^ (mod 6^h) schreiben können. 1. Bedeutet zunächst g eine ungerade Primzahl p, .welche nicht in & und nicht in A aufgeht, so besitzt weder die Form tp' noch die Form B' einen Charakter C^. 2. Zweitens sei g eine ungerade Primzahl p, welche in i aufgeht und mithin zu A relativ prim ist. Alsdann besitzt die Form B' keine Charaktere , während die Form (p' den einzigen Charakter I "~^ V liefert, welcher wegen der Kongruenz (6ä) den Wert ( L_«ziäl erhält. 3. Wenn drittens q eine ungerade Primzahl p ist, welche in A auf- geht und mithin zu 6 relativ prim ausfällt, so stellt die Form B' eine Grundform für den Modul p vor, sobald vnr für g?' eine Grundform für diesen Modul genommen haben. Es besitzt die Form q)' einen Charakter (— I . wenn die Invariante e/ durch » teilbar ist, und die Form B' einen Charakter (— ^), wenn die Invariante O;' durch p teilbar ist. Nun ist y Google 112 Zur Theom der quadratischen Formen, offenbai- ein jedes e^' (h ^n ^ 2) dann und nur dann durch p teilbar, wenn das zugehörige 0/ durch p teilbai' wird. Demnacli zieht ein jeder Charakter (— ^) einen bestimmten Charakter (— -] nach sich, und es sind diese beiden Charaktere wegen G^B^^=r^(p^ gegenseitig diirehe in ander bestimmt. Es muß femer, wenn ö^_^^0 (modj)) wird, der Charakter f "-- j gleich 4. Endlich untersuchen wir die Charaktere für einen Modul q^ = 2'. I. Es möge zuerst m = 1 (mod 2) sein. Gehört dann die Form tp' zu der Ordnung 0/(b), gelten sonach die Beziehungen 3j''=t^' Qt^n — 2), HO stimmen die Zahlen ^^' mit den entsprechenden Größen B,^' überein, und es werden die Größen Ty'.iCj'Tj'^.^ {Ä ^n — 2) nur dann den Faktor 4 oder 8 enthalten, wenn die entsprechenden Größen ffj'_i''i'ö'/+i (h^n — 2) durch 4 oder durch 8 teilbai- sind. Infolgedessen wird jeder Charakter C4, Cg, S4 der Form ' för die Moduln 2' können durch diese Einheiten (— 1) ^ und |— ; — \ und durch Charaktere (7, aus- Kap. XIX. Über den Iiil)egriff der Darstellungen einer ganzen Zahl durch die verschiedenen Formen eines Genus G. Bekanntlich gibt es nur eine endliche Anzahl von Formenklassen, welche dieselbe Determinante A und denselben Index I aufweisen. Da nun die Formen, welche einem uud demselben Genus angehören, gewiß dieselbe Determinante und denselben Index besitzen, so wird infolgedessen auch ein jedes Genus nur eine endliche Anzahl verschiedener Klassen be- sitzen. Es sei ein bestimmtes Genus G von Formen gegeben; wir greifen aus jeder seiner Klassen irgendeinen Repräsentanten heraus. Wenn das Genus G sich im ganzen aus g verschiedenen Formenklassen zusammen- setzt, bekommen wir auf diese Weise g untereinander nicht -äquivalente Formen f^, f^, . . ., f^, und es ist klar, daß eine jede Form des Genus G einer und nur einer dieser g Formen äquivalent ist. Daher wird das System dieser g Formen f\, f^, ■ . ■, f^ ein vollständiges Formensystein für das Genus G genannt. Man erkennt leicht, daß die den Formen Z'^, /"j, . . ., /"^ adjungierten Formen /*/, f^, ■ . .,fii ein volletändiges Formensystem für das dem Genus G adjungierte Genus G' bilden. Bezeichnen wir durch G^ip^ irgendeine durch Formen f des Genus G darstellbai'e ganze Zahl, für weiche l oder 6i = l, m = %^ = 0{moA2),x^>2 ist, außerdem ein bestimmtes Genus G'^jih) definiert haben. Wir verschaffen uns jetzt ein vollständiges System von Formen ip' ftir das Genus ffj{&) und, falls das Genus Gjj(h) zulässig ist, auch für das Genus G'^^ih). Als- dami wird jeder primären Darstellung der Zahl 6 durch eine der Formen f eine einzige Gruppe von Darstellungen einer einzigen dieser Formen ip' durch eine der Formen f adjungiert sein. Wir erhalten mithin sämtliche möglichen primären Darstellungen der Zahl b durch die f, indem wir für jede der Formen (p' die sämtlichen nicht-äquivalenten Gruppen von Dar- stellungen durch die Formen f aufsuchen. Für eine bestimmte Form (p' = [hl^] kann dies auf folgende Weise geschehen: Wir denken uns der Einfachheit halber ip' so angenommen, daß die ihr adjungierte Form y — (^ -{cn,} einen Hauptrest für den Modul b vor- stellt, und bezeichnen durch (—iy-3r^_^^tp^_^ den ersten Koeffizienten dieser Form (p. Infolge der besonderen Wahl des Genus G'^(h) oder zu- treffendenfalls des Genus G'^j(b) ist gewiß die Kongruenz — (— ly ■öiT^„a9D^_a:=^D^ (modffji) auflösbar, und wir schließen hieraus mittels der in Kap. XVIIl gegebenen Sätze sofort, daß auch die „ — Kongruenzen (50) -OiC;i=&f&t (modb) lösbar sein werden. Es sei N die Anzahl der sämtlichen inkongruenten Lösungen (&i, 6^ ■ ■ ■> \-i) (löod J) dieser Kongruenzen. Enthält der Modul h genau ^ verschiedene ungerade Primzahlen, so ist die Zahl N, wie wir sahen, gleich 2'', wenn 6 = 1 (mod 2) oder 6 = 2 (mod 4) ist, gleich 2" ■•■ ^, wenn & = 4 (mod 8) ist, und gleich 2'' + ^, wenn 6 = (mod 8) ist. Eine jede Gruppe von eigentlichen Darstellungen der Form q;' durch eine der Formen f^, f(, ,..,/" muß jetzt zu einem und nur zu einem dieser N inkongruenten Lösungs Systeme (6^, \, . . ., ?i„_i) (mod 6) der Kongruenzen (50) gehören. Um die Darstellungen von gj' zu finden, welche zu einer bestimmten dieser N Wurzeln (6^, 6^, . . ., 6„_i) gehören, können wir folgendermaßen vorgehen: Wir s ^„„ i±^iPk B^bl^^^^\%%,^^\M,- yGoosle Grundlagen für eine Theorie der quadratisoben Foimen 1 15 Da wir gezeigt haben, daß der Index, die Invarianten und die Clia- : des Genua G' auf eindeutig bestimmte Weise duich den Index, die InYarianten und die Charaktere des Genus G'/fi) odei de« Genus G^,(&) dai^eeteUt werden können, muß jetzt das Genus der Furm J3 mit dem gegebenen Genua G identisch sein. Daher besitzt die der Form B adjun- gierte Form die Gestalt und gehört dem Cfenns G' an. Diese Form B' wird daher einer und nur einer der g Formen f^', f^', . . ., f^ äquivalent sein, die wir mit f bezeichnen wollen. Es gibt dann keine Darstellung Ton if' durch eine der übrigen g — l von f verschiedenen Formen f^, welche zu der Wurzel (&j) gehört. Dagegen sind wohl Darstellungen von l oder öj = l, wi^^^O (mod 2), «j > 2 ist, aus dem Genua G'jj(b), und es be- deute q5={cjj} die zu rp' adjungierte Form. Aus jeder Lösung der ~-^— Kongmenzen (50) -o^c^^=\b, (modo) entspringen (nach Kap. XIX) B = -7j-^ verschiedene Darstellungen der Zahlfc durch eine bestimmte Form f aus der Reihe der g Formen /^, ^i ■ ■ i fy Für das Maß M^ dieser li Darstellungen erhält man daher M.- !(I1. Y) t(/) ti 2 wird, gleich dem N-fachen Maß der beiden Genera G'j{h') und GjjQi). Kap. XXI. tlber die Auzahl der Darstellungen einer ganzen Zahl durch eine Summe von fünf Quadraten. Die Anwendung des zuletzt gewonnenen Residtates auf den Fall K = 5, A =1 verschafft uns einige interessante Sätze über die Darstellung von ganzen Zahlen durch eine Summe von fünf Quadraten. y Google 118 Zur Theorie dei quadratisctcn Foi'men. Bekanntlicli bilden die positiven Formen mit fünf Variablen von der Determinante 1 eine einzige Porraenklasse, welche durch dio Form repräsentiert werden kanE. Diese Form ^gehört dem einzigen Geschlecht G der Ordnung m::;;::;:::1;::1)--° au, und sie repräsentiert zugleich, da alle Formen dieses Geinis die Deter- minante 1 besitzen müssen, die einzige Klasse dieses Genus. Der Form f ist die Form f = ■^i^ -H sc'^ + ^4^ + 3^4^ + ^5^ adjungiert, welche mit f identisch ist. Das Maß der Klassen / und f oder des (Jenas G ist, wie man ohne weiteres erkennt, gleich 1-2. 3.4-6-2' 2'-3-5 1920 M^ Bezeichnen wir für einen Augenblick die Anzahl der sämtlichen Systeme a^^ ohne gemeinsamen Teiler, welche einer Gleichung f{x^ = m genügen, mit (jw)^, so ist das Maß der eigentlichen Darstellungen einer Zahl m durch eine Form des Genus G gleich jri^ . Da A = 1 ist, so wird eine jede beliebige Zahl »» zu A relativ prim, und es können die Größen KJ^ nach dem in Kap. XS bewiesenen Satze durch das Maß des einen Genus Gj{m) oder der beiden Genera Gj(m) und {?Jj{i») von Formen mit vier Variablen ausgedrückt werden. Wir haben infolgedessen, um zu einer Kenntnis der Größen {m\ zu gelangen, nur die Maße dieser Genera auf- zusuchen. Die Form f ist ein Hauptrepi-äsentiint für den Modul 2; es ist s, = 1 und Äj = 5 = 1 (mod 2). Wir müssen demnach für eine Zahl m die Dar- stellungen Xj = (j, in welchen die fünf Zahlen t^ nicht alle ungerade sind, und die Darstellimgen X; = t^, in welchen t^^ t^^ tf^^ t^^ i^^l (mod 2) ist, voneinander unterscheiden. Die Darstellungen (t) der ersten Art sind mit Darstellungen von primitiven Formen (p' des Genus G:(m): h~ ' ^T '''\'^^ y J'^Oi -ffi'=X^ (modm) Ve^ = 1, ßj = 1, ßg = m/ adjungiert, während die Darstellungen (ß) der zweiten Art mit Darstellungen primitiver Formen und p eine beliebige positive Größe bedeutet, und in welchen die Variablen x^, ic^, . . ., x^ Systeme von n ganzen, nicht sämtlich versehwin- denden Zahlen durchlaufen soUen. 1. Es sei JV eine ganze positive Zahl und a^, Oj, . . ., «„ irgend- welche n Reste für diesen Modul N. Wir wollen zunächst für die Größen x^, x^, . . ., x^ alle Systeme von ganzen Zahlen einsetzen, welche nach dem Modul N die Reste «,, «g, , . ., k^ lassen, das sind alle Systeme von der Gestalt {x) iKj^ Nvi+ dj, («f= — oo, ■ ■ ■, — 1, 0, 1, •■■, + co) (wobei das System x^^O, x^=0, . . ., x^= 0, faUs ea gleichfe.Ua von der Form NVf-{- a^ (i = 1,2,..., n) ist, stets ausgeschlossen wird). Da die Form f positiv ist, so nimmt für jedes einzelne dieser Wertesysteme (x) der Ausdruck {f(x^, x^, . . ., a;„)| * einen positiven und von Null ver- schiedenen Wert an. Wir woUen die Anzahl aller derjenigen unter diesen Systemen, für welche die Größe {f(xg)]^ nicht größer ausfällt als eine positive Größe (, durch r bezeichnen. Anstelle der Ungleichung können wir schreiben -t,^+_^; a^^N^^A,^. setzen, auch ^^ Der Grenzwert des Verhältnisses -r- für ein unendlich wachsendes ( wird nach einem bekannten Satze von Dirichlet gleich dem w-faehen Integral yGoosle Grundlagen füi eine Theorin der quadratiBohen Formen. 121 in welchem die Variablen |; alle diejenigen Wertsyeteme zu durcMaufen haben, für welche die Ungleichung erfüllt ist. Dieses Integral erhält nach Dirichlet den Wert j= .ii rh-f^ Uli in welchem |.4;j| die aas den n^ Größen Ä^j. gebildete Determinante be- deutet. Diese Determinante ist wegen A^^^ (^a^^ gleich \a.j^\^^"'=A-N^''. Ferner wird bekanntlich die Gfröße fi-gt = it^ , während fll +Yy, je nach- dem w gerade oder ungerade ist, den Wert l-L' 3-- " - "."-^ ^ f oder den Wert 2 2 2 2 ' U; 2 2 annimmt. Wir können mithin n — 2h\ ni setzen, und wir tiekonimen r '^"^ Der Grenzwert des Quotienten — für ein unendlich abnehmendes -j- ist hiernach endlich. Infolge dieses Umstandes konvergiert nach einem weiteren Satze von Dirichlet die unendliche Heihe „^-y i__ /x^^Nv^+K^, Vf= — CO, ■■■,— !, 0, !,■■■, + \ [/(^,)]"^""^" ^ '^^^' ''" ■ ■ ■' ""'^ + ^^' 0,...,0) I für ein jedes positive p, und es wird der Grenzwert von p ■ S für ein positives unendlich abnehmendes p gleich 5 = Ist der Modul N gleich 1, so haben die Variablen x^ alle mögliehen Systeme von ganzen Zahlen mit Ausnahme des einen :ri = 0, x^^O,. . .,x„—0 y Google 122 Zur Theorie der quadratischen Formen. ZU durchlaufen, und der Limes vonp-5 nimmt seinen größten Wert 2. Wir wollen jetzt annehmen, daß der größte gemeinsame Teiler der n Zahlen cc^ zu N relativ prim wird, und wir wollen den n Größen «; nur solche ganzzahligen Werte erteilen, für welche die n Zahlen x^= ^%-\- «^ ohne gemeinsamen Teiler ausfallen. Anstatt der Summe S erhalten wir dann eine kleinere Summe S„. Bezeiehnen wir die verschiedenen in N aufgehenden Primzahlen durch ■Qir %} - ■ ■) Sj/ ^^^ setzen wir s..-^i = ? + l= + i+-. ^.(if) = jy(i-i)(i-i)...(i-i) = F-m,, so wird der Gfrenzwert von p ■ 8^ für unendlich abnehmendes q gleich Wir bemerken, daß wir den hier auftretenden Ausdmek ^„(N) in 'ähnlicher Weise definieren können wie die speziellere Funktion ^.(») = F(i-i)(i-i)...(i-i). Denn wir haben den Satz: Lassen wir jede der n Zahlen cCf die sämtlichen N Werte 1 , 2, . . ., iV durchlaufen, so gibt es imter den N" sieh dabei ergebenden Systemen gi„{jV) Systeme, für welche der größte Teiler der n Größen «^, c^, . ,,, «„ zu N relativ prim wird. Man kann leicht die folgenden Relationen beweisen, in denen die (jröße m alle ganzen positiven und zu N relativ primen Zahlen durch- laufen soll: 3. Wir leiten jetzt eine TJuiformung her, welche für die ' Untersuchungen wichtig ist. Wir wollen mit m oder m^ aUe positiven und zu N relativ primen ganzen Zahlen und mit q', q", . . ., g*''* die ver- schiedenen ia einer Zahl m aufgehenden Primzahlen bezeiehnen. Es seien 'ii;{m) und M'{m) zwei Funktionen, welche den Bedii^^ungeu yGoosle Giundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. Die Über alle verschiedenen Zahlen m ausgedehnte Summe ist für jedes positive p konvergent. Indem wir die Zahlen m in ihre verschiedenen Primzahlpotenzen q' zerlegen, erkennen wu-, daß die Summe ^ gleich dem über sämtliche in N nicht aufgehenden Primzahlen g ausgedehnten Produkt 27 [1 + (1 + i'(q))'V(q) + (1 + *(röH'(s'^ -1- (1 + r!'la))'V{q') + ■ ■ ■] ird. Die Einzelglieder dieses Produktes sind wegen T(g') = [M'((j)]' gleich 1 + '" i-f« [1 - T »Hl -♦(!) ■*(«)] godaß wif 11 1 — V(g)'ii 1- ^ n ^ bekommen. Nun gilt, wemi man "J" = Y oder — fliV oder =^(i^V* nimmt, stets und hieraus geht sofort die Identität hervor. n. (n = 2.) Bekanntlich haben zwei positive binäre Formen f, welche demselben Genus angehören, stets dasselbe Maß 777;(=y *'*^^^ ~T oder = -r) ■ Infolgedessen ist das Maß eines Genus f von Formen mit zwei Variablen gleich der mit der Konstanten t^ multiplizierten Klassen- anzahl dieses Genus und kann daher mit Hilfe der von Dirichlet auf- gestellten Formeln bestimmt werden. So findet sich z. B., wenn N irgend- eine Zahl kongruent 1 (mod 4) ist und Pj, P^, . . ., P^ die verschiedenen in N aufgehenden Primzahlen sind, das Maß eines beliebigen Genus C;:^). m (*=^-^ ') gleich y Google Zur Theorie der qnaclratiselien Formen. '*(*) = hS {'^ i ^"^ ^^^- p^"- ^" ^-^^ ist [h{N)>0]. (n = 3). Wir tetraehten jetzt eine Ordnung 0: von primitiTen Formen mit drei Variablen. Dieser Ordnung wird die Ordnung Vö, 0/ adjungierfc sein. Wir beschäftigen uns insbesondere mit dem Fall, in welchem die In- varianten und o' alle beide ungerade sind. In diesem PaUe wird 6 = 1, 6'=^ 1; ^ 1, o'^ 1 (mod 2). Wir bezeiclmen die Primzahlen, welche in aufgehen, durch ij, 4i ■ ■ -i 'a-i ^^^ Primzahlen, welche in o' aufgehen, durch ij', t^', . . ., t'^,, die Primzahlen, welche in o, aber nicht in o' auf- gehen, durch p^, pg, . . ., pg, die Primzahlen, welche in o', aber nicht in o aufgehen, durch p{, p^', . . -, J'j-, endlich die Primzahlen, welche sowohl in als in o' aufgehen, durch r^ = r,', r^ — r^', . . ., r^~ r^, (t = r"). Die Zahlen t bestehen aus den Zahlen p und den Zahlen r, die Zahlen (' aus den Zahlen p' und den Zahlen r'; mithin ist & = d -}- t, &'= d'-\- r'. 1. Es möge eine in der Ordnung auftretende Grundform für den Modul 2öo' und ' ihre in der Ordnung 0' auftretende adjungierte Form sein. Setzen wir den ersten Koeffizienten von (£) gleich q) und den ersten Koeffizienten von (f' gleich ip', so besitzen die Formen und ' die & -'f &' Charaktere ««^ (B'(B &■ ©.©•■■■'©. welche der Gfleiehnng genügen. Wenn die Form Hauptrepräsentant für einen Modul N ist, so läßt sie sich schreiben y Google (ine Theorie der quadratischen For >, 0, ^' 'V'' ^ (modN). Indem wir N =- 1 oder N^p' iinnelimeii , erkennen wir hieraus leicht, daß die Anzahl der Lösungen der Kongruenz cD(§,J„£3) = (modO resp. {i,/i,,Q = o' (mod 4) den Wert 2^(2 — 1) oder 2^(2 + 1), je nachdem die Einheit gleich 1 oder gleich — 1 ist. Unter diesen 2^(2 — T) Lösungen der Kon- gruenz ') über, in welchem die Charaktere C{(p}, C'(ip') gegebene Werte (1 oder — 1) besitzen. Wir bilden zunächst ein vollständiges Formensystem 0^, 'P.j! ■ ■ ■t'^x für das Genua G. Eine zu 2oo' relativ prime, positive Zahl m, welche = 0' (mod 4) ist, kann offenbar nur dann durch die Formen * dargestellt werden, wenn die Einheiten C(m) gleich den gegebenen Charakteren C(tp) sind. Sobald aber die sämtlichen Gleichungen C{m) = G{(p) statthaben, wird, wenn wir annehmen, daß die Zahl m die n ungeraden Primzahlen j^, 2^, ..,, g^ ent- hält, das Maß der eigentlichen Darstellungen von m durch die Formen y Google 12(5 Zur Theorie der quadratiscten rormec. gleich dem ^''-fachen Maße des Genus - („l)-(l') = (?).(!) = (^' d. i. gleich —g:,Yo'm-h{o'in) {t(^i))-' Wir bilden jetzt die Summe in weleliör die Gfrößen §i, Ig, I3 alle verschiedenen Systeme von ganzen Zahlen ohne gemeinsamen Teiler durchlaufen sollen, flir welche 'I'i(li, la? Ij) ^^ 2oo' relativ piim und e:e 0' (mod 4) ausfällt. Diese Systeme %^, I3, I3 sind, wie sich aus dem in 1. über die Kongruenzen 0^0 {mod () oder (mod^') und = 0' (mod 4) Bemerkten ergibt, in i(i-i)(W).(2..')..n[t-(=,-r)i] arithmetischen Reihen enthalten. Der Grenzwert von q ■ ^' für ein unendlich abnehmendes p wird infolgedessen gleich i(.-i) bedeuten werden. Mithin können wir schreiben ■y _ _l_ -y yo'm-Ho-m) ^C(ßl) = G{>) j Ko'm^l (mod4)/ Ein Vergleich der beiden für den Grenzwert L gewonnenen Aus- ücke ergibt die Formel y Google Grnndlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. (-4) ^^"■■>-nb-mv]-m~(=^'H]- . / ^>-^'.(o-.)n['-(--f")i] [o'o'o. äa 1 (mod 4); C(«>) - C(ip)] Dieselbe verwandelt sich, indem wir ^=^-i7[i+ß^)?]n[i+(=-f')}]- 'rT(i-^)-(iA)-^. setzen, in (66) (ii«»3^2«0.-.JI._ii„/ yy?*(«-i^\. /»■»'.»-! (mod4)\ 2''.(aoo-)..2S. V "" „{"*« I \C(m)-C(s) I Beachten wir nun, daß das Maß des Genus a-- ('l l),o('f),o'{y M.:^._»0\ _ /o'^om'E.1 (mod4A ^ 2».('2oö%-2S, V ^ ^,\i^^'^ } \C'{m') = C\^>') } Wir ergehen jetzt aus der Gleichiiiig (65), daß die Größe M^ von den speziellen Charakteren C(y') unabhängig ist, und ans der Gleichung (GÖ"), daß die Größe M^ von den speziellen Charakteren C(0 ist, gleich \I)r'\ = {I)r\. Ist aber s = 0, so kön wir die Summe |D; 0) _ lim L y&hS3A\ /^^.= 1 ("»•ä *)) V ^ Ji.fc + « I U rel, pr. ™ DrI in zwei Partialsuramen i^ und L_ zerlegen, indem wir alle diejenigen GKeder von {D; 0}, für welche li^ quadratischer Rest von r ist, in eine y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen. 129 Sunime L^ und alle diejeuigen Glieder von {!); 0), für welclte Ü^, qua- dratiseher Nichti-est von r ist, in eine Summe L_ zusammenfassen. Jeder der beiden Grenzwerte X,(£ = + l, —1) läßt sieh schreiben L,_- '-^T 1^' -B.' \I),- K-)- (0 daß sich jrgibij. Demnach finden wir ■ -t+ + i_ - - \J>\-{J)r\ /--l^ + y+i. + '-A-l-B'- ■|^(-^)' für s>l: {I>/^) = {J)r} Durch eine wiederholte Anwendung d Gleichung (66) |D1^ '^^ • Formel gi nimmt jetzt die Form an "" ■{2<,ö\-""24""" " = iöö'l Die Größe jJ/d ist mithin eine Konstante; wir bestimmen dieselbe ans dem Maß des Genus | ' J . Bekanntlich ist dieses Maß gleich — , und es wird folglich M.^ = t-; ■ Dieser Wert von M.^ kann auch direkt mit Hilfe der Formel (66) hergeleitet werden. In der Tat, nehmen wir an, daß die Größe li die sämtlichen ungeraden Primzahlen enthält, die unterhalb einer Größe Q liegen, so werden die Grenzwerte der Ausdrücke 4^, (-0)ai (^)3 ^i^i' Q = oo bzw. gleich g— ■ und folglich it/^ = -— =- Ss ■ (2)7^' m^; Wir hnden also {1J = -,-^^^ Minkowski, GestunmelU AbliandliLneeu. i. y Google 130 Zur Theorie der quadratischea "Formen. Wir gelangen auf diese Weise za dem folgenden Resultate: Das Maß eines Genus f^' ^,], C(^), C'{fp') \o,o'^l (mod2)] \o, / ist gleich Dieser Satz, ist bereits von Eisenstein In Band 35 von Grelles Journal angegeben worden. luabesondere schließen wir hieraus für das Maß eines Genus ^ ■ U, ml' \V)' wenn die Zahl m ungerade ist und im ganzen jt Primzahlen g enthält, die Gleichung *=Sh+T(-ir'©J^^n[i + (= Mit Hilfe ähnlicher Betrachtungen können wir auch das Maß eines beliebigen Genus von Formen mit drei Variablen bestimmen. Wir erwähnen hier nur noch den hesoudei'en Fall, daß das Maß eines Genus T- Ql,), (f). (-1)' ■"'--! |.«==I(-od2).| gleich ist. in. (w — 4). Wir werden die Ordnungen /i, 1, n u, 1, W 0/0): untersuchen, welche eine so wichtige Kolle in der Theorie der I ganzer Zahlen durch eine Summe von fünf Quadraten spielen. — Es möge 2" die höchste in d aufgehende Potenz von 2 sein. Setzen wir c? = 2' ■ c?Q [d^ ^ 1 (mod 2)] und bezeichnen wir mit p^, p^, . . .^ Pf, die in dg enthaltenen ungeraden Primzahlen, mit ', wenn tp^ den y Google GrundlageJi für eine Theorie der qua drati schon I'oi'men. 131 ersten Koeffiaienteii ihrer adjungierten Form bedeutet, je nach den FäUen v<2, v^2, v>2, die Ö-q = *, -^^ + 1, * + 2 Charaktere ©■ ©■•■•■©' ("<^) (S)'(S)'-'0'(-^)'^'©- ('>^' I^'olglich besteht die Ordnung 0/(d) ans g = 2"'- verschiedenen Genera G/, G^', . . ., G'. Wir bezeichnen die Maße dieser Genera durch J/,', M^', Ist p eine der ■& Primzahlen Pj, jJ^, , . -tPg., so besitzt die Kongruenz (|)(|j) = (mod j>) p^ Lösungen (|J (mod p) und die Kongruenz {t^ zu einer der Primzahlen p oder zu der Zahl 2 relativ prim wird, gleich p*--j)^=p*fl \ oder gleich 2*~2^=2*(l — y), und die Anzahl der nach dem Modul 2d inkongruenten Wertaysteme (1^), für welche (|,) einen zu 2d relativ primen Wert annimmt, ist gleich (2dy-{2d\. Bedeutet jetzt P(yi) irgendein Produkt der Charaktere C{(p^), bo muß die Funktion P(m) (m relativ prim zu 2(^ den Bedingungen P(m) ■ P(mo) = P(«i ■ m^, P(m) ■ P(m) - 1 geniigen. Bestimmen wir jetzt ein vollständiges Formensystem «tj, ^^, . . ., ^K für die der Ordnung Oi adjungierte Ordnung 0/ und bilden wir die Summe ^^. yi/yi Pt (q'i)-{t('»t) }"' \ über alle möglichen ganzzahligen Wertsysteme |^, |g, ^g, ^^ ohne ge- meinsamen Teiler, für welche der Ausdruck ^(^i) zu 2ä relativ prim ausfallt, so wird dieselbe für jedes positive q konvergieren, und der Grenz- wert von e ■ 2g wird für unendlich abnehmendea p gleich werden. Wir ordnen jetzt die Summe ^ nach den numerischen Werten der Zahlen '^k(ii>^srisr^i)- ^^^ ^^-^ ^^^ Darstellungen einer zu 2d relativ primen Zahl m, in welcher ft ungerade Primzahlen 3^, g^, - . . , 3^ auf- y Google 132 ?'UL- Tlieorio der quadratiKchen Formeu. gohßiij durch die Formen tt'j ist gluich dem 2" -fachen Maße des Geuns - (;;l)'(t)=Fr). d. i, gleieli Infolgedessen können wir für die Summe ^ schreiben Z=ä2|t-]-(-')"-'-'©0]-J7[i+(|)|].^) WO Die Summen T und T können wir mit Hilfe der in 1, gegebenen Formel (64) umformen. Da die Größe P(™) dem absoluten Werte nach gleich 1 ist, ergibt sieh T^ - ".^ 1 , Tp = - — - ;^-jj Es wird also h -= lim (p 2' J = ^ lim (i< T^,) - ~ lim {q l) und Für die Größe P()») wählen wir der Iteihe nach die 2^" Glieder des über alle •ö',, Größen C(m) ausgedehnten Produktes /7-J7(i + '■'<»'')- ! + ■■■■ Durch jedesmalige Vergleichnng der beiden Ausdrücke des Grenzwertes L erhalten wir dann 2'^' lineare Relationen zwischen den 2'''° Größen M^, vermittels deren diese Größen eindeutig bestimmt werden können. Denn die Determinante dieser 2^" Gleichungen ist, wie man leicht erkennt, dem absoluten Werte nach gleich S"»'^""" . y Google üruiidkgen für eine Theorie der tjuiidratiachen )ie beiden Greu zweite '='™(*2£& i). '. ^-(^2l sind bereits von Dirichlet angegeben worden. In den Fällen v = 0, i^fl ^ — 1 (mod 4) und v — l ist der Grenzwert l^ gleich Null, während der Grenzwert l gleich {2d)^ oder gleich ist, je nachdem P(m) mit dem Gliede 1 des Produktes JJ übereinstimmt odei- nicht übereinstimmt. In diesen Fallen n = 0, t^g =,— 1 (mod 4) und v = l erhalten wir daher Wenn dagegen v ■= 0, cl^ = 1 (mod 4) oder v^2 wird, so erscheint die Größe selbst unter den Gliedern des Produktes Jj[; es findet sieh infolgedessen der Grenzwert l^ gleich {2d\ oder gleich 0, je nachdem P(im) = [—1 ist oder nicht; ähnlich wird der Grenzwert l gleich (2tf)^ oder gleich 0, ja nachdem P(m) mit 1 übereinstimmt oder nicht übereinstimmt. Wir be- kommen demnach für die Fälle v = 0, d^^ 1 (mod 4) oder i; ^ 2 die Formeln Mit Hilfe dieser Gleichungen für die Größen M^ können wir ins- besondere das Maß des in Kap. XXI betrachteten Genns G/(d) finden. Wir bekommen so den folgenden Satz: Die Anzahl der eigentlichen Darstellungen einer ganzen Zahl d durcii eine Summe von fünf Quadraten, welche nicht sämtlich ungerade sind, ist, wenn ri ss 3 (mod 4) oder ^ 2 (mod 4) ist, gleich 1930., -i,-.ys'. 2(1) i,, dagegen, wenn d^= 1 (mod 4) oder ^ (mod 4) ist, gleich i.mo.-V.l/S-..2'©i. Wir können diese beiden Formeln in eine einzige zusammenfassen und erhalten dann den folgenden Satz: Die Anzahl der eigentlicfmi Darstdlungen eiMer gansm Zahl d dwcli eine Summe von fünf nicJtt lauter ungeradmi Quadraten heträgi ^^ {3 - (_ 1)[t]) -j/^ . 2'(^) ~- ■ (m rel. pr. zu 2,^) yGoosle 134 2'"' Theorie der quadratischen Formeo. Ähnlich können wir die Maße dei- Genera einer Ordnung Ohid): U, 1, d) bestimmen. Die Formein für das Maß des in Ka.'^. XXI betrachteten Öenus Gn(d) ergeben dann den folgenden Satz: Eine Zahl d^5 (mod 8) iesitui eigendiche Darstellungen dwch eine Smnme von fünf ungeraden Quadraten. Eine Zahl d, welche nicht kongruent 5 (mod 8) ist, läßt aich nicht dnrch eine Summe von fünf ungeraden Quadraten darstellen. Die in diesen Formeln auftretenden Summen — j"|/#-^( — \—^ sind I Fälle der Summen 2,- .•"' ^(- ~ ',!.'"' ) s ■ {ä>0;m rel. pr. m 2i) Indem wir, je nachdem s = SSq oder s = 2so — 1 ist, von den bekannten Werten der Reihe ^ s oder der Reihe ^ — z ;- Gebrauch machen, können wir für diese Summen analoge Ausdrücke finden, wie sie Diriehlet fßr den FaU. s = 1 aufgestellt hat. Kap. XXIII. Maß eines beliebigen Geuiis einer Ordnung {^ ) [»„ = 1 (mod 3)1. Die Untersuchung über die Maße positiver Genera habe ich soweit gefordert, daß ich in kurzer Zeit das Maß eines jeden beliebigen Genus angeben zu können hoffe. Um einen Begriif von den Resultaten au geben, welche ich auf diesem interessanten Gebiet erhalten habe, will ich das Maß eines Genus G; (1, 1, ..., 1, 1 \ mitteilen, für welches die Invarianten o^ sämtlich ungerade sind. Sind ti, u", . . . ; v, v'\ . . . irgend zwei Reihen ganzer Zahlen, so wollen wir durch das Symbol NP{u', u", , . .; v, v", . . .) alle Primzahlen be- zeichnen, welche in den sämtlichen Primzahlen u,it", . . . enthalten sind y Google Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Ponuen. 135 und welche gleichzeitig zu den säratlichen Ziihlen v , v", . . . relativ prim auefaUen. Es sei T^ die Anzahl der verschiedenen Zählen JVP(öJ. Die An- zahl aller der Ordnung ( 1 angehörigen verschiedenen Genera wird dann gleich g = 2''-^ sein. Wir wollen mit h die sämtlichen Zahlen der Eeihe 1, 2, . . ., — r— bezeichnen und mit i alle Zahlen, für welche h -^i -^n — Iz ist. Von den Zahlen o,._j und 0,-^^ ist dann mindestens eine von Null verschieden, und es sind die Größen '/' - »,' Yli«, gleichfalls von Null verschieden. — Wir wollen die Zahlen NF(Of^ durch e}/*' bezeichnen, ferner, wenn A <■<<« —/c ist, die Zahlen iVP(o,-, wenn aber i — ^ = oder i-j-k = n ist, die Zahlen NP(o^_j^, o^^^^-,} durch ■fr/** bezeichnen. Die Zahlen ^PyJJoA mögen p^''^ und die Zahlen JVP I fjo _ , \ mögen p„'*' heißen. Bilden wir das Produkt über alle möglichen Primzahlen ■»/*), */*), j)oW, pfi, (k ^)' ^^^ Produkt welches über alle P]'imzahlen i»/** ausgedehnt sei, die einem bestimmten k entsprechen, möge gleich i?j gesetzt werden. Ferner schreiben wir m Fr] und j y Google 136 ?'T Theorie der quadratiachoa Fütoieii. Endlich führen wie die beiden Einheiten ein Wenn 11=1 (moil 2) oder « in (mod 2), A s (- 1) * (mod 4) ist, ttndet man i\ = d,,, «nd wir setzen 2 ' dagegen, wenn ii^sO (mod 2), A =^ — (— 1) (mod 4) ist, Alsdann gelten für das Maß Jlf des G onus (r die beiden Formeln : für » = 1 (mod 2): M - ^ ■ JJ ■ D ■ A' ll + -^_-\ und für n^sO (mod 2) : Jtf = ^' • // • ^ ■ A' (1 + ^) -" ■^NP') ^. worin die Größen e^^ gewisse rationale Konstante bedeuten, welche nur von der Zahl n abhängen. — Um diese Formeln für den Fall n zu bestätigen, falls sie für den Fall n — 1 bereits bewiesen sind, können wir, wenn «^0 (mod 2) ist, genau auf dieselbe Art verfahren, wie Dirichlet zur Bestimmung des Maßes eines Genus mit zwei Variablen getan hat, und, wenn w ^ 1 (mod 2) ist, genan auf dieselbe Art, wie wir soeben zur Aufstellung des Maßes eines Genus mit drei Variablen verfahren sind, Note über die Kongruenzen /s^ (modi/'). In dieser Note wollen wir einen Beweis des Satzes M., Kap. X, geben. Wir bezeichnen durch g^t-il/) die höchste Potenz einer Primzahl q, y Google Gmudlagen für eine Theorie der quactratisclieii Foiinen 137 welche in den sämtlichen ft-reihigen Unterdetermmanten einei Foim f aufgeht, und wir setzen q''" ^-i^-g"*, ^k~''k-i= (i"'/ I [q = p^l (mod 2).] — Zwei Klassen f und g w« Formpn mit n Vanabkit sind in bezug cmf einen Modul p'(>p°'~^ j > p""' ' ' ^t^- graerd, wenn die Belafionen (67) f{m;p']==g{m;p'} {m^l,2,...,p' {modp')] statthaben und wenn die Deierminanten A(/') und A((/) nach dem Jdeineren der beiden Moduln ^'"'" i-a*^', p'"^ n-i^' hinc/ruent siiid. Beweis Wir können Toraussetzen, daß die eine der beiden Formen /■ und ^ in bezug auf p primitiv iat. Denn ist f = ^ • f^, S^^'d^ {d>Q,d<.t), so gilt f(h\p')=U{h-p^;p')=p"^-f^(h;p<~^) und sQi; p')= p'^^ ■ ya(h\ P^'^^^^i ^^^ Beziehungen (67) ergeben also ti^9^\P'~^) = 9o(h\P'-^); andererseits liefert die Kongruenz fc^^Sa (modp'-^) sofort f::^g (mod^')- Ist die Form f primitiv m bezug auf p, so wird die Kongruenz f(x.)^a (modp') für gewisse zu p relativ pnme Zahlen k lösbar sein. Für diese selben Zahlen cc hat dann die Kongruenz g(y^~K (modjj') gleichfalle Lösungen; denn wii haben 'f{a;p'] ^f{a',p'] vorausgesetzt. Folglich muß die Form g ebenso wie f in bezug auf p primitiv sein. — Da die Zahlen a za p relativ prim sind, können die Xg in einer Kon- gruenz /"(fl^J = « (mod pO nicht sämtlieh durch p teilbar sein. Es ist demnach möglich, n Zahlen 1,-^;^; (mod^O zu bestimmen, deren größter gemeinsamer Teiler gleich 1 ist. Alsdann kann man eine Substitutiou h, u.,..., .^.,. von der Determinante 1 finden, welche die Form f in eine Fonn /jj) über- führt, deren erster Koeffizient kongruent « (mod p') wird. Nach Kup. II läßt sich diese Form K. noch in einen Repräsentanten von der Gestalt /;„ = ß|ä + ^W (modpO transformieren. Für die Form f^^ gelten die Beziehungen d,_^(Fm)^d,{f'), (A^l); Ä(i^m) = ^-^^ (mody-^^-s'-^') und F^Hh;p') = ß^^, (ah;p') + 0. *) Siehe Eapitel VII. y Google 138 ^ur Tlieorie der quadratischen Formen. Die nämliche» Schlüsse finden auf die Form g Anwendung. Wir erhalten für diese Form einen Repräsentanten ,9,1, = ß|2_|_ Qw (niodiJO- für welchen a^_^(GW) = ^,(;?), (i^l); A(Gm) = --^^^ (mod2)' + '"-2'rf) und ist. Setaeu wir jetzt voraus, unser Sa,tz sei bereits für Fonnen mit u ~ 1 Variablen als richtig erkannt, so wird -F^^G« (niodpO und folglich /fn^ft^j (modj)'). Damit wird unser Satz also auch für Formen mit n Variablen bewiesen sein. II (g = 2.) Zwei Klassen f und y von Formen mit n Variablen sind in hezuy OMf einen Modul 2'(> 2''n-i*''', >2"«-i*^') Jcongmeiit, wenn die Eelattotieti f{m; 2'} = 9{m; 2') [m^ 1, 2, . .., 2' (mod 2*)] vnd die Kongruenzen (Hh) 2™*"''= 2'"':'*' (mod 2) (fc = 0, 1, . . ., « - 1) staUhaben und wenn die Determincmfen A(/^ und A(g) nach dem kleineren der beiden Moduln 6„_i(/") ■ 2''''^"-2*-^', e„_i(ß) ■ 2'"'' n-s'''* kongruent sind. Beweis. Es genügt, den Fall zu betrachten, daß die eine, f, der beiden Formen primitiv in bezug anf 2 ist. 1. Es sei zunächst ßi{f) = 1. Dann können wir ungerade Zahlen u finden, für welche /■{«; 2'} > ist, und für dieselben Zahlen a wird dann g [a; 2') > sein. Infolgedessen ist die Form g primitiv in bezug auf 2, und es gilt ö,(sr) = 1. Sobald für eine ungerade Zahl a die Kongruenzen /(ÖS« (mod 2-), Kl.)-« ("lodaO lösbar sind, können wir f und g in zwei Repräsentanten /;,, = «1^ + FW ^ «|ä + 2-> 1/1 ■ /-W (mod 2'), .(7,1, = aV + G^ ^ «g« + 2-M . gW (mod 20 transformieren, in denen /''^' und ^'^^ primitive Formen in bezug auf 2 vorteilen. Wenn eine der beiden Zahlen G>i(f), o)i(ß) gleich Nuü ist, so ver- schwindet die andere gleichfalls; denn es ist 2'^(/> s 2'^'*) (mod 2). In dem Falle, daß 2'"il''l = 2"'iM = 1 ist, kann man stets voraussetzen, daß die ungerade Zahl « und die Systeme |; (mod 2') und rji (mod 2*) so gewählt y Google Grundlagen l'ür eine Theorie der quadratischen Formen, 139 sindj daß die i'oi-men /^W nad ^W alle beide eine eiste Invariante e gleich 1 besitzen. In der Tat, die Form /' möge von der in Kap, III aufgestellten Ge- stalt /(^j sein, und es möge L, ».\ (mod2') diejenige Substitution bedeuten, welche f in f^l. verwandelt, Ist o>i(/') = 0, so wird Ki(f) > 1. Damit die erste Invariante e der Form /''^' gleich Ü wird, müssen die Kongruenzen li + Is + ■ ■ ■ + k= 1, §i*i' + Is V + ■ ■ ■ + ^.,K=o, *i* + *a* + ■ ■ + ^l ^ (mod 2} gelten. Wie man leicht erkennt, können diese Kongruenzen nur in dem Falle bestehen, daß »1 = 1 (mod 2); I, = Ig = ■ ■ ■ = S,^= 1 (mod 2) ist. Fällt also x^^sO {mod 2) aus, so wird stets öi(/'''') = I. Ist aber Xj ^ 1 (mod 2) und x^ > 1, so finden sieh unter den 2"'-^ Systemen |; (mod 20, welche die Kongruenz /'(y = 1 (mod 2) erfüllen, 2'"-i(l — ~-_^^'j Systeme 1^ (mod 2*), denen eine Form /"''' mit einer Invariante 6i (/''') = 1 entspricht, und S"'-^--^-^ Systeme 4| (mod20, denen eine Form /^*' mit einer Invariante öi(/"'^*) = 2 entspricht. Die Kongruenzen (68) ergeben die Beziehung %(/') = Xi(g) = %, und wii- gelangen für die Form a zu Resultaten, welche denen für die Form f erhaltenen ganz analog sind. Im Falle x^^^O (mod 2) findet sieh dem- nach unsere Annahme verwirklieht. Prüfen wir jetzt den Fall, daß %^1 (mod 2) und «^ > 1 ist. Wenn keine der Zahlen cc, die man mit Hilfe von Systemen |j (mod 2'), für welche öj (/''*') = 1 wird, erhalt, mit Hilfe von Systemen rj^ (mod 2') erhalten werden könnte, für welche ej(j»W)=l ist, so würde man aus den Gleichungen /■ { « ; 2' ) = ^ [ k ; 2' ) schließen, daß mindestens 2"'"' (l — ^^-^ Systeme ij, (mod 2*) Formen gfW mit einer Invariante ö'i((i''^') = 2 liefern müßten. Aber das kann nicht sein, da wegen x, > 1 und ~ 1 (mod 2) stets 2"'"^ ^ , < 2"'-^ (l -,) ist ' ' 2''i-i \ 2"'"'/ Infoigedessen gibt ea in der Tat Zahlen k und Systeme 1; (mod 2') und !?( (mod 2*), für welche mau 6i(/"'^') = 1 und ffiC^''') = 1 bekommt. y Google ) Zur Theorie der quadrati Beten Fonaeu. Nach Kap. II gelten jetzt die folgenden Relationen; 'y, G'^'('';^o-jS;?^, A((j(i))=4^ (mod «„_,((/)■ 2"-^"-^<"'), und wir finden die Formeln in denen A irgendeine Zahl bedeutet, die infeongiuent 2 and die Formeln FW(7i; 20 = 0, Gm(A; 2') = 0, F^Qt; 20 = 2»', ÖW(Ä; 2') = 2"', wenn /(-;^2'-^ (mod 2*) ist. Nehmen für Formen mit w — 1 Variablen (mod 2') und daraus /Ji|C^6'(n (mod 20. 2. Es möge jetzt 6i(/') = 2 sein. Da /■ in bezug auf 2 primitiv ist, wird die Zahl 2'^l/> gleich 1, und die Kongruenz 2'*'»''> = 2"^^ (mod 2) ergibt 2'"°W = 1. Also ist die Form g gleiehfalla primitiv in bezug auf 2. Wir finden 6^((/) = 2; denn wäre 6^((i') = 1, so erhielten wir ^(2'-^; 20 = 0, während f(2'~^] 2') gleich 2"' wäre. Die Kongruenzen (68) ergeben die Beziehung ^lif) ^ '^liff): welche uns sofort zeigt, daß f'^g (mod 2) ist. Es sei also (> 1. Sobald für eine Zahl 2k = 2 (mod 4) die Kongruenz /■(!;) = 2« (mod 2') lösbar ist, können wir f vermittels einer Substitution I. («/,,; 2') +0 (mod 2') ist, («. - 1) (=<,>1) 10 an, unser Satz sei bereits so erhalten wir Fl^) ^ Ö'^l von der Determinante 1 in /(2) = (mod 20 (mod 2 ') nter den ystem |,- tritnsformiereu. Wir nennen das System £; (mod 2') primär, Zahlen E^^, . . ., .E„_j ungerade vorkommen. Allemal, wem primär aasfäUt, läßt sich die Form /j^j in einen Repräsentanten von der Gestalt /;„ = 2{aV + m + &h + 2"'^ti'^> 2 ist, die sämtlichen Systeme E^, für welche f(^^^2 (mod 4) ausfällt, primär sein. Sobald hingegen 6^ +i{f) ■ 2'"ki*/i = 2 ist, finden mr unter den 2"'"^ Systemen 1^ (mod 2'), für welche f(^')^2 (mod 4) ist, 2"*-^! — -^) primäre Systeme und 2"'-^ ■— nichtprimäre Systeme. Dieselben Schlüsse finden auf die Form g Anwendung. Indem wir für den FaU e^, + i(/') ■ S""«,!/) = 2 bemerken, daß die Zahl 2b(-i . — ^ 2"'-^ (1 ) ist, sehließen wir wie in 1., daß wir die Zahl 2a 2'' \ 2''/ so wählen können, daß einerseits die Kongruenz /'(§j)^2« (mod 2') eine primäre Lösung 5, und andererseits die Kongruenz g(r]i) ^ 2a (mod 2') eine primäre Lösung '^^ besitzt. Ist dies geschehen, so liefert die Form f einen Repräsentanten von der Form f^^^, und die Form g kann ia eine Form von der Gestalt ;,,„ = 2(«6" + ÄÜ + o|") + 2"-M ■ 9" (mod 2') verwandelt werden, in der A^l (mod 2) ist. Wir können jetzt voraussetzen, daß a^ ä (mod 2) ist. In der Tat, es sei zunächst ffj(/''^') ■ 2'"'*>"> ^ 4. Alsdann wird die Anzahl der Lösungen der Kongruenz /'(s) = 2 (mod 4) gleich S^""'^! — Y ' ii^ä'—'Wy]' ^^^ Kongruenz 2'^(/*=2'^l''> (mod 2) ergibt 2-*»(^>^2, und es gilt ö,(5r(ä)).2'^W^ 4. Denu wäre 6^(g'~^^)-2'"M = 2, so bekämen wir 2'"=W = 2, ff,(^(*))=.l, und die Kongruenz ft^. ^ 2 (mod 4) hätte 2^"~'- Lösungen, so daß 3,j,{2;4}+/"(ai|2;4) wäre. Ist jetzt e,((/W). 2"-,^)^ 4, so liefert die Be- ziehung /-(a) { 2 ; 4 ) = ^p) i 2 ; 4 ) sofort (j-^^-^g-,) - (47,-^^:^) > d. i. ß s « (mod 2). Gut aber 6^{f('))-2<"'ffi= 6^(0'-^^) ■ 2'"'^^^ ^ 2 und « = « + 1 (mod 2), so können wir die Form 2°^*"*- (/"^^ zumlchst derart transformieren, daß einer ihrer mittleren Koeffizienten, rif, kongruent 2 (mod 4) wird. Durch Anwendung einer Substitution I - I', Xi'l - f + m); «._,(ec)) - »,(<,), <>.„,(e(>i) - de la meme elasse ont sürement les memes coefficients «j^. IL Fow n = 2, 3, 4, une forme tp est ra'dmle, et eile ne l'est que si eile satisfait aux inegalites (I) «„ä«»Ä--S'<.„ et d toutes les inegalites (II) V('„'„ ■■;'.)><•„. dans lesquelles ^^ signifie une u/nite, et oü les autres s^ (k =|= /') ont ou ?«s valeu/rs 0, ou -i- l, ou — 1. Demonstration. A) Les conditions (I) et (II) eont sürement neces- saires pour que 93 soifc uue forme reduite; ear si Ton avait ß;,i> «u pour h < k, tp serait transformee par la Substitution Si: h = %, h = %■, h - Vi Q^ % dans lesqueUes W!j signifie ua nombre quelconque different de zero, et les autres m^ des nombres eutiers tout ä fait ä volonte. Nous designoüs par f^ le nombre 0, ou -|- 1, ou — 1, selon que m^ est egal ä zero, ou positif, ou negatif. Lea quantites Si^m,. = ^i^ repre- sentent les valeurs absolues des nombres m^. Si les n quantites ntj^, ä I'ex- ception du seul nombre »M^, sont egales ä z^ro, (pi^n^ devient evidemment egal ä ßii»»i*^ «j;, et l'inegalite (m) aura lieu, Mais si des nombres jk^, au moins deux, sont differents de zero, nous determinons un indiee t de la niaaiere suivante. Nous cherchons les nombres m^, doot la valeui' ab- solue est la plus petite sans eti-e nuUe, et nous posons, si pai'mi ces nombres in^ se trouye aussi le nombre ks^, I'indice t = h, mais si ee n'est pas le cas, t egal ä Tun queJconq\ie des nombres t. Si nous ecrivons alors Sf. = £i(t,(^ + ^t s, =- 0, les noDibres s^ ne seront pas tous egaux ä z^ro, et nous obtenons i'identite: fp{m^,m^,...,m. J = 9-(m,- s. + s.)-5pK-' '.)+2'""('»' Sj + m^S; - = q;(mj— O + S'»,'^'""'' "#■'("■' iH-».»i- «1» qui, ä cause de la reiation •+■ '2'°'"" !,-[ Oj pour lesquels Sm^ devient plus petit que M, y Google 148 2ur Theorie der quadratiaelieii Fofmeu, il resBOrt evidemment ip('^k~ h) ^^h/t ^^ fi'^d^^hh- Saus doute l'megalite (m) b lica pour lea systfemes (wij), pour lesquels on a^m^^^ 1, »»j > 0, c'est-ä-dire pour le seul sjstfeme m,j=l, )»j =- (Z: =j= 7*). Äinai, le point 1° est parfaitement demontre. 2" Admettous que pour la forme cp les inügalites (I) et (11) aoieiit aatisfaites et, pai- consöquent, aussi tontes les inegalites (m). Alors (p est, en effet, reduite. Demonstration. Supposons d'abord que tp puisse Sti'e transfonnee par ane Substitution numerique 1;,=^^.*';*'?* ä detennüiaiit 1 en uiie ■ ^ ^^■ßitiiV/t'fiii l'^i SO'* pliicee au-dessous de (p. Soit ßi^ le premier des coefficients ^j,, ^^g, , . ., /3„„ de la forme t/j qui n'est pas egal au coeffleient correspondant de la forme ip. On aura ß^^ = ß^j (;t < i) et jJ^^ = y (r^', r^\ . . ., rj) < «^j . Soit r," la dernifere des quantites '''i,^^',---,^^ qui est diflKreiite de zero. On aura ß.^ =- (f(. . ., r/, . . •) ^ k,j. Soit ß,j (t ^ i) la demifere des quantites «j^, k^^, . . ., k„„, qai a encore ia valeur ß„ tandis que «j^ de- vient >«(, , si l'indice /i est > i. Des relations ß(;>/5j^, Aj ^ **» =" '^ü et des inegalites (I) on conclut que le nombre t est < ! ; donc pour Ä^; 011 aura ßi,ii — "'tt^'^u- ^^^ consequent, touteg lea quaufcitös r/, pour lesquelles on a fc ^ ( et 7( > f, seront egales ä zero, puisque cliacune de ces quantites, si eile diff^rait de zero, fournirait l'inegalite K^i^Wn, tandis que l'on a «jj^Kj;, '^kt^^ti- Üans le döterminaut |r,*j s'eva- nonissent donc toutes les (( + 1) (^ — qu^^tites r/(Ä= 1,2, ...,<; i; Ä = (+ 1, ...,n) qui sont les ternies d'un systfeme de n — t series horizontales et de ( + 1 series verticales. Ce determinant doit donc §tre egal & zero, et l'ou ren- contre une contradietion. De ce qui precede on deduit, ä l'aide du tkeorenie I, que Ton peut determiner pour chaque forme positive f toutes les formes r^duites de sa claaae ä l'aide d'un nombre fini de substitutiona de la forme Sj ou Sjj. {Toute clasee f, pour laquelle aucune des inegalites (I) et (II) ne se change en une equation, a une seule forme reduite.) Dans le eas m ^ 4, j'ai trouve pour la limitation des coefficients des formes röduites des identites symetriques analogues ä ceRes que Gauss a etabliea pour les formes ternaires (Gauss, Oeuvres oompletes, t. U). Je reviendrai sur ces identites dans une autre occasion. y Google über positire quadratisclic Formen. (Ciellea Journal für die reine und angewandte Mattematik, Bd. 99, S. 1 — 9.) Meine Abhandlung „Sur la tbeorie des formes quadratiques ä coef- ficients entiers"*) scbließt mit der BeatimmuEg des Maßes für einige Genera von positiven quadratischen Formen. Das Maß eines Genua ist eine Größe, welche erhalten wird, indem man aämtliche Klassen des Genus abzählt und dabei die einzelnen Klaasea in entsprechenden Verhältnisaen rechnet, als sie verschiedene Formen besitzen. Ich hatte mich seinerzeit auf die Betrachtung spezieller Genera beschränlct. Mittlerweile bin ich zu einfachen Ergebnissen, für das Maß eines beliebigen Gfenus gelangt. Die schließlichen Formeln sind zu einem Teile bereits von H, J. Stephen Smith veröffentlicht worden**). Das Resultat gewinnt aber außerordent- lich an Klarheit und erlangt eine weitergehende Bedeutung, indem man jene Definition des Genus zugrunde legt, von welcher ich in der er- wäJinten Arbeit ausgegangen bin, und zu welcher auch Herr Poincare geführt worden ist***). Ich setze Formen von fester Variablen zahl n und von nicht verschwin- dender Determirnnte voi'aue Dann definiere ich- A Da& (ren cjuei Foim f = ^ f ^r X). wiid gehldet ^on allen den Formen g welche denselben Ingheitsindex wie f besitzen und welche mit t für jeden beheb gei Modul '^ kongiueit s nd DaVei heißt eine ho m 9 kmqiueiit mit f u bezug auf emtn Modul A', wenn es möglich ist lus / mit Hilfe emei hneaien Substitution von einer Determmante = 1 fmcd A | eme Jjoini herzuleiten m welcher simtliche E. efflz enten fui den Modul \ d eselben Beste lassen wie die ei tspie henden Koeffizienten von 7 Die Deimifciou A lifellt in die Formen j nur scheinl ir ui endlich viele Anforderungen. In Wirklichkeit gilt der Satz: *) Mömoires pröscntea ä TAcademie des Sciences T. X5IX. Nr. 2. Unter dem Titel „Grundlagen für eine Tbeoiie der quadratischen Formen mit ganz?.aJiligeii Koeffi- aienten", diese Ges. Abhandlungen, Bd, I, S. 3 — 144. *♦) ProceedingB of the Royal Society of London. 1868. (Collected Papers, vol. I, p. 510.) ***) Comptes renduB de l'Academie des Sciences ä Paris. 1883. 1. y Google 150 Zur Theorie der quadratiaclicn FoimeE. B. Eine Form g geHört dann und nur dann dem Genns einer Form f an, wenn sie denselben Indes / und dieselbe Determinante A wie f be- sitzt nnij dazu mit f für den Modul 2Ä kongruent ist. Immer dann, wenn diese Bedingungen erfüllt sind, wird es zugleich (nacli Sätzen Ton Smith) möglich aein, die Form f in die Form g mittels solcher linearer Substitutionen von der Determinante 1 überzuführen, in denen die Koeffizienten rationale Zahlen mit einem zu 2A relativ primen Generalnenner sind. Das Genus einer Form f= {öi^j ist eindeutig bestimmt, sobald man sein vollstä/ndiges System von Invarianten kennt. Dieses System umfaßt die folgenden Größen: 1. Den Index / der Form f. 2. Die größten positiven Teiler der sämtlichen Unter determinanten Ton 1, 2, . . ., n Eeihen des Systems \o,^^\. Diese Teiler mögen der Keihe nach mit ä^, d^, . . ., d^_-i bezeichnet werden, so daß sich insbesondere ergibt. 3. w — 1 Größen ff^, 65, . . ., a„_j, welche die Werte 1 oder 2 haben. Und zwar ist ein a^ gleich 1, wenn unter den symmetrischen Ä-reihigen Minoren von |a^j| sich solche vorfinden, die, vom Teiler di^_-i befreit, un- gerade ausfallen; gleich 2, wenn das Entgegengesetzte eintritt. 4. Eine Reihe von Einheiten ±1, die Charaktere der Form f. In Art. IV und Art. XI meiner am Anfange zitierten Arbeit [[diese Ges. Abhandlungen, Bd, I, S. 31—32 und S. 75—76]] sind aUe Bedingungen zusammengestellt, denen die Invarianten eines (wirklieh existierenden) Genus zu genügen haben. Insbesondere müssen die n Gleichungen cig = Ofl, 0^1 = o^^o^, . . ., d^_^ = Oo''öi"~^. . . o„_i stets zu n gansen Zahlen o^, öj, . . ., o„_j führen. Ich will hier nur von posiHven Formen sprechen, also i" =- voraus- setzen. Jede positive Form f läßt eine endliche Anzahl von Transfor- mationen von der Determinante 1 in sich zu. Diese Anzahl mag t{f) genannt sein. Die Große ({f) ist konstant für alle Formen der Klasse /"; ihr reziproker Wert stellt das Maß der Klasse f vor. Das Maß M eines positiven Genus f (= [a^^]) ist nun definiert durch eine Summe: ^ m' erstreckt über sämtliche verschiedenen Formenklassen q>, welche das be- trachtete Genus aufweist*). •) Eisenstein, Crellea Journal, Bd. 35. {Mathem. AbbaiidluDgen, S. 177,) y Google übet poiitive quadratische Formeß, 151 Mit f(N) will ich bezeichnen, wie viele für einen Modul N inkon- gruente Substitutionen YOn einer Determinante ^ 1 (mod N) mau bilden kann, die, auf / = { «ü I angewandt, die sämtlichen Reste «jj (mod N) un- geändert lassen. Gemäß der Definition Ä. wird die Zahl f{N^) eine In- variante des Genus f vorstellen. Den reziproken Wert dieser Zahl wird man passend als das Maß des Genus f für den Modul N bezeichnen können. Diese spezieM&n Maße jv-^-, finde ich als die wesentlichen Faktoren des Maßes M. In betreff der Zahlen f(N) gelten folgende Sätze: 1. Wenn N sich aus mehreren Primzahlpotenzen zusammensetzt, N-rii; BoiBtf{N)-nf(i')- Für Potenzen einer festen Primzahl q findet man: 2. Für alle Potenzen q', welche die höchste in 2/7". enthaltene Potenz von g üb er achreiten, fällt die Größe _ m 1 '' ' konstant aus. Man setze diese Größe gleich •i'-fti], wo g" die höchste iii / / ("j ^ ) enthaltene Potenz von q sei. Alsdann wird f{q] im wesentlichen nur von quadratischen Charakteren des Genus f abhängen. (Femer wird für das zu f adjungierte Genus ^-2-a^/.- die Gleichung F{q] ^ f[q] gelten.) Die Größe f[q] bildet so den haupt- sächhohen Faktor aller Größen /"(g'). Weym nun so erhalte ich für das Maß des Genus f einfach: wo c die Konstante y Google 152 Zur Theorie der quadratiaoiieii Formen, K(l)! '' bedeutet, und wo das Produkt der Reihe nach über alle Primzahlen g = 2, 3, 5, 7, . . . auszudehnen ist. Als Beispiel betrachte man ein positives Genus von (eigentlich) primi- tiven binären Formen von einer Determinante A ^ 1 (n^od 4). Man hat hier n = 2, ©1 = 1, Oi = J> = A. Für jede ungerade Primzahl q, die nicht in A aufgeht, ergibt sieh dagegen für jede Primzahl q aus 2A: Bedeutet also ^ die Anzahl aller (ungeraden) Primzahlen von A, so kommt j\ m / m> a und zu 2 A relativ primen Zahlen zu durchlaufen hat. Ist A > 1 , so besitzt jede Klasse unseres Genus das Maß — - - Die Große M wird dann gleich der halben Klassenanzahl des betrachteten Genus. Man gewinnt so ein Resultat, welches mit den Dirichletschen Formeln übereinstimmt. Ohne mich bei weiteren Beispielen aufzuhalten, will ich nur zeigen, daß der Ausdruck (1) stets einen endlichen Wert besitzt. Für jede ungerade Primzahl q, die nicht in D aufgeht, findet man, wenn « gerade: ^ und wenn n ungerade: Für jede solche Primzahl fäUt also die Größe ml ^^ besonders einfach aus. Nun kann man leicht in (1) diese Größe als all- i Prodiiktglied einfuhren. Man braucht nur mit der Identität i=.......«f^j.]7(i-i)(i-i)...(i--.ji^^.) y Google über positive quadratische Formen. 153 ZU multiplizieren, wo S^j die Summe 1 + pt + «it + ■ ■ ■ bezeichnet, deren Wert in bekannter Weise durch die Js'^ BernouUisehe Zahl, B^, aus- gedrückt ist. Setzt man, wenn n gerade: und wenn n ungerade: c=(|)'.E.B....B^.-— t^^, ^ 2 läßt man ferner d die samtlichen Primzahlen von 21) durchlaufen, so kommt, wenn «^0 (mod2): (2) « = = ■'? ■7T^-2C~#)^r, (wo die Snmmation aUe positiven und zu 22) relativ priraen Zahlen m betrifft), und wenn n ^1 (mod 2), so kommt: (2) M-z-yD.f[i:,. S Diese Ausdrücke sind denen ähnlich, welche Smith angegeben hat, und man kann wohl aus der erwähnten Note von Smith die Werte der Größen Eg für ungerade Primzahlen d, sowie in einigen speziellen Fällen auch für die Primzahl ß = 2 entnehmen. Doch tritt dort nicht die hier entwickelte einfache Bedeutung dieser Großen zutage, und diese gerade ist es, welche erkennen läßt, daß ähnliche Verhältnisse auch für allge- meinere Formen bestehen. Vor aUem fäUt auf, daß der Auedruek (1) nichts enthält, was an positive quadratische Formen gebunden ist. In der Tai besitzt dieser Ausdruck auch für alle indefiniten Genera (von nicht zerlegbaren Formen) einen endlichen Wert. Indem man nach der Be- deutung dieses Wertes forscht, gelangt man zu einer interessanten Erklärung i für indefinite Formen. Ich will noch einige Sätze in betreff der Reduktion der positiven Formen mit beliebigen reellen Koeffizienten hinzufügen. Ist diese es ja, welche die Mittel gibt, um in jedem einzelnen Falle die Klassen eines Genus zu sondern und deren Maß zu berechnen. Ich wende (in etwas veränderter Form) diejenige Reduktionsmethode an, welche Herr Hermite im 40. Bande des Crelleschen Journals 8. 302 (Oeuvres, T, I, p. 149) aufgestellt hat. y Google 154 Zur Theorie der quadratiechea Forn „In läiner gegebenen Klasse von positiven quadratischen Formen sollen diejenigen Formen ^ reäuderie heißen, welche vor allen anderen Formen den kleinsten Wert der Verbindung „ , i , a < i j^-i ergeben, wo ä eine positive unendlich kleine Große bezeichnet." Gemäß dieser Definition werden alle reduzierten Formen einer Klasse in den « Koeffizienten l"lll "■Säl ■ ■ ■! "nn) übereinstimmen. Der Koeffizient Ojj insbesondere wii-d das Minimum der Klasse /' vorstellen. Die charakteristischen Bedingungen solcher reduzierten Formen rühren für n = 2 von Lagrange xmd für w = 3 von Seeber her. Für den Fall K = 4 habe ich einen diesbezüglichen Satz in den Comptea rendus vom Aprü 1883 [[diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 145 — 148]] mitgeteilt. (Der Beweis ist dort, namentlich am Schluß, durch eine Menge Druck- fehler sehr entsteEt.) Ein weiterer Satz existiert nun für den Fall n = 6. Ich fasse das Resultat für aUe vier Fälle w =- 2, 3, 4, 5 i „In diesen Fällen ist eine Form immer und nur dann eine positive und reduzierte Form, wenn sie einer Reihe von Ungleichungen ■v'»„)^«i( (i-i,2,...,n) Fällen, den folgenden Tabellen gemäß (I) rt»„ genügt, wo die m^, je nach den zu wählen sind: „ ■i I ±% », 1.-3, 1 1 1 fc"H±"- «, ±m l±», l±», l±»,„ 1 1 1110 1111 1 1 2 y Google über positive quadratische Formen. 155 und werni ferner (11) .„<«„ä.--ä».. ist," In allen diesen Fällen wird also eine Hermitesche reduzierte Form durcli eine endliche Anzahl einzelner linearer Ungleichungen definiert. Genügt eine Form allen Bedingungen (I), so ist sie entweder selbst reduziert odei' läßt sich doch durch eine oder mehrere Substitutionen von der Art in eine reduzierte Form überführen. Jedenfalls stimmen ihre n Haupt- koeffizienten, abgesehen von der Reihenfolge, mit den n Koeffizienten a^^ einer ihr äquivalenten reduzierten Form überein. Nun erkennt man leicht, daß den Bedingungen (I) alle solchen Formen genügen müssen, welche in ihrer Klasse den kleinsten Wert der Verbindung 5Ri == »11 + «32 + ■ ■ ■ + ö„„ oder der Verbindung Si„ = öji % . . . CT„„ oder gewisser ähnlicher Verbindungen St ergeben. In den Fällen n = 2, 3, 4, 5 liefern sonach die Hermiteschen redu- zierten Formen einer Klasse für jede einzelne der Größen öj^ + a^g-] h**««» t*ii«ag + "ii'J'sä + ■ ■ ■; '^ii'^as ■ ■ ■ %tt! ■ ■ ■ ^^^ kleinsten Wert, welchen diese Größe für Formen der betrachteten Klasse überhaupt annehmen kann. Umgekehrt, wenn eine Form von n (= 2, 3, 4, 5) Variablen für irgendeine der Verbindungen iR einen kleinsten Wert ergibt, so geht diese Form bei geeigneter Permutation ihrer Koeffizientenreihen in eine Hermitesche reduzierte Form über; sie liefert also auch für alle anderen Verbindungen SR einen kleinsten Wert, Diese Sätze, welche für n = 2 und w = 3 interessante Bigenechaften ebener und räumlicher Gitter ausdrücken, geheinen um so bemerkenswerter, als sie nicht mehr für größere Werte des n gelten. Im allgemeinen ist eine reduzierte Form um so eigentümlicher, in je mehr von den Ungleichungen (I) und (11) das Gleichheitszeichen statt- hat. Es gibt nun positive reduzierte Formen f, für welche ^ ^ 1 linear unabhängige von den Ungleichungen (_!) und (II) in Gleichungen übergehen, durch die dann die Verhältnisse der ?" — Größen a^^ voll- ständig und zwar in rationaler Weise bestimmt sind. Solehe reduzierton Formen mögen Grensformen heißen. Unter allen Grenzformen, denen die- selben Verhältnisse der Koeffizienten zukommen, wird es offenbar eine geben, deren Koeffizienten ganze Zahlen ohne einen gemeinsamen Teiler sind. Diese heiße eine primitive Örenzform. y Google 156 Zur Theorie der quadratiBohea Formen, „Da die Anzahl der Ungleichungen (I) nnd (11) eine besohränkte ist, so existiert (für Jä = 2, 3, 4, 5) immer nur eine beseliränkte Anzahl von primitiven G-ranzformen." Um dieselben wirklich darzustellen, will ich mit (w), diejenige qua dratische Form von v Variablen bezeichnen, deren v Hauptkoefflzienten sämtlich gleich fl, und deren übrige Koeffizienten sämtlich gleich 1 smd Die Determinante dieser Form ist (a — 1)^~ ' - (a — 1 + v") Ii h finde d inn folgende primitive Grenzformeii: Wenn n — 2 ist, die Form qo = (2)^ = 2(3;j^ + 3:^3:„ + r^^i und dejeu Nebenreduzierte 2{x-^^ — x^x^ ■}- x^. Wenn « = 3 ist, die Form (p = (2)3 und die Nebenreduzierten dieser Form, Wenn w = 4 ist, die Form (p = (2)^ und deren Neben reduzierten; ferner die Form )/>, welche durch die Substitution in (2), + (2X + (2), + (2), - 2&,> + »,' + s," + !/.-) übergeht, und die Neben reduzierten dieser Form ip. Wenn n = 5 ist, die Form 9 =• (2)g und deren Nebeareduzierten ; weiter die Form ip, welche durch die Substitution ^K-yh + Vi, ^B = - y* + ^6 ('^=1. 2, 3, 4) in (2)i + (2)j + (2)3 übergeht, und deren Nebenreduzierten; endlich die Form %, welche durch a:,-S. + (-l)'S., »'s-ä!/. («'-1,2,3,4) in (4)(i übergeht, und die Nebenreduzierten von %. Ohne Mühe wird man erkennen, daß die Klassen dieser Greuzformen identisch sind mit den ,/ormes adremes", weiche die Herren Korkine und Zolotareff in ihren interessanten Aufsätzen im 6. und 11. Bande der Mathematischen Annalen eingeführt haben. Es sind darunter positive Formen verstanden, welche die Eigenschaft besitzen, daß ihr Minimum ab- nimmt, so oft den Koeffizienten unendlich kleine Variationen beigelegt werden, welche die Determinante der Form nicht vergrößern. Die nahe Beziehung zu diesen „Formen mit größtem Minimum" ist für die Reduk- tionsmethode von Herrn Hermite charakteristisch. Wiesbaden den 31. Januar 1885. y Google IV. Untersucliimgen über quadratische Formen. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes tfenus enthält. (Inauguraldissertation (Königsberg 1S85); Acta Mattematica, Band 7, S. 201— 258.) Dem Andenken meines teuren Vaters. In meiner Arbeit «&W la tkeorie des formes quadraUques ä coefficimis mÜers»*) habe icb den Begriff des Genus ledigbch aus dem Begriffe der Formenkongruenz hergeleitet. Ein solches Verfahren erwies sich bereits dort als äußerst vorteilhaft. Seine Berechtigung wird vielleicht noch schärfer durch die folgenden Entwicklungen hervortreten. Ich werde mich hier mit jenen Zahlen beschäftigen, welche im Falle allgemeiner Genera dieselbe Rolle spielen, wie im Falle binärer Genera die Klassen- anzablen. Gewisse Sätae über Formenkongruenzen werden zunächst er- raten lassen, in welcher Gestalt sich die Ausdrücke jener Zahlen darbieten müssen. Unter Anwendung Dirichlotseber Prinzipien soll alsdann ge- zeigt werden, daß die erratenen Formeln in Wirklichkeit richtig sind, Einleitung. 1. Ein denus und seine J^'ornienanzahl. i bezug auf einen Modul JV verstehen wir alle diejenigen Formen, welche aus f hervorgeben, indem die Koeffizienten a^^ m beUebiger Weise um Viel- fache des Moduls JV geändert werden. *) Memoires preaentäa par divers aaTanta i 1 Ac^demle des Scieneea de l'Iiistitiit de France. Tome XXIX, H", 2 (1884), IlIi zitiere diese Arbeit im folgendeu kura mit .F. Q. ~ Den auf F. Q. bezöglichen Zitaten fngea wir stets m [[]] den e Hinweis anf die hier (Bd. I, S, 3 — 144) veioii InTarianten eines Genus. Um ein Grenua eindeutig zu charakterisieren, bedarf es nicht durch- aus der Kenntnis einer seintn Formen Es genügt bereits, wenn man im- stande ist, sein volhtaniv)ef, System ton Inva)--ianten anzugeben. Wir ver- stehen unter dieser Bezeichnung en e Reihe von Größen, welche sich als arithmetische Punktionen einer lepiasenti er enden Form f des Genus dar- stellen lassen, und welche die doppelte Eigenschaft haben, einmal: un- geändert zu bleiben so oft die loim f durch eine andere Form desselhm, Genua ersetzt wird, dann aber m ihier Gesamtheit sich stets zu ändern, sobald für f irgendeine Foim eines anderen Genus genommen wird. Ein vollständiges System von Invarianten eines Genus f umfaßt die folgenden Größen: 1. den Trägheitsindex / der Form f. Derselbe sagt aus, wie viele Quadrate mit dem Vorzeichen Minus auftreten, sobald f durch irgend- eine reelle Substitution in eine Summe von n, zum Teil positiven, zum Teil negativen Quadraten transformiert wird; 2. die n Invarianten d^; o^, Og, . . ., o„„i, und die n — 1 Invarianten ijj, ffj, . . ., 0„_i der Form f. Die Invariante dg stellt den positiven größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten a^j von f vor. Zu den Invarianten ö^ gelangt man in folgender Weise. Man be- zeichne mit <^i, (^, . - ■, (^s_i die positiven größten gemeinsamen Teiler aller 2-, 3-, ..., w-reihigen Unterdeterniinanten von [%i|, so daß ins- besondere A =- (— 1)^- t?„_i kommt. Aus den Zahlen d,^ entstehen die Invarianten o,, vermittels der Gleichungen: oder Die Invarianten e sind Großen von den Werten 1 oder 2. Man hat ö^ =- 1, wenn unter den symmetrischen /t-reihigen Minoren von / sich solche vorfinden, die, von dem Faktor d^_^ befreit, ungerade ausfallen; dagegen 6,, = 2, wenn diese Minoren alle durch 2<^i_i aufgehen. Die Größen o^ sind stets ganze Zahlen, und die Größen 6j, müssen den folgenden Bedingungen genügen: i. Die Zahlen 6,^_^o^6j^^^ und iJ^ dürfen nicht zugleich dureh 2 teil- bar sein. II. Die Quotienten ^'"^ ^ und - ^— ^"^ ^ müssen ganz sein. Wir führen noch die Invarianten ein: eo = l, e„ = 1 und Oß — 0, öj| = 0- y Google Anaahl der Formen in einem Genus. 161 3. die Charaktere der Form f. Dieses sind eiue Eeihe von Einheiten ± Ij welche in Gestalt Legendiescher Symbole auftreten. Um sie mög- lichst einfach dai-zu steilen, trifft man am besten folgende Voraussetzung über die repräsentierende Form f: Die aus den ersten /i(= 1, 2, ..., n — 1) Reihen von f gebildeten symmetrischen Minoren sollen Werte o^dj^^^ipi^ ergehen von solcher Art, daß ein jedes (p,^ relativ prim zu 2o^o^ ... o^_^ und zu :^f(modN) Bind. Man gelangt zu diesen Formen, indem man auf f ein voUetäiidiges System von lauter inkongruenten Substitutionen T von einer Determi- nante = 1 (mod N) anwendet. Ein solches System wird leicht bestimmt. Man braucht beispielsweise nur von den N"' inkongruenten Substitutionen a;.=^i/;/j (modiV), t,'= 1,2, . . . , N {i,l=l,% . . .,n) alle diejenigen fortzulassen, in weichen die Determinante nicht = 1 (modJV) ausfällt. In dem Systeme der T mögen sich im ganzen 9i Substitutionen finden lassen, — etwa die folgenden; 1\, T^,.. ., T^^^ — , durch welche /' iu 9E verschiedene Reste: 1 ist, so bedienen wir uns zum Beweise eines Schlusses von w — 1 auf n. Offenbar muß der größte Teiler der n Zahlen Xf zu N relativ prim sein. Man kann daher n Zahlen ^; ^ x^ (mod N') finden, deren größter Teiler gleich 1 ist. Alsdann läßt sieh bekanntlich eine Substitution ^i- ■ ■ - ^3' ■ ■ ■ von der Determinante 1 bilden {F. Q., p. 98 [[S. 83]]). Das Äfl- ^ ■ T gewinnt jetzt die Form 1, V,, ..., ü"„_, ; ü~ 0, s 1 (mod A"). Ist unser Lemma bereits für den Fall « — 1 erwiesen, so können wir anstelle der m/ solche kongruente Zahlen einführen, daß |m/| in 1 übergeht. Ferner setzen wir anstelle der ersten Vertikalreihe von f7 einfach die Zahlen 1,0,.. ., 0. Auf diese Weise wird U in eine kon- gruente Substitution V von der Determinante 1 übergehen, und das Pro- dukt Sij- F= S" erscheint als eine mit T kongruente Substitution von der Determinante 1. Wir können so zu allen Substitutionen T^, T^, . . ., Tgi kongruente Substitutionen S^, S^^, . . ., S^ von der Determinante 1 bilden. Durch diese muß sich f in äquivalente Formen mit den Besten g^, g^, . . ., g^ verwandeln, was zu beweisen war. Es ist nun leicht plausibel zu machen, daß die Formenanzahl der Klasse f ein Vielfaches der Zahl 9i wird. Man denke sich zu dem Be- hirfe in der Klasse f alle verschiedenen Formen gekennzeichnet, welche y Google 164 Zur Theorie dor quadratischen Formen, nach dem Modul iV^ den Kest / lassen, und für jede dieser Formen je eine Substitution S notiert, durch welche dieselbe aus f entsteht. Durch Anwendung aller S ■ S^, S ■ S^, . . ., S ■ S^a müssen dann aus f die sämt- lichen Formen der Klasse f hervorgehen, und zwar eine jede ein ein- ziges Mal. Die Zahl ^ teilt somit wirklieh in gewissem Sinne die (un- endliche) Formenanzahl der Klasse /', und da diese Klasse eine beliebige ist, auch die Formenanzahi des gesamten Genus, wie am Anfange aus- gesprochen war. Um einen Ausdruck für die Zahl 3i zu gewinnen, verfährb man fol- gendermaßen. Es sei 1}'„{^) die Anzahl der Individuen eines vollständigen Systemes Yon inkongruenten Substitutionen T von einer Determinante ^ 1 {mod N). Alle diejenigen T, welche auf den Rest f (mod N) ohne Wirkung bleiben, nenne man T, und es sei f{N) die Anzahl der ver- schiedenen T. Die Substitutionen T ■ 2"^, T ■ T^, ■ . ., J ■ T^ müssen das gesamte System der T erschöpfen, imd man erhält so: In welcher Weise die Größe i^„{N) gefunden wird, ist bekannt*). Damit ein T^l (mod iV^ ausfalle, ist zunächst erforderlich, daß die n Zahlen a:,, x^, . . ., x^ der ersten Vertikalreihe ohne gemeinsamen Teiler mit N gewählt seien. Eine solche Wahl kann auf N" ■ {N\ Arten ge- schehen, wenn (iS'),, das über alle verschiedenen Primzahlen q von W aus- gedehnte Produkt / 1(1 jj bedeutet. Man sieht leicht, daß zu jedem, ohne Teiler mit N gewählten Systeme x^ mindestens ein T gehört. Alle möghchen T mit der ersten Vertikalreihe a!; folgen dann durch Zusammen- setzung dieses einen mit den verschiedenen Substitutionen f/^^l (mod iV). In Ü unterliegen die n—1 Zahlen U^ gar keiner Beschränkung. Es lassen sieh also im ganzen N"~'^ ■ il'^_^{N) inkongruente Tf bilden, und man erlangt die Beziehung: ^„(jV) = iV"^"-! ■ (iV)„ ■ t„_,(-ff). Da nun ^^{N) = 1 ist, so entsteht ,j,^{N) = N"'-' ■ {N\ ■ (N\ ■ ■ ■ (jV)„. Es handelt sich also wesentlich um die Bestimmung der Größen /'(JV). Dabei genügt es, den Fall zu untersuchen, wo N eine Primzahl- potenz q' ist. Denn setzt N sich aus mehreren Priraaahlpotenzen q' zusammen, »-//«*, " h.t m.n f(N)-nf(.l')- ''■) Jordan, Trait^ des substitutione, 120—124. y Google ÄnBahl der Formen in einem Geaue. 165 So oft nämlicli eine Substitution T ^h^ 1 (mod N) ist, ergibt sich dieselbe auch = 1 nach jedem der Modubi q', und ändert sie den Beet f (mod N) niebt, so ändei-t sie aucb keinen der ßeste f (mod q'). Liegt andererseits für einen jeden Modul q' ein T^ vor, von einer Determinante = 1 (modg*), welches auf /* (mod g') ohne Wirkung bleibt, so wird die Substitution T (mod N), welche allen Kongruenzen T s Tj (mod 30 genügt, = 1 (mod N) ausfallen, und den Rest f (mod N) nicht ändern. So geht die behauptete Relation hervor, 4. Hilfssätze zur Bestimmiing der Zahlen /{0. So lange mau d > f > hat, bleibt der Rest /' (mod g*) bei jeder Substitution ungeändert, und man erhält /"(g') =■ i'„{q')- Wenn aber d < t ist, so gilt die Relation (2) /-(s-) -?'"•-"' -iJCä-')- In der Tat, eine jede Substitution T = 1 (mod q'), welche auf /'(mod q') ohne Wirkimg ist, ändert auch g (tnodq'~'^ nicht; und ebenso wird ein jedes 3; ^ 1 (mod q'~'^), welches auf g (mod q'~^) ohne Wirkung bleibt, auch f (mod g*) nicht andern. Aus einem jeden 3^ lassen sieh aber g(if-i)ä^ nach dem Modul q' verschiedene Substitutionen T herleiten. Denn in einem % ist immer mindestens ein Koeffizient c da, für welchen ^ zu g relativ prim ausfäUt. Wir können nun, um eine Substitution T zu ge- winnen, erst jeden der n^ — i Übrigen Koeffizientenreste (mod q'~'^) von X durch q"^ verschiedene Reste (mod q') ersetzen. Der Rest von c für den Modul g' folgt hernach eindeutig aus der Bedingung, daß die veränderte Substitution eine Determinante ^ 1 (mod q') ergebe. Insofern es uns um Faktoren für die Formenanzahl eines Genus zu tun ist, reicht die Betrachtung solcher Moduln g' aus, welche gewisse Grenzen g"'** überschreiten. Denn ist t^t — (^>0, so beweist man leicht, daß die Zahl t„(i'~^) -fi^''^ einen Divisor der Zahl 91 = ^-^^ vor- stellt. Beachtet man die oben gegebenen Werte von '^'„(äOj ^° "iSniÜ dieses darauf hinaus, daß die Zahl f(q') in dei- Zahl qf'"-'^>^ ■ f{q'-''){t- (i>0] aufgeht. Für eine mit q primitive Form f machen wir von folgenden Bezeich- nungen Gebrauch, Die höchsten in den Invarianten Oj, Oj, . . ., (>,j_j ent- y Google 166 Zur Theorie der quadratisolieu Formen, haltenen Potenzen von q sollen die Espoiienteii besitzen: ca^, ta^, . . ., m„_i> und es sei allgemein iij = «i + ÖJ3H H ra&, ^s = /tra, + (Jh-i)m^^ h (J^,. Femer nehmen wir an, von den n — 1 nicht negativen Zahlen oj^ seien im ganzen A — 1 größer als Null, nämlich die folgenden; (*o-0) »,., o,,, .., »,,,_, (»,-«) und wir bilden die Gleichungen «■l = «1, ^3 = JCi + %a, , , ., *4 = «1 + 5(2 + ■ ■ ■ + Xj, Der Quotient aus der Determinante A von f und der Potenz g^«-i mag für einen Moment A,, heißen. Wir werden weiterhin voraussetzen, daß unsere Moduln q', wenn q einer ungeraden Primzahl p gleich ist, die Potenz p'^=p''»-i-, und wenn 9 = 2 ist, die Potenz 2" = 2^+""-! über- schreiten. Die Folge davon wird sein, daß ein jeder Rest f (mod g'} uns, wenn q = p ist, den Wert der Einheit {~), und wenn q = 2 ist, den Wert der Einheit (—1) ^ , sowie im FaUe e„_, = 2 auch den Wert der Einheit l-^l liefert. Denn es gilt der Satz: Genügt eine Form g schon der Kongruenz g^f (modff'^+i) und soll noch g^f (mod q') sein, so ist notwendig und hinreichend, daß, wenn g=p, die Beziehung Aö)-A(f) (modp'",.-,)^ und wenn q = 2, die Beziehung A(^) = A(^) (mod (r„_i ■ 2'+3«-0 bestehe. Ich erwähne noch einige, zum Teil bekannte Sätze über Kongruenzen, welche bald ihre Anwendung finden werden, (B) Ist eine Form f und eine Zahl a prim in bezug auf eine ungerade Primzahl p, und hat die Kongruenz rtÖB« (moip) A-p"'^ Lösungen, so besitzt die Kongruenz (3) «l,) = « (B.odi.0 (Ol) A -p'^"^)' Lösungen. Denn genügt ein System ^; der Kongruenz (4) «a»« (mod !)•-■), und setzt man x^ = t,j-\- p'-^u^ (modp'), so kommt, da if > 1 sein soll, y Google ÄDzahl der Formen i /■(re,)a«5,)+y-'-2».8J^ (mody). Nun könneii die Zahlen ^ nicht aämtlicli dnrch p teilbar sein, da man ■-■^ Ij^^sK (modp) hat. Also ergibt die Kongruenz ^"~' Lösungen Uf (modp), und eine jede Lösung von (4) liefert p"~'- Lösungen Ton (3), woraus unmittelbar unser Satz folgt. Jetzt sei f^ ^af^X:X^ eine in bezug auf 2 primitive Form, und a eine ungerade Zahl. Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem die In- variante ö^ von f den Wert 1 oder 2 hat, die Zahlen »;; also zum Teil ungerade oder sämtlich gerade ausfallen. (0) Ist ff^ = 1, und besitzt die Kongruenz m^a (mod8) ^.23("-i) Lösungen, bo liefert die Kongruenz (3) /■(!.) = « (mod20 (i>3) A • 2'""^'' Lösungen. In der Tat, es genügen der Kongruenz (4) ftü = « (mod2>-') zusammen mit einem Systeme |j {mod 2'~ ^) immer alle die 2" Systeme a,-; (mod 2'-^}, für welche x^^s^^ (mod 2'-^} ist. Denn jedes dieser Systeme läßt aich in die Form a:^^%^-{- 2'~^ S^ (mod 2'~^) setzen, wo die n Größen ^^ entweder oder 1 bedeuten; man hat also wirklich: m -" /■&) + 2- ' .2 ■*< Y i "■' ("»°'> 2'-')' Bildet man nun mit Hilfe einer Lösung |, (mod 2'"^) von (4) ein System «^ = ^; + 2'-^«^ (mod 2'-^), so kommt df und die Kongruenz --i^'»^».;^ (»'"'2) ergibt 2""^ Lösungen m,. (mod 2). So führt eine jede Lösung |^ (mod 2'"^) von (4) zu 2""^ Losungen |, (mod2'~^) von (3), woraus die Richtigkeit imserer Behauptung erheJlt. Es ist auch klar, daß unser Satz gültig bleibt, wenn wir aUe solchen Lösungen |, ausschließen, die zugleich gewissen gegebenen linearen Kon- gruenzen nach dem Modul 2 genügen. (D) Ist zweitens flj =2, und hat die Kongruenz /■(|;) = 2k (mod 4) yGoosle 168 ^1'" Theorie der quadratischen Formen, 24,2^1"-^' Lösungen, ia weichen die n Zahlen ■ p- nicht sämtlich gerade sind, so liefert die KoEgrueaz (3) ftii) = 2« (niodS') {i>2) 2ji-2<''~^'' Lösungen, bei welchen liie n Zahlen ,-,- ^rg nicht sämtlich gerade sind. Denn setzt man -^f '^ fj ^° gruppieren sich je 2" Losungen |; (mod2^ von (3) zu je einer Lösung ^j (mod 2*-^} von y(|j) = k (mod 2'-^). Unser Satz geht so in einen analogen Satz in betreff des Ausdruckes

primitiv in bezug auf p aus, und die n — 2 In- varianten p"'' , welche diesem Reste angehören, erfüllen die Gleichungen: ml;\^m^. {7* ^ 2, 3, .,.,»- 1) Wir denken uns die f{p') verschiedenen Substitutionen T von einer Determinante ^ 1 (modß') aufgestellt, welche den Rest /'(modp') in sieh selbst überführen. Li jeder dieser Substitutionen muß die erste Vertikal- reihe ans n Zahlen %^ (mod^') bestehen, welche f(|,) = » (mody) ergeben. Der vorstehenden Koi^ruenz mögen A -p^^-^^' verschiedene Systeme 1^ (mod^') Genüge leisten. Die Betrachtungen aus F. Q., p. 170 *) In einem ausgezeichneten Falle, nämlich för die Form /■^a^^-f'^'H F^n» sind die Zahlen f{q) von Heim Jordan gegeben (Traitö des aubstitntions, 301 — 314, Ordre dn groape orthogonal). y Google ÄnzaM der Formen in einem Genus. 169 [[S. 137]J lasBPn fikeniifn daß jedem diei r Systeme u, wiiklii.h Sub stitutionen T 7ukoran en welche den Kest f m sich elb t tranatoimieren Es fra^t sieb wie viele Tfischielere T kDnnen aus e uem bestimmten Systeme | hei v jrgehen Ist Tq eme ei te diesei Substitutionen so wird jedes Überhaupt voiHinIene T mit dei eisten Veitikalieihe |, m ^aiiz be- stimmter We se zusimm PI gesetzt sein als Piodikt aus Tp und aus zwei Substitutionen ZJ und X von dei Form (modjö'). SoU nun T den Rest f in eich selbst aberführen, so ist nötig, daß auch XJ ■ % diesen Rest in sieb selbst transformiere. Hierzu wieder ist erforder- lieh, daß die Relationen Pj = (mod p') gelten, und daß die Substitution % auf den Rest F (mod p') ohne Wirkung bleibe. Die Anzahl der ver- schiedenen T mit der ersten Verfcikalreihe 'i^, welche f (mod ^') nicht ändern, wird daher gleich der Anzahl der Tersebiedenen 3^ sein, welche auf F (modj)') ohne Wirkung sind, also gleich F{p'). Zieht man noch die Formel (2) in Betraebt, so kommt schließlich f{p() = p(«-i]i+"^[(>.-i)'-i] . A ■ /■(')(p'""0 Wir setzen nun : 1, v„ . -. D,_l \ 0, 1, ■ • " 0, 0, . ., 1 1, 0, . ■' " 1 0, '>', ■ , V-' 0, C-1! ■ ., (,f_Y f{p')=P " " = ^ ' ' -f{p}. {t>^a,,) Für den Rest /^^> bilden wir eine entsprechende Größe /''''{p)- Die vor- stehende Selaiion verwandelt sich alsdann in: (5) fl!>l-^-/"'(l>l, und diese Formel bleibt auch für « = 1 gültig, falls nur für eine Form F von Null Variablen F{p } = -^ genommen wird. Es bandelt sich jetzt um die Bestimmung der Größe A. Nach dem Satze (B) muß A-p"~^ die Anzahl aller Lösungen von f{^i)^=a{modp) ausdrücken. Bedeutet « den Index der ersten von den Zahlen ra^, w^, . . ., ro„_i, cj„ (= — oo), welche nicht verschwindet, so können wir f von dem Typus voraussetzen: wo ein jedes «j,Ka, ...,«^ und ebenso der Rest /'f'^' primitiv in Ijezug ant ji ist (F. Q., p. 19 [[S. 22]]). Wir erkalten denn f = * (mody), und y Google 170 Zur Theorie der quadratischen Formen, A-p""^ muß die Anzahl der Lösungen von = « (mod ;)) geben. Nun läßt sich diese letztere Anzahl nach bekannten Sätzen herleiten.*) Man gelangt BO zu folgenden Beziehungen: 1. wenn % = (mod 2), A-{l-(,.p-i), 9 _ ((- 1) ".:_j.-,.^-_i?i) . 2. wenn « = 1 (mod 2), ^ _ (l + ». . p-'-''-) , ». _ (crJ) l_!Vi^- -i) . Im Falle X = 1 hat man sich d^— 1 zu denken. Wir können weiter die Größe f{p ] auf f^"^ [p ] zurückführen. Man findet : fip]-*-f>M, wenn 9( den folgenden Ausdruck bedeutet; im Falle x = (mod 2), a^^(i-,4)(:-i)..(i-,-i-.).(i-iy und im Falle xsl (mod 2), «-^(i-?)(i-f)"-('-,-^)- Fui em X = 1 stimmt diese Gleichung unmittelbar mit (5) überein, wählend sie für tm x > 1 leicht aus (5) mit Hilfe eines Schlusses von 3C — 1 auf X hervorgeht Man biaucht nur zu beachten, daß dem Reste /"' in derselben Weise die Zibl x — l tuigebört wie dem Reste f die Zahl X Für alle ungeraden Primzahlen p, welche nicht in der Determinante A dei Form / aufgehen, wird x = «, also Kjaj.-.a^^A (modp), wäh- lend f''"' sich als Lin Rest von Null Variablen erweist Filr alle diese Primzahlen p kommt daher: 1. wenn n^O (mod 2), 1 p^ 1 2. wenn » ^ 1 (mod 2), fw ='^^'- (' - ?) ('-?)■■■ (1 - ,-^.) ■ *) Lebesgne, RechercheB sur les iiombres, § 5 (Journal de Liouville, T. 2, pp. 266— S75). — O.Jordan, Comptes rendua, 1866, I, pp. 687—690; Traitö des Bubstitutiona, 197—300; Journal de Liouville, 2°'^ aerie, T. 17, p. 372. — F. Q. artt. VII- Vm [[8. 46-58]]. y Google Anzahl der Formen in einem Genus. 171 Um die Größen f{p] voUständig darzustellen, woUen wir endlich f als Haupirest für den Modul p' voraussetzen, Falls die Bezeichnungen aus 4. gelten, so heißt dieses, f soll den Typus haben: j. entsprechen und folgende Bedeutung haben: wo -^ die größte in -^ enthaltene ganze Zahl vorsleUt, und a,. = 1 ist im Falle XjS 1 (mod 2), dagegen: wenn % ^ (mod 2) ist. Die Richtigkeit dieser Formeln ergibt sich sofort mit Hilfe eines Schlusses Ton ^ — 1 auf X. Man bemerkt nämlich, daß dem Beate f<'')(x = Xj) in derselben Weise die Zahl i — 1 zukommt wie dem Reste f die Zahl X. 6. Der Fall der Priinzalil 2. Wir behandeln jetzt den Fall 3 = 2, welcher auf etwas umstäud- licherem Wege zu gleich einfachen Resultaten führt. Die Form f sei primitiv in bezug auf 2. Wir machen für dieselbe von den in 4, an- gegebenen Bezeichnungen Gebrauch. Der Modul 2' sei größer als die Potenz 2^+''»'-i; man hat dann immer ^^2, und wenn «?„_,> 0, auch Wir werden die Größen f(2^ finden, indem wir / als Hauptrest für den Modul 2' annehmen, also für f den Typus zulassen; /■= 1*1 + T^^i% + ■■■ + 2'"*J-i((t)j) . .] ) (mod 20, wo die einzelnen j Reste vorstellen, die in bezug auf 2 primitiv sind, und entweder dem Typus (Ri) *, oder, wenn Xj gerade ist, auch dem Typus «W (mod2'"''-**-i) yGoosle (Kl.) Zur Thforie der quadratisoben Focwer A^% 2«<*) (modS'""**-') angehören (i^'. Q,, p. 23 [[S. 25]]). Dabei bedeuten die te^'*', ebenso wie die Ä^^''\ lauter ungerade Größen. Wir geben jedem Reste 0^ vom Typus (Ei) eine Zahl r^^ = 1 und jedem Reste ^^ vom Typus (Rh) eine Zahl r^=2. Die Kj. — 1 Invari- anten d eines Restes 0^ nennen wir p|*', p^*', . . ., ßj^Li- ^^ gelten dann folgende Beziehungen (F. Q., art. IV [[S. 28—29]]): wenn r^^ 1: 9^W= 1; wenn Tj = ä : femer: und: so daß die Zahlen t^ durch die Invarianten ö^ bestimmt sind. In der Tat erhält man insbesondere: (;[=.!, 2,. 1) Ein Ausdruck von der Gestalt - -(f mag, je nachdem t=1 oder t = 2 ist, kurz mit (I) oder mit (II) bezeichnet werden. Wir schicken zunächst einige Bemerkungen über die Kongruenzen (I) = m (mod 4) und (11) = m (mod 2) voraus. I. Für einen Ausdruck mögen Yg, V, , Yj, ^'^ die Anzahlen der Lösungen von TssO, 1, 2, 3 (mod 4) vorstellen. Diese 4 Anzahlen können leicht nach F. Q., art. VIII ||S. 50 bis 58]], gefunden werden. Man setze nämlich 4^0 = ^0+ ^^ + ^^+ %, 4 V^ =, ^^ „ i-^^ __ ^j^ -1- iii,^ ^ 4H'g = (/-o ~ '/'i + "J'2 — 'J'a , yGoosle Anzahl der Fovmea in einem Genuii. 173 WO i ^y — 1, und bilde die Einheiten; (6.) ' = (-4L.J.(-ir. , ä_(-l)L.J.(_l) ... .(-!)•■<•■ Alsdann geben die Formeln F. Q., p. 62 und p. 64 [[S. 55 nnd S. 67]J: % = 2^% i/Jg = und ♦.= (' I ' - ' 7 ■•) -^' • * ■ (- < ("■''■ (i^)-'[^J ■ ä¥. (,. = 1, 3) Wir unteracheiden die folgenden Fälle: 1. » ■ (mod 2). A)»-l-, i/>, -«-2% V,-«'2"^. 4'l'„-2" f «■2">"*', — 4-1 41', -2"-ä-2' , 41', - 4V, - 2". 4.2"' ^ 4% - 4Y, _ 2>'— « ■ 2^>"". In lietreif der Einheiten £ nnd S erwähnen wir noch einige Punkte. y Google 174 Zur Theorie der quadratischen Formen. 1. Der Rest ! ^ Kj + Kj + - • - + ce^ (mod 4) ist durcli die Einheit £ Da nämlich immer «^^1 (mod 2) ist, so kommt zunächst l^x (mod 2), (-l)'^(-l)'^. Sind ferner von den Zahlen k,, «g, ...,«« im ganzen x^ kongruent — 1 (mod 4) und x — k^ kongrnent 1 (mod 4), so folgt einerseits: andererseits : i = (k - «^,) - x„ s= ;£ - 2m(, (mod 4), mithin : Im speziellen findet man, wenn « :^ 1 (mod 2): l = 6 (mod 4). 2. Ersetzt man V durch — Y, also % (mod 4) durch — «j (mod 4), so mögen an die Stelle von s und d die Einheiten £~ und ä- treten. Man erhält unmittelbar: .--..(-1)', «--«.."', also 1) « = (mod 2); s" = s, 5" = ö ■ e; 2) ;£ = 1 (mod 2): £- = - e, d" = *. Dasselbe ßesnltat erschließt man auch leicht aus der aufgestellten Tabelle, indem man die Beziehungen 1'_j = (— M')^ beachtet. 3. Wir wollen setzen und die Einheiten e und d, welche zu M*^ gehören, mit a^ und ö^ bezeichnen. Mit Hilfe der Relationen [.]„[--] ^ ,„ 1, [|.] _ [- -] „ (. _ i)p.._i] („„„ „ findet man; ,_(_i).-..(_i)"-?^..., d_(--i)"'T.,"'-'i*'V'.a,_ („_„_) also 1. «aO(mi)a2); A).-l: «-«', « = — «• (mod l)i U) e 1; i>. (— l)"^ä», + ^,1,1, + äj,') + ■■• + («.y + ^,S,L+ äjln (mod 2), und es bedeute X^ und X^ die Anzahl der Lösungen von X = und X a 1 (med 2). Setzt man 2X.-I. + &, 2X,_i.-j., femer: so liommt nach F. Q., p. 65 [[S. 58]]: Z.-2", U-D-^'K also: 2X„ = 2^ + Ö ■ 2"^, 2X, = 2>^ - Ö ■ 2"^. Nach diesen Vorbereitungen wollen wir versuchen, eine Formel auf- zustellen, mit deren Hilfe die Gfrößen f(2') für Reste von «(> 1) Vari- ablen auf entsprechende Größen für Reste von weniger als n Variablen zurückgeführt werden können. Für Reste f von einer Variablen hat man einfach f{2^ = 1, Da wir f als Hauptrest für den Modul 2' voraussetzen, so gilt jeden- falls eine Kongruenz /■ = j einen Rest vom Typus (Ri) oder (Rn) bedeutet. Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem die Invariante rj — Oj den Wert 1 oder 2 erhält. (». - !)■ Ist zunächst 6,^ — 1, so läßt f sich zugleich in der Form schreiben; /■=(;|^ + 2""fW (mod 2'), wo a ungerade ist und f-^^ einen in bezug auf 2 primitiven Rest vorstellt, welcher im Falle tOj — (x^ > 1) eine erste Invariante ff gleich 1 ergibt. Überhaupt folgen die Invarianten 6^'"^' imd 2™/!" von /^'' aus den Glei- chungen : ^ gm^ = g^^ (»W^ = ((,,. (A = 2,3,...,«-l) Die Anzahl f(ß') der inkongruenten Substitutionen T von einer De- terminante ^ 1 {mod 2^, welche den Rest f in sich selbst überführen, drückt sich in ähnlicher Weise aus wie oben die Zahl f{p'). In der Tat, die erste Vertikalreihe einer Substitution T muß immer von n Zahlen |,. (mod 2') gebildet sein, welche (3) /-(l,) a „ (mod 2') y Google 176 2iir Theorie der quadratischen Pormen. liefern. Dazu tritt in den Fällen, wo «^ > 1 ist, noch die Bedingung, daß nicht zu gleicher Zeit die Bämtlichen Kongruenzen (7) ^1 = 1, Is^l, ■■-, l..^l (modS) bestehen dürfen {F. Q., p, 172 und 128 [[S. 139 und 106]J). Wir bezeichnen mit J. ■ 2<''~-'*', je nachdem )% = 1 oder >1 ist, entweder die Anzahl aUer möglichen Lösungen ^^ von (3) oder nur die Anzahl Uer lerje gen Lösungen ^;, welche nicht zugleich die Kongruenzen (7) e fülle Die Betrachtungen in F. Q., p. 172 [[S. 139j], zeigen daß w rklich jedem dieser Systeme ^^ Substitutionen T entsprechen, welche den liest /' in sich selbst transformieren. Ebenso wie in 5. schließt m u lann laß jedes solche System ^^ zu genau soviel verschiedenen T Ve dul s g o^^^, als verschiedene Substitutionen von einer Determinante = 1 Imol ) exi- stieren, welche auf den liest 2"'"/'(^) ohne Wirkung amd. bo gewinnt /■(2') = 2("-i''+'"iK''-^i''-=] ■ A ■ fii)(2'-'^). In betreff der Größe A unterscheiden wir die FäRe x^ =- 1 und st^ > 1. 1. Ist zunächst «1= 1, so gibt unsere Annahme über t (wenn w>l) jedenfalls i ^ 3, Nach dem Satze 4. (C) muß daher A ■ 2^1"-^! die Anzahl der Lösungen von /■(§;) ^ « (mod 8) ausdrücken. Indem man in f alle Glieder fortläßt, welche durch 8 teilbar sind, erlangt f entweder den Typus: (8) /^af (mod 8). In diesem FaEe hat man f^K (mod 8), sobald | = 1 (mod 2) ist. Die Anzahl der Lösungen von f^a (mod 8) beträgt demnach 4-2^("~'' und man findet: A^A. Oder /' gehört einem der beiden Typen an: In dem Ausdrucke 4(1) erscheint mindestens ein Glied 4aE^=4j (mod 8). Durch Änderung des Restes von X (inod 2) können wir aus jeder Lösung von /'^s « (mod 8) eine solche von /'^ « + 4 (mod 8) herleiten, und um- gekehrt. Diese zwei Kongruenzen besitzen also gleich viel, nämlich 2 . 2*<"~'' Lösungen, und man erhält: A^2. Oder /' gehört dem Typus an: (10) /■=»r + 4(n) (modS). In diesem Falle Ut f=o: (mod 8) stet« i = 1 (mod 2) und (11) = (mod 2) zur Folge. Bildet man für den Rest (II) von x^ = x Variablen, y Google AnKahl der Formen in einem Genus. 1^7 nach der Formel (6n), eine Einlieit ö, so ergibt sieh die Anzahl der Lösungen von (11)5=0 (mod2) gleich 2"-^! + ö ■ 2 ^ j, und man bekommt r^- Oder f gehört dem Typus an: (11) f^at^ + 2{X) (modS). Dann ist f=a (mod 8) identisch mit | = 1 (mod 2) und (I) = (mod 4). Gehören zu dem Reste (I) von x^ = sc Variablen, gemäß der Formel (6i)j zwei Einheiten e und d, so liefert die obige Tabelle: 1) jisO (mod 2), ,_- 1; A-1. '2) xsl (mod 2), , Oder f gehört endlich dem Typus an: (12) / = ß|^ + 2(l) + 4(I), (mod 8). In diesem Falle enthält 2(1) mindestens ein Gflied 2(ij^ = 2'C (mod 4), mit dessen Hilfe die Lösungen von f^l und f^S (mod 4) einander eindeutig zugeordnet werden können; und ebenso erscheint in 4(1)^ min- destens ein Glied 4ßg*^ 4^ (mod 8), infolge dessen die Kongruenzen / = « und /■= K 4- 4 (mod 8) gleich viel Lösungen zulassen. So findet man leicht: A=l, 2. Jetzt sei x^ > 1. Wir teilen, für einen Moment die Systeme g^, welche /■(!;) = 1 (mod 2) ergeben, in Systeme erster oder zweiter Äi-t ein, je nachdem sie den Bedingungen (7) entgegen sind oder mit denselben harmonieren. Irgendein System ^; (mod 4) erster Axt möge die Xongruenz (13) f(W = « (mod 4) erfüllen. Da ein solches System zugleich einen bestimmten Wert des Eestes f(^^ (mod 8) ergibt, so wird es nur einer der beiden Kongruenzen f{^.) = a (mod 8) und /"(g^ = « + 4 (mod 8) Genüge leisten. Ist nun von den Zahlen |j, Ij, . . ., |^ etwa |j die erste, welche nicht ungerade ausfällt, und ändern wir den Rest |j (mod 4) in 1^ + 2 (mod 4), so geht aus dem Systeme |j (mod 4) ein anderes System erster Art hervor, welches offenbar- der anderen von diesen beiden Kongruenzen genügen muß. So erhellt, daß diese zwei Kongruenzen gleich viel Lösungen erster Art zu- y Google 178 Zur Theorie der quadiatiBchen for u jetzt die Definition dci &r ißt A «nd den Satz 4. (C), so folgt, daß in aRen Fällen die Anzahl der Lo=«uügcn erster Ai-t voo (13) durch J.-ä^'""^' ausgedräckt ist. Man geling zu diesei Anzahl, indem man die Anzahl aller möglichen Lesungen diesei Kongiuen/ um die An- zahl ihrer Lösungen zweiter Art Ybimmdeit Wir unterscheiden die FäUe 'ti^O (mod 2) und y ^ 1 (mod 2), sehreiben aber der Einfachheit halbei x fui x^ 1**. Zunächst sei x = (mod 2) In diesem Falle treten überhaupt keine Lösungen zweiter Art auf, da die Ivongiuenzen (7) stets f(^^ ^ x (mod 2) nach sich ziehen. Entweder ist nun /' von dem Typus: (14) /■=(!) (mod 4), Lassen wir dieselben Bezeiehnungen wie oben für Y gelten, so liefert die aufgestellte Tabelle; e = 1: A = l; [ö = d'\ (- 1) ' ^ - ji] , = -1: A^n + -^--\ . [d = - (-^ 1)^- d\ (- 1)""^"" = .■] Oder /■ ist von dem Typus: (15) f»(I) + 2{I). (mod 4). Alsdann erscheint in 2(I)j ein Glied 2a J^ = 2^ (mod 4), welches be- wirkt, daß f^l und f^'d (mod 4) gleich viel Lösungen zulassen. Dem- nach kommt einfach: 2*. Endlich sei x^l (mod 2). Wir unterscheiden dieselben zwei Falle. Entweder ist f von dem Typus: (14) /■=h(I) (mod 4). Identifizieren wir den Rest (I) mit dem obigen Ausdrucke V, so entsteht für Systeme gj zweiter Art: /■(!,) = «^ + «^ -!-... -f «^ = £ (mod 4). Diese Systeme gehen also nur den Eall an, wo « = £ (mod 4) ist. Mithin kommt : (i^^e (mod4): ^ = A - -J^'A ; [e^^- i, Ö = ^ a-d'] ['■-1, *-■»"] y Google Anzahl der Formen in einem Genus. 179 Oder f ist vom Typus: (15) /■=(!) + 2(1), (mod4). Alsdann bewirkt ein jedes Glied 'iixi^ = 2i (mod 4} aus 2{I)^, daß f^^ 1 und /'is 3 (mod 4) sowolil gleieli viel Lösungen erster, wie gleich- viel Lösungen zweiter Art beaitzea, und man findet: - = (-.-)■ Wenn 6j = 2 ist, ao läßt f sieh Bugleieh in der Form sehreiben: /■= 2(«g^ + All + &V) + 2-=/-(^> (mod 2'), wo a imd A ungerade sind, und /'l^* einen in bezug auf 2 primitiven Rest bedeutet. Die Invarianten 6,/^' und 2'"'' von /''^* bestimmen sich aus den Gleichungen: 6^},= a,„ K^ 0, 0, i| , ..., t»- %^ 0, 0, t^_^ i"-S = 1 (mod 2') zusammensetzt, welche f (mod 2') in sich selbst üherführea. Für % findet man 2i7=0, 7^ = 0, t^ = (mod2'); und man erkennt, daß die An- zahl der verschiedenen % durch 2F{2') ausgedrückt ist, faRs F den Kest 2'"!fi^) bedeutet. So ergibt sieh die Beziehung ;-(2') = 2l''-^''+t"-^''+^+"''"''-^l''-'i-^- ^(')-/^W(2'-"''). Nun hat man zugleich /■(')(2'+i) = 2i''-^)('+il + *^*= + 'H(''-2P-i] . J.I1). /■m(2'-"''); also Irommt endlich: f(2') ^ 2("~4'-"('-ä). ^ • /■W(2'+i). Um die Größe A zu finden, beachte man, daß das System dei-, Mj Kongruenzen (7) sich als identisch mit dem Systeme --- ^- = (mod 2) (*' = 1, 2, . . ., ra) erweist. Nach 4. (D) muß infolgedessen A ■ 2""^ die An- zahl aller Lösungen von (13) -■/(ö"l (m»<12) vorstellen, hei welchen die w Zahlen -^äi '^^^^ sämtlich gerade sind. Wir wollen für x^ einfach » Entweder ist -^f " [14] 2 91, setzen. om Typus: i/-=,(n) (mod 2). In diesem Falle liefern die Kongruenzen (7) stets /'^O (mod 4); sie sind also nicht mit (13) verträglich. Gehört zu (11) wie oben eine Ein- heit 0, so kommt demnach: y Google Anzahl der Formen in einem Genus, 181 Oder Y f ist vom Typus : [15] i/-=(n) + (I) (modS). Dann erscheint in (I) ein Glied af^ssg (mod 2), welches zur Folge hat, daß — /■= und -g-/'= 1 (mod 2) gleich viel Lösungen zulassen, man betrachte diese Kongrnenzen für sich oder zusammen mit den Kon- gruenzen (7). Man erhält also: Die Größe A'^l bestimmt sich mit Hilfe der Formeln aus (öj = 1) Im FaUe [14] findet man, wenn x = 2: J.W = 4, und wenn x > 2: ^» = 2/1 + --^— \, wobei ''=(4-^~p)'ö'; im Falle [15] wird immer J.W = 2. unsere liehm-sionsformeln gehen dann in fl2}-A-f->l2] Über, und auf Gmnd der gefundenen Werte ron Ä können wir den voU- sfändigen Ausdruck der Größe /{ 2 } hinschreiben. Es bedeute, wie bisher, f einen aus l Gliedern bestehenden Haupt- rest, wo l gleich ist der um 1 vermehrten Anzahl aller durch 2 teil- baren Größen 2™* (A = 1, . . ., n — 1). Femer bezeichne ^ — 1 die An- zahl aller Größen aus der Reihe ö,,_;^2'"''<5(_f.i (ft = 1, . . ,, w — 1), welche den Faktor 4 enthalten, und v — 1 die Anzahl aller Größen dieser Reihe welche durch 8 aufgehen. Die Größe f{ 2 ] ist dann gleich einem ProduJäe aus d&r Potens = und aus X FaUorea %^, welche den X einseinen Besten O^ einsprechen und folgendermaßen bestimmt tverden: (I). So oß (i'j ein Pest vom Typus (Rj) ist,.neltme man: y Google 182 Zur Tteoi'ie der qnadratiBchen Furmen, nnd setse a^~ 1, falls die Zahlen Tj_^ ■ 2"'^'^-! ttnd 2"*'-'''- ■ t^^^ nicht beide dtirck 4 teilbar sind; andernfalls aher bilde man für 0^, gemäß den Formeln (6i), swd Einheilen fj, imd dj., und setse: 1) tomn Xi = (mod 2), je nachdem «^ = 1 od&r == — 1 ist, ttj = 1^1 + ^j. . 2 ^ / oder = 1 ; 2) wenn K|, = 1 (mod 2), (II). So ö/f 0)^ CTB JJcsi uom r^pws (Rjj;) ?si, weÄme mim: ^.=(i-?)(i-?)'(i-.y».. und setse a^ ^ 1, falls die Zahlen Tj._j- 2"^^-! imd 2"'^*- t^.^^ TOcAi öesde äurdi, 4 (eiföw simi; andernfalls aber hilde man für (f^, gemäß der Formel (6n), eime Einheit ö^, m»m? setee." Die Itichtigkeit diesctr Ausdrücke ergibt sich mit Hilfe eines Schlusses von n—1 auf n. Wir erwähnen noch folgende Relation. Bedeutet M — 1 die Anzahl aller durch 4 teilbaren Gfrößen Tj' 2""**- Tj^[, so hat man Die Kongruenzen fQ^^m (mod 2") smd sehr emgehend tod Herrn C.Jordan in der Abhandlung Sur la forme eannniqiie d(\ 'oiK/niences dit second degre et le nombre de leurs sohittons*) untersucht worden Die Über diesen Gegenstand hier angestellten Betrachtungen sind indes wesentlich anderer Art. Die am Anfange gegebenen Werte der Zahlen H'j und X^ wird man auch aus Art. 8 des Memoire sm la repre'sentation des nombres par des sommes de cmq ca/rres**) von H. Smith ableiten können. 7. Die Größen /{al In ihrer Abhängigkeit von den Charakteren C. Die Einheiten, welche in den Größen f{q] auftreten, sind offenbar Invarianten der Form f. Sie müssen sieh daher mit Hilfe der besonderen Charaktere C ausdrücken lassen, die wir in 2. aufgezählt haben. Um dieses darzutun, setzen wir f, wie in 2., als charakteristische Form *) Journal de Liouville, Deusieme Sörie, T. XVII, 1872, pp. 368—403. *•) MiSmoires prfeenti5s ä rÄcadfimie des Sciences de Paris, T.'XXIX. No. (Collected Papers, vol. II, p. e23,) y Google Anzahl der l'or 183 ihres Genus voraus. Die aus den ersten h Reiheu von f gebildeten sym- metrischen Minoren mögen also Werte ^ißi^^ifi, von solcher Art liefern, daß ein jedes ^,, relativ prim zu 2oiög , . . o„_j und zu f^^^- fi^^i aus- fäRt, Ferner aei / primitiv. Bedeutet q aimächst irgendeine ungerade Primzahl, die nicht in A aufgeht, so hängt /'{s}? außer von der Zahl n, nur in dem Falle eines geraden n, noch von einer Einheit ö ab. Man findet die.selbe gleich i{=l)lA\ ej)i Ist weiter q=p irgendeine ungerade Primzahl ans A, so sind, laut Voraussetzung, sämtliche Zahlen {p] gehört zu jeder von den X Zahlen x,., welche gerade ausfällt, eine Einheit 9. Setzt man ^j_i = »' *j = s, und ist also s — r = x^-^O (mod 2), so nimmt eine solche Einheit den Wert nn: Endlich sei q ^ 2. Nach Voraussetzung sind alle Zahlen tp^ ungerade, und f stellt eine Gnmdform für den Modul 2 vor. Man gewinnt dabei', nach F. Q., pp. 34—36 [[8. 33—35]] einen Hauptrest q. = { *j + 2"». i;s + ■ ■ . + 2'"*i- 1 (tD^) . .] ) (mod 2') der Klasse f, indem man die Einzelreste d>j in folgender Weise auswählt. Zur Abkürzung sei ■9't_i = r, ö'j = s; dann nehme man, wenn t^ = 1: und wenn t^ = 2, also jedenfalls s — *■ ir^ (mod 2): (mod 2'^°'-), y Google Zur Theorie der quadratiachen Formon, 'i = ^l -I- 0,. + iO^ + a^('s H 1- 'Jr4-l'',- + 3---''.-ä^,-r| (modS'-^'-), wo die Ai irgeadwelelie ungerade Zahlen bedeuten sollen. So oft nun t^= 1 ist und die Zahlen e^-i^''* '^^'^ ^"'''j+i beide durch 4 teilbar sind, koniinen für den Ausdruck f{2] zwei aus den Koeffizienten von (t)^ gebildete Einheiten e nnd S in Betracht. Indem man wiederholt die für ungerade a und a geltende Kongruenz anwendet, ergibt sich b als eine Potenz von ~ 1 mit dem Exponenten: -v-+^v'+2-=^--.(«=>.^ [-a während S aus zwei Potenzen von — 1 zusammengesetzt erscheint, denen die eine den Exponenten: f,- — 1 fr-t-l — ■'■ fr + l. — ^ ^r + S — ^ 1's — l — ■'■ 'Ps~'^ —ä z H 5 * ö r ■ ■ • H s ■ s — +2- -1 o,-[-l und die andere den Exponenten: erhält. Die erste Potenz aus S findet man mit Hilfe der Formeln aus !•'. Q., p. 85 [[S. 7B]] gleich |(?^)(-')^"'||fe)(~«'^"l-na'). während die zweite, ebenso wie die Einheit s sieh unmittelbar durch die Charaktere (— 1) ^ und (— 1) ^ ausdruckt. Es verdient beachtet zu werden, daß in f{2] die Einheiten s und d nur in der Verbindung -■ ^^ — auftreten, wo ö" = ^ ■£'*"* die zu — <1>t gehörige Einheit ^ bedeutet. So oft ferner Tj = 2 ist, und die Zahlen e^-i 2"'' "^^ti ^""^s+i beide y Google Anzahl der Formen i. durch 4 teilbar sind, begegnet man ux f{2] einer aus den Koeffizienten von (|>j gebildeten Einheit Wir bemerken yebließlicb, daß die mit f =2o'iiiXiX^ adjungierte Form f = -y ^- - V- — << lauter Größen f [q] Uefert, welche mit den Größen f\q] identisch sind. Es erhellt dieses leicht aus dem UmBtande, tlaß die Invarianteu o^, 6,/ und die Zahlen 9);/ der Form f die Gleichungen erfüllen: 8. Ausdmck für die Formenanzahl eines Genus. Irgendein primitives Genus f sei definiert durch seine Invarianten I, Ol,, fl^, C, welche allen für die Existenz des Genus notwendigen Be- dingungen genügen mögen. Wir bilden nach den in 5., 6. und 7. an- gegebenen Regeln die verschiedenen Größen f{q\, weiche zu ; Genus gehören. Wir setzen femer wo r(i)-i/«, r(i)-i, r(., + i)-«r(..). Wir wollen von dem Falle absehen, wo n — 2 und (— V)'o-^ — A eine negative Quadratzahl ist, das Genus also lauter zerlegbare Formen enthält. Schließt man diesen Fall aus, so besitzt das über alle möglichen Primzahlen g = 2, 3, 5, . . . erstreckte Produkt (16) ^ = '^«-^«,...„„_/7f2y7T3T""f{5r"7ür'"' stets einen endliehen Wert. Um dieses nachzuweisen, wollen wir in M die Größe ('-H-^)-('-;#])_ y Google 18(i Zur Theorie der quadratischen Formen. als aligememeB Glied einfüliren. Solches kann leicht gescheheu, indem man mit der Identität l=S,S....S,p^,j.77(l-i)(.-^)...(-:-^_i,^| multipliziert, wo i%^ die Summe ^ -^ bedeutet. Man weiß, daß diese Summe den Wert v-^*' rsl^ ^^^' ^^^ «uter -Bi '^^'^ ^"" Bernoull lache Zahl veratanden wird. Für jede nicht in 2A enthaltene Primzalil p kommt, wenn m = 1 (mod 2): ^ _ ^ und wenn i; = (mod 2) : Sind also die nicht in A aufgehenden, ungeraden Primzahlen, ihrer Größe nach geordnet: p, p', p" usw., so wird das unendliche Produkt: £pE^E^ , je nachdem m =; 1 (mod 2) oder « ss (mod 2), gleich 1 oder gleich der Summe: 2(^S^^. wo >n alle positiven und zu 2A relativ primen ganzen Zahlen durchläuft. Zur Bezeichnung dieser Diriehletschen Summe mag das Synihol b.[(-i)'a] dienen. Man setze nun: „ „ „ c„ ■ S^S^...S r„_n -= c„, d. i., wenn m ^ 1 (mod 2): c„=[-l) ' ■B,S,...B^__,- -~\_i, und wenn H = (mod 2): und lasse ferner o alle Primzahlen aus 2S5 durchlaufen. Dann wir endlich schi'eiben, wenn »^1 (mod 2): y Google (17) '''^-'.■ ....''\ . ■JT-fcw und weo!i w^ (mod 2): (17) M^(.„- ^--^^„ -/J£3-Z)J(-1V"'-®]. Diese Äasdrilclte zeigen in der Tat, daß M einen endlichen und positiven Wert annimnit. Für ein öenus von binären zerlegbaren Foraien gewinnt man ein — — ähnliclies konvergentes Produkt M., indem man — — ,~ an die Stelle von ■ , I treten läßt. Wir behaupten nun: Die Fffrmenanmhl unseres Genus besitst den Äiisä/mck: M-Q, wo M das angegebene Frodi^t mtd Q eine positive wnmdliche Größe bedeutet, die nw von n vnd I mtd von der Anmhl der Da/rstdlungen der Zahl (fercft die Formen des Oenus ahhängt In dm FäUen eines deßniten Genus (T = oder I = n) ist ins- besondere dieses ß gleich der ÄnsaJd aUer gansmkligen n -reihigen Substitu- tionen von der Determinante 1 , und mithin M gleich der über edle Klassen Cl des Genus erstreckten Sitmme ^^isTrS"' Wir werden uns begnügen, das vorstehende Kesultat für die Fälle definiter (und zwar positiver) Gfenera zu erweisen. Dabei werden wir von den Dirichletachen Methoden*) Gebrauch machen, und in den Fällen )ä > 2 einen Schluß von n — 1 auf n zu Hilfe nehmen. Zweiter Teil. 9. Das MaB uiiies positiven Genus dargestellt durch einen gewissen Grenzwert. Ein positives Genus G von w (^ 2) Variablen sei definiert durch seine Ordnung 0: und seine Charaktere C. Wir setzen voraus, daß dieselben den für die Existenz des Genus notwendigen Bedingungen genügen, d^^ aci gleich l, das Genus also primitiv. *) Dirchlet, RechereheB sur diverses applications de Tacalyse infinitesimale ä la theotie des nombres. (Grelles Jonrnal, Bd, 19, und Werke, Bd. I.) y Google 188 Zur Theorie der quadiatisohen Foimen, Es sei A die Determinante des Genus, und E eine beliebige zu 2A relativ prime ganze Zahl Durcb die Kenntnis der Invarianten und C sind wir befähigt, die Reste unseres GfenuB für einen jeden beliebigen Modul hinzuschreiben. Insbesondere können wir also irgendeinen Haupt- rest y in bezug auf den Modul 0^ ■ 8A-R angeben. Der erste Koeffizient von q) heißa e^a. Die Zahl k ist dann sicher relativ prim zu 8 AB. Wir richten unser Augenmerlt auf den quadratischen Charakter von a in bezug auf den Modul SAH. Enthält A im ganzen b ungerade Prim- zahlen S, und ß im ganzen t ungerade Primzahlen r, so wird dieser Cha^ rakter durch die Gesamtheit der folgenden 2 -f- b 4- t Symbole definiert: «w (-«°^. a (I). (-:)■ Diese Symbole können zum Teil Charaktere des Gfenus Torstellen, zum Teil können sie bei anderer Wahl des Restes

l ist, nicht die Bedingungen (7) 1^ ^ ^, ^ - . . ^ I, ^ ö, (mod 2) erfüllen. Über aUe diese Wertsysteme |^ (4= 0, 0, , . ,, 0) ei-strecheri wir alsdann die Summe um und wir wollen den Grenzwert ermitteln, welchen diese Summe für ein positives, nnendiich abnehmendes p erreicht. Die definierten Wertsysteme |; werden in einer gewissen Anzahl A von arithmetischen Progressionen li - HAB ■ X^ + v„ ^3 = 8A-R -X^ + v^, .. ., |„ = 8AB ■ X„ + »„ enthalten sein. Man bezeichne mit 2^'-'"~^> • A^, wenn k> l, die Anzahl aller deijenigen Lösungen S,^ (mod 8) von -yg>(^.) = a (mod 8), welche nicht zugleich den Bedingungen (7) genügen, und wenn x = 1, die Anzahl aUer möglichen Lösungen dieser Kongruenz; femer mit 2k-i._^^ die Anzahl aller Lösungen von fpi^^^) = Gj^cc (modj)), wenn p eine der ungeraden Primzahlen aus AB bedeutet. In den Aus- drücken von Ä^ und A^, erscheint a, wie wir wissen, nur in den Einheiten C(«). Dieser Umstand läßt erkennen, daß die Anzahl A den Wert hat: A_(8AS)".i/7j^-(l-|)4J, (5-2, 8,r) WO q die 1 + b + r Primzahlen von 8Alf durchläuft. Setzt man für die 1; zunächst nur alle diejenigen Systeme, welche in einer der A Progressionen vorkommen, so ergibt sich der Grenzwert der entstehenden Summe für ein p = + 0, nach F. Q., p. 148 [[S. 121]], gleich y Google Zur Theorie aar quadratisclien Por { SAB)-" Für die gan/.fj Summe £ wird daher ,, = gS + b + t y^ i,.i «' \i ; ; ' WO (8AJil)i das über alle Primzahlen q TOn 8A2i erätreßkte Produkt Yl (l — -) bedeutet. Eine Summe X, von ähnlicher Beschaffenheit wie £, mag jetzt nur alle solchen Systeme ^, = «j umfassen, in welchen die n Zahlen |^, Isi ■ ■ -i ^ keinen gemeinschaftlichen Teiler haben. Offenbar entstehen alle mög- lichen Systeme ^j, wenn wir diese besonderen Systeme x^ mit allen posi- tiven und KU SAR relativ primen Zahlen z multiplizieren. Man findet daher und in der Grenze für p =- 0: Die hiei* auftretende Summe hat bekanntlich den Wert; (8AJfX-S„, wenn jS^, die Summe 1 -f -^-„- + -S7, + ■ ■ ■ ^nid (8 AB),, das über allti Prim- zahlen q von 8AÜ erstreckte Produkt / / (l ~ir) ausdrückt. Wir bemerken noch, daß die Summe X. sich in t{f") untereinander identische Summen Xp zerlegen läßt. Dabei ist imter t{f)j wie in 1., die Anzahl aller Substitutionen von der Determinante 1 verstanden, welche die Form /' in sich selbst transformieren. (Solche Summen X^ haben dann auch in Fällen indefiniter Formen einen Sinn.) Wir bilden endlich die Doppelairmme: erstreckt, einmal: über alle die in äquivalenten Formen f{^ rp, mod 6, - 8Aif), die wir oben als Repräsentanten der einzelnen Klassen des (rciius auf- y Google ÄnEabl der Formen in einem Gemiä, |91 gestellt hatten; und dann, für jede dieser Formen /': über alle solehen Systeme x^, x^, . . ., «„ ohne gemeinsamen Teiler, weiehe einer Kongi'uenz 'l^} = «2a (modSAJi) geniigen, wo z zu 8 ATE relativ prim ist, und weiehe dabei, falls x > 1, nicht alle Bedingungen (7) x^ = x^ = - ■ ■ = x.^ = G^ (mod 2) erfüllen. Der Grenzwert l der früheren Summe X hatte sich als unabhängig von der speziellen E'orm /' erwiesen. Infolgedessen muß der Grenzwert L dieser Doppelsumme gleich f x^ jj^^ sein. Durch die hier erscheinende einfache Summe ist aber das Maß M unseres Genus dargestellt; man erhält demnach: L^e„- '^ ■ -- '-- ■ ■ ^_' . 17^, ■ -^li"- (i = 2, ., r) " a^ + h + t (8Aii)„-S^ VA 11 ' Wir werden jetzt für L einen zweiten Ausdruck ableiten, und durch Vergleichung der beiden Ausdrücke werden wir dann die in S. auf- gestellten Formeln als richtig erkennen. 10. Bestimmung öesselh«n Grenzwertes auf anderem Wege. Wir huben soeben den Grenzwert L gefunden, indem wir uns die Summe S erst nach den einzelnen Formen f, und dann nach der nume- rischen Größe der Zahlen --■-* geordnet dachten. Nun handelt es sich in S um lauter positive Glieder; wir müssen daher zu demselben Grenz- wert L gelaufen, wenn wir die Summe S direkt nach der Größe der Zahlen — f{x^ = m anordnen. Durch ein solches Arrangement entsteht für S zunächst ein Ausdruck von der Gestalt: M{m ) >2- WO die Summation alle positiven Zahlen m betrifft, die zu 8A7? relativ prim sind und den Gleichungen G(m) = Cia) genügen. Für jede dieser Zahlen m hat die Größe Jf (m) folgende Bedeutung. Es bezeichne m{f), wie oft eine bestimmte Form f die Zahl a^m mit Hilfe von Systemen x^ darzustellen vermag, welche keinen gemeinsamen Teiler > 1 haben, und außerdem, falls )t> 1, nicht alle Bedingungen i^7~i erfüllen. Dann ist: y Google 192 2ur Theorie der quadratiechen Formen, wo die Summe sich über alle die Formen f erstreckt. Die Größe M{m) bildet also, wie wir uns nach F. Q., p. 142 [[S. 116]] ausdrücken, das Maß für alle die definierten Darstellungen x^ der Zahl ffjm durch die ver- schiedenen Formen f des Genus G. Treten in der Zahl m im ganzen ft ungerade Primzahlen p^, p^, ■ ■ ■, p^ auf, so erscheint, nach F. Q., p. 143 [[S. 117]], dieses Maß M(^}i) als das 2''-faohe YOn dem Maße eines bestimmten positiven Genus G()k) von Formen mit n — 1 Variablen, welches enge mit dem Genus G zusammen- hängt. Von den Sätzen, welche diesen Zusammenhang feststellen, wollen wir hier soviel anführen, als für die Bestimmung der Größe M{m) von Wichtigkeit ist (vgl. F. Q., art. XVIE [[S. 102—113]]). 1. Es sei zunächst w — 2, in welchem Falle A und öj identisch sind. Je nach der Beschaffenheit der Zah! m bieten sich zwei Möglich- keiten dar. Entweder ist für die Zahl m die quadratische Kongruenz — A-^E^s^ (mod 6^in) nicht losbai In diesem Falle existiert auch das Genus G(m) nicht, und man hat sein Maß gleich zu setzen. Odei diese Ivongruenz ist lösbar und besitzt 2-" Lösungen s (mod e^m). Alsdann wud das Genus G{m) von der einen Form 2, so erkennt man zunächst, daß die Invarianten von G{m) durch die Zahl m\G{m) ^ C{u)\ und die Invarianten von G stets in solcher Weise ausgedrückt sind, daß das Genus (?(m) wirklich existiert. Wir haben bereits bemerkt, daß dieses Genus sich als positiv erweist. Man findet es auch primitiv. Seine Invarianten o und ff erlangen die Werte; Es sei A^ =77"'""'' ""'' 3^^= JJ"'''''^^"""'''- ^^™ßi' f*^^^^ ^«'•'le Cli^- yGoosle Anzahl der Pormen in einem Genus. 193 raktere derart aus, daß für jede seiner Formen g = ^^ c,.j. §, ^j die — Kongruenzen : (18) — o^c^i^ = a-^S). (mod a^m) je 2'' Lösungen zulassen. Wir nelimen nun an, die Formeln aus 8. seien bereits für den Fall w ~ 1 erwiesen, imd wir wollen dieselben benutzen, um das Maß YOn G{m) aufzustellen. Wir bilden zu dem Behufe für irgendeine Form g dieses Genus alle Großen g{i], und wir schreiben: ('-)(-^-C-7Bf)^ L G{m) erhalten wir dann einen Ausdruck: . .t^!_^.^^_!. . E^^E.'-E.^. . . JS/ wo c„__^ eine Konstante bedeutet; und die Größe M{in) ergibt sich gleich diesem Ausdrucke, multipliziert mit 2". Es sind jetzt die Größen E^ zu ermitteln. 1) Ist zunächst q irgendeine ungerade Primzahl, die weder in AJEi, noch in m aufgeht, so kommt nach 8., wenn « ~0 (mod 2): und wenn « es 1 (mod 2): 1- /(-i) ■ In dem letzteren Falle hat man zugleich" 1 ) = ( ) Bildet maii das Produkt JJE^ über alle nicht in 2Afi»; aufgehenden Primzahlen q in ihrer natürlichen Reihenfolge, so kann man für dasselbe, je nachdem « s= (mod 2) oder w se 1 (mod 2) ist, entwedei 1 ndei die Summe i>„-iL(— l)"'^~ffi»»Afi=J setzen. 2) Ist weiter q=p eine der p ungeraden Primzahlen aus m, und p^ die höchste Potenz dieser Primzahl, welche m teilt, so besitzt das Genus G{m} Reste vom Typus: g^c%'^p'{c,%,'+--- + c„_^V._i) {mo&p'), (t>d) wo die Größen c, (\, . . ., c^_j sämtlich zu p prim sind. Aus den Kon- gruenzen (18) erschließt man das Bestehen einer Kongruenz: y Google 194 Zur Theorie der quadratisclien Formen. — OyC = s^ (mod ^); man findet ferner: (iCj . . . c„_.g SS (— "') ■ A^ (mod ^'"''). Im Falle eines n^O (mod 2), wo zugleich (— — 1 = (— ] , kommt also ;eben in diesem Falle: K"- dagegen, wenn k je; 1 (mod 2): ^p" = 2" ■ 3) Ist endlich g eine der Primzahlen aua SAB, ao besitzt das ge- gebene Genus G für einen jeden Modul q' Haaptreste f^ mit einem ersten Koeffizienten G^m. Ana diesen Hsmptresten entspringen, nach den Sätzen aus F. Q., arfe. XVIII [[S. 102—113]], in einfacher Weise Hauptreate des Genus G(m). Bedeutet q zunächst eine der ungej-aden Primzahlen /, r, so hat ein f^ den Typus: f,~e,mi'+ ^''^^^ (modg'). Der hier auftretende Rest /'''■' (mody'-"'') bildet dann einen Beat des Genus G{m). Ist g = 2, so 'müssen die Falle öj = 1 und o^ = 2 unterschieden werden. Im ersteren Falle hat ein /j den Typus: f^-mh,^ + ^' (mod 2'), wo /■''^i einen in bezug auf 2 primitiven Rest vorstellt, welcher im Falle Oj^ = 1 (mod 2} eine erste Invariante ö gleich 1 liefert In diesem /'''' (mod 2'"*"!) finden wir einen Rest von G(m). Im zweiten Falle (ö, — 2) hat f^ den Typus: fi « f (^1 f, -^ 2(m|ä + Ä^ l+mi^) + -—-■ (mod 2'), wo Ä ungerade und /"*^' primitiv in bezug auf 2 ist, und man gewinnt in fm ^ (^.a^jrA'> rj' ^ 2ög/-(^i (mod 2'+') einen ftest des Genus G(m). y Google AiiKahl der Formen in einem Genus. 195 In allen Fällen ergibt sieb, nun, nach 5. und 6., wenn t groß geuug gewählt ist, die Beziehung: ■wobei A,^ mit der in 9. auf diese Weise beKeicbneten Größe ideutisch ist. Für die Ausdrücke E^ und E^ folgt hieraus, wenn w = (mod 2) und > 2, die Gleichung: und wenn « 3S 1 (juod 2) : _Ei_ AiiBu Im Falle w = 2 findet man in ähnlicher Weise: f{q\ — -^j, also, da hier E^ = ~.- ist: A^E,^ = 1. Fassen wir alles Vorhergehende zusammen, so können wir die Große M(m), wenn w > 2 ist, in folgender Form sehreiben: ~— ■ JJ^A^E^ ■ (m), (<1 = 2, d, r) wobei im Falle eines geraden n: und im Faüe eines ungeraden n: (•■') - (Sit; ■ ■°»;-''-'^ lf'\>»AiS'] . Dieser Ausdruck bleibt nun auch für w = 2 gültig, wenn Ci = 1 ge- nommen wird. Wir vergleichen jetzt den früher gefundenen Ausdruck von L mit dem Grenzwerte Lim ( o ^ - \ ■ Dadurch erhalten wir eine Be- Ziehung für das Maß M des gegebeneu Genus. In dieselbe setzen wir jjf = c„ ■ ^ ^-—■~— ■ Yl^) ■ ^^ ■ -^c C^ = ^' <*' wo Dr = J sei für ein ungerades n, und gleich 7>„L(— 1)^ AiJ^J für ein n, und wo 2!) = A ■ E^ und ^ c^ = 2^(h-2); =-^.|-(«=eO, mod2i m>2); yGoosle 196 Zur Tkeorie der quadratisclieii Formen. die Größen aus 8. bedeuten sollen. Die Größe M^ erweist aicli dann als unabliängig von der Zahl B^ und es wird Mg = 1 sein müsaen, damit die in 8. für M aufgestellten Ausdrücke in Wirküchkeit gelten. Schreibt man noch '-q für 9, so lauten die Endformeln: wenn n^2, wenn w is (mod 2) ivad > 2, (20) ( 8AJi), i>A_{—iyABU wenn « ^s 1 (mod 2), ' + f-'f^^^ (21) (SA«, (8AÄ),_^.S,,_^, j. gS + b + r' {8ÄÄ)„.S„ * ^"0 _Lim!(_2',/'Ti-"iJ(" Dabei durchläuft m, wie erinnert werden mag, alle positiven und zu SAR relativ primen ganzen Zahlen, für welche die 2 + b + t Ein- lieiten «w (-1)"^'. (=)' (f). (-:') gewisse feste Werte annehmen, die für ein n ~ 2 jedenfaUa der Bedingung ,„ = 1 genügen. ... (8Ajri)i Diese Zahlen m bilden offenbar die Individuen von (8Aif)" ■ s + b + c arithmetischen Progressionen SAB ■ U + m^, (P=0, 1, . . ., oo) von der Differenz SAH. Infolgedessen muß nach Dirichlet die bestehen : (8 AB), (221 T = Lim {^2M Von derselben werden wir sofort Gebrauch machen, um in allen Fällen das Resultat Mn= 1 abzuleiten. 11. Beweis, daß Ma=l ist. Wir schicken die folgende Betrachtung voraus: Es sei eine ganze positive oder negative Zahl JV teilbar durch ai! ungeraden Primzahlen, die unter einer gewissen Grenze G^ + 1 liegei y Google Anzahl der formoa in einem Gfenna. 197 ferner soll p die sämtlicheu Primzahlen irgendeiner zn 2N relativ primen Zahl m durchlanfen; endlich sei v > 1 und y — die Ungleichungen: 1 - ;' < I>rW\ < 1 + r; K (^^'K ■ -5,. < i + y; In der Tat, man erhält zunächst wo die Sumniation sich auf alle zu 2^ relativ piimen und positiven Zahlen m bezieht. Die kleiaste dieser Zahlen ni, welche von 1 ver- schieden ist, besitzt mindestens den Wert G + 1. Die vorstehende Summo liegt daher zwischen den beiden Größen: 1 ± ((ff+"iy> + (e + 2? + ■■■)■ Da nun A... < r^ He -?-')> r +-ß?+ ,r TFe T^n +- ; :j > r^ > ^ ^ ''■ Auf Grund der vorstehenden Ungleichungen können wir jetzt in allen Fällen, wo m > 4 ist, die Beziehung Jfg =- 1 nachweisen. Wir wählen einfach die Zahl M derart, daß in AK sämtHche un- geraden Primzahlen auftreten, die kleiner als eine Zahl G + 1 sind. Unsere Ungleichungen liefern uns dann, wenn n ungerade und > 3 ist, für alle Größen: i),^[(-lf''«».»Aff], (8AB)„.S,, (8i-jiJ_'j,s,_,, y Google 198 Zar Theorie der quadratiiciien Formen, und wenn n gerade und > 4 ist, für alle Größen: -.[<- .(-J)'AE'J einmal obere und dann untere Grenzen, Indem wir erst diese oberen und dann diese unteren Grenzen einsetzen und jedesmal die hervorgehende Ungleichung durch die Gleichung (22) dividieren, bekommen wir, wenn w = 1 (mod 2) und > 3 : r+^h" ^ ^^' ^ C ^ \') ^^ ^ ^"-'^' und wenn » = (mod 2} und > 4:. wobei y. für — r gesetKt ist. Lassen wir jetzt die Zahl G ins IJnend- liehe wachsen, so folgt in der Tat; M^ = 1. Es bleibt uns noch übrig, die Fälle n^2, 3, 4 zu untersuchen. Ist M = 2, so nehme man R— 1 und betrachte zu gleicher Zeit alle die Grenzwerte L(m), welche die rechte Seite der Gleichung (19) dar- stellt, wenn man den 2 + b Einheiten C(tn) alle die Wertsysteme bei- legt, die der Bedingung ( — j = 1 genügen, Man bilde aus diesen 2^''"'' Grenzwerten ebensoviele lineare Kombinationen: ^c(m) L(m) = L^; c(m) bedeute hier ein beliebiges Glied des über aUe Einheiten C'(m) er- streckten Produktes JJ\1 -\- C{mi\\ Ton je zwei Einheiten c(ni), die ein Produkt gleich f 1 geben, soU aber immer nur eine beibehalten werden. Ans den Summen L^ folgen umgekehrt die Großen i(m) mit Hilfe der Gleichungen 2* + '' ■ -t(m) =-^c(ff() J-^ Die Grenzwerte L^ sind von Dirichlet angegeben. Unter ihnen ist nur einer von Null verschieden, nämlich derjenige, welcher zu c •=■ 1 = I 1 gehört; dieser besitzt einen Ausdruck, aus welchem sofort M,^ ^ 1 hervorgeht. In den Fällen ii ~ ^ und n = i gehe ich für die Relation iK^ = 1 einen Beweis, welcher sieh auf die Satze aus der Anmerkung zu 9. stützt. Übrigens ließe sich für diese Fälle noch dieselbe Methode verwerten, welche in den Fällen n >4 angewandt wurde. Für w = 3 sehe man auch: Smith, On tJie Orders and Genera of Tenuiry Qiiadratk Forms, artt. 13 y Google Anzahl der Formoa in einöHi Genus, 199 —21 (Phil. Trans. CLVII, 1867; Colleeted Papers, vol. I) und: F. Q., pp. 156 —159 [[8. 127—129]]; für »-4: F. Q., pp. 162-163 [[S. 131—133]], und: Smifchj Biir la repre'sentation des nombres par ime somme de cinq carres (Meni. pres. T. XXIX; Colleeted Papers, vol, 11). Ist w = 3, so konstatiere man zunaclist, daß dem speziellen Genue G Ton der Ordnung welches die Formen von der Determinaate 1 enthält, ein M^— 1, d. i. ein ^ '^ ä't zukommt. Bekanntlich bilden alle Formen von G eine ein- zige Klasse, welche durch f = Xi^ -i- x^^ -\- x^ repräsentiert wird*), und dieses /' laßt in der Tat genau 24 Transfoiinationen von der Determi- nante 1 in sich selbst zu. Die Anwendung der Oleiehung (21) auf G liefert: wo m alle positiven und zu 2Ii relativ primen Zahlen mit festen Einheiten: ('^'-•^- C). {")' ©. -■. © zu durchlaufen hat. Dabei ist nach 9. Anm. die Einheit (— 1) ^ stets gleich + 1 zu nehmen, während die übrigen Einlieiten ganz nach Be- lieben gewählt werden dürfen. Die vorstehende Formel benutzen wh; um für ein beliebiges teniäres Grenus G von einer Ordnung C::::) die ßelation 11^ = 1 abzuleiten. Nach (21) genügt die Größe Mg eines solchen Genus jedenfalls einer Gleichung wo m alle positiven und zu 2A relativ primen Zahlen mit bestimmten festen Einheiten "<«> (-1)"^' ©. (f). ©. -. (i) durchläuft. Wir betrachten zuerst den Fall, wo ffjö^ und ö^öj beide vollständige Quadrate sind. Das Genus G werde durch eine charakteristische Form f repräsen- *) Vgl. z. B. Dirichlet in Crelles Journal, ßd. 40, S. 228. (Wcrlie, Bd. II, S. 92.) y Google 200 Zur Theorie der quadratiachen Pormen, tiert. Der erate Koeffizient von f heiße ö^ip^, and es sei a.,tp^ der erste Koeffizient der zu f adjungierten Form. Die Zahlen (p^ und ^ ^ Xg^ (mod &2^(pi)- l")ieseil)en geben also 5jj HS l, 9)j lES 1 (med 4), was nur mit 6^= 1, 6^^1 verträglich ist. Denn hätte mau etwa ff^ = 2, so würde die zweite Kongruenz zugleich — g^j ^ 1 (mod 4) liefern. Nach 7. besitzt nun unser Genus den Hauptrest ^ der Ordnung 90 ergeben sich die Grenzwerte [m] glei I.im{52'./t?A[-#m]j, WO m wie vorher ileihen von positiven Zahlen mit festen ('harakteren C(m) = ± 1 zu durchlaufen hat. Hier ist für die Einheit (—1) ^ , nach 9 Änm, stets dei "Weit +1. zulässig. Wenn man d =^ B., resp. = 2B, setzt, kinn man also fiii dtn vorstehenden Grenzwert die Foiiuel (23) benutzen, nnd min gelan^fc zu Mf, = 1. Ist endlich n — 4: so haben wn einen Grenzwert zu ermitteln, wo in alle positiven und zu 2A relativ primen Zahlon mit festen Einheiten c(») (-1)'"^'. (i). (i). ©■■■■' '0 durch^uft. Wir bilden aus A durch Division mit einer möglichst hohen Potenz von 4 eine Zahl Ag . Die Größe JM",, für irgendein Genus der Ordnung ^^ ^ (i, 1, aJ hängt dann gleichfalls von irgendeinem Grenzwertu [m\ ab. Für ein solches Genus unterliegen aber, nach den Sätzen aus 9, Anm., die Ein- heiten C(»») durchaus keiner Beschränkung. Alle die 2^*^ Grenzwerte ( m ] mössen also untereinander gleich sein, und wir können sie gleich dem 2^'*'^"'" Teile ihrer Summe setzen. Diese Summe wird durch einen ähnlichen Grenzwert gebildet, wo m alle möghchen positiven und zu 2A relativ primen Zalilen durchläuft. Dieser letzte Grenzwert gestattet nach F. Q., p. 1.50 und 162 [[S. 123 und 132]] eine Transformation in: welche dann unmittelhar zu il/,, == 1 führt. Von den verschiedenen Darstellungen, deren das Maß eines Genus fähig ist, erscheint als die natürlichste die hier gegebene mit Hilfe eines unendlichen Produktes, in welchem einer jeden Primzahl ein bestimmter y Google 202 Zur Theorie der quadratischen ITormen. Faktor entspricht*). Ihre Bedeutung reicht über das spezielle Gebiet der quadratisohen Formen hinaus: es zeigt diese Darstellung, daß zur Lösung arithmetischer Probleme üher Pormenan zahlen ein Studium jener wichtigen Gfruppenbildungen erforderlich ist, auf welche HeiT Gamille Jordan in Nr. 302 des Tratte des SuhsUtuMons aufmerksam gemacht hat. Ausdrücke fiir das Maß eines positiven Genus quadratischer Formen von n Variablen sind zuerst von Henry J. Stephen Smith in der Note On fhe Orders and Genera of Quadratic Forms containing mm-e fkan three Inddmninates (Roy. Sog. Proc. XVI, 1868, pp. 197—208; CoUecied Papers, vol. I, pp. 510 — 523) mitgeteilt. Die Formeln von Smith sind ähnhch unseren Forjnehi (17) in 8., erschöpfen aber nicht alle Fälle; sie geben im wesentlichen die Werte der von uns E^ genannten Faktoren für un- gerade Primzahlen q, doch für die Primzahl 2 nur in den weniger ver- wickelten Fällen, wo das Genus eine ungerade Detenninante hesiizt. In einem folgenden Aufsatze beabsichtige ich verschiedene Anwen- dungen der hier gefundenen Resultate auseinanderzusetzen. Vita. Natus sum Hermann Minkowski in Russiae oppido Alexoten die .\.XIL mensis junii anni 1864. Anro 1872 in civitatem Borussorum suaeeptus, gymnasium Palaeopolitanum Regimonti adii. Vere anni 1880 maturitatis testimonium adeptiia, per quinque aemestria Regimonti, per tria Berolini studiis mathematieis incnbui. Docuerunt me viri illustrisaimi: de Helmholt/, Hurwitz, Lindemann, Kirchhoff, Kronecker, Kummer, Runge, Voigt, Weber, Weiorstraß, quibus omnibus op- time de me raeritis gratias ago masimas, Thesen. I. .Ks ist nicht widiracheinhch, daß eine jede positive Foi-m sich als eine Summe von Fonnenquad raten darstellen läßt. II. Es hat seine Bedenken, in mathematischen Üfitersuchungen sich auf räumliche Anschauung zu berufen. Öffentliche Verteidigung, der Dissertation und der Thesen: am SO. -Tuli 1885. Opponenten; lleir Dr. David Hilbert, Herr Emil Wiechert, stod. math. *) Ich habe auf diese DarsteUung im. B9. Bande dos Journals für die r angewandte Mathematik hingewieBen. Diese Ges. Abhandlungen S. 150—15: y Google über den arithmetisclien Begriff der IquiTalenz und über die endlichen Gruppen linearer ganzzaUiger Substitutionen. (Crellea Journal für die reine und angewandte Mathematik, üand 100, 8.449 — 468). Herr Kronecker stellt in § 24 (S. 107) seiner Festschrift ä^x Herrri Kummers Doktor-Jvhüäwm*) sm eine rationelle Fassung des arithmetischen Begriffs der iquivalenz von Formen die Forderungen, daß auf Grund einer solchen die rerschiedenen Formenklassen gleich dicht werden, und die Anzahl der Klassen möglichst klein ausfalle, und entwickelt in §§ 1 und 2 der Abhandlung; über hüineare Formen mit vier Variäbeln"^'), wie diesen Forderungen für definite quadratische Formen mit zwei Variablen genügt werden kann. Dabei erscbeiat der Umstand von wesentlicher Bedeutung, daß diese Formen, abgesehen yon der identischen und der negativen iden- tischen Transformation, keine eigentlichen Trausformationen in sich zu- lassen können, welche modulo 2 der identischen Transformation kon- gruent sind. Im folgenden will ich zeigen, m welcher Weise die Ivroneckerschen Forderungen fiii' alle diejenigen homogenen ginzen iormen irgendeiner Variablen zahl zu erffiüen sind welche nur eme endhche Zahl von linearen ganzzahligen Transformationen m sich zula'^seii, iIsd beispielsweise för alle wesentlich positiven (oder wenenthch negativen) ^uadiatischen Formen von niehtverschwindender Determinante Es tfibf JiPtne homogene Imeaie ganze qanz''abliqe StibsÜtution mit n Variablen von einet cncUicken Oidnnng itelclie modulo 4 der identischen, Substituhon kongruent wäre, diese leTbst ausqefnommpn Denn es sei J r =« iV,+ «8" 4 + ' ." (I =1;2,.,.,») *) Orelles Journal, Bd. 93. (Werke, Bd. IT, S. 370.) *•) Abhandlungen der Berliner Akademie, 188;!, (Werke, Bd. ü, S, 429.) y Google 204 Zur Theorie der quadratiathen Formen. eine solche Substitution, es mögen also dio Kongi'Uenzen gelten: ffl,,,,E^l, a„=0 (mod4) (h + k). Damit A eine endliche Ordnung besitze, ist notwendig und hin reichend, daß die Elementarteiler der mit einem Parameter r gehildcten charakte- ristischen Determinante nnr für Wurzeln der Einheit verschwinden und sämtlich linear aeien*). Bedeutet fy{r), für irgendeine ganze Zahl i'>l, diejenige irrednk- fcible ganze Funktion y(v)*™ Grades, welche für die primitiven w'™ Einheite- wurzeln Null wird, und deren höchster Koeffizient gleich 1 ist, ao wird also die Determinante A jedenfalls einen Ausdruck erhalten (1) ('-i)'f,Jr)f,.(')'--f,fi). (>»iO,.>i) WO die ganzen Zahlen m, v der Bedingung genügen werden (2) n = m + 9>(vO + m + g. Man setze nun für r irgendeine ganze Zahl c = 1 + 4 (mod 8) ein. Dann muß die Detenninante A durch 2^" aufgehen, weil jeder ihrer Koeffizienten durch 4 teilbar wird. Untersuchen wir die höchste Potenz von 2, welche in (1) orscheint. Geht in einer Zahl v die Potenz 2", aber nicht mehr 2''+^ auf, so folgt c^ = / = 1 + 2'+ ^ (mod 2" + »); also wird c" — 1 genau die Potenz 2' + ^ aus iv enthalten. Nun hat ein /"„()■) bekanntlich den Ausdruck (ry -l)(r '''^-l)(r"''- l)... ir-^l)(rJ-l)iry-l)... wenn k, jj, y, . . . die verschiedenen Primzahlen aus v vorstellen; also ent- liält /"„(c) dieselbe Potenz von 2 wie Die letztere Zahl ist gleich 1, wenn die Zahl v sieh aus mehreren verschiedenen Primzahlen zusammensetzt, dagegen, wenn v Potenz einer einzigen Primzahl ist, gleicli dieser Primzahl, also entweder ungerade oder ') Hormite, Grelles Journal, Bd, 47, 8,312 (Oeuvres, T. I, p. 199); C. Jordau, CreUes Journal, Bd. 8*, S. 112. y Google über die endliöhen Gruppen ganzzailiger SubBtitiitionen, 205 gleich 2. Irgendein fjc) ist also höchstens durch 2, das ganze Produkt (1) für r — c also höehatena durch die Potenz 2*™+^ teilbar, die wegen (2) stets < 2^" ausfällt, außer im Falle m -= n, wo dann überhaupt kein Faktor f^{r) in A auftritt. Demnach verschwinden die Elementarteiler von A nur für r = 1, vmd da sie sämtlich linear sein sollen, so müssen in A für j- = 1 selbst die Koeffizienten versehwinden, d. h. Ä ist die identische Substitution, w. z. b. w. Bin Quotient aus zwei verschiedenen, modulo 4 kongruenten ganz- zahligen Substitutionen von endlicher Ordnung ist eine ganzzahlige Sub- stitution von unendlicher Ordnung. §2. Zwei ganzzahlige Substitutionen A und S~'-ÄS sollen im folgenden nur dann als ähnlich bezeichnet werden, wenn die transformierende Sub- stitution S ganzzahlig und von einer Determinante ± 1 ist. Ist A modulo 2 der identischen Substitution kongruent, so gilt das- selbe von jeder ähnlichen Substitution. Hat für eine Substitution A die charakteristische Determinante A einen Ausdruck {*--!)'"(»■ 4-1)"-™, dann gibt es ähnliche Substitutionen, in welchen: a^^^O (h<]c), «,,= 1 {h^m), «^^"-1 (h>m). Denn ist A nicht selbst eine solche Substitution, so sei in A v der kleinste Wert von h, für welchen diese Gleichungen nicht mehr statthaben. Dann bildet die Determinante .»•^«-"aa Qh lc^v,...,n) einen Divisor von A und verschwindet, wenn v ^ m, noch für r = £ = 1, wenn v > m, für r = « = — 1. Man kann daher n — v -\- 1 ganze Zahlen s^,...s^ ohne gemeinsamen Teiler bestimmen, so daß 'h-^«,.A (;.,*-.,..,«) wird, und ferner eine Substitution S mit einer Determinante +], so daß man in S"' '■II'. C/' m) ist. Damit die ElementarteÜer von A* lineai- ausfallen, muli noch < = {m>l>l), k>m) sein, so daß man m A* hat: i^j. — Vh Q^ £ »»). ^--k -^^PkhVh -y,. ih>m, k = l,.. ., m). Dann ändet man ^1*= P~^9tP, wenn P die Substitution */.= Ä (A^J»), ^h^—^PiaVt + yk (/i>m, /r = l,. . ., wi) und S( die Substitution ^i.= Vh (h^l,.. ., m), X, y, {h = m + l,-. ., n) bedeutet, womit unser Satz bewiesen ist. Ist < m < w, so zerlegt sich jede quadratische Form, welche durch 3t iu sich selbst transformiert wird, in /i + /'a, wo t\ nur von x^, . .., x^^ und /j nur von 3^„+ii ■ ■ -j ^n abhängt. Um zu erkennen, inwieweit die gefundene Darstellung von A will- kürlich bleibt, untersuchen wir eine Gleichung: Mau denke sich iS und 21 als bilineare Formen mit zwei Reihen von n Variablen, teile jede Reihe in m uud n — m Variablen ein, und zerlege entsprechend S in vier Teile und % in St^— Stji dann ergibt sich (A\i + «13 + Ä,, + Sj,)(Mi - %) = (Sti ~ Stj)(Sn + Sis + S,^ + Ä,a), also S^,= 0, Ss, = und S^'Sii + Sga, S^^ =±i, ['^^^ ^ +^. yGoosle über die endlichen Gruppeu ganKnahUgei' Substitutionen. 207 §4. Es bedeute wieder A eine, modulo 2 der identischen kongruente Sub- stitution, und es werde gesetzt: «^^=£j (mod 4), s,^— irX. Dann sind in bA, wenn £ die Substitution ==.-«,.!/,. (4-1,2,...,«) vorstellt, alle ungeraden Koeffizienten == 1 (mod 4). Hat ferner letzteres für irgend zwei Substitutionen statt, weiche modulo 2 der identischen Siibatitntion kongruent sind, so findet es sich auch im Produkte der- selben erfüllt. Je&e ganszahlige Substitution A: «.-2'»uS. (4,t-l,2,...,..) v'£)? ™^ NuU verschieden und ^ 1 ihr Vorzeichen, so erscheint diese Zahl in AS^,. *j Mocatflbericlite der Berliner Akademie, 1866, S. 608 0., oder Grelles Journal, Bd. 68, S. 289ff, (Werke, Bd, I, S. ISS ff,} y Google 208 Zur Theorie der iiuadratiBolieii Formen. durch a,,, + 2 ersetzt, also, absolut genommen, verkleinert. Alle diese Zahlen können dah.er zum Verschwinden gebracht werden. In der auf solche Weise reduzierten Substitution erfährt auch die A** Variable keine Änderung, und damit ist, unter Zuhilfenahme einea SehlusaeK von h auf /» + 1, unser Satz verifiziert. §5, 1. Es sei G irgendeine endliche Gruppe von homogenen linearen ganzen gaazzahligen Substitutionen mit « Variablen. In derselben bilden diejenigen Substitutionen, welche modulo 2 der identischen Substitution kongmeat sind, eine ausgezeichnete Untei^uppe, welche heißen möge. Die Ordnung von @ ist eine Fotem 2", ^ n :^ w. Die Grrw/^e ist ähnUch einer Untergraippe der Gruppe der 2" Suistiiutionen 3: ^,~±y,- (/* = !, 2,...,«) Eine jede Substitution © von & genügt nämlich nach § 3 der Glei- chung 'S© = t£, wenn ® die identische Substitution bedeutet. Findet man nun iii & tußei @ (und eventuell — @) noch eine Sub- stitution 31, so kann man, nach if 3, (S derart transfonniert voraussetzen, daß 31 einen Äusdiuck hat ^/. — Vi, ('i=1t , »0. ^k'^ — Vh (Ä = J*t+ 1, ■■-,«)■ Erscheint ditnn in @ außer der Gruppe {©, — S, 3t) noch ein 8, so ist auch S89r-S3£ = ®, also ^-'31© =^ 91. Kach § 3 muß daher S sieh in SSi + ^B zerlegen, wo Sj und SS^ Substitutionen mit m und n —m Variablen sind. Dieselben sind ebenso wie 33 von einer endlichen Ordnung und modulo 2 von der Ordnung Eins, können daher, nach § 3, durch Transformation mit Substitutionen S^ und i^^ von einer Determinante ^ 1 in einen, 3 analogen Typus übergeführt werden. Durch Transformation mit i\ + §2 erlaugt dann auch S den 'J'ypue S, während S( sowie iS un- geändert bleiben. Enthält jetzt ® außer dei' Gruppe j ®, - ©, 91, S9 } noch ein S, so ist S-^Ste = 2t, e-^SS® = S usw. Sollte endlich ®, auf irgendeine Weise transformiert, alle Substitutionen S enthalten, so würden damit sicher die Substitutionen von ® erschöpft sein. Denn ein jedes © müßte dann, wegen @~^S@ =^ ^, eich auf alle möglichen Arten in @j + ©g /erlegen lassen. Die Substitutionen von G verteilen sich in Reihen @i, J.@, , . , von je 2" Substitutionen, welche untereinander modulo 2 kongruent sind. Die Gruppe G ist 2"-stwßg isomorph sur Gruppe G^ der Beste ihrer Suhstittdionen nach dem Modtd 2. Letztere Gruppe bildet offenbar eine Untergruppe der Gruppe sämtlicher inkongruenter Substitutionenre.^te y Google t'bor die endliehen Gruppen zzaliliget Substitutionen, 209 modulo 2 von einer Determinante =^ 1 (mod 2); ihre Ordnung ist daher ein DiTisor der Ordnung dieser Gruppe, d. i. der Zahl: A^= (2"- 1)(2"- 2) ■ ■ • (2«- 2"-'). Also; Die Ordnung jeder endlichen (rmppe von hmuogenen linearen ganzen ganzsahliffen Substitutionen mit n Variablen ist ein Divisor der Zahl 2"N. Ein eingehenderes Studium der endlichen Gruppen ganzzahliger Sub- stitutionen, welches ich mir für einen folgenden Aufsatz vorbehalte, führt zu fundamentalen Beziehungen zwischen der Theorie der aus Wurzeln der Einheit geltildeten komplexen Zahlen und der Theorie der Reduktion der wesentlich positiven quadratischen Formen. 2. Sei jetzt f eine homogene ganze Form mit n Variablen, welche nur eine endliche Anzahl von linearen ganzzahligen Transformationen in sich zulasse; und sei f(f) diese Anzahl. Die t(f) Transformationen werden eine endliche Gruppe bilden; also isi t(f) ein Divisor von 2''N, also t(f)<.2"N. Sie sind sämtlich von einer Determinante + 1; man findet unter ihnen außer der identischen Transformation keine, welche der identischen modulo 4 kongruent wäre, dagegen noch irgend 2"— 1 Transformationen (O^n^w), welche der identischen modnlo 2 kongruent sind. Die letzteren Transformationen können im FuUe n = 2 nur sein; 1. wenn f von gerader Dimension ist, die negative identische Transfor- mation, 2. Transformationen, welche der Transformation -Vi ähnlich, also von einer Determinante - 8 8. Es bedeute allgemein S^ eine (homogene lineare ganze) ganzzahlige Substitution von einer Determinante rt 1 , jSj eine ebensolche Substitution von einer Determinante 1, iS„ eine ebensolche Substitution von einer Determinante 1, welche modulo 2 der identischen Substitution kongruent ist, ?„=[' j, i" welcher eut- ß-lzs,5==;.:=d-3ssO (,mod 4), oder « + d ^: - 2 (mod 8) und dabei nicht K + l = ^ = j, = tS + l = (mod 4) ist, y Google 210 7uc rheoriP lei qii'id atiBcIien Formen. wenn rs > 2 ist, eine ganzzahlige Substitution von einer Determinante 1, welclie der identischen Substitution modulo i kongruent ist. Die S„, die ''^ die S , alle S^ bilden tJruppen. Von solchen vier Gruppen ist jede folgende eine in sgezei ebnete Untergruppe jeder vorher- gehenden. Im Falle »; = 2 entsteht die Gruppe der S„ aus der Gruppe der ß^ durch Hinzunahme dei Substitution t:,- ~yi 's — y ■ Zwei bin re S i neu geiader Dimension wekbe dureb ein 8,^ ineinander übergehen lassen »«ich lahei auch duii,h fiu S^ ineinander überführen. Zwei homogene gaize Formen heißen nquivalent, wenn sie durch ein S„ etjettltcJ aquoaletf wenn sie duieh em S^ ineinander transformiei-t werden kon n Zwei Foin en llen volhtanätg^) äquivalent heißen, wenn sie durch ein S inemindei tiin'*! imieit weiden konneu ^ 1 wolle 1 ns a f Formen be^chianken, welche nur eine endliche Äi zahl von h eaien gau/zahl^en Tian&foimationen in sich zulassen. Jede solche jPo m i%t s cl selbst uui vermittels dei identischen Transformation vollstmli^ luivalent Daher enthalt eme Khsse vollständig äquivalenter Formen ebensoviel verschiedene Furmen, aX& verschiedene Substitutionen S^ existieren. Dti Begrift der voU^tiudigen Äquivalenz führt also, der Kroneckerschen loideiuug entspitt-hend zu einer für alle Klassen kon- stanten, nur von dei Vaiiablenzihl » abhängenden Dichtigkeit. Geht eine Form / duich /(/) Iransformitionen in sich selbst über, so wird die Klasse der mit / äquivalenten Formen, je nachdem ^^ = 2 oder >2 ist, sich in — ^^ oder in -rrp- verschiedene Klassen von unter- '(/} f[/} einander vollständig äquivalenten Formen auflösen. N bedeutet hier die Zahl aus § 5. Da t{f) stets in 2"iV aufgeht, so werden in den Fällen '*^3 die Klassen anzahlen den Faktor 2"°"" enthalten. Auf Grund der Untersuchungen von Herrn Camiile Jordan über die Zusammensetzung der linearen Gruppe {Traue des SubsUtutions, 127 — 140} läßt sieh femer nachweisen, daß man nicht durch eine von der hier ge- gebenen abweichende Fassung des Begriffs der vollständigen Äquivalenz zu kleineren Klassen an zahlen, d. i. zu einer größeren konstanten Dichtig- keit in den Klassen gelangen kann, wenn man nur folgendes voraussetzt: Die Gesamtheit der Substitutionen, welche vollständige Äquivalenz heivor- rufen, soll eine a-usge^eichnele Untergruppe der Gruppe derjenigen Sub- stitutionen sein, welche Äquivalenz hervorrufen; oder (was dasselbe ist): *) KiOQecker, Über bilinearo Foiinen mit vier Yariabeln, S. 9. (Werke, Bd. 11, S. VH.) y Google über die endlichen Gruppen ganzuahliger Substitutionen. 211 Zwei yollständig äquivalente Formen sollen, irgendeiner äquivalenz-erzeu- gendon Transformation zu gleicher Zeit unterworfen, vollständig äquiva- lent lileiben. Wollte man indes von dieser Voraussetzung absohen, so tonnte man in den Fällen « ^ 3 dem Begriffe der Tollsiändigen Äquivalenz z. B. die Gruppe derjenigen Substitutionen von der Determinante 1 zugrunde legen, in welchen ffl.j = 1 (mod 4), «,, s= (mod 4) (Ä < h), a^,^ = (mod 2) Qi > l) ist; dann würden sich Klassen von einem 2 ^ -mal so großen Formen- inhalte ergeben, jberg i. Pr., 1886. yGoosle Zur Theorie der positiven quadratischen Formen.*) (Grelles Journal für die reine nnd angewaniite Mathematik, Band 101, S. 196—202), Eine wesentlicii positive quadratischö Form von n Variablen, mit reellen Koeffizienten und nichtvers eh windender Determinante, kann — wie eine Darstellung der Form als Summe der Quadrate von n unabhängigen reellen linearen Formen leicht erkennen läßt — nur bei einer endliehen Anzahl ganzzahliger linearer Transformationen ungeändert bleiben. Jede einzelne von diesen Transformationen muß daher eine endliehe Ordnung besitzen, d. h. nach einer endlichen Reihe von Wiederholungen zur iden- tischen Transformation fähren, uad kann deshalb, nach § 1 meines Auf- satzes Über den arithmetischen Begriff der Äqui'caleftz , niemals der iden- tischen Transformation modulo 4 kongruent sein, ivenn sie nicht mit derselben übereinstimmt. Das Gleiche gilt nun in bezug auf eine jede UQgerade Primzahl als Modul; und ans diesem Umstände e]:geben sich einige Aufbohlu&se über die gesamte Anzahl der in Rede stehenden Transformationen, eme Anzahl, von welcher zuerst Herr Camille Jordan bewiesen hat, daß sie eine nur von der Zahl n abhängende Grenze nicht libersoh reiten kann ■"* i 8 1. Eine lineare Transformation ^' ^;. = <^hiy-i. + "'hiVi ■\ 1- o^h^y,, Q''^h 2, ..., w) von endlicher Ordnung ist dadurch charakterisiert, daß die mit einem Parameter r gebildete Determinante nur für Ein hei ts wurzeln verschwindet, und zwar für einen mehrfachen, *) Der nachfolgende Aufsatz wurde iu Verhindung mit dem Aufsätze Üher den arWhmeH&chen Begriff der Äquivalent (Grelles Journal, Bd. 100, S. 44B — 458; diese Qea. Abhandlungen, Bd.l, S. 201— 211) vom Verfasser im Mmk 1887 der philosophischen Fakultät zu Boim als HabilitatiouBsckiift vorgelegt. **) Journal de l'ßcole poljtechiiique, cah. 48, p. 133. y Google Zur Tlieorie der positiven quadiatiselien Formen. 213 etwa jK-faclien Nullwert zusammen mit allen ihreo (m — 1)*"" Uuter- determiBanten *). Bei ganzzahligen Koeffizienten a^^ liefert daher eine Zerlegung in irreduktible Faktoren für A einen Ausdruck: m ('-irfyWA')-; (».iO, r>l) wenn mit fjr) für eine ganze Zahl v > 1 diejenige ganze Funktion ip(vy™ Grades bezeichnet wird, welclie für die primitiven r*™ Einkeits- wurzeln verschwindet und als Koeffizient des höchsten Gliedes die Zahl 1 hat. T)er Grad von (1) ist; w = wi + (p(v'') + q>{v") H Soll die Transformation A in bezug auf irgendeine ungerade Prim- zahl p der identischen Transformation koDgrueut sein, so muß sie mit derselben zusammenfallen. Denn ist «it = ^M (modp), {li,k=l.,2,...,n) und setzt man für r eine ganze Zahl (,' = 1 -{- p (mod p^), so geht A durch p" auf. Damit aber der Ausdruck (1) durch p" teilbar werde, ist notwendig, daß in A kein /^(O (*'>!) auftrete, daß also A = (r — 1)" sei. Dehn (c — 1)"' enthält zwar genau p"", irgendein f^(c) aber, wenn v > 1 ist, niemals die Potenz pi'^"''. Letzteres sieht mau in folgender Weise ein. Ist eine Zahl v ein Vielfaches von p', aber nicht mehr von j)^"'"^, so findet man; (,'■ =i 1 4" rp (modp' + ^); also enthält c' — 1 dieselbe Potenz von p wie pv. Ein /^(r) hat den Ausdruck : wenn a, ß, y, . . . die verschiedenen Primzahlen aus v sind; also geht in /■,(c) dieselbe Potenz von p auf wie in Diese Zahl ist 1, wenn v sieh aus mehreren ungleichen Primzahlen zu- sammensetzt, dagegen, wenn v Potenz einer einzigen Primzahl ist, gleich ■■') Hermite, CreUes .Journal, Bd. 47, S. S12 (Oeuvrea, T. I, p. 198); C, .Torilan, Ürellea Journal, Bd. 84, S. 112, y Google 214 Zur Theorie der quadratiscliei! Formen. dieser PrimzaliV Die höchste in f^{c) enthaltene Potenz Yon p ist dem- nach p^ oder p°, je nachdem v eine Potenz von p ist oder nicht. Im ersteren Falle ist aber, v>l vorausgesetzt, ^(1") mindestens gleich j) — 1 ^ 2, im letzteren mindestens gleich 1. Hat man nun A = (r — 1)", so müssen, damit A eine endliche Ord- nung besitze, aaeh alle (n~l)'™ Unterdeterminanten, also die Koeffizienten von A für )■ = 1 verschwinden, d. h, A ist die identische Transformation. «2. Es bezeichne /' irgendeine positive quadratische Form mit n Variablen, reellen Koeffizienten und nichtverschwindender Determinante, und es sei i.{f) die Anzahl der verschiedenen ganzzahligen Transformationen, durch welche die Form in sich selbst übergeht. Sollten in f die Koeffizienten nicht sämtlich in rationalen Verhält- nissen zueinander stehen, so kami man immer leicht eine beliebig wenig von f verschiedene positive Form herstellen, in welcher solches der Fall ist, und welche dabei genau dieselben ganzzahligen Transformationen in sich zuläßt wie f. Letzteres tun ferner alle Formen, welche in den Ver- hältnissen ihrer Koeffizienten mit f ganz übereinstimmen. Im folgenden können wir deshalb voraussetzen, die Koeffizienten von /' seien ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler. Die t{f') Transformationen bilden eine Gruppe, und au anderer Stelle werde ich nachweisen, daß man, ausgehend von positiven quadratischen Formen, wenn auch nicht zu allen möglichen endlichen Gruppen ganz- zahliger linearer Transfoiinationen, so doch im besondem zu allen den- jenigen gelangen kann, welche nicht in umfassenderen Gruppen als Unter- gruppen enthalten sind. Die in Rede stehende Gruppe ist einsiufig isomorph zur Gruppe der Reste ihrer Transformationen in bezug auf irgendeine ungerade Prim- zahl p. Denn lieferten zwei ihrer Transformationen, etwa A und B, gleiche Reste modulo p, so würde die Transformation A~''- ■ B, welche, als Angehörige der Gruppe, ebenfalls von endlicher Ordnung wäre, der identischen Transformation modulo p kongruent, aber von ihr verschieden sein, was nach § 1 nicht angeht. Die Gruppe der t(f) Transformationenreste ist oö'enbar eine Unter- gruppe der Gruppe sämtlicher inkongruenter Transformationenreste modulo jj von einer Determinante ^+1 [modp), und ihre Ordnung, die Zahl t(f), daher ein Divisor der Ordnung der letzteren Gruppe, d. i. der Zahl (2) 2(f-l)p-^(p'~'-l)p-'...(p'-l)p*). *) Qalois, Journal de Licuville, T. XI, 184B, p. ilO. (Oeuvres, p. 27.) y Google Zur Theorie der positiven quadratischen Formen. 215 Jene Gruppe ist aber ebenso schon eine Untergruppe der Gfruppe aller derjenigen Tranaformationenresie modulo^, welche die Porm/'modulop ungeändert lassen, Die Ordnung dieser Gruppe hat für alle ungeraden Primzahlen p, weiche niclit in der Determinante I) der Form f aufgehen, also jedenfalls für sämtliche Primzahlen über einer gewissen Grenze l, den folgenden Ausdmck*), wenn n gerade ist: (S) pi"—'-2{i,'-l)(p'-i)...(f—~l)(p'i~,), (= ist: (4) p''-' ■2(p'~i)(s^~i)...(r"'-n Als Divisor sämtUcJi&r Zahlen (3) oder (4) für ungerade Primzahlen p>l ist die Zahl t{f) auch ein Divisor des g^roßten gemeinscJtafÜieJien Divisors aller dieser Zahlen. Um ein Resultat zu erhalten, das von der speziellen Form /* unab- hängig ist, denken wir uns in (3) den Faktor p^ — s durch sein Vielfaches --(p"— 1) ersetzt; ferner möge l mindestens gleich n -\-l sein. Dann ist jener größte gemeinsame Divisor dargestellt durch: "1=/Tä'- ' (t2 = ^.3>5,7,ll, ...) wenn unter der Bezeichnung [es] die größte in a enthaltene ganze Zahl verstanden wird, und wenn q die Reihe der Primzahlen soweit durchföuft, bis das Produkt von selbst abbricht, d. i. bis zur größten Primzahl, welche noch ^ »* + 1 ist- Man hat, um dieses einzusehen, für eine jede Primzahl q eine Zahl (3) bzw. (4) aufzusuchen, welche eine möglichst niedrige Potenz von q enthält. Man gelangt zu einer solchen, indem man die Primzahl p in folgender Weise wählt: wenn g" > « + 1 ist, als primitive Wurzel in bezug auf 2; wenn g^w + l und ungerade ist, als primitive Wurzel für den Modul q^\ wenn q = 2 ist, als Zahl der Form = + 1 + 4 (mod 8). Die Existenz von Primzahlen p dieser Formen über der Grenze l ist eine Folge des bekannten Theorems über die arithmetischen Progressionen. Im ersten der drei unterschiedenen Falle ist dann die in Betmcht kommende Zahl (3) oder (4t durch q überhaupt nicht teilbar; im zweiten *) Vgl. Untersuchungen über ixuaäratmhe Forinen, Acta. Mathematica, Bd. 7, S. 218, Diese Ges. Abhandltingen, Bd. I, S. 170. y Google 216 Zur Theorie der quadratischen l'ormen. gellt g in ^' — 1 uur auf, wenn v ein Vielfaches von 9 —1 ist, und zwar dann in derselben Potenz wie in q- -, mithin in der Zahl (3) bzw. (4) in derselben Potenz wie in lyLs-iJ ■ 1 -2 ■■ ■ ^^t i '"i dritten enthält jfiy _ \ dieselbe Potenz von 2 wie 8v, a!so die Zahl (3) bxw. (4) die- selbe wie 2'"^UJ-1 ■2- --[y]- Die Identität der hier auftretenden Primzahlpotenzen mit denjenigen aus n\ ergibt sich durch Anwendung der bekannten Relation: 1 . 2 ■ . . w = »*! -Yl^~^^ ^ ^^^ ^ L^J "" ■ ■ ■, (2 - 2, 3, 5, 7, . . .) und man erhält damit in der Tat den Satz: Dit Anmlil der ganssahUgen Transfamtaiionen einer posiUvm quadra- tischen Form mit n Variahlen (imd von nicli^ersckwindender Determinante) in sieh seihst ist ein Divisor der Zahl «i. Ah größter gemeinsamer Divisor aller Zahlen (2) wUrde sich 2Lm. «j ergeben haben. Die Zahl «i selbst ist ein Divisor von (2m)1; denn in ihrem Aus- drucke verkleinert man keinen der Exponenten, wenn man in denselben anstatt g — 1 überall —q schreibt. Als spezielJe FäUe seien die folgenden erwähnt: die Form geht dnreh ^^"-nl, die Form von der Determinante n-\-l dnrch 2'(m-!-1)! ganzzahlige Transforma- tionen in sich selbst Über. Die Zahl « ist ferner das Hetnste gemeinsame Vielfache aUei- mög- lichen Anzahlen t(f). Denn zunächst enthält die der Form D^ angehÖrige Zahl i(Q„) die- selbe Potenz von 2 wie wj. Ist ferner q eine der ungeraden Primzahlen ^M+ 1, und büdet man eine Form f als Summe von -^j Formen ® j und der Form O . r ^ .,, == Q mit fortlaufend numerierten *) Die Form S)„ ist von den Herren KorTtine und Zolotareff eingehender imteisncht worden, vgl, Msithemaliaclie Annalen, Bd. 6 nnd 11. y Google 2ar Theorie der positiven quadratischen Formen. Variableis, so ist fiir diese Form f die Zahl W)-(2-s!)L.-"'J^[-ij]l((0) durch dieselbe Potenz von q fceilbao- wie B^ Man hat im einzelnen 2. = 24, 3' = 48, 4 = 5760 iisw. und üll- gemein: 2^»+li =2-2«, 2n =2;^, -2«- \-, n\ ^'2''-W...b wenn unter !}„ eine Zähl verstanden wird, welche alle and nur solche Primzahlen q enthält, für welche 2n durch q — 1 aufgellt, und jede der- selben in einer Potenz ^"^^ falls sie in n in der Potenz g^ {k ^ 0) auftritt. Bezeichnet ß^ die w" ßernouliische Zahl, so stellt ft,, den Nenner von B„ vor*). Die Bestimmung der ganzzahligen Ti^ansformatioiien einer positiven Eorm /'= ^^ a^i/x^x,, in sich selbst geschieht durch Vermittlung der äqui- valenten reduzierten Formen. Nach der Definition von Herrn Hermite**J. gelten in einer positiven Klasse f diejenigen Formen als redusiert, welche das kleinste System (d. i. kurz ausgedrückt den kleinsten Wert von »11^""' + «32i;''"^H +«„„ bei hinreichend großem positivem g) ergeben. Den Sätzen, welche ich in Grelles Journal, Bd. 99 [[diese Ges. Ab* haudlungen, Bd. I, S. 153 — 156]] mitgeteilt habe, schließen sich die folgen- den flir den Fall von sechs Variablen an. Eine Form f mit sechs Variablen ist immer und nur dann positiv und reduziert, wenn sie allen Ungleichungen f{iyi^, m^, . . ., m^) ^ «,,, (h = 1,2,..., 6) genügt, für welche die Zahlen m in folgender Tabelle enthalten sind: *) Vgl. Lipscliita, Grelles Journal, Bd. 96, S. 4. "') CreDes Journal, Bd. 40, S, 302. {Oeuvres, T. I, p. liii.'i y Google Zur Theorie der quadratischen Formen. 1 1 1 1 2 1 1 1 1 J_ 1_ 111 1 1 _ 2_ (die nicht aufgeführten Größen m sind gleich Null zu setzen), und ferner den Ungleichungen: Nur für die reduzierten und die aus denselben durcli Perniutation der Variablen hervorgehenden Formen nehmen die Verbindungen «11 + »ä2 + ■ ■ ■ + «66. ■ ■ ■' «u%ä---«66 ihre kleinsten Wei-te an. Die Hermiteschen redazierten Formen mit sieben Variablen lassen sich nicht mehr durch eine Reibe einzelner linearer Ungleichungen voll- ständig charakterisieren. Berlin, den 15. Februar 1887. yGoosle über die Bedingungen, unter welchen zwei quadratisclie Formen mit rationalen Koeffizienten ineinander rational transformiert werden können. {Auszug aus einem von Herrn H. Minkowski in Bonn an Herrn Adolf Hurwitz gerichteten Briefe.) (CrelleB Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band lOö, S. 5 — 26.) Bei unserem letzten Zusammensein interessierten Sie und Herr Hubert sicli für die Frage, unter welchen Umständen zwei diophantische Ulei- chungen zweiten Grades sieh rational ineinander tiunsfoimieren lassen*). In den folgenden Zeilen will ich eine Entscheidung dieser Frage zu geben T ersuchen. Es liege irgendeine quadratische Form mit rationalen Koeffizienten vor, f. Die Anzahl ihrer Vai-iablen heiße n, und bei dieser Vai'iablen- zahl habe die Form eine nichtverschwindende Determi]iante ; als Aggregat von » Quadraten reeller linearer Formen dargestellt, möge f im ganzen / Quadrate mit negativem, und also n — I mit positivem Vorzeichen auf- weisen. Unterwu-it man die Form einer beliebigen linearen Transformation mit rationalen Koeffizienten und von nicht verschwindender Determinante, so bleibt dabei zunächst außer den Zahlen « mid 1, da die Determinante *) Bei der UnterauohuEg dei iemärea diophwitischen Gleichungen vom Geschleohte Mull wurden Hfirr Hilbeit und lot ant d ese Frage geführt Wenn ?wei liopkan tische Weichlingen dm h rat onale bi i ieut g umkehrLa e Ttansformaticnen ineinandei ubergef ihrt we den können ao lassen sich offenbai die Losungen eine jeden diesei C leioh ingen aue den Lö= ingen der anderen ableiten bei It C leichungen ej r aentierei al'o im woaentliLhen dieselVe Aufgabe ^ir rLohnen ieehall alle diopliantis:,hen Gleiüliungen welche ai s einer lurch die tjtnanntpn Transfoimationen hervorgehen m eine Klasse Unsere Unteitnchnng wekhe dPmn&LliBt m den \cta mathemafica er scheinen wird f[4cta mathematica Bd 14 ^ 217— 2^i]] ergab nun daß m jedei Klasse teinixer diophanüscher Gleichungen Tom Geachleclite Nill anok quadratisihe Gleichungen enthalten »ind Dip sich hier anknüpfende Frage nach, den Invarianten e ner solchen Klasse findet laher durch die allgememPn Sitze welche Herr Mmko-waki aufstellt und beweist hre Etleligun^ \ Hurw ta y Google 220 ZTir Theorie der (iiiadratischen Formen, der Form sich um das Quadrat der rationalen Transformationsdetermiuante vervielfacht, die Geaauitheit aller der Primzahlen ungeändert, welche in der Determinante der Form in ungeraden Potenzen aufgehen. Das Produkt aUer dieser Primzahlen, mit dem Vorzeichen (~ 1)' der Determinante ge- nommen, heiße Ä; sind Primzahlen der bezeichneten Art nicht vorhanden, so -werde Ä = (~iy gesetzt. Weiter werde ich nun zeigen, daß, weim p eine ganz beliebige Prim- zahl bedeutet, immer aus den Resten der Form f für genügend hohe Potenzen von p als Moduln in gewisser Weise eine im allgemeinen nicht schon durch A allein bestimmte Größe sich herstellen laßt — ich werde sie C nennen — , welche ihrer Bildung nach nur der Werte 1 oder — 1 fähig ist, und welche den Wert, den sie für /' hat, bei keiner rationaleu umkehrbaren Transformation von /' verändert (vgl. unten Gleichung (1) uad (2)). Für alle diejenigen ungeraden Primzahlen, welche weder in der Determinante noch in dem Generalnenner der Koeffizienten von f wirk- lich vorkommen (d. h. in nichtverschwind enden Potenzen), findet sich diese Einheit von voraberein gleich + 1, so daß sie überhaupt nur für eine endliche Anzahl von Primzahlen — 1 sein kann. Diese Bemerkui^ vorweggenommen, besteht für die Gesamtheit der Einheiten G von vorn- herein eine Beziehung zu den Werten w, / und Ä, nämlich ihr Produkt, also 'a^a^'B^ ' ii erweist sich wenn j dte Anzahl der verschiedeneu Primzahlen von dei Foim 4? + ■' aus i bedeutet gleich 1 oder — 1, je nachdem die Zahl j - 21 - 2j moduU S den Kest 1, 6, 7 oder 2, 3, i 5 laßt Auf diese Beziehung giünde ich eben den Nachweis für die invaiiante Nitui dei Einheiten f^ Rh miche zuerst llai, daß jedesmal bei emei Transformation hcchstens diejenigen Einheiten C^, sich ändern konnten welche den m dei Deteimiuante lud dem Generalnenner der Trinsfoimatifn voikommenden Piimzahlen entspiechen und dann nehme ich zu Hilfe diß eine jede nationale umkehtbaie Transformation aus solchen besondeien zu Timmen gesetzt weiden kann m deien Determinante und Genei alnennei höchstens eme m/ige Primzahl lufgeht. Da nun das Prrdukt aUei Einheiten C^ nnainut sein soll unl leihalb sich nicht eine allein andfin k'iuu so bleiben bei derartigen leiltransformationen und also auch bei jedei Tianafoimation die Einheiten C^, ausnahmslos Im FiUe ) — 2 gelten mißcidtm noch folgende Beziehungen der Einheiten C^ zu dem von quadratischen Teilein befreiten Kern der Deter- mmmte bowie eme Primzihl p in 1 ni^ht verkommt und — A quadra- ti^chei Eest \on ^ bzw, im Falle p~2, von 8 ist, ist immer 0^ = 1. — Im Falle « = 1 sind durch die Zahl A bereits sämtliche Einheiten C^ be- stimmt: Für die in A nicht aufgehenden Primzahlen ist immer C^'^i, y Google ßatioual ineinander transformierbare quadratische Formen, 221 für die in A anfgehenden gleich 1 oder ~ 1, je nachdem — quadratischer Rest oder Niehtrest von p ist bzw., im Falle p = 2, die Form 8( ± 1 oder 8? ± 3 hat. Nach dem, was Über die Einheiten C^ bereits gesagt ist, müasen auch alle solchen ungeraden Primzahlen sieh nach jeder rationalen Trans- formation von f beständig in der Determinante oder dem Generalnenner der ti'ane formierten Form wiederfinden, welche zwar der Zahl A nicht gehören, abei" ein C = — 1 ergeben; ist B das Produkt aller dieser Prim- zahlen, so wird daher, wenn die transformierte Form ganzzahlige Koeffi- zienten erhalten sollte, ihre Determinante den Fafetor ABB haben müssen. Durch eine Reihe von sehr einfachen ganzzahligen Transformationen mit der Determinante 1 und von. solchen i'ationalen Transformationen, welche jede darin bestehen, daß sie eine einzelne Variable rational ver- vielfachen, gelingt es nun stets, wie ich zeigen werde, die vorgelegte Form in eine Form mit ganzzahligeii Koeffizienten und genau von der Deter- minante ABB überzuführen. Dabei erweisen sich dann diejenigen arith- metischen Funktionen dieser Form, welche, wie man sich ausdruckt, ihr Geschlecht definieren, im allgemeinen als eindeutig durch I, A und die Einheiten G bestimmt. Nur, wenn zwischen n, A und dem Werte der Einheit G^ eine gewisse Beziehung statthat, könnte noch die erhaltene Form zwei verschiedenen Geschlechtern von der Determinante J.BB an- gehören; dann ist von diesen nur eines ungerade Zahlen darzustellen fähig, und sollte man nicht gerade zu einer Foim dieses ungeraden Geschlechts gekommen sein, so kann man zu der erhaltenen Form stets solche äqui- valente Formen finden, welche sich in Formen dieses Geschlechts in der eingehen Weise überführen lassen, daß man eine gewisse ihrer Variablen mit 2, eine gewisse andere mit -- multipliziert. Nun hat zuerst Henry John Stephen Smith*) ausgesprochen, daß irgend zwei Formen einen Geschlechts immer durch rationale Transformationen von der Determinante 1 und mit einem, zu einer beliebig vorgeschriebenen Zahl relativ primen Generalnenner ineinander übergeführt werden können, eine Eigenschaft, welche sie umgekehrt auch als zu demselben Geschlecht gehörig charak- terisiert. Smith hat diesen fundamentalen Satz der Lehre von den quadratischen Formen in der Abhandlung „CM the (k-ders and Genera of Temmy Quadratic FormS" art. 12**) für ternäre Formen bewiesen, und auf Grund derselben Prinzipien und unter Zuhilfenahme gewisser Resultate aus meiner Arbeit „Sm- la theorie des formes qmidraiiques ä coeffieients ') Proceedings of the Koyal Society of London, XVI. 1868. p. 202. (Coilected Papere, vol. 1, p. 51S.) **) Philosophical Traasautioiia, CLVTT. 1867, (Coilected Papers, vol. I, p, 4S0,) y Google 222 2i"^ Theorie der quadrati seilen Formen. miiers"*) kann der Beweis für Formen mit beliebiger Variableuzahl geführt werden. Demnach wird es immer mÖglieb sein, unsere Form f in eine bestimmte Form eines, durob die Einbeiten C^ (und durcb n und I) völlig bestimmten Gescblecbts von der Determinante ABB rational zu transformieren. Nun bezeichne S das Produkt aller uberh'iupt vorbandentn ungeraden Primzahlen, für welche G^ = — X ist dann smd ans dem AA eite \on £ die Werte sämtlicher Einheiten (J ersichtlich — der Weit von C^ bei Ee nutzung der Relation für das Piodukt aüei C — , und man wird den Sit/ aussprechen dürfen: Theorem I. Zwei rationale quadiahbclie Fwniefi mit n VariabJen und m =^ 2, von 8 ist (<;„= 1 y Google Rational ineinander transformierbare quadratische Formen. 225 bzw. c = 1 und (^ = 1). Bezeichnet also Bj das Produkt aller derjenigen von den hier in Betracht kommenden Primzahlen, für welche C^ = — 1 ist, so stellt dieses B^, ehenso wie A, hier eine Inviiriante der Gleichung /■ = vor, Bj ist, yon einem eventuellen Faktor 3 abgesehen, ein Divisor der früher definierten Zahl B; multiphziert man /' mit allen außerdem noch in B vorkommenden ungeraden Primzahlen (d. h. für die 5=0, Cp = — 1, Cj,= — 1 ist) und noch mit der Primzahl 2, falls (~ 1)^-4 = 5 (mod 8) (d. i. d(2) — 0, e = I, C3 =- — 1) und Gj 1 ist, so entsteht eine Form, die V>^f heißen möge, welche unter den Vielfachen Mf die Eigenschaft besitzt, für möglichst wenige von den in A nicht vorkom- menden ungeraden Primzahlen, nämlich nur für diejenigen aus Bj, ein C = — 1 zu ergeben, und auch, wenn {— 1)^^ = 1 {mod 4) ist, insofern dies überhaupt angeht, nicht ein Oj = — 1 zu liefern. Da die Zahlen A und Bj Produkte von lauter verschiedenen Prim- zahlen sind, so sind die Werte dieser beiden Zahlen aus dem Werte der einen Zahl D=' J-B^B^ zu entnehmen, welche, da Bj zu A relativ prim ist, keine Primzahl in einer höheren als der zweiten Potenz enthalten wird. Der Wert dieser Zahl J) ist außer durch das Verhältnis, in welchem die einzelnen Primzahlen von B^ zu A stehen sollen, durch die bereits oben erwähnten, für die Einheiten G^ von vornherein gegebenen Be- ziehungen in der Weiae beschränkt, daß, wenn (— \)'^ Ä=\ (d. h. y1 ~ :t 1 und \ {n — 2 J) gerade) ist, die Anzahl der in B^ auftretenden Primzahlen zugleich mit der Zahl -j (n — 2 J) gerade oder ungerade sein muß, und daß im Falle m = 2 immer B^ = 1 ist. 2) Wenn n ungerade ist, so möge der Buchstabe D zur Bezeichnung der Invariante B der Form Af verwandt werden; diese findet sich dann, durch die Invarianten von /"ausgedrückt, gleich .4jB, wenn .^j das Produkt aller derjenigen ungeraden Primzahlen aus A bedeutet, für welche Cj, = — Cp ist. Im Falle « = 1 ist immer D = 1. Theorem 11. Wenn zwei Formen mii n Va/riaUen tmd mit mchiver- sckwindenden Determincmten in den absoluten Werten ihrer Zahlen n~2I und in ihren Invarianten D übereinstimmen, so Icann jede von ihnen rational in ein raümales Vidfaehes der anderen transformiert werden. Ich beweise diesen Satz, indem ich ihn auf den Satz I zurückführe: 1) Ist n gerade, so multipliziere man jede der beiden Formen mit ihrer Zahl Bj, und falls die Indizes der Formen nicht gleich sind (also sieh zu n er^nzen und beziehungsweise unter und über -|n Hegen), noch eine der Formen mit ~ 1. Man hat dann zwei Formen, 91, ^, welche gleichen Index und dasselbe A besitzen, und für aUe in ihrer Zahl A nicht y Google 226 Zur Theorie der quadratischeu formen, aufgehenden ungeraden Primzahlen gleiche Einheiten C^ liefern, und über- dies, wenn (—1)^^ = 1 (mod 4) (d. h. S{2) = 0, c = 1) ist, auch dasselbe Cj ergeben; und es kommt darauf an, eine der Formen, etwa ^, noch mit einem aolchen positiven Faktor zu multiplizieren, daß eine Form entsteht, welche mit der anderen Form (p in aUen Einheiten C^ übereinstimmt. Ist nun M irgendeine zu 21) relatiT prime, positive ganze Zahl, welche den Bedingungen genügt, daß für jede in A aufgehende ungerade Primzahl p L—\ = 1 oder ^ — 1 ist, je nachdem die Charaktere C^ für so daß eine jede Zahl ffj gleich 1 oder gleich 2 ist; ich setze noch A = (— l)'rf„_^ uüi 0^= 1, 6'^=1. Die durch die Gleichungen bestimmten n — \ Größen o^ erweisen sich immer als ganze Zahlen (F. Q., p. 6 [[S. 13]]), und femer sind die Zahlen 6,, immer so beschaffen, daß ein Produkt «/.„lOjffj^j ungerade ist, sowie 0^=2 ist, und durch 4 teilbar, sowie 6j_i= 2 oder 64 + ^= 2 ist (F. Q., p. 31 [[S. 31]]). Die Charaktere sind Größen, die in Gestalt Legendrescher Symbole auftreten, also Einheiten ±^ 1: ihre Werte können, wie ich F. Q. artt. VII-IX [[S. 45 — ^70]] gezeigt habe, auanahmalos erschlossen werden aus den Werten der verschiedenen Suramen*) ^ni<.fi«,, ^„....^„] /X^ = 1,2,...,N\ f{^.,N) = '^e ' U = l,2,...,«j' in welchen N und a zueinander relativ prime ganze Zahlen bedeuten und die Variablen Bestsysteme modulo N zu durchlaufen haben; e ist hier die Basis der natürüehen Logarithmen^ rc die Ludolphsehe Zahl, i—y — 1. Die Werte solcher Summen f(a,N) hängen offenbar nur von den Resten von f in bezug auf die Moduln JV^ ab. Indem man die Betrachtungen, welche F. Q., p. 60 beziehungsweise p. 65 [[S. 54 und 58]] abgebrochen sind, fortführt, gelangt man in beti-eff dieser Summen insbesondere zu folgendem wichtigen Resultate: Zu jeder Frimzahl p gehört eine gewisse Einheit C^ von solcher Art, daß für jede Foteng j/, wdche nicht niedriger als die in ^ ■ ■ j ^- auf- gehende Fotens von p ist, vnd jede beliebige m p relaüv prime Zahl cc, wenn noch ^ die höchste in A enthaUene Fotens von p bedeutet imd die FHnheiten c und e in der bereiis oben festgesetden Beziehung mr Deienninmite stehen, die Gleichung gilt: wenn p ungerade ist, (1) /•(«. rt - (^) C, V i i'-^Tp^ ; wenn p = 2 ist, (2) «=, 2') _ (^— ) C,c,'(-i)i^y(i^)-'ly'i2-^". Die erste Klammer auf der rechten Seite ist jedesmal ein Legendresches Symbol. Ich bemerke noch, daß ff„_i(?„_3 den größten gemeinsamen Teiler der sämtlichen Zahlen = — und 2^ — (h ^ h) vorstellt. •) Diese Summen bilden auch Aea Gegenstand des Aufsatzes von Hevru H. Weber: X7ebcr die mehrfachen GauOschcu Summen, Grelles Journal, ßd. 74, S. 314—256. y Google 230 Zur Theorie der quadratischen Formen. Da für solche ungerade Primzahlen, welche in der Determinante A nicht vorkommen, der Exponent t in (1) bereits gleich Null genommen werden darf, so ist für alle diese Primzahlen offenbar C^=^ 1. Überhaupt haben wir hier diejenigen Einheiten vor uns, von welchen oben die Bede gewesen iat, wenn wir nur noch festsetzen, daß unter den Einheiten C^ einer Form f mit einem Generalnenner N > 1 die entsprechenden Ein- heiten der ganzzahligen Form NN/" verstanden werden sollen. Daß eine jede der vorstehend definierten Einheiten G^ ungeäodert bleibt bei allen solchen rationalen umkehrbaren Transformationen von f, bei welchen Detei-minante und Generalnenner zu der betreffenden Prim- zahl p relativ prim sind, und welche aus f wieder ganzzahlige Formen hervorgehen lassen, ist ohne weiteres ersichtlich. Denn da durch solche Transformationen aus zwei, für einen Modul p' inkongruenten Systemen der Variablen von f immer wieder inkongruente Systeme der neuen Variablen, und also aus vollständigen Restsjstemen in bezug auf einen Modul p' wieder solche Systeme entstehen, so erfahren dabei die Summen f(a, j/) keine Veränderung, nnd da offenbar auch die Potenz p^ sich nicht ändert, so beMlt auch die Einheit C^ ihren Wert bei. Sehen wir nun zu, wie diese Einheiten C zu berechnen sind. Zer- fällt eine Form f, in bezug auf einen Modul p' betrachtet, in die Summe zweier Formen, /", f", mit vei-schiedenen Variablen, so ist jede ihr zu- gehörige Siimme /■(«, j)') das Produkt der analogen Summen für f und /"', und 80 folgt aus (1) für ein ungerades p: (3) q, = (- 1)"^ ^ o; c;' , und aus (2) für p = 2: (4) C,_(-l)"'""'^+V--r'c,'C,"; die gestrichelten Buchstaben sind auf die Formen /" und f" zu beziehen. Nun kann man jede Form f, wenn von ihren Zahlen öj, öj, ..., o„_j im ganzen X— 1 durch eine Primzahl p teilbar sind, durch höchstens n — X Substitutionen, welche dai-in bestehen, daß sie eine Variable um eine zweite vermehren, und höchstens « — 1 Substitutionen, welche darin bestehen, daß sie zwei Variablen miteinander peiTnutieren und gleichzeitig eine derselben mit — 1 multiplizieren, in eine solche Form ip transformieren, in welcher die aus den ersten /* = 1, 2, . . ., w — 1 Horizontal- und Vertikal- reihen der Determinante gebildeten Unterdeterminanten möglichst niedrige Potenzen von jj als Faktoren haben, d. h. Werte ßi,d^^^(p^ besitzen, in denen die Zahlen 9>,, zu p relativ prim sind {F. Q., p. 36 [[S. 35]]); es werde noch ipf, = 1, S/i ~ ^^^ ganze Zahlen linden, indem mau immer zuerst p,^ ~ der Kongruenz j)/'"'^ — — — ll^L_^.— - . (modj*/') (h = d^-\,d + 2,...,n) gemäß wählt und hernach q, = -^ (k = d+l,d + 2,...,n) setzt. Beispielsweise kajin man für die Zahlen p,!" die höchsten in den Zahlen r,^" überhaupt aufgehenden Potenzen irgendeiner Primzahl p nehmen, wodurch man auf die für uns wichtige Zerlegung kommt. y Google Rational ineinander transforinierbare quadratische Formen. 235 Mit dem Nachweis der inTarianten Natur der Einheiten C^ ist zu- gleich die Existenz der oben verraittels dieser Eialieiteo definierten Zahl B sichergestellt, und es erübrigt nur noch zu zeigen, daß in der Tat mit den Zahlen n, I, A, Ji das Systeru derjenigen Funktionen einer quadra- tischen Form, welche bei allen rationalen umkehrbaren Transformationen der Form ungeändert bleiben, vollständig erschöpft ist. Zu dem Ende gehe ich wieder von irgendeiner gaazzabligen qua- dratischen Form f aus, und ich suche dieselbe rational in eine ganzzahlige Form mit möglichst kleiner Determinante zu transformieren. Es fr{^ sieh, kann dabei ein bestimmter Primfaktor p der Determinante in Wegfall kommen oder nicht. Ee sei zunächst p eine ungerade Primzahl. Man bestimme irgend- eine mit f äquivalente Grundform in bezug auf ^; aus einer solchen folgt für einen jeden Modul p' ein Hauptrest von dem unter (5) angegebenen Typus; es werde eine solche Potenz p' gewählt, welche die zu /' gehörige Potenz p'"~^ überschreitet. Sowie dann in dem betreffenden Hauptreste (5) einer der Exponenten ?>^_j sich ^ 2 erweisen sollte, kann derselbe um 2 verringert werden, dadurch daß man die zugehörige Variable dem p'*" Teile einer neuen Variable gleich setzt, bei welcher Operation alle Koeffi- zienten des Hauptrestes ganze Zahlen bleiben werden. ludem man diese Reduktion so oft als angänglieh wiederholt und am Schlüsse nötigenfalls noch eine Umstellung der Variablen vornimmt, kommt man zn einer Form mit einem Reste: worin alle «^ zu p relativ prim sind. Die Determinante dieser Fonu ent- hält genau die Potenz jp'" als Faktor, und m ist eine Zahl zwischen und n. Ob m gerade oder ungerade ausfällt, wird davon abhängen, ob die Primzahl p in der Zahl A von f nicht enthalten war {S = 0) oder in ihr vorkam [ß = 1). Die Einheit C^ erhält liier den Ausdruck ItR Falle n ^ 2 ist dalier, sowie p in A nicht vorkommt und — A quadra- tischer Rest von p ist, immet- 0^=1 (nämlich sowohl für m = 2 wie für m = 0). Die erhaltene Form kann nun unter Umständen so transformiert werden, daß an die Stelle von m eine kleinere Zahl tritt. Hat man näm- lich eine binäre Form / pa \ y Google 236 2ur Theorie der quadiatiaohen Pormeu, (icli bezeichne hier die Form durch das quatiratische Schema ihrer Koef- fizienten), in welcher a und ß znp relativ prim sind, und ist — aß quadra- tischer Rest von p, so kann man eine Zahl rj finden, so daß k -|- ßtj' durch p, aber nicht dnrch p^ aufgeht, und jene Form verwandelt sich durch die Substitution ■ L. in eine andere Form, deren Deter- minante genau die Potenz p^ enthält, von der sich aber der quadratische Ip-i I Faktor p^ ablöst, den man durch die Substitution i beseitigen I P \ kann; es resultiert dann eine Form, deren Determinante überhaupt nicht durch p aufgeht und welche wieder eine Grundform in bezug auf p ist. Ist aber in jener binären Fonn — aß quadratischer Nichtrest von P, so fällt a + ßtf (joioAp) für alle ^— — modulo j? inkongmenten und von Null verschiedenen Quadrate r}^ von Null und von a verschieden aus, und muß deshalb für mindestens eines dieser ij einen anderen quadrar tischen Charakter in bezug auf j) liefern als a. Durch die mit dem be- treffenden :; gebildete Substitution wird dann aus j 1 (modß^) I ij 1 1 _ _ _ V pßj eine Grundform in bezug auf p, die sich in einen analogen Hauptrest überführen läßt, in welchem aber die anstelle von a tretende 2ahl einen anderen quadratischen Charakter in bezug auf p hat als k. Aus dieser letzten Bemerkung ersieht man, daß, wenn die Zahl m oben ^ 3 ist, man es immer so einrichten kann, daß unter den letzten m Zahlen k,^ sich zwei solche befinden, deren negativ genommenes Produkt quadratischer Ecst von p ist, und welche also zu der vorher beschriebenen Reduktion Gelegenheit bieten. Ob dantf, wenn m gerade und bereits auf 2 gebracht ist, jene Operation noch einmal anwendbar eracheint, ob also die Prim- zahl p durch rationale Transformation aus der Determinante ganz heriius- geschaift werden kann oder aber die Determinante immer durch p* teil- bar bleiben muß, wird davon abhängen, ob C^ -= 1 ist oder = — 1. Man sieht demnach, daß, je nachdem die Determinante von f eine gerade Potenz von p enthält und Cj, •^^ 1 ist, oder sie eine ungerade Potenz von p enthält, oder eine gerade und C^ — — l ist, man von f zu einer Form ff gelangen kann, deren Determinante überhaupt nicht durch p aufgeht, oder den Faktor p enthält, oder den Faktor p^. Für diese Form (/ existieren dann außer c und C keine weiteren quadratischen Charaktere in bezug auf die Prim7:ahl p. Denn alle derartigen Charaktere müßten sich, wie bereits oben bemerkt wurde, aus den Werten der dieser Form zugehörigen Gaußscben Summen g{0 sieh noch nicht der Formel (2) anpassen, einfach Null sind. Fassen wir alle diese Resultate zusammen, so ist in der Tat gezeigt, daß jede vorgelegte Form f rational in eine Form eines durch ihre Zahlen A und B völlig bestimmten Geschlechts von der zu diesen Zahlen gehörigen Determinante J.BB (B bedeutet den Quotienten aus B und dem größten Divisor von A und B) transformiert werden kann, und zwar, mit Ausnahme des Falles « = 2, ■— J. = 5 (mod 8), C^^ — 1, in eine Form der ersten Art. Wenn n > 2 ist, kann unter Umständen noch ein zweites G-esehlecht von der Determinante .4BB und mit denselben Invarianten /, A, B vor- handen sein, nämlich wenn diese Deteiminante und diese Invarianten gan«- zahligen, uneigeutlich primitiven Formen angehören können; die Haupt- leste dieses Geschlechts in bezug auf Moduln 2' müßten dann aus lauter Formen ( | mit ungeraden a und 6 und eventneU noch einer Form 2«!^ mit ungeradem ce zusammengesetzt sein, was zu den Bedingungen «=0, ^sl (mod 2), c = l, Ca=C, oder w = l, ^ = (mod 2), c^= C^ führen würde. Haben diese Bföiiehungen statt, so existiei-t jenes zweite Geschlecht wirkhch, und wählt man dann, was für « > 2 immer möglich ist, einen jener Hauptreste so, daß die Zahl y in irgendeinem seiner binären Teilreste durch 2, aber nicht durch 4 aufgeht, so kommt man durch eine mit den Variablen dieses Teilrestes vorgenommene Trans- [2 j formation L, i auf eine Form des ersten, eigentlich primitiven Ge- schlechts zurück. y Google y Google ZUR GEOMETRIE DER ZAHLEN y Google y Google über die positiven quadratisclieii Formen und über kettenbruchälinUclie Algorithmen. (Ci-elles Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 107, S. 218—397.) Die wesentlich positiven quadratischen Formen verdienen und ge- statten eine besondere Behandlung durch den Umstand, daß sie die ein- fachsten Formen sind, bei welchen durch den Wert der Form zugleich die Wert« eämtUcher Veränderlichen begrenzt sind. Ans diesem Grunde erscheinen sie als ein naturgemäßes Hilfsmittel für die Untersuchung von Reihen dislcreter Größen, und in diesem Sinne sind sie namentlich von Herrn Hermite zu wiederholten Malen mit bedeutendem Erfolge ver- wendet worden. Wenn ihren Koeffizienten imh gmz 1 eliebige reelle Werte, nicht durchaus rationale beigelegt weiden --o stellen sie doch immer geeignete Formen für Zahlen vor, d h es hit einen Smn, die Unbestimmten in ihnen auf die Reihe der ganzen Zahlen zu bebehranken. Bei einer solchen Auffassung können diese Foimen im speziellen als der analjtiacbe Aus- druck gewisser einfacher geometrischer Gelulde gelten, der parallelepipe- disch angeordneten regelmitBigen Punktsjöteme, und es müssen irgend zwei Formen als äquivalent betrachtet werden, welche auseinander durch lineare Substitutionen mit ganzzahligen Koeffizienten und von einer Determinante + 1 hervorgehen. Nun entsteht die Aufgabe, eine Vereinigung äquivalenter Formen, eine Klasse, vollständig durch Invarianten zu charakterisieren. Erst für binäre Formen hat durch die Untersuchungen von Herrn Kroneeker diese Aufgabe insofern eine vollkommene Lösung gefunden, als hier in hinreichender Anzahl invariante Bildungen als explizite Funktionen eines beliebigen Elements der Klasse und in einer Gestalt, welche die In- varianten ei gen Schaft unmittelbar in Evidenz treten laßt, gewonnen sind Ähnliche Aufschlüsse hinaichtlieh der Formen mit höherer Variablenzahl mögen aus den jüngsten Arbeiten dieses Forschers zu erwarten sein. Indes ist die genannte Aufgabe einer Lösung noch in einem anderen y Google 244 Zur Geometrie der Zahlen. Sinne fähig. Gelingt es, aus den unendlich vielen Formen einer Klasse durch bestimmte Bedingungen eine einzige auszusondern, so stellt eine solche sogenannte reduzierte Form gewissermaßen ebenfalls ein vollstän- ■ digea Invariantensystem der Klasse vor, nur daß der Ausdruck dieses Systems von irgendeiner gegebenen Form der Klasse auch jedesmal erst durch ein gewisses besonderes Verfahren (das dafür aber nur arithmetische Operationen in beacb.ränkter Zahl erfordern darf) hergeleitet werden kann. In solcher Art hat Lagrange*) die Theorie der biliären quadrati- schen Formen in Augriff genommen und zu einem glänzenden Abschlüsse gebracht. Seine Resultate über die definiten Formen erhielten durch Legendre**) eine Fassung, welche wohl auf ihre Verailgemeinerungs- fähigkeit hinweisen konnte. Aus der fünften Sektion der „Disquisitiones arithmeticae" entnahm Seeber***) die Anregung zu einem Studium der analogen Fragen be- treffs der ternären definiten Formen. Seine äußerst mühsame und nicht erfolglose Arbeit fand eine angemessene Würdigung in einer von Gaußf) hen-tthrenden, höchst bemerkenswerten Anzeige. Namentlich durch zweierlei ist diese Anzeige ausgezeichnet: einmal durch den Hinweis auf das von uns schon erwähnte geometrische Äquivalent einer Klasse von positiven quadratischen Kormen, dann durch eine eigentümliche Identität, mittels deren eine wichtige, von Seeber nur durch Induktion gefundene Grenze für die Koeffizienten seiner reduziei'ten Formen direkt in Erscheinung tritt. Die beschwerliche Methode und die verwickelten Beweise von Seeber veranlaßten Diriehletff), für den das nicht Einfache überall nur ein Zeichen des Unvollkommenen war, zu einer von Grund aus neuen Be- handlung, bei welcher er besonders auch durch die von Gauß nur mehr in ihren Umrissen angedeutete geometrische Einkleidung eine außerordent- liche Durchsichtigkeit erzielte. Der große Fortschritt von Dirichlet bestand darin, daß er nicht mit dem schwerfälligen rechnerischen Aus- drucke der Ungleichungen operierte, durch welche Seeber reduzierte Formen definiert hatte, sondern mit deren wohlerkannter innerer Bedeutung, welche darauf hinausging, die reduzierte Form von gewissen in dem zu- *} Eecherchos d'Arithnietique. Memoirea de rAcademie de Berlin, 177S, p. 365. (Oenyree, T. UI, p. 695.) ") Theorie des Nombres, S"" ed., T. 1 @ VIII. ■***) Untersuoliiiagen über die Eigens ciafteii der positiven terniiren quadratischen Formen, Preiburg i. B,, 1831. t) Göttingische gelehrte Anzeigen, Jahrg. 1831, H. S. 1065 (auch Grelles Journal, Bd. 20, S. aia und Werke, Bd. n, S, 188). tt) Ueber die Reduction der positiven quadratischen Formen mit drei unbestimmten gauKeii Zahlen, Grelles Journal, Bd. 40, 1850, S. 209. (Werke, Bd. II, S. 21.) y Google Ülier kettenbruchähnliclie ÄlgoritLraeu. 245 gehörigen Punktsysteme vorkommenden kleinsten Entfernungen abLiingig zu macben. Dasselbe ebenso einfache wie sachgemäße Prinzip, doch in rein aritb- metiacher Fassung, befolgte Herr Hermite*) in seinen zablentbeore- tiscben Briefen an Jacobi, welche in demselben Bande von Grelles Jonrnai gedruckt sind, in dem die ausfübrlicbere Darstellung Diricblets nach einem bereits vorher im Monatsbericht der Akademie (Jahrg. 1848) ge- gebenen Auszuge erschien. Die Untersuchungen von Herrn Hermite bezieben sich auf Formen mit beliebiger Variablenzahl; sie beginnen mit der AufsteRung des Fnndamentalsatzes der Reduktion, wonach die kleinste, durch eine positive quadratische Form von n Variablen mittels ganzer Zahlen darstellbare, von Null verschiedene Größe in ihrem dimensions- losen Verhältnis zur 71^"'^ Wurzel aus der Determinante der Form niemals einen gewissen, nur von der Zahl n abhängigen Betrag iibereteigt; und sie stellen sich in ihrem Verlaufe als ein ununterbrochenes Zeugnis für die Fruchtbarkeit dieses Satzes in fast jedem Abschnitte der Zablenlehre dar; es seien nur die Anwendungen auf Kettenbrüche, komplexe Einheiten und approximative Auflosung von Gleichungen hervorgehoben. Insbesondere ergibt sich aus jenem Satze mit Leichtigkeit und noch auf mannigfache Weise die Endlichkeit der Klassenanzahl bei Beschrän- kung auf ganzzahlige Werte der Koeffizienten und einen festen gana- zahügen Wert der Determinante. Für diese spezielle Folgerung mußte offenbar bereits ein Verfahren genügen, um aus jeder Klasse überhaupt nur eine endhche Anzahl von Formen, nicht gerade eine einzige auszu- sondern. Eine wertvoRe Ergänzung lieferte deshalb Herr Camille Jor- dan**) durch den Nachweis, daß bei gewissen Festsetzungen wenigstens eine bloß von der Variableuxahl abhängige Grenze für die Anzahl der im Maximum aus einer Klasse ausgesonderten Formen besteht, indem über- haupt die Substitutionen, durch welche die ausgesonderten Formen inein- ander bei Äquivalenz oder in sich selbst übergehen könnten, von vorn- herein mit der Variablenzahl und zwar in beschränkter Anzahl angewiesen erscheinen. Neue Gfesichtspunkte eröffneten Korkine und Zolotareff***), indem sie jene besonderen Formen heranzogen und bis zur Variablenzahl fünf vollständig bestimmten, für welche das in dem Fundamentalsatze von Hermite genannte Verhältnis (des durch ganze Zahlen erreichbaren Mini- mum zur «'™ Wiu-zel aus der Determinante) ein Maximum ist. •) Crellae Journal, Bd. 40, 1860, S. 261—315. (Oeuvres, T, I, pp. 100—163,) **) Mömoirc sui l'equivalence des formea, Journal de l'Bcole Poljtechnique T. SXIS, Cah. 48, 1880, p. 111, *♦*) "Mathematisehe Annalen, Bd. 6, 1873, S, See unä Bd. 11, 1877, S. 242. y Google 246 2ur Geometrie der Zahlen. In ^,i, + ■■■ + 9>„*i. {i-i.,2,.. ., n) so muß daher abs, x^ ^ ")/(?(abs. 91^^ + abs. ^x^-\-)fiX^^--- +V,«„ konstruiert, wobei die Additionen in geometrischem Sinne zu verstehen shid. Hiernach würde man folgendermaßen zu den sämtlichen Punkten mit ganzzahl igen Bestimmungsstücken X-^, x^ . . ., x^ gelangen können: Man stelle in die am Punkte von den dort ausgehenden n Strecken p-^, (J^, . . ., p„ y Google 248 2iu; Geometrie der Zahlen. gebildete K-kantige Ecke — das Vorhandenaein einer solchen wirkliehen Ecke ist die Folge der Unabhängigkeit der Gleichungen (la) — ein mit diesen n Strecken als Kanten konstruiertes w-dimensionales Parallelepi- pedum. Von den 2n (w — l)-dimensionalen Begren zun gs ebenen dieses ParaUelepipedum wollen wir die n durch den Punkt nicht hindurch- gehenden in ihrer ganzen Ausdehnung, d. h. mit aUen ihren GrenKÜnien verschiedener Dimensionen, also im besonderen mit aUeu übrigen Eck- punkten, als nicht mehi- zu dem Bereiche des ParaUelepipedum gehörig betrachten; in ähnlichem Sinne wollen wir uns auch künftighin den Bereich jedes irgend einmal vorkommenden ParaUelepipedum festgesetzt denken. An jede der 2m Begrenzungsfläclien dieses GrundparaUelepipedum lege man gleichgerichtet ein vollkommen gleiches ParaUelepipedum, an die noch freien Begren anngsflächen dieser Parallel epipeda wieder ein gleiches, und dieses Verfahren denke man sich unbegrenzt fortgesetzt. Dann finden sich die gesuchten Punkte in den einzelnen Hauptecken dieser nacheinander konstruierten Parallelepipeda. Das vollständige System dieser Punkte mit ganzzahligen Bestim- mungsstiicken x^jX^, . . .,a:^ ist um jeden einzelnen seiner Punkte in gleicher Weise gelagert. Wir nennen es deshalb ein regelmäßiges Punktsystem. Wir werden ein solches System mitunter einfach mit dem Buchstaben ^ ohne weiteren Zusatz, oder wenn die Dimension des Systems kenntlich gemacht werden soU, mit ^'"' bezeichnen. Ein System ^ besetzt nach irgendeiner ParaUelvereehiebung entweder voUständig neue Punkte oder tritt wieder ganz in die anfänglichen Lagen seiner Punltte ein. Da die zu konstruierenden Parallelepipeda den ganzen vorausgesetzten )i-dimensio aalen Raum lüclienlos erfüUen werden, und da sie überdies nach den Punkten des Systems zählbar, d. h. ihnen eindeutig zugeordnet sind — nach unseren Festsetzungen über den Bereich dieser ParaUelepipeda ist ein jeder Punkt des Baumes einem und nur einem der Parallelepipeda zu- zuteilen — -, so wird innerhalb eines, überallhin gleichmäßig ins Unend- liche ausgedehnten Gebiets (man denke beispielsweise an einen w-dimen- sionalen Würfel mit unendlich großer Kante) im Durchschnitt ein Punkt des Systems auf einen Baumteil gleich dem Volumen des GrundparaUel- epipedum kommen. In der Maßzahl dieses Volumens erkennen wir hier- nach eine für das Pimktsystem an sich charakteristische und von der Wahl des Gerüsts, durch welches wir die Punkte verbunden haben, völlig unabhängige Konstaute; und den reziproken Wert dieser Maßzahl werden wir passend als die mittlere Dichtigkeit des Punktsystems bezeichnen können. Zu jedem Punktsysteme gibt es offenbar ein geometrisch ähnliches Punktsystem von der mittleren Dichtigkeit 1. y Google über kettenliruchähnlio}ie Algorithnien, 249 3. Erneuter Beweis der Gmiideigenscliaft. Die in 1. bewiesene Grundeigensehaft der wesentlich positiven qua- dratischen Formen läßt sich nun auch leicht geometrisch einsehen. Die gesamten Begrenzunga flächen der vorhin konstruiert gedachten Parallelepipeda sind enthalten in n verschiedenen Scharen von lauter parallelen und äqaidistanten (n — l)-dimerisionalen Ebenen, als deren Durchschnitte eben die Punkte unaerea Systems sich ergehen. Die Di- stanzen in den einzelnen Seharen werden durch die n Höhen des Gruud- paraUelepipedura geliefert; die Längen dieser Höhen mögen Äj, A^, . . ., A„ heiSen. In jeder einzelnen Schar sind die Elemente nach einer bestimmten der n Zahlen Xi, x.2, ■ . ., X^ zu numerieren. Im Nullpunkte kreuzen sich die Nullelemente aller Scharen; in einem Punkte P mit ganzzahligen Be- stiramuugsatücken iCj, iCj, . . ., ;r„ das Xj^ Element der ersten, das x^^ der zweiten, . . ., das x^ der w*™ Schar. Nun kann der Abstand OP nicht kleiner sein als der senkrechte Abstand zweier durch und P gehenden (k — l)-dimenaionalen Parallelebenen. Soll also der Abstand OP eine gegebene Länge YG nicht übers ehr eiten, d. h. soll: f(x^, x^, . . ., x^)^ G sein, so müssen um so mehr die Ungleichungen statthaben: (3) /(„abs.iC^^^G, {a=l,2,...,n) und diesen kann wieder nur eine beschränkte Anzahl von ganzen Zahlen 4. Positive quadratisclie Form imd Parallelepipeduin. Die mit Ausnahme des Falles w = 1 immer vorhandene Willkür in der Darstellung einer positiven quadratischen Form /' als Summe von n Quadraten linearer Formen betrifft geometrisch nur die Neigung der Ele- mentar parallelepipeda gegen die rechtwinkligen Koordinatenachaen, auf welchen die linearen Formen ihre Auslegung finden: es sind ji'amlich die Projektionen der Strecken ()j auf die Achsen der |j, |j, . . ., ^„ genau die Koeffizienten :t^j, n^^j, . . ., !r„j der zugehörigen Variablen x,, in den linearen Formen |^, g^, . . ., |^. Die Figur des Elementai-purallelepipedum, ohne Rücksicht auf ihre Stellung im vorausgesetzten n-dimensionalen Räume, aber mit Kennzeich- nung ihrer Ursprungsecke und der Reihenfolge der Kanten an dieser Ecke, bestimmt eindeutig den Ausdruck der Form f in ihren Koeffizienten. Soll dieser: y Google ".yi 250 Zuv aeomokie der Zahlen. lauten, so bedeutet jedeamal ein Koeffizient q^^^ mit gleichen Indizes das Quadrat der Ijänge der Strecke p„, und ein Koeffizient q^,^ mit verschie- denen Indizes das Produkt aus den Längen der Strecken p^ und })^ und dem Kosinus des Neigungswinkels dieser Strecken. Ferner bedeuten: 1. die Determinante der Form, \%i,\ — ^, das Quadrat des Inhalts des Parallelepipedum , 2. die symmetrischen Unter determinauten x- — die Qua- drate der Inhalte seiner paarweise einander gleichen Begrenzunge ebenen, so daß für die n Höhen des Parallelepipedum die Ausdrücke resultieren: (a = l,2,...,n) Alle diese Beziehungen sind am einfachsten durch ein Zurückgehen auf das rechtwinklige Koordinatensystem der |,, l^, . • •, |„ einzusehen, werden übrigens sofort noch klarer hervortreten. Umgekehrt gehören dagegen zur gegebenen wesentlich positiTen Form f (Formel (4)) in dem gleichen Räume von n Dimensionen immer zwei ver- schiedene Arten von «-kantigen begrenzten Ecken, und dem entsprechen de Parallel epipeda. Denn zunächst haben wir jedenfalls in 2, eine solche Art gefunden, and zwar auf Grund irgendeiner Darstellung von f als Summe der Quadrate von n linearen Formen. Um das dabei angewandte Ver- fahren beschreiben zu können, ohne auf die Bedeutung der | - Koordinaten wieder eingehen zu müssen, wollen wir uns auf den positiven Seiten der rechtwinkligen Koordinatenachsen der |^, |g, , . ., |^ die n Punkte Ej , E^, ■• -t^n markiert denken, welche in der Einheit der Entfernung von abliegen, und die geometrischen Strecken nach diesen Punkten mit Cj, e^, ■ ■ ■, e„ be- zeichnen. Dann entsteht die erste, zur Form /■ gehörige Ecke 0{F^F^.. ., P„) aus 2. einfach, indem in die Strecken: (4a) ^=%jei + 'Käi.e3+--- + 5t„je„ (6 = 1,2, ...,)() angefügt werden. Der günstige Erfolg dieser Operation läßt sich am besten mit Hilfe einer von Graßmann eingeführten Symbolik übersehen: Das Produkt aus den Längen zweier Strecken I und m und dem Kosinus ihres Neigungswinkels mag das innere FroäuH dieser Strecken heißen und I|nt geschrieben werden. Offenbar gilt für diese Art von Multi- plikation neben den Regeln i^l^a^^! ^«1^*= ^ (^^ + ^) ^^^ distributive Gesetz, und daraus geht sofort pJPt'^ 'lab tervor. Andereraeits aber folgt allein aus den Beziehungen p„|pt= 3„sj sowie man mit Hilfe der aus (Ib) entnommenen Koeffizienten n Strecken: (4b) ^a-fPalp! + 'r'as9i+ ■■■ + :tj + a^'-'^X, + ■■■ + w,f *^„)^ (/* = 1, ä, . . ., «); die linearen Formen in diesem Ausdrucke sollen die n mit der Form cj Minkowski, GcBsmmclte AbbandluDBen. I. IT y Google 258 Zur Geometrie der Zatlen. konjugierten Formen yorstellen; unter (abs.)^ soll das Quadrat des abso- luten Betrage einer solehen Form Terstanden werden, die Vai-iabien als reelle Größen gedacht; femer soUen die Aj beliebige positive Konstanten bedeuten. Eio solches f ist eine wesentlich positive quadratische Form, und die Determinante dieser Form hat den Ausdruck jf^A^ abs. D, unter abs. D den absoluten Wert der Diskriminante D verstandea. Die mittlere Dichtigkeit in dem, zu einem Ideal a gehörigen Punktsysteme St wird demnach 1 :Nra(a)l/y7ii-abs.D betragen. Fassen wir uun in dem Punktsysteme 5t einen Punkt ins Auge, welcher möglichst nahe dem Nullpunkte hegt, und benutzen wir die in (6a) gegebene Grenze für die kleinste Entfernung zweier Punkte in einem regelmäßigen Punktsysteme, so können wir aus dem Orte dieses Punktes n Zahlen x-^, x^, . . ., x^ erschließen, für welche m^x^ -\- co^x^ -\- ■ • ■ + o„Ä„ = (i eine Zahl in a ist, und zugleich erweist sich für diese Zahlen der Ausdruck Ein besonderer Nachdruck ist aus einem bald ersichtlichen Grunde darauf zu legen, daB hier das Zeichen < und nicht etwa ^ sieh einfindet. Be- nutzen wir nun, daß eine Summe von n positiven Größen niemals kleiner ist als das w-fache der w'™ Wurzel aus dem Produkte der n Größen, und setzen wir zugleich (Nm ft)^ für JJ (ahs. ^<**)^, so können wü- aus der vorstehenden Ungleichung die weitere entnehmen: n yiJX,^-{Nmi>.y < n VUK ■ (N"™ af abs. D. (h = 1,2,..., n) Ist m das Ideal, welches die Gleichung Oft = am befriedigt, so haben wir Nm(a)Nra(ni) = + Nm(^), und wir finden demnach: Nm(m) < ")/abs. D. Zu jedem Ideal gibt es hekufs Herstellung emes HawpUäeals mindestem einen Multiplikator, bei welchem die Norm weniger 'bdrägt als die Wursel a/as dem ahsolufen Werte der DisTmminanie. Als eine spezielle Folgerung geht daraus der bekannte Satz hervor, daß eine endhche Anzahl von Multiplikatoren ausreichend ist, um alle Ideale in Hauptideale zu verwandeln*). Eine andere, sehr bemerkenswerte *) Dieser Satz ist auf Herrn Kroneokei zunickKufiihreß. Vgl. die Bemerkungen auf 8. 64 der Festschrift zu Herrn Kummera Doktorjubiläum, Grelles Journal, Bd. 92. (Werke, Bd. 11, S. 320.) y Google über kettenbru oh ahn liehe Algoiithmen. 259 Folgerung ist diese: Da die Norm eines Ideals eine ganze Zalil, mindestens gleicli Eins ist, so eigibt die letzte Ungleichung 1 < y abs. D, also muß D von ± 1 verschieden sein, d h Jede Disknnnfwnte enthalt P)imzalilen als Faktoren. Diese das We&en der aigebraiBclien Zahlen tief berührende Eigen- schaft findet sich auf Seite 21 dei eben zitierten Pestschrift von Herrn Kronecker ausgesprochen; doch ist ein Beweis dieser Eigenschaft bisher nicht veröffentlicht worden. Überhaupt kommen die kleinsten positiven wie negativen Zahlen bis zu gewissen von der jedesmaligen Ordnung n abhängigen Grenzen als Werte von Diskriminanten nicht vor. Denn benutzen wir die zweite in 6. gefundene Grenze fär das Mini- mum einer positiven quadratischen Fonn, so finden wir im übrigen nach genau demselben Verfahren, wie bei der ereteu Grenze, eine schärfere Un- gleichung, nämlich die folgende: r(i + f) ,. ^ (7 b) Nm (m) < ^ — - - /»bs. D, und diese können wir wieder mit der Ungleichung 1 ^ Nm(llt) verbinden; so zeigt sieh, daß der absolute Wert einer Diskriminante n'" Ordnung (t)" sicherlich immer die Große ~y~ übertrifft. Die zuletzt gefundene Grenze für die Norm eines Multiplikators woUen wir noch in einem Beispiele anwenden. Herr Wolfskehl*) hat vor kurzem den Nachweis geliefert, daß der zweite Faktor der Klassen- anzahl fär die aus den 13™" Wurzeln der Einheit gebildeten Zahlen gleich Eins ist. Dieser Nachweis erforderte außer einer Benutzung der Reusehle- sehen Tafeln noch recht verwickelte Keehnnngen. Wir können hier ein- facher zu demselben Satze gelangen und noch hinzufügen, daß die gleiche Erscheinung auch bei den 17*™ und 19'™ Wurzeln der Einheit eintritt; ja später werden wir sogar durch ähnliche Mittel dieses Resultat noch weiter auszudehnen imstande sein. Stellt X eine ungerade Piimzahl vor, so bedeutet der zweite Faktor der Klassenanzahl für die aus den A'™ Einlieits wurzeln gebildeten Zahlen — wir machen augenblicklich von der Kummerschen Terminologie Ge- brauch — dasselbe wie die Klassenanzahl für die aus den - „—■ zwei- ■*) Grelles Journa-l, Bd. 99, S. 173. y Google 260 Zur Geometrie der Zahlen. gliedrigea Perioden dieser Einheits wurzeln gebildeten Zahlen. Die Diskrirai- nante des Syatems dieser letzteren Zahlen hat den Änsdruck X^ ; setzen wir in die Uügleichung (7 b) diese Große für D und zugleicli — ^ — ^^^ '*i so erlangt die rechte Seite dort folgende Werte: für ;i = 5, 1, 11, 13, 17, 19, 1, . . . , 2, . . . , 13, ... , 34, ... , 311, . . . , 1027, .... Bis zu diesen Grenzen hätten wir also höcbstenä die Normen der Multi- plikatoren zur Hervorbringung wirklicher Zahlen zu suchen, und wenn alle Zahlen bis zu diesen Grenzen sich in wirkliche Faktoren zerlegen lassen soUten, so kommen in den hier betrachteten Fällen ideale Multi- plikatoren und demgemäß auch ideale Zahlen überhaupt nicht YOr. Nun entnehmen wir aus den Eeuschleschen Tafeln, daß für die soeben auf- gezählten Werte von X alle Zahlen unter 1000 sich in wirkliche Paktoren sen. Wir haben also nur noch in bezug auf X = 19 fest- saß hier die Primzahlen zwischen 1000 und 1027, das sind 1009, 1013, 1019, 1021, ebenfalls einer solchen Zerlegung innerhalb des durch die entsprechenden zweighedrigen Perioden bestimmten Gebiets fähig sind. Nun gehören in bezug auf die Primzahl 19 die Zahlen 1009 und 1021 zum Exponenten 18, die Zahl 1013 zum Exponenten 9; diese Zahlen sind also in dem fraglichen Zahl engebiet der zweigliedrigen Perioden selbst noch Primzahlen. Die Zahl 1019 endlich gehört modnio 19 zum Exponenten 6, ihre Primfaktoren werden also von den drei sechs- gliedrigen Perioden der 19'°" Eiuheits wurzeln abhängen. Diese sind die Wurzeln der Gleichung 73^ + r/^ ~ Gt] ~ 1 = 0, deren Diskriminante den Wert 2) = 19* hat. Da nun in dem durch diese Wurzeln bestimmten Gebiete nach den Beuschleschen Tafeln die Zahlen bis zu yD = 19 in wirkliche Faktoren zerlegbar sind, so können in diesem Gebiete ideale Teiler nicht existieren, und demnach muß auch 1019 in drei wirkliche Faktoren zerlegt werden können. y Google IX. Tlieoremes aritlimetiques. Extrait d'une lettre de M. H, Minkowski k M. Hermite. (CompteB renduH ' de l'Acad^mie des Scienees, t. 112, pp. 209 — 212.) »La methode geometrique de inon travail*), traduite en langue purement aualytique, conduit ä ce theoreme susceptible d'une application tres etendue: »Soit n un nombre plus grand que 1; soimt |, t;, £,..., n formes Unetmes mdependantes ä n variables x, y, s . . . . Farmi ces formes, soient ß pmres ^imaginaires cor>jtig^es et les (mtres n — 2ß = a formes reelles. JJtm OM l'a/afyte des nombres a et ß peut aussi etre egal ä sem. SoU A le däerminaM des formes !,»;,£,.... Soit enfin p une quanüie guelcongue ^1. On peut toiijows assigner ü x, g, g, . . . des valems enti&res, de sorte que la somme (abs, ty + (abs. riy + (abs. 0^ + ■ ■ ■ sott diffä-ente de «öVö et en mtme iemps plus petite qiie la quantite r(> + i qui est dle-meme plus petite que «(abs. &)". Ici abs. signifie « valeur absolue de » et P designe la i'onction gamma, » En saivant une voie indiquee dans vos admirables lettres ä Jacobi, je tirerai du tb^or&me que je viens d'exposer plusieurs conclusioas fonda- mentales s\a les nombres algebriques. *) üfeer die positiven quadratischen Formen imd über kettenbruchähnlicke Algo- rithmen (Journal de Grelle, t. 107, p. 278). Diese Ges. Abhündlungen, Bd. I, S. 243—260. y Google 262 Zur Geometrie der Zahlen. » Soit ua Corps algebrique quelconque, irrdductible et d'ordre w, et soit 5 une forme lineaire qui, pour toutes les valeurs entiöres de ses n TEiriables x, y, z, . . ., represente fcous les entiers algebriques de ce corps; soient, de plus, rj, ^, , . . les m — 1 formes eonjuguees ä §. Le discriminant du Corps est represeute par le carre du determiuant A, et ee carre est un entier ratioanel D du signe (— l)**. Eu faisant usage de l'inegalite ishs.^rit...y^_[- (abB.|)P + (abs.Ji)" + (abs-S)" -f • et en remarquant que abs. | j; £ . . . est un entier ^ 1, pourvu que x,y,z,... Boient des entiers et qu'ils ne s'evanouissent pas tous, les iuegalites du theoreme enonce eutraineront celles-ci: !<©'■ ""'"^"'' »Faisant d'abord abatraction du terme intermediaire, nous aTona ainsi demontre le postulat profond de M. Kronecker*), que cbaque discriminant est difFerent de ±1, c'est-ä-dire que chaque dis&iiminant corUieni des nombres premiers comme fadeurs. C'est lä un detail bien digne d'attention. Toufc nombre alg^brique iiratiomiel a ainsi aes nombrea premiers oritiques, eomme toute fonction algebrique irrationnelle a aes pointa d'embranchemeat. »Le terme dont nous n'avona pas tenu compte nous foumit pour la valeur absolue d'un discriminant des limites inferieures plus complefces. Ces autres limites, oü figure encore le nombre ß, s'accroiasanfc indeflniment aveo l'ordre n, il est evident qu'w« nombre dotme quelconque ne peut etre discriminoM que pow un nombre fint d'ordres n. »De quelle manifere fixerart-on le mieux ia quantite ß, assujettie jus- qu'ä present ä la Beule condition de ne pas etre moindre que I'unite? Ou se convainera aisement que les limitea dont nous venona de parier devront a'agrandir aussi longtemps que la valeur de p decroit. Ce n'eet donc pas quand p est egal ä 2, valeur qui repond aus formes quadratiques, mala dane le caa de p = 1, que cea limites seront le plus avaneees. II en reaulte enfin ce th^orfeme: » Le discriminant d'un Corps cägebrique, faisant partie de n Corps con- jugues doni 2ß sord imaginaires et n — 2ß reels, est en valeur absolue tou- jours plus grand que *) Journal de Grelle, t. 92, (Werke, Bd, II, S. 269). y Google ThöoLÖmes aiitlimötic[ueB, 263 »Pav exemple, un discriminant du deuxieme ordre doit etre ou > 4 ou < — 2, .... Les valeurs les plus petites 5 et — 3 se trouveut däns les equations o^+oi — 1 = et ia^+aj + l = 0. » Un diseriminant du troieieme ordre doit etre ou > 20, ... ou < — 12, .... De la limite precise du minimum des foraiea quadratiquea positives temaires on aurait tire, en suivant utiß marclie tout analogue, les inegalites D ^ 13,5 ou ^ — 13,5. La limite que nous avons trouvee plus haut n'est douc pas, il est vrai, une limite precise, mais malgr^ cela eile DOus foumit dejä des r&ultata que les formes quadratiques n'onfc pas encore donnes. » y Google X. Ober Geometrie der Zahlen. Bericht über einen Vortrag KU Halle. (Verhandlungen der 64. Naturforacliec- und ArzteverBammlung zu Halle, 1891, 8. 18 Jahresbericht der Deutschen Mathematiker -Vereinigung, Band 1, S. 64^65.} Wenn man für den Raum rechtwinklige Koordinaten einführt, so ent- sprechen den Systemen von drei gansen Zahlen diskrete Punkte, welche derart über den Raum verstreut liegen, daß sie eine gewisse Nähe in hezug auf jede beliebige ßaumsteUe erreichen. Den Inbegriff aller dieser Punkte mit lauter Koordinaten, die ganze Zahlen sind, nennt der Vor- tragende das dreidimensionale ZahlengiUer; unter dem Titel „Geomeirie der Zahlen" begreift er geometrische Studien Über das dreidimensionale Zahlengitter und Ober das entsprechende Gebilde in der Ebene, und in weiterem Sinne auch die Ausdehnung der Ergebnisse solcher Studien auf Mannigfaltigkeiten behebiger Ordnung. Natürlich besitzt jede Aus- sage Über die Zahlengitter einen rein arithmetischen Kern. Das Wort „Geometrie" erscheint aber durchaus am Platze im Hüiblick auf Frage- stellungen, zu welchen die geometrische Anschauung verhilft, und auf Untersucbungsmethoden, welche fortwährend durch geometrische Begriffe ihre Richtung angewiesen erhalten. Der Vortragende hat sich in betreff der Zahlengitter hauptsachlich zwei Fragen gestellt; sie ei^änzen einander in gewisser Beziehung, und folgendes ist ihnen gemeiosam: Es handelt sich, wenn speziell vom Räume gesprochen wird, jedesmal um eine sehr allgemeine Kategorie von Körpern, welche so konstruiert werden, daß sie einen bestimmten Punkt des Zahlengitters — es sei dies etwa der Nullpunkt — in gewisser Weise umschließen, und es soll dann jedesmal bei diesen Körpern eine gewisse Eigenschaft in bezug auf das Zahlengitter allein durch die Größe des Inhalts der Körper zustande kommen. Die erste Kategorie von Körpern besteht aus allen denjenigen Körpern, welche im Kullpunkte einen Mittelpunkt haben, und deren Be- grenzung nach außen hin nirgends konkav ist; und die fragliche Eigen- y Google über Geometrie der Zahlen. 265 Schaft für diese Kategorie lautet: Wenn der Inhalt eines Körpers dieaer Kategorie ^ 2^ ist, so schließt der Körper notwendig noch weitere Punkte des Zahlengitters außer dem Nullpunkte ein. Die aweite Kategorie von Körpern ist noch umfassender; sie besteht aus allen Körpern, welche den Nullpunkt enthalten, und deren Oberfläche, vom Nullpunkte aus gesehen, nach jeder Richtung hin nur einen Punkt darbietet; und die fragliche Eigenschaft für diese zweite Kategorie lautet: Wenn der Inhalt eines Körpers dieser Kategorie ist, so können stets Deformationen des Körpers angegeben werden, hei weichen der Inhalt sich nicht ändert, der Nullpunkt fest bleibt und gerade Linien gerade Linien bleiben, und nach deren Ausführung alle Punkte des Zahlengitters mit Ausnahme des Nullpunkts ihren Ort außerhalb des Körpers finden. Der Vortragende weist auf die außerordentliche Tragweite dieser, in ihrer Allgemeinheit ebenso einfach wie plausibel klingenden Sätze hin. y Google XL Estrait d'nne lettre adressee ä M. Hermite. (Balletin des Sciences niatheinatic[ueB, 2« sörie, t. XVII, pp. 24—29.) Veuillez bien permettre, Monsieur, que je yous donne un rapide re- suDie de mon Ouvrage.*) La plus grande partie du livre traite des fonc- tioüs q> k n varial>le8 ar,, x^, . , ., 3;,^, qui, eorame la racine cairee d'une forme quadratique positive, satisfont aus conditions Iq>(x^,x^, .. .,x„) > 0, si Ton n'a pas x^ = 0, x^= 0, ..., x^= 0, y(0, 0, ...,0) = 0,

^r (B) (p (X^ + )/i, Xs + JJ3,-. ., X^ + y„)<(p i^i, «3, ...,xj +

(— x^, ~x^,..., — xj='^ (x^, «3, . . ., xj . Soient Ij, Ig, . . ., 1^ ua iiombre fiui de formes liaeaires ä coefficieuts reels et aux variables a;^, iBj, . . ., x„, et parmi cea formes soient n formes ä deterniinant different de zero. Soit '^(XifX^, ..., xj le maximuin parmi les valeurs absolues de 1^, |g, ..., |^, Une teile foae- tioa satisfera evidemment aux conditions d'ime fonction 95. J'etablis d'abord ee theoreme: ff etant une Solution quelconque de (A), (B), (C), et ö une quantite positive choisie ä volonte, on peut toujoura trouver des fonctions "t» comrae je viens de les caracteriser, de sorte que, pour toutes lea valeurs possibleg de 3^1, Xj, ..., X , on ait II en resulte que l'integrale ff . . . Jdx^dx^ ... dx^ etendne eur ie domaine (pix^^jX^, ..., x^ -^1 aura toujours une valeur determinee. Soit J" cette valeur. Je demontre alors que Von pmi tmtjowrs trowver des nombres entiers x^,x^, ...,x^ pour lesquels on ait (I) 0<^{x,,x„...,x„)<^- F^ *) Gemeint- ist die „Geometrie der Zahlen." (Anm. d. Herausg.l y Google Estrait d'une lettire adressäe ä M. Hermite. 267 J'ajoute ce theoreme aupplementaire: Le cas qu'il n'esiste pas de nombres entiers x^, x^, ..., x„, pour leg- quels on ait 0 provenant d'un nombre v de formes lineairea ^2" — 1. La plus simple application du theoreme (1) est la suivaate: li, la, ■■■j§„ efcant n forme8 lineaires ä coet'ücieuts reels quelconquea et ä determitiant egal ä 4; 1, on peut toujours doiiner ä x^, a:^, . ■ ., ic„ des Taleurs entiöres qui ne s'evanouissent pas toutes et de eorte que les valeura absolues de |j, |g, ..., ^„ soient toutes ^ 1. L'enonce plus exacfc de ce tlieorfeme est que Ton peut trouver des nombres entiers x^fX^, ---tX^, qui ne s'evanouissent pas tous, et de sorte qae les valeura absolues de |^, |g,.,.,|„ soient toutes <1, excepte le eas oä lea formes |j, §j, ..., ^„, par une Substitution linöaire ä coefficients entiers et ä döterminant +^ 1, peuvent etre transformees de maniere que, abstraction faite de l'ordre, elles devierment Xj, «31«! + ^a, ■■■) '^nl^l + '*na^+ " " + ^n- Äinsi, par exemple, »i, «a, ---i '^b-i ^^^^ des quantites reelles quel- conques et T une quantite > 1, il y aura des nombres entiers x^, x^, . . ., x^_j, x^, parmi lesquels ic^ est diiferent de zero, de sorte que les valeure soient toutes < -j, , excepte le cas oü T est un nombre entier, et öj, «2, ..., ß„_i, abstraction faite de l'ordre, out des expressions -ip, -iAi • ■•) T^^ii ^sjiü lesquelles T^, T^, . , ., T^_i sont des nombres entiers premiers ä T. En appliquant le theorfeme (1) ä la fonction qui est deflnie ä l'aide des 2n — 2 formes sTi — aj3;„ ± ^ , Xi~a^x„±^, ..., a^a _ i — «„ _ i «„ ± ^ , on eonclut que Ton peut toujours trouver des nombres entiers x^, x^, ..., ^■n-ii^a> ^^'°-'^ diviaeur comniun et parmi lesquels x^ est positif, de sorte que les valeurs absolues de y Google 268 Ztu: Geometrie der Zaiilen. eoient plus petites qu'une quantite positive t choisie ä volonte, et en meme temps A l'aide de certaines autres fonctions ip, on obtient les theoremes analogaeB pour les quantites eomplexes. Les theoremes que j'ai exposes dans ma demiere lettre sont aussi des consequences speciales du theoreme (I). De ee theoreme decoulent eofin les theoremes de Dirichlet sur lea unitee eomplexee, Ensuite j'etahlis cette generalisation du theoreme (I): Pour toute fonction (Äi = l,2,...,n;7ij = l,2, ...,«;.. .;Ä„== 1,2,..., n), ou n^ nombres entiers i^j ä determinaut ± 1, de sorte que ce Systeme rfes une permutation convenable des hgnes, prenne une forme { c^i ... c„^ satisfaisant aus conditions O^Cjj) heißen, wenn durchweg (4) S{ba) = S{ab) ist. Solches hat dann und nur dann statt, wenn der Eichkörper den Nullpunkt als Mittelpunkt hat. III. Es gibt im Zahlengitter offenbar Punkte r, für die E(or) = 1 ist. Irgendwelche einhellige S(cib) vorausgesetzt, wird für diese Gitter- punkte r dann S{or) ^ G sein. Diese letztere Bedingung nun kann Über- haupt nur von solchen Punkten r erfüllt werden, für welche E(or) ^ — ist, und dieser Bedingung wieder genügen eicher nur eine endliche Anzahl Gitterpunkte. Aus diesen Gittei-punkten muß dann notwendig die kleinste Strahldistanz M zu ersehen sein, welche von o nach aUen anderen Gitter- punkten zusammengenommen existiert und die nun jedenfalls ^ G ist. Wird sodann für einen beliebigen ersten Gitterpunkt a der Körper S(au) ^-g-ilf, für einen beliebigen anderen Gitterpunkt c der Körper S{uc) ^ -g-Jlf konstruiert, so sind solche zwei Körper zufolge (3) in ihren inneren Punkten durchweg Teraehieden. Werden nun die Strahldistanzen auch y Google Zur Geometi-ie der Zahlen. noch wechselseitig vorausgesetzt, so ist der zweite Körper mit S(€u) <-^ M identisch, und stoßen dann also die verschiedenen Körper S(ati)^-^M für die verschiedenen Gitterpunkte a höchstens in den Begrenzungen zn- Nnn sei Q irgendeine positive und gerade ganze Zahl, und man konstruiere die hier bezeichneten Körper für die sämtlichen im Würfel E{pu) ^ -T- enthaltenen {Q -|- 1)' öitterpunkte '-C, y, ^ = 0,±1, ±2,. .,, + -§-■ Aus S{au)-^-^M -^ — G folgt E{au)^-^ — , und werden deshalb alle diese Körper in dem Würfel £(om)^-^(Q-1 — ) enthalten sein, dessen Volumen IQ H — 1 beträgt. Indem sie nun sämtlich auseinander liegen und jö vom Volumen (—1 J sind, geht daraus die Ungleichung hervor; nun stellen M und J bestimmte Größen vor und Q kann beliebig groß genommen werden, mithin entnimmt man daraus: (5) is(f)V, muß es also mindestens einen, von o verschiedmen GiÜerpunld q aeben, für den S(oq)< -= — ist. yj Das hiermit gewonnene Theorem über die nirgends konkaven Körper mit Mittelpunkt scheint mir zu den fruchtbarsten in der ganzen Zahlen- theorie zu gehören. Ich hatte es, durch das Studium der Aufsätze von Dirichlet und von Hermite über quadratische Formen (Grelles Journal, Bd. 40, S. 209 u. S. 261; Dirichlets Werke, Bd. II, 8. 27; Oeuvres dUer- mite, T. I, p. 100) angeregt, zunächst für die Ellipsoide gefunden {Grelles Journal, Bd. 107, S. 291; diese Ges. Abhandlungen, Bd. I, S. 255); ein noch gi-ößeres Interesse aber bieten die Folgerungen dar, welche dieses Theorem hinsichtlich linearer Formen zuläßt und von denen ich sogleich einige hervorheben werde. Das Gleichheitszeichen in (5) tritt dann und nur dann ein, wenn die Körper S(au) ^-^ M um die einzelnen Gitterpunkte a den Raum Ulcken- los erfüllen. Dazu muß vor allem die vollständige Begrenzung des Eich- körpers durch eine endliche Anzahl von Ebenen, und zwar durch nicht mehr als 2(2''— 1) Ebenen, gebildet werden; nämlich es muß dann jede y Google Aus raumlicher Änsehauung ereclilosEene arithmetiEcbe S 275 ebene Wand von S (au) ^ M aoch exklusive des Randes mindestens einen Gritterpunkt x, y, s enthalten, und können für derartige Gitterpunkte in zwei, nicht in bezug auf o symmetri sehen Wiinden niemals x, y, B gleiche Reste modulo 2 ergeben, wie auch für keinen dieser Pnnkte x-, y, Z ^ 0, 0, (mod 2) sein können. Das Gleichheitszeichen in (5) tritt bei- spielsweise niemals für ein Oktaeder ein. IV. Es seien |, 'q, t, drei lineare Formen in x, y, z mit einer von Null verschiedenen Determinante D, es seien entweder alle drei reell, oder % reeU und ij, % zwei Formen mit konjugiert imaginären Koeffizien- ten; weiter sei j? irgendeine reelle Größe. Der durch 1g|^+|- .+ |£|., ■)'S (6) definierte Körper K^ stellt dann, sowie ^ ^ 1 ist, einen nirgends kon- kaven Körper vor; für das Volumen J^ dieses Körpers findet man: es zeigt sich ferner, daß für einen Körper K^, wenn p endlich ist, in (5) niemals das Gleichheitszeichen in Betracht kommt. Man gewinnt so den Id, i>^ 1, so giht es immer gcmse Zahlen x, y, z, die nicht sämt- lich Null sind und für welche man (\iZ±l ^_+j_si hat. Hält man Xy y, z fest, so nimmt der Ausdruck links in (6), wenn nicht gerade ] I j = | ij | = j £ i ist, in welchem Falle dieser Auedruck von ß unabhängig sein würde, mit p für alle Werte J) ^ kontinuierlich ab (sogar für alle ^, wenn keine der Größen |||,|i?], |£| Null ist). Es wird danach ein jeder Körper K in allen anderen von diesen Körpern mit kleinerem p enthalten sein und also -v- und A^ mit ^ kootiauierlich zDuehmen; für p = oo konvergiert ^ nach 1, bzw. ^- Fürp= oo geht K^ in das ParaEelepipedum -1^1^ Ij — l^i?£l, — 1<£^1 oder den elliptischen Zylinder — l^l^l, i?^+£^ 1. Die Anwendung der Sätze in III. auf das ParaJlelepipedura -\^x-az^\, -\^y-hz^\, - 1 ^ j < 1 führt dazu, daß es immer ganze Zahlen x, y, z gibt, für welche 0<«^i*, \x-az\<\, \y-hz\<\ ist. Dieses Resultat, jedoch nur für den Fall ganzzahliger Werte von (, hat bereits Kronecker (Berichte der Berliner Akademie, 1884, S. 1073; Werke, Bd. III, 1, S. 36) mittels des scheinbar trivialen, dessen ungeachtet aber äußerst erfolgreichen Prinzips (s. Dirichlet, Verallgemeinerung eines Satzes aus der Lehre van den Kettenbrücken-^ Werke, Bd. I, S. 636) bewiesen, daß, wenn eine Anzahl von Größensystemen in eine kleinere Anzahl von Bereichen fallen, mindestens zwei Systeme darunter in einen und denselben Bereich zu liegen kommen müssen; ea ist dies einer der wenigen Falle, wo bereits dieses einfachere Prinzip wesentlich gleiche Folgerungen er- möglicht wie das arithmetische Theorem in III. Die Betrachtung des Oktaeders \x-a^\ + \\\<,l, |»-i.2| + ||J£l (( ^ 3 vorausgesetzt), zeigt die Existenz von ganzen Zahlen x, y, s, für welche die Ausdrücke hier links beide < {-r) ausfallen und zugleich 2 > ist, und für solche Zahlen findet man dann noch: |t-»1<^. lf-'|<-r Diese Sätze weisen auf einen Weg, auf dem mit Erfolg die Ergeb- nisse der Lehre von den Kettenbrücken zn verallgemeinem aind. VI. Betrachtet man beliebige einhellige und wechselseitige S{ah), so erseheint 2^ als kleinste obere Grenze für M^J. Beschränkt man sich auf solche S{al)), deren Eichkörper aus einem gegebenen Körper durch y Google Aus lanmlicher Anschauung erachloasene arithmetische Sätze. 277 alle möglichen linearen Transformationen hervorgehen, so findet man auch in dieser beschränkten Kiasae von Funktionen bereits immer solche, für welche M'J>l + -^ + ^ + ^ + --- ist. Der Nachweis dieaes Satzes erfordert eine arithmetische Theorie der kontinuierlichen Gruppe aus allen linearen Transformationen. Endlich ist zu erwähnen, daß die Ungleichung M^J^2^ für die nirgends konkaven Körper mit Mittelpunkt noch eine wesentliche Ver- allgemeinerung zuläßt, auf die ich indes hier nicht mehr eingehen will, Bonn, im Juni 1893. y Google XIII. Zur Theorie der Kettenbrilche *) (Ännalea de Tficole Normale supärieure, 3* siärie, t. XIII, pp. 41—60.) Durch das Studium der Aufsätze TOn Herrn Hermite in den Bänden 40, 41 und 47 des Crelleschen Journals (Oeuvres, T. I, p. 94, p. 100, p. 164, p. 193, p. 200) bin icli zu einigen VeraUgemeinerungen der Theorie der Kettenbrüche gefühi-fc, über die ich im folgenden kurz berichten will. I. Ich werde zunächst von den Annäherungen an eine eimelne reelle Größe mittels rationaler Brüche sprechen. Es sei Q irgendein Wert > 1. Für eine beliebige reoUe Größe a, welche weder eine ganze Zahl noch die Hälfte einer ganzen Zahl ist, kann man in folgender Weise eine Folge von ganzen Zahlen p^, q^ (n = 0, 1, 2, . . .) bestimmen. Zuerst seipo=l, g^^-O; es sei f^ die nächste ganze Zahl an a und p, — f^, g, ^ 1. Sodann sei für ein «^ 1 und solange als ö„ — aq„ 4= ist, £„ das Vorzeichen von ^^^^i ^--^ , und es werde der absolute Betrag dieses Quotienten == e„ + »■„ gesetzt, so daß e„ eine ganze Zahl und ^ »-„ < 1 ist; hernach mache man s„= e„ — e„^^^, und, wenn »•^ = ist, /"„ = e„, wenn aber r^ > ist, /"„ = e„ oder = e„ + Ij je nachdem ist, endlich p„+i=f„p„ — e^p^__^, $„4.1 =/"„$„ — f„2„_i. Man hat als- dann: t-U~f^^ (» = 1.2,...), /n-2 ~ /_ und die Reihe der Zahlen p^, q^ besitzt folgende Eigenschaften: *) Statt der a. a. 0. veröffentlicliteti, von L. Laugel herrührenden Überaotaung, welche den Titel trägt; GineralisaUon de la thiorie des fractions contirmen, gelangt hier das deutsoiie Üriginalmanuskript des Verfassers »um Abdiuck, (Anm. d. [lerftusg.) y Google Zur Theorie der Kettenbrüche. 279 1. Wenu a rational ist, bricht die Reihe mit irgendeinem Index v ab, für dea — = a ist. 2. Man hat <,q^ i > ^„+i, und ist x, y irgendein von 0, 0, von p^, q^ und von — p^, — tf„ verschiedenes System von ganzen Zahlen, so hat man immer k-»!/|" + (lsl°>|p,-«S.i° + *l«.P.'*) Besonders bemerkenswert sind folgende Spezialfälle dieser Ent- wicklung: 1) Q = oo. Alsdann hat man für ein »^1 immer f'^ = e^, «„^.j = — 1, und — , - , ... sind die Näherungsbrflehe der gewöhnlichen Kefctenbnich- entwicklung für a, mit Ausschluß des ersten Näherungsbmches, falls der Überschuß von a über die größte in a enthaltene ganze Zahl > y ist. 2) £3 = 2. Die Ungleichungen (A) werden hier 1 > 2s„+i — oder -^x^-, rn ^ "« + 2 und nach der Eigenschaft 5. wird man diejenige Entwicklung in einen Kettenbrueh vor sich haben, auf welche Herr Hermite im 41. Bande des Crelleschen Journals, S. 195 (Oeuvres, T. I, p. 108) geführt wurde. *) Vgl. hierzu „Geometrie der ZaMen" S. 123. (Anm. A. Horausg.) **) In der frauKÖaiBchen. Überaetzung findet aicti noch folgender Abschnitt: 6. Lorsc[ue a est irrationnel et racine d'ime öquatioa du second degrö ä coeffi- cienta rationaels, il exiate un indice l et ua nomhre ji tols que, ä partir de w ^= (, on aura toigours f =f , s = £ . (Anm. d. Herausg,) y Google 280 Zur Geometrie der Zahlen. 3) ß = 1. Die Ungleicliungen (A) gehen dann in 1,1 ? ., [ oder a über. Man hat immer T^ ^ V^n "-^^ ^^^^^ '^'^'" ^^^ Zeichen = nur ein, wenn man a = — ^Äi-~ {Q > 0) hat und dabei P, Q ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind, und zwar alsdann nur für einen Index n, für welchen ^„ = ^771? ?i.-i<'3<2n ■w""'^- ^^^ ^'ird danach für jeden Index « : haben. — Ist weiter 6 eine beliebige reelle Große, so erfüllen für min- destens ein System von ganzen Zahlen X, Y, für die man x-i<-|^ vorausgesetzt werden. Auf diesen Ausdruck

], g, so hat man immer (1) agl < A. yGoosle 282 Zur Geometrie der ZaUea. Es enthält {a,g, l] genau einen Gitterpunkt auf jeder Seitenfläche, auf den gegeniSterliegenden Flächen GUUrpunkte mit entgegmgesetsten Koordinaten. Man kamt darunter immer om/" eine und nur eine Weise drei Gitterpimkie r, s, t; r', s', t'\ r", s", t" auf nicht gegenüberliegenden Flächen ^ ^ sa, ri^^sg, ^ = s'l finden, so daß se'e"= + l ist, und wenn das System 8^, Et], E't, durch Ir, r, r" "i f <*, ± ^i ± f' 1 s, s', s" in *= ±A 9) ±^ t, t', t" J ( ±j, ±1, l ] übergeht, die Größen a, h, e, f, g, h, j, Tc, l sämtlich positiv sind und ihre Vorzeichen eines der folgenden sechs Systeme, ergeben: I. + + + + n. VI. + + - + + - + + i + in den Fällen I. bis V. + -- + + + + ++ - + - - + + + + + +- Dabei erweist sich dann die Determinante von P gl^h l, im Falle VI. gleidi 0, und hat mam (2) a>h, a>c; g>h, g>f; l>j, l>k, und dazu noch je nach den einzelnen Fällen, die hier durch ihre Nummer hmnüich gemacht sind, folgende weitere Bedingungen: b~>c oder A>/' oder j>/e c>ii oder />Ä oder 'k>j b-\-c=a, h-^f=g,j-\-'k=l. Von den hier durch das Wort oder verbundenen, zwei oder drei Be- dingungen hat jedesmal wenigstens eine statt. Es heiße {a,g,l\ in den Fällen I, — V. von der ersten, im Falle VI. von der zweiten Art, und von der Substitution F, welche ihrerseits {a,g,l] vöUkommen bestimmt, sage man, sie sei eine zu %, tj, £ gehörende Sub- stitution. Ist eine ganasahUge Substitution P mit der Determinante 1 so besdiaffen, daß durch sie £§, e'^, e"S mit geeigneten Vorseichen s, e, s" in ein System übergehen, welches eine der vorstehenden Bedingungen I. bis V. erfüllt, so ist sie stets eine sm g, ij, g gehörende Substitution. 3. Man bilde für ein äußerstes {a,g,l} die Systeme F und 0, Ist darin & > c, so befindet sich in {b,g,l] der Gittei-punkt r', s', t' auf dem y Google Zur Theorie der Ketteabrüche. 283 Rande einer |- und einer ij-Seite and der Gfitterpunkt r", s", t" im Inneren einer g-Seite. Es muß dann {ö,tt, ZL dem in (1) liegenden Satze zu- folge, ein bestimmtes äußerstes {h,gy,l] mit einem Parameter gi>g ent- halten, und dieses wird dann wwfer allen möglichen äußersten {«o'^oj^oIj in welchen go'^g, h'^l und ar,l)za. Dieses so in jedem Falle bestimmte {i,gi,l], beziehlich {c,g, l^] heiße d^ ^-Nachbar von {a, g,l]. Zu diesem I-Naehbar kann man wieder den ^-Nachbar bilden usf. ins Unendliche, dabei kommt man offenbar auf lauter Terschiedene äußerste Parallelepipeda für I, 7j, £. Analog kann man sodann einen Tj-Nachbar imd einen ^-Nachbar TOn {a,g,l} definieren. {a,g,l] selbst wird, je nachdem fc>c oder 6 «(,, gc oder aber 6ff) ^^^^ {''>g> ^il Gl >0 lautet, mit {«of?oj 'ol ^in ParaUel- epipednm TTj gemein haben, wdclies TT enthält und dabei größer ist. Ist aber & ?) lautet, zwar mit {»o, 3o'^o) wieder nur TT, aber, indem dann c > «o, g <.gi,, l^ > l^ iat, dem eben behandelten Falle gemäß, mit dem ij-Nachbar von {a^,gg,l(,] gewiß ein ParaUelepipedum TTi ge- mein, das TT enthält und dabei größer ist. Die zwei Parallelepipeda, die hier jedesmal auf das mit TTj bezeichnete ParaUelepipedum führen, können nun identisch sein, anderenfalls operiere man mit ihnen wie mit den beiden, von welchen man ausging, usw. Dem in (1) enthaltenen Safee zufolge muß nun jedes äußerste ParaUelepipedum, das TT enthält, gana im Inneren von ! —7, 5—, — ! liegen. Pur die drei Parameter bei TT, TT, , usw. \gl' la„' »„3! * ' ^' kommen daher nur eine endliche Anzahl von Werten in Frage, und eine endliche Anzahl von Schritten, wie der hier bezeichnete, muß zu einer y Google 284 Zur Geometrie der Zahleo. vollständigen Verbindung von {a,g,l] und {«oj^oi^ol durch Nachbarn führen. Es bilden so alle vorhandenen äußersten {a,ff,l] eine bestimmte Kette, in welcher an jedem Gliede in gewisser Wdse unmittelbar seine drei Nachbarn haften und dadurch ein Zusammenhang aller Glieder zustande Tiommt. Man findet die Nachbarn eines äußersten {a,g,l] sweiter Art stets sämtlich von der ersten Art. Um die ganze zu ^, ij, g gehörige Kette von äußersten Parallelepipeda zu bilden, wird man nun von einem Gliede der ersten Art in ihr ausgehen; dann bedarf man nur des Algoriihmus, durch den man von einem äußersten {a,g, l] der ersten Art zu einem be- liebigen Nachbar, und, falls dieser von der zweiten Art wird, weiter direkt zu den Nachbarn dieses Nachbars gelangt. Man bilde die Systeme P und für {a,g,l]f und es sei ( A, F, J \ \ B, G, k\ [ G, H, L) das adjungierte System zn , das System, welches symbolisch durch A<1>~-^ anzudeuten wäre. Es wird hinreichen, den |-Nachbar von {a,g,l] und noch unter der Annahme h'^ c zu behandeln, indem die Übrigen möglichen FaEe aus diesem durch die geeigneten Permutationen von |, tj, £ und dei zugehörigen Bezeichnungen hervorgehen; dabei ist zu beachten, daß m

c ist, den ^-Nachbar von {a,g,l] durch den nachstehend dargestellten Algorithmus, Voran steht dabei jedesmal, welcher von den Fällen I. bis V, aus 2. bei dem Systeme zutreffen soll. Die Klammer [ ] dient in der bekannten Weise als Zeichen tfe größte Gänse. Die aufgescin-iebene Substitution ist jedesmal die, mit welcher P rechts zu multiplizieren ist, um die zu dem |-Nachbar gehörende Substitution zu erhalten; die drei Einheiten daneben sind die Quotienten aus den Ein- heiten e, b', e" für den ^-Nachbar und für {a,g,l]; die römische Nummer darunter besagt, welche von den sechs Vorzeichenkombinationen aus 2. sich bei dem |-Nachbar einstellt. Fall 11. und Fall V. Von den doppelten Vorzeichen bezieht sich das obere auf den Fall IL, das untere auf den Fall V. [|v] = M, [^] = -A'; a-hM~cN=u, ±j + hM~lN=v, yGoosle Zur Theorie der Kettentrüclie. «» n S 1) M;: Jlf-1 N+1 + 1 2) u0 4) »<0 W N -1 + 1 5) »>6, o>0 M N+1 + 1 6) »>t, IKO M+1 N ~ l T«, Ol ; öm, i!- + l,L; d 1, IV. 1) 3>'', 0, -1, +, +, + 1, 1, 0, 0, 1 V. i, 0, 1, 1, 1, -, +, - 0,-1,-1 II. FaU IV. c; [*,?-]- M, [±^] = *; a-(ti-c)M-cN-u, -j + (}-h)U-lN. h — c ^u", c = u', ! — 7c = »'. m n i 1) wv M~l N + 1 + 1 2) » < «', »'>!.>0 M iV+1 ~1 3) » > »■, v>0 M N+1 + 1 i) «<< »<0 M N + 1 5) » > »", e<0 31+1 N+1 -1 I, +s, -im, + 1, + Sim — n) , 2) & — el-lt; 2), i>i, ±1, 0, 0, 1, 1 2), i, wieder mit rationalen ganzzahligen Koeffizienten, von der Dis- kriminante D oder 0, je nachdem die Determinante von F Eins oder NuE ist; dabei ergeben sich aus den Ungleichungen 2.(1) und 2.(2) gewisse, nur von D abhängige obere Grenzen für die Beträge aller Koeffizienten in (p. Es gehen demach am Nmt durch die sämtliehen unendlich mden Substittämien F überhaupt nur eine endliche Anzahl verschiedener Formen y Google 288 Zur Geometrie der Zahlen. ep hervor. Unter einer Einheit des Körpers soll eine ganze Zahl aus Ö mit der Norm 1 verstanden werden. Es seien nun P und Q zwei verschiedene Substitutionen der Kette zu I, t(, £, welche I^S in ein und dieselbe Form (p transformieren. Durch P mögen g, t;, t, in =., H, Z übergehen; durch ^ mUssen dann %, tj, £ in die- selben Foi-men bis auf Faktoren übergehen, und dabei kann mit Rücksicht auf die Ungleichungen 2.(2) auch keine Änderung in der Beihenfolge der Formen eintreten, so daß aus |, ij, ^ durch Q der Reihe nach wird m=., m'H, ', to" als konjugierte Zahlen aus den Körpern 0, 0', 0" und hat man (ijw'c3"= 1. Der Faktor m wird also eine Einheit darstellen, sowie er eine ganze algebraische Zahl ist. Dies wird nun immer der Fall sein, wenn P und Q die Determinante 1 haben. Denn alsdann geht durch QP~^ das System |, ij, £ in cj|, w'ij, üj"§, und also, wenn J5 die identische Substitution, w einen unbestimmten Parameter bedeutet, durch QF~^— wE (bei Anwendung einer bekannten Symbolik) |, t;, % m (ra — w)i„ (co — w)-rj, (w" — w)^ über; danach ist die Determinante von ^P-^— w£ gleich (ei — w) («o' — w) (ro" — w) und diese Relation erweist ci als ganze Zahl. Auf zwei verschiedene Substitutionen P und Q von der Determinante 1, welche Nml in ein und dieselbe Form y transformieren, wird man z. B, mit Hilfe einer hinreichend verlängerten solchen Reihe von äußersten Parallelepipeda kommen können, in welcher jedes Paiallelepipedum der |-Kachbar des vorhergehenden ist. Dabei stellt sich dann offenbar eine Einheit et heraus, für welche von den Beträgen der Zahlen tu, ra', a" der erste < 1, der zweite und dritte > 1 sind. Analog kann man eine Ein- heit (0 finden, für welche von diesen Beträgen der zweite < 1, der dritte und erste > 1, oder endlich der dritte < 1, der erste und zweite > 1 sind. Es leuchtet ein, daß von solchen drei Einheiten je zwei immer unabhängig, d. h. nicht als Potenzen einer einzigen Einheit darstellbar sind. Durch eine Substitution von der Determinante 1 geht das Gitter immer in sich selbst Über, und wird aus einem äußersten Parallelepipedum mit einer Substitution P daher wieder ein äußerstes ParaUelepipeduni, mit der Substitution O'^P, das freilich nicht derselben Kette anzugehören braucht. Ist andereiseits w eine ganze Zahl aus 0, so geht immer cjg aus I durch eine bestimmte ganzzahlige Sub'itifcution hervor; durch dieselbe geht dann oj ?; aus >j und a £ lua £ hervor, imd wird dabei die Determinante von also gleich om o) , d i gleich 1, sowie ta eine Ein- heit vorstellt. Daraus ersieht man nun Ist {l, ii, v] irgendein imßerstes ParäUelepipeäum fut ^, i;, i, P die da"u qihmige Substitution, co irgendeine Einheit avß 0, äif qanzsahhqe Substitution, iulche § in y Google Zur Theorie der Kette nbrüclie. es gehört dasu die Svbstitvimi 0~'^FvMä transformiert diese Nm^ in genau dieselbe Form

; i 2 IV. und ist somit i äußerstes Pirallelepipedum zu |, tj, ^ und P die dazu gehörige Substitution Es geht sodann £»/£ durch P in über. Der Uuistaiid daß diese Poim

y Google Theorie der Kettenbrücke. 1, -0,46, - 0,56 -1, 1,80, -0,80 — 1, -1,25, 2,26 1,25, -0,56, -0,70 -0,46 0,80, -0,36 -1,80 - 2,26 , 4,06 2,25 -1, -1,26 -0,56 1, -0,46 - 0,80 , — 1 , 1,80 J und tp geht jedesmal in dieselbe Form ^ — x^ -\- y^ -\- z^ ~ x^y — y^s — s^x — 2xy^— 2yz^~ 2sx^-\- 2xyz von der Diskriminante Null über. Der ^-Parameter in den zugehörigen äußersten ParaUelepipeda (Y), (T'), (V") ist 1, #, 1 + #, und indem die Quotienten dieser Größen eich als ganze Zahlen erweisen, sind diese ParaUelepipeda äquivalent. Nun ist umgekehrt (<1>) der i}-, §-, |-Nacbbar von (l*), {T), (f") und werden daher aUe Nachbarn von (V), (V), (Y") mit {^) äquivalente ParaUelepipeda sein. In ( „7^ = 0'", zwischen denen noch die Beziehung ■&d''&"= 1 besteht, durch ihre Potenzen und deren Produkte alle Einheiten des Körpers Q ergeben. Es entsprechen diesen Einheiten die Transformationen 0, 1, -1 1, 0, -1, 0, -1 0, 1^ -1, -1, -1, -1 , -1, 0, 1 1, -1, o) ^ 0, 1, der Form (p in sich selbst. — Mit leichten Modifikationen lassen sich die Sätze der Abschnitte 2. und 3. auch auf solche lineai-e Formen ausdehnen, durch welche die NuU rational darsteUbar ist. Für drei Formen von der besonderen Gestalt x + ay + bz, y -\~ cz , z hat man offenbar immer in {1,1,1} ein äußerstes ParaUelcpipedum und damit einen ganz bestimmten Ausgangspunkt für die zu den Formen gehörige Kette. Aus den Sätzen dieses Abschnittes entnimmt man leicht, daß, wenn «, ß, y, |, ij, £ die oben festgesetzte Bedeutung für den kubischen Körper haben, jede Substitution P der zu |, t;, t, gehörenden Kette, in deren ParaUelepipedum [l,^,v] die Quotienten -j, — gewisse Größen y Google 292 Zur Geometrie der Zatlea. libersteigen, auch in der zu den formen gehörigen Kette auftreten muß. Derjenige Satz, welcher diesem bei zwei linearen Formen entspricht, ist genau der Satz von Lagrange, daß für eine reelle quadratische Irrationalzahl die Entwicklung in eiuen gewöhn- lichen Kefctenbruch sich periodisch gestaltet. Ich werde bei nächster Gelegenheit auf die Untersuchung dreier Formen von der Gestalt a; — uz , y — 6s, s , worin a, b beliebige reelle Großen sind, und eine andere, damit zusammen- hängende und weit bemerltens wertere Verallgemeinerung dieses Satzes von Lagrange zurnekkommen. Königsberg, den 15. Oktober 1894. y Google Ein Kriterium für die algel)raisclien Zahlen. (Nachrichten der K. Gesellsciaft der Wisaeii Schäften zu Göttingen. Mathematisch-physilcalische Klasse. 1899, S. 64—88.) (Vorgelegt in der Sitzung vom 11. Fehruar 1899 vott D, Hubert.) Im Jahre 1770 hat Lagrange*) gezeigt, daß die Entwicklung einer reellen irrationalen Größe in einen gewöhnlichen Kefctenbruch immer dann und nur dann periodisch ausfällt, wenn die Größe Wurzel einer quadrati- schen Grleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Dieser Satz gibt offen- bar ein Tollständigea Mittel zur Unterscheidung der reellen algebraischen Zahlen zweiten Grades von allen anderen Größen. Seit jener Entdeckung von Lagrange durfte man Termnten, daß ein aUgemeinerer Satz existiere, der ein vollständiges Kriterium für che reellen (oder komplexen) algebrai- schen Zahlen beliebigen w''° Grades gibt und der für n = 2 und reelle Zahlen eben auf jenen Satz Ton Lagrange hinauskommt. Eine solche Verallgemeinerung wird zum ersten Male**) im folgenden dargelegt, § 1. Arithmetische Hilfssätze. 1. Ich beginne mit der Ableitung einiger Hilfssätze, auf welche sich die späteren Beweisführungen gründen werden. Es seien g^, - . -, 1^ eine Reihe linearer homogener Formen mit den n reellen Variablen x^, . . ., a:„ und mit irgendwelchen reellen oder kom- plexen Koeffizienten; nur soE das System der Gleichungen |^ = 0, . . ., |^ -= bloß durch das eine reelle Wertsystem a^j = 0, . . ., a:^ = befriedigt werden können. Der größte unter den absoluten Beträgen von x^,. . .,x^ vorkommende Betrag soll mit max|a:j| bezeichnet werden. Setzt man für Xi,---,x^ irgendwelche reellen Werte, so soll der größte unter den absoluten Be- *) Abhandlungen der Akademie zu Berlin, Bd. X31V, 1770; Werke, Bd. II, S. 603 tf. **) tjber bisherige Tersuche in dieser Eichtung b. P. Bachmann, Votleaiingen über die Natur der IrtationalKaMec, 1892, Vorl. II und Voil, X. y Google 294 2ur Geometrie der Zahlen, trägen von »u ■ - -j ^v vorkommende Betrag mit mas j |„(a:i, . . ,, »„)] und zugleich mit fix^, . . ., x^ bezeichnet werden. Man hat dann (1) /■(-=t.,---,-»=.)-/-fe,..^,*.), (2) fi}^i., ■ ■ ■! i^J = ifi^i, ■ ■ -j ä^J, wenn (> ist. Die Funktion f{xj, . . .,xj) ist, eine stetige der Argumente x^, . . ., x„ und hat daher in dem durch max jar^l = 1 definierten abgeschlossenen Be- reiche (d, i. auf der Begrensung des durch — ^ ^x^ ^1, . . .,— 1 ^x^^l definierten Würfels) ein bestimmtes Minimum g, das wegen der au die li, -.,,§„ oben gestellten Anforderung gewiß > ist, und ein bestimmtes Maximum G. Sodaim ist wegen (2) stets (3) ^ max I ^j I ^ f(x„ ■.■,x^)£G max \x^\. Endlieh hat man, wenn a^, - . ., a„ und 6^, - ■ -, &n zwei reelle Systeme sind, stets (4) f(a, + b„.. ., a, + 6.) ^ f(a„ . . ., o.) + f(b„ . . , !,.). Denn für jede einzelne der linearen Formen 1^ gilt ||,K + &!-■■ -,«, + ÖJ I ^ I !,(«!> ■ ■ .-O I + I ^(^-1; . ■ ■■ K) I ^max|g^(a^, ..,,«„) j + max |g,(i,,,..,fij I und daher auch ma,x\^^(a^ + \, . . ., a^ + bj \£m&x \ |^(ai, .. ., «J | + max | |^(Z)i, . .., 6J j. Hat man f(a^, .-.,«„) ^ 1 und /'(^i, ■ ■ -, O ^ 1 «nd ist < ^ < 1, so folgt nach den Regeln (4) und (2) (5) m-t)a, + t\,...,{l-t)a^ + tb„))^(l-t)f{a„...,aj + tf(b„...,b„)£l. Nach den Eigenschaften (5) und (1) ist der durch f{x^, . . .,icj ^ l definierte Bereich K in der Mannigfaltigkeit der x^, . , .,x^ ein nirgends Iconkaver Körper und hat das System x^ = 0, . . .,x^ = (den Nullpunkt) als Mittelpunkt. Der Bereich K liegt wegen (3) ganz im Würfel max \x^^ — eingeschlossen und enthalt in sich den Würfel max | Xj | ^ ^. Das M-fache Integral j dx^ . . . dx„, über den Bereich K erstreckt, (das Volumen von K) hat einen bestimmten positiven endlichen Wert J.*) 2. Der Inbegriff aller Systeme 3;^, . . ,, x^, bei welchen sowohl x^, wie iBj, . . ., wie x„ ganze Zahlen sind, soll das ZaMengUt&r, die einzelnen Systeme daraus soÜen Gitterpunkte heißen. *) Man kann die Zahl v oben auch unbegrenzt wachsen lassen, wenn man die Bedingung hinzufügt, daß in allen Formen |, die Betrage der Koeffizienten unter einet Grenze bleiben, und tommt dadurcli au dem Bogriffe eines beliebigen nirgends konkaven Körpers mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt. Alle im § 1 abgeleiteten Sätze gelten unverändert für jeden solchen Körper, y Google Bin Kriterium für die algebraiacten Zahlen, 295 Eiue Reihe von Systemen x^ =i'i''', ■ ■ ■? ■^„ '^Pn (A = 1, . . ■, m und m ^ «) soll unabhängig heißen, wenn in der ans ihnen zu bildenden Matrix II j)^*' II nicht jede m-reihige Determinante NnR ist. Ea seien pf\ . , ■,p'^^ für h = 1, . . .,n irgend n anabhängige Gitter- punkte, also die Substitution P: (6) rcj ^pf^z, + ■■■+ ffz^ (k=l,..., n) eine ganzzahlige mit von NuU verschiedener Determinante. Dann gibt es bekannÜioh eine ganzzahlige Substitution A mit einer Determinante _±1: (') ».-4"», + --- + «l"V. (t-i,..,») 80 daß die Formeln P~'A werden: (8) ^-r'"9,+ --- + rt'y.,--;',-r':''J. (r!'-o,h>k) und dabei femer die Ungleichungen erfüllt sind: (9) 01 =±1 ist. 3, Betrachten wir wieder die in 1. definierte Funktion f=f(x^,...,x.^). Es gibt wegen (3) nur eine endliche Anzahl von Gitterpunkten, für welche f eine gegebene Größe nicht überschreitet. Andererseits gilt nach (3) f ^ G jedenfalls bei den n tmahhängigen Systemen x^ ^^1, '*'* "^ ^ (k ^j) für j' = 1, . . ,, «, Man bestimme nun unter allen vom NuUptmJUe ver- sdiiedenen Gitterpnnkten, bei welchen f^G ist, einen ersten Gitterpunkt j)^W, ...,p„W, so daß /'(pi'% ...,p^'^'i) = F^ möglichst klein iat, sodann einen zweiten, von diesem ersten unabJiängige^i Gitterpunkt p^^^\ . . ■,pj^\ so daß /"(Pi'^'i ■ ■ -j Pn''*) ^ ^i möglichst klein ist, usf. bis zu einem n*™ Gitter- punkt i>i*"', ■ - ., Pn*"*, 8o daß schließlich die Determinante | i>/' | 4= ist nud für diesen letzten f(p±'-% ■ ■ -tPj-"^) ^ ^n möglichst klein auefällt. Bei jedem einzelnen der zu wählenden Gittei-punkte hat man jedenfalls die Auswahl zwischen einem Paare entgegengesetzter Systeme {p^, . . .,p^ und ~' Pn ■ ■ ■>" Pjt unter Umständen aber zwischen einer gewissen Anzahl solcher Paare; trotz der dabei zugelaaaenen Willkür aber ist das System der n Werte F^, F2, . ■ ., F„ von vornherein ein völlig bestimmtes. In der Tat, jedenfalls ist (11) F^^Fs£...^F„. Wir denken uns nun für die n Gifcterpunkte ^^W, . . .,p„(''' (Ä== 1, . . ., w), an welche die Betrachtungen in 2. anknüpften, die hier ausgewählten n GEitterpunkte gesetzt und können alsdann sämtliche dort eingeführten Bezeichnungen hier übernehmen. Vermöge der Substitution A entsprechen sieh genau die Gitterpunkte Xj,..,,x^ und die ganzzahligen Systeme ^ij ■ ■ iJ/n- Nach der Bedeutung der Werte F^ hat man für einen Gitter- punkt, bei dem s^, ä^^^, . ■ ■,^„ nicht aämÜich NuU sind oder also Vif^i+i* ■ ■ -'Ifn lüeht sämtlich Null sind, stets f{x^,...,x^'^Fj. Hat man nun irgend n unabhängige Gitterpunkte a^^***, , . ., xj-"^ für }/,= !,. ..,n, so daß also die Determinante | x^^''^ \ =H ist, und entsprechen ihnen ver- möge der Substitution (7) die Systeme y^^''\ . . ., pj''\ so ist auch die Determinante | i/jC'l | + 0; es können daher, wenn j einen der Werte 1, . . ., w bedeutet, nicht bei j oder gar mehr der Punkte alle n — j -^ 1 Größen yjtVj-i-i) • ■ -iI/h gleich NuR sein, es sind also stets für mindestens w— j+ 1 der Ptinkte die Werte f{x-„ . . ., x^) ^ Fj. Ordnet man also die n Werte /"(x/^l, . ., a:/'') der Größe nach in die Reihe F,*, . . ., F„*, so ist stets y Google Ein Kriterium för die ftlgebi-aiscten ZaMen. 297 Ff>Fj (j=l,. ..,«), [also auch 77/'W''.---.^/'0^-^i ■■■-?'„, wobei das Gleichheitszeiehen nur statthat, wean die nWerie f(x^^''\ .. .,xj^^) abgesehen von der Reihenfolge mit F^, . . ., F^ zusammenfallen]. Danach sind die Werte F^^, . . ., F^ vollkommen bestimmt als das kleinste mög- liche System von n Werten der Funktion /"(a^j, . . ., x^) für n unabhängige Gitterpunkte. In dem fünften Kapitel meines Buches „Geometrie der Zahlen" (I. Heft, Leipzig, 1896) nun habe ich nachgewiesen, da^ß stets die Un- gleichung F,...F„J£2'' gilt, wo J das Volumen des Bereiche f(x:^, ■ ■ ■, ^„) ^ 1 ist. Der Beweis dieser Ungleichung erfordert mancherlei Ausführungen. Für die im fol- genden beabsichtigten Folgerungen kommt es jedoch nur darauf an, daß sich für -Fj . . . F^J überhaupt irgendeine, nur von n und nicht weiter von der Funktion /'(^u ■ ■ -, a^J abhängende obere Grenze angeben läßl Durch wesentlich einfachere Überlegungen als a. a. 0. laßt sieh nun fol- gendes nachweisen. Hilfssatz I. Es gilt für dm nirgends Tionkaven Bereich f{x^,. -.jX^-^l die Ungleichung: (12) -f; . . . FJ^ n\ 2\ 4. Um den Beweis dieser Ungleichung anzubahnen, ermitteln wir zunächst zu den einmal gewählten n Gitterpuukten p^''^, . - ., pj^"^ für Ti — 1, . . ., « die Substitution (7) und führen damit gewisse neue Variablen yi! ■ ■ -^Vn ^^- -^^ ^^^ -^ ^^^ Körper fix^, ■ ■ -, 3;J ^ 1, und wir wollen für j =1, . . .,n unter Kj^ bzw. Kf das Gebiet aus K verstehen, für das j/-^0, bzw. pj^O und zudem, (wenn j<.n ist), ^^^.i = 0, . . ., ^„ = ist; die Vereinigung von fij+ und Kj" heiße Kj; der Bereich K^ wird nichts anderes als K selbst. Es sei 1/, = S^^^\ j/g = 0, . . ,, y„ = der Punkt (das System y^, . . ., y^ ans £j+, für den j/^ am größten ist, sodann y^ = d^*'!, y^ ^ d^'^ i/g = 0, . . ., «/„ = ein solcher Punkt aus F^'^, für den y^ möglichst groß ist, usf., schließlich i/j = ö^'"*, y^ = i^a'"', . . ., j/„ -= S^'"'> ein solcher Punkt ans K^, für den y^ mögliehst groß ist Dabei sind natürlich 8^^\ S^'-^\..., ö^"' positiv. Diese Systeme mögen auch kurz die Punkte b,, b^, ■ ■ ■, i« und die ihnen entgegengesetzten Systeme die Punkte — bj, — b^, . . ., — t)„ heißen. Wir führen nun die Substitution ein: (13) y, = S^^)v^ + . - . + Öi("»u„, . . ., i/„ = Ö„("li>„ (5/1 ^ 0, 7i > li), und wir setzen ihre Determinante SS^'i Sß'i . . . tf '"* = A. Für den Punkt bj y Google 298 Znr Geometrie der Zahlen, hat man dann Vj = 1, v^ = (/; + j); als ein Körper, der den Nuilpuakt ■zum Mittelpunkt hat, entiiält AT mit bj jedesmal aucti den Punkt — bj, d. i. iij = ~ 1, iij = (fc '^j), und mit diesen 2« Systemen ± bj, . . ., ± b„ enthält K als ein nirgends konkaver Körper (wegen (5)) sogleich den ganzen durch (14) i-,l + l">l + -- + i-.l:£i definierten Bereich. (Für n = ß stellt dieser Bereich ein Oktaeder vor.) Es läßt sich nun ein zweiter einfacher Bereich (ein ParaUelepipedum) angeben, welcher seinerseits ganz den Körper K m sich enthält. Es habe j einen der Werte !,...,);— 1. Wir suchen einen Ausdruck cp ^ vj -\- s^J + ^lfj^^ + ■ ■ ■ + e'"'"«'« iiiit geeigneten Konstanton «'■'■'■'', . . ., sW ter- zuateUen, so daß in K durchweg y ^ 1 iat. Zunächst gilt in Kj: vj ^ 1. Wir bilden nun (p = fj -I- evj^^ mit irgendeiner Konstante e. In K^ ist Uy+i = 0, vj^l, also 9^ ^ 1- So- wie e <; — 1 ist, hat man für den Pmikt — bj+i, für den VJ_^^ = — 1, Vj = ist, 9^1; dann muß in Kj^^ durchweg q^ < 1 sein. Denn hatte mau (p > 1 für irgendeinen Punkt in -ff\^, so würde die Strecke von diesem Punkte nach — b^^^ das Gebiet Kj in einem Punkte treffen, für den ebenfalls y > 1 wäre. Sowie andererseits £ > 1 ist, hat man in K^^j für den Punkt bj_^_^ jedenfalls qs >■ 1. Danach ist das Maximum des Aus- drucks (p — v^-\- sv^_^i für ein gegebenes £ im Bereiche Ä'j'l^j sicher > 1, wenn «>1 ist, und sicher ^1, wenn £ <^ — 1 ist. Dieses Maximum aber ist offenbar eine Funktion von £, die sich mit £ stetig ändert, und wird es daher einen bestimmten größten Wert £ = eJ.-'-i-'-) geben, im Inter- valle — 1 ^ £ ^ 1 gelegen, für den dieses Maximum noch ^ 1, d. h. für den in -ff^^ noch durchweg (p ^1 ist. Dann iat für jeden Wert £, der >■ £j-''+^' ist, in £^-'lj notwendig irgendwo auch qü > 1 und daher, weil in Kj überall (p ^1 sein muß, in Kj+ 1 notwendig überall qr> ^ 1 ; letzteres muß dann auch noch für den Grenzwert £ = £^^+1) gelten, und also ist für diesen Wert im ganzen Bereich X^^.^ stets ip ^1. Falls auch noch j + 1 <.n ist, betrachten wir den neuen Ausdruck *? — v^ -\- eI^*'^^Vj_^_j -\- EVj_^_2 mit irgendeiner Konstante £. In l^j + i ist ■"j + a "° ö ^^^ ^^^ ^'■^^^ ^P = ^- ^^^ ^^^ e ^ — 1 und den Punkt — b^^^ in Ky+s ist q» ^ 1 und daher in Slf^^ notwendig Überall (p ^l. Dagegen ist für ein £ > 1 in -Kj'la insbesondere y > 1 für den Punkt bj+a- Nun- mehr wird es einen bestimmten größten Wert e = ij^^+^S geben, im Inter- valle — l^e^l gelegen, für den iu ^^±.^ noch überaR q^ ^ 1 ist. Dann ist für jeden Wei-t s > eJ^'''^'' in Sl\^ irgendwo 9) > 1 und daher in Ä74_s überall q^ ^ 1, und dieses letztere muß schließlich auch für den ■Grenzwert e = s^W+^l gelten. Mithin iat fp = vj + £/+^l v^^^ + s/^+^^Vj^^ in Kj.« durchweg < 1. y Google Ein Kriterium für die algebi'aiächeii Zahlen. 299 Es iat nun klar, wie mau fortzusehreiten hat, wenn noch j -|- 2 < w ist, und daß man schließlich za einem Ausdrucke ^^ 1 iat. Weil K ein Körper mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt ist, nimmt — ip^ in K dieselbe Wertmenge an wie y^-, und also ist danu in K auch — (pj^^, d. h. (pj^ — 1. Endlich hat man noch für tp^ =^ w„ in K stets ± q^„ ^ 1. Man kann auf solche Weise n Formen herstellen: (15) (x^,...,x„){x^~2r^, ...,x„-2r;) -^ i:(2s^-x^, ...,2s^-x^) M^s,-x^,...,2s„ — x;)-ii>{x^-2s„...,x^-2s^ hat, würde in solchem Falle 2)/;(s^ — ''ü ■ ■ ■> s„ — «'J < ^ hervorgehen, läge also der vom Nullpunkte verschiedene Gitterpunkt Sj ~t\, ■ ■ ■, ■% — ^„ ini Inneren des Bereiches (21). Man hat im Bereiche (21) stets \t>j\^F^^ Q, sodann, wenn 8 den größten Betrag nnter den Beträgen der d^W in (13) ist, \y,^\'^nSG, und wenn a den größten Betrag unter den Beträgen der a^'''> in (7) ist, weiter \x^\<.n^aSG, welche Grenze d heiße. In i^(3rj — 2rj, .. ., 3:„ — 2rJ ^ 1 gilt dann, wenn r der größte Betrag unter denen von r,, . . ., r,^ ist, Nun sei Q ii^endeine positive ganze Zahl und man betrachte alle diejenigen Gitterpunkte mit geraden Koordinaten 2r^, . . ., 2r^, für welche jede der Größen r,, einen der Werte 0, + 1, . . ., + Q hat. Von den zugehörigen Bereichen il!(Xi — 2r^,...,x^ — 2r^^l haben keine zwei einen inneren Punkt gemein. Sie liegen alle im Würfel -(2Q + d)^x„^(2Q + fi) (7(1 = 1 , . . ., m) eingeschlossen. Die Anzahl dieser Bereiche ist (2Q + 1)" und jeder hat dasselbe Volumen wie der Bereich (21). Danach folgt (22) (2Q -I- iy-F,...F^^A< (4Q + 2(r|". Läßt man hierin die ganze Zahl fi unbegrenzt wachsen, so geht (23) F^...F,^^A<2" yGoosle Ein Kriterium für die algebraischen Zatlea. 301 hervor, d. h. das Volumen des Bereichs (21) muß ^ 2" sein. Ver- mittels (17) folgt daraus in der Tat der zu erweisende HÜfssatz 1. 6. Ferner ist von Interesse: Hilfssafcz II. Die Determinante |p/^'l für n unabhängige Gitter- punkte j?,(*>, . . ., p„<*' (Ä = 1, . . ., n), wdcke- f(fi'-''\ . ■ ., pj*') — F^ ergeben, ist stets dem Seirage nach <»!. Nämlich auch der durch (24) l^i| + --' + kJ^l definierte Bereich enthält keinen GitterpunM außer dem Nnllpuntte im Inneren. Denn ist «|, . . ., x^ ein vom Nullpunkte verscHedener Punkt im Jnnerm dieses Bereichs und von den Größen Zj^, . . ., z^ für ihn s^ die letzte von Null verschiedene, so folgt aus (6) vermöge (4), (l), (2) fix,,..., I.) ^ j«,l«ft'", ...,pi») + • • • + la.lffaM, ...,A") nun ist auch unter den Größen y^, . . ., y^ für ihn y^ die letzte von Null verschiedene und kann hiernach der Punkt kein Gitterpunkt sein. Auf Grund derselben Überlegungen wie vorhin für den analogen Bereich (21) folgt nunmehr, daß auch das Volumen von (24) sicher ^ 2" ist. Dieses Volumen ist gleich — p, multipliziert in den Betrag der Determinante |p^W|; mithin ist dieser Beti-ag ^«!. Das gleiche Resultat ergibt sich bereits in folgender Weise. Der Betrag der Determinante | p^.'** | ist nach (6), (7), (8) gleich dem reziproken Wert des Produktes /i '''.-. yj"'. Für den Gitterpuukt V, ..-,i'„''' ist iSf^ = I, Sj= (it + Ä), also J/ft = — T^j, ^1 = Qc>h). Da nun dieser Punkt zum Bereiche n-p-, ■-., et) ^ 1 gehört, muß für ihn nach der Bedeutung der Größen ö^W in 4 sich -^ ^ d/) erweisen. Also ist 4k ^ i'*^/'', hervorgeht. Nach (6), (7), (8) sind die Koeffizienten 7^'*) in (8) rationale Zahlen mit der Determinante [pj'*' | als Nenner, also mit einem Generalnenner ^»!. Nach den Ungleichungen (9) kommen daher für diese Koeffizienten, also für die ganze Suhatitution P~^Ä von vornherein eine nur von n ab- hängende Anzahl von möglichen Ausdrücken in Betracht. 7. Endlich fügen wir die folgende Bemerkung hinzu. Für das System a;^ = a/'' {k = 1, . . ., n) in (7) ist x^ = )'ii'>ft''' + ■ ■ • + /^(^'p/*'. Indem nun die Größen yi^''\ . . ., y/*' sämtlich > und ^ 1 sind, folgt y Google 302 Zur Geometrie der Zahlen, aus (4) und (2): /■(%('", . . ., «/') £ f{Pi"\ ■ ■ -^W*) + ■ ■ ■ + f(pA ■ ■ vK'*') ^ Äi^;. Berücksichtigt man nun (12), so zeigt sich, daß für die « ganzzahhgen Systeme ffj***, . . ., aJ-'''> (A= 1, - - -j m), rfe»-eK Determinante \ a^<*' | = ± 1 *s(, die Ungleichung (2r)) /■(«/'), . . ., aj'-f) . . . /-{oiW, . . ., «j")) ^ {n !)= 2-^ y erfüllt ist. § 2. Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen «'™ Grades. 8. Eine reelle oder komplexe Größe a heißt eine algebraische Zahl und zwar w'^" Grades, wenn sie einer algebraischen Gfleichung n"™ Grades j:j + ^r^j« + + j, fl"~^+ T^^jff" = (^n+i + t*) mit ratioaalen ganzzahligen Koeffizmnten t^, a^, , c f^+i, deren letzter -^ ist, und nicht bereits einer Gleichung derselben Art von uiediigeiem Grade genügt. Dieses ist die Ilffmition der algebraischen Zahlen k'™ Grades. Im folgenden will ich nun eui Tlieotem entwickeln, Honach die Enlscheidmig, ob eine gegebene teelle ndei honipUse Größe a eme algebratsche Zahl w*™ Grades ist odet nieht, beieits durch Betiacktung der Werte des Äiisdn,wk3 (26) i^x,+ x,a+ +x„a"-' für raiionale ganze Zahlen x^, x^, %^ gehefett werden Tcann. Es sei r irgendeine positive ^ uize Zahl und wir lassen für x^, ■■., x^ in (26) alle diejenigen Systeme von ganzen Zahlen zu, wobei jede Zahl dem Betrage nach ^r ist, also dei Eeihe 0, ±1, ±2, . . ., +r an- gehört, mit Ausschluß des einen Systems x^~0, . . ., 3:„ = 0. Unter den betreffenden Systemen kommen gewiß Vereine von n unahJümgigen (d. h. mit nichtverschwindender Determinante | iCj'^' |) vor; z. B, sind die n Systeme a;^!*) = 1, a:/'' = (k^^Ji) für Ä = 1, . . ., n tmabhangig. Wir suchen unter allen jenen Systemen ein erstes 3\ =i'i'^'j ■ ■ ■, x^ = J'i^' ^.us, so daß der Betrag von | möglichst klein ausfäUt Da wir dabei jedenfalls die Wahl zwischen Paaren entgegen ^esetztei Systeme haben, wollen wir das System noch derai-t voraussetzen, daß die letzte von Null verschiedene der Zahlen JJ^W großer als Null ist Es sei f ii das System | -- «i- So- dann wählen wir unter jenen Systemen ein zweites, von p^^^\ . . -, p^^ un- abhängiges System 3^ =i»/^' , ^„—p ' 'ins, wofür nächstdem der Betrag von i möglichst kle n ausfallt und es sei wieder unter den Zahlen ß^*^' die letzte nichtver'.chwiudende > 0. Für dieses zweite System sei 1 = «^. Wir fahren so fort, bis wir schließlich unter jenen Systemen ein »*"' von den früheren unabhängiges System x^ = pj^"\ . . ., y Google Ein Kriterium l'iir die algebraiachen Zahlea. 303- wofür wieder der Betrag voa | luögliclist klein ist^ und es sei auch von den Zahlen ßj'"' die letzte von Null veiachiedene > 0. Für dieses w** System sei | = a„. Dann hat endlich die Substitution Pr (27) X, = _Pi<«^i + j V*)^s + ■ ■ ■ + i)ji"is„ (Ä = 1 , 2, . . . , ») eine von NuU verschiedene Determinante, und es geht § durch P in (28) ■ |P-z-«,«,+ «,2,+ -'-+«.». über. Dabei ist jedenfalls (29) j«,|^l«,l< £\„\ Unter speziellen Umständen in bezug aif die (riüße a ist es möglich^ daß die Systeme j:!^'**, - . ., p„*'* durch die angegebenen Bedingungen noch nicht eindeutig bestimmt sind, die Festsetiunc; von P für das gegebene r also noch in mehrfacher Weise geschehen kann Durch entsprechende- Betrachtungen wie in 3. abei eikennt man, daß jedenfalls das System der n absoluten Beträge |ail, |k-| i | ^^ I dmch die Zahl r völlig- eindeutig bestimmt ist. Es heiße P eine ent Zahl r gehörende Substitution^ Man bilde nun eine zur Zahl r^ = 1 gehörende Substitution P^. Diese kann auch noch zu r = 2, 3, . . . gehören. Gehort sie nicht zu jeder Zahl r, so sei der größte Wert r, zu dem sie gehört, r~r^—l (wo »"8^2 ist) Es sei sodann P^ eine zu r^ gehörende Substitution, und sie gebor*" zu den Zahlen r, die ^ r^ und < r^ sind. Sodann sei Pg eine, zu r^ gehoiende Substitution usf. Wir wollen noch die Pestsetzung, treffen, daß, wenn für eine dieser Substitutionen P, in der zugehörigen. Form ^ P^ = ;j ein Teil der Koeffizienten Kj , . . . , k„ (etwa Oj , , . , , k^) =0 wird, die betreffenden Vertikalreihen jo/^', . . ., p^'''> (A = l, ■■.,S) für alle folgenden Substitutionen P^ (x > t) unverändert beibehalten werden- sollen. Die so entstehende (sei es abbrechende, sei es unendliche) Reihe- von Snbstitutionen P^, Pg, Pg, . . . soll die zu a gehörende Kdte von- 8^ä>stitutionen heißen. Es sei allgemein X; = <'i''''^i + ' ' ' + "i''^n ^^^ Form, in welche |, duich P, übergeht. Man hat für zwei aufeinanderfolgende Substitutionen. P„ P, + i der Kette: (30) |«,"+^'|^jV''|, ..., I^r"!^!",;"! (^=i>2,...), wo jedenfalls nicht alle n Gleichheitszeichen auf einmal gelten könuenj denn sonst würde ja P, auch zur Zahl r,^j gehören, während sie nur zu den Werten »" ^ r, und <»',^j — 1 gehört. In P, sind jedesmal die Be- träge aller Koeffizieuten ^y, und ist wenigstens einer darunter >»-,— 1,. also eben = r,. Man erkennt nach diesen Umständen, daß die Reihe der Z:iblcn r,, r«, r^, ... eine durch die Größe a völlig bestimmte ist. y Google 304 2ur Geometrie der Zahlen. 9. Olme an die Aufgabe der einfachsten sulizessiven Ermittlung der Kettenglieder nälier heranzutreten, beweise ich nur den folgenden Satz, der bei der Behandlung dieser Aufgabe die wesentlichsten Dienste leistet. Ä'r eine jede SubsHttdion der Keiie ist die Determinante dem Betrage nach ^ n! . Es sei P in (27) eine Substitution der Kette, zu einer Zahl r ge- hörend, und X i'^ (28) die Form, in welche | durch P übergeht. Dann kann der durch (31) iäit + -'- + l«.l:Si definierte Bereich im Inneren (d, h. soweit das Zeichen < gilt), keinen Gitterpunkt außer dem Nullpunkte enthalten. Denn ist ^^, ■ ■ -, ^n irgend- ein, von 0, . . ., verschiedenes System ira Inneren dieses Bereichs (31) und von diesen Größen äj die letzte von Null verschiedene, so hat man dafür i = a,5, + ■ ■ ■ + ßjSp Xt -Ä*"'«! + ■ ■ ■ +Pi''^^j- \>0, so folgt |ll^|^l(|^,H-'-- + U,l) 1 ist, in der zu P,,_i gehörenden Form x^_-i der erste nichtverschwindende Koeffizient «J"""** mit einem Index f ^j sei. Dann ist also r^ die kleinste Zahl, für welche die ersten j' Vertikalreihen einer zugehörigen Substitution sämtlich | = machen. Nun gehören zufolge einer in 8. getroffenen Festsetzung die ersten j Vertikaireihen von P bereits zu P^ und, wenn g{>l und j'> 1 ist, die ersten/—! Vertikalreihen von P bereits zu P^_^. Für das System ^i , ■ . -, 2„ folgt jetzt | = 0, \xi,\£ r^Q «j | H \-\äj\) 1 und wäre x^, . . ., x„ hier ein Gitterpunkt, so wäre derselbe, da Sj^O ist, ja vom NuHpnnlcte verschieden und zudem, &lla j' > 1 ist, auch von den Gitterpunkten in den ersten j'— 1 Vertikal- reihen von P„_i unabhängig; also würde bereits zu einer gewissen Zahl <»'^ eine Substitution gehören müssen, in welcher mindestens j" Vertikal reihen sämtlich | = machen. Aus dem Umstände, daß (31) keinen Gitterpnnkt im Inneren enthält, folgt wie im ersten Beweise des Hilfssatzes II (s. 6.), daß die Deter- minante l^j'''' I von P dem Betrage nach ^ n\ ist. 10. Es sei w > 1. Femer wollen wir von dem Falle absehen, daß n^2 und a komplex ist; alsdann würde ] || =|a;^ -f- »3:3 [ unter einer y Google Ein Kriterium für die algebraisclien ZaUen, 305 gegebenen Grenze nur für eine endliche Anzahl yoh ganzzahligeu Systemen x^^, x^ liegen, wäre also die Subsütutionenkette zu a jedenfalls eine ab- brechende; andererseits ist eine komplexe Größe a = b -{- ic dann und nur dann eine algebraische Zahl zweiten Grades, wenn & sowie c^ rational sind. Auf Grand der in 8. entwickelten Begriffe entsteht nun folgendes vollständige Kriterium für die algebraischen Zahlen n*"" Grades: Es sei a eine beliebige reelle oder komplexe Größe, im ersten Falle e =- 1, im zweiten fl = 2 und w > 6. Es sei g = Xi + ««3 -1 h ß"""^»:«, sodann Pj, P^, P^, . . . die za a gehörige Kette von Substitutionen mit n Variablen, und ^n Za> Zäi ■ ■ ■ seien die Formen, in welche | durch Pi, P^, Pg, ... übergeht. 1" Ist a rtidd eine algebraische Zahl n"" oder niederen Grades, so bricht die Kette niemals ah, wtd alle Gleichungen Zi "" 0, Zs " '^' • ■ - ^'*'^ v&"schieden (d. h. keine zwei der Formen %^, z», ■■■ unterscheiden sich bloß durch einen Faktor). In jeder Form i^ sind alle Koeffizienten von NuU verschieden, 2" Ist a eine algebraische Zahl n'^" Grades, so bricht die Kette niemals dh, uffder den Gleichungen Xi~^> Za'^^> ■ ■ ■ kommen nyr eine endliche Anzahl verschiedener vor (d. h. alle diese unendlich vielen Formen ent- stehen aus einer endlichen Anzahl unter ihnen durch Multiplikation mit Faktoren), in jeder Form %^ sind alle Koefßeienten von Null verschieden. 3" Ist a eine algebraische Zahl n — m'™ Grades, wo m > ond w — - »( > ff ist, so bricht die Kette niemals ah, unter den Gleichungen Zi = 0, Za " "^i ■ ■ ■ kommen nur eine endliche Anzahl verschiedener vor, in den Formen x« sind von einer gewissen an stete die m ersten Koeffi- zienten = 0, die übrigen n — m sind beständig von Null verschieden. 4" Ist a eine algebraische Zahl 6*^" Grades (also reeU und rational oder komplex nud vom zweiten Grade), so bricht die Kette nach einer endlichen Anzahl von Gliedern ab. 11. Wir beginnen den Nachweis dieses Satzes mit der Peststellung, daß, wenn zwei der Gleichungen Zi = 0, Za = •-*? • ■ ■ iclentiech sind, die Größe a notwendig eine algebraische Zahl «'™ oder niederen Grades ist. Es seien also z, und z^ zwei unter jenen Formen, die sich bloß durch einen Faktor 6 unterscheiden, so daß z« = ^X, i^*- ^^ ^^^ t < t, so ist zufolge der Bemerkungen bei (30) der Betrag | e | < 1. Es seien P, und P^ die Substitutionen der Kette, welche i in %, und x^ überführen. Durch P^P-'^ geht dann | in ez,P,"^ <^- !■ ii 05 über. Es sei y Google 306 Zur Geometrie der Zatlen. (32) |s.l'>| (*,S-I,...,»), h als den Indes der Horizontal-, k als den Index der Vertikalreihen ge- dacht, das Koeffizientensyetem der Substitution P^P'^ so ergibt die Ver- gleichung der Koeffizienten in den Formen 61 und ^P.^P-^: (33) 6a*--i = 2i(*> -j- aq/> -^ ■ ■ ■ -1- «"-lg» (h^l,...,n). Die Koeffizienten jj'*' sind sämtlich rationale Zahlen. Man entnimmt aus diesen Grieiehungen, daß die Determinante (="" ie«.»-..">i=o (' ,^'4;_;,. ) ist, eine Gleichung, die symbolisch \&P^P~'-~ P^P~^\ = geschrieben werden kann. Nimmt man zwei anfeinanderfolgeade der Gleichungen (33), für k =j und ft = j -|- 1 (j= 1, ..., w — 1), so entsteht aus ihnen durch Elimination von 9: (35) $1"+^) + «(«ay+^l-gi») + ■ • ■ + a"-H2i^"'"-2i'^i) - «"si''' = ^■ Man hat n — 1 solcher Gleichungen für j — 1, . . ., w — 1. Entweder ist ntm wenigstens eine unter ihnen so beschaffen, daß in ihr nicht alle Koeffizienten der Potenzen von a NuU sind; dann erweist sich durch die betreffende Gleichung die Größe a als eine algebraische Zahl n*'" oder niederen Grades. Oder aber, es wären die Ausdrücke in a auf den linken Seiten der Gleichungen (35) für i = l, . ■ ■, **—l sämtlich identisch gleich Null; dann hätte man (36) g^y+i) = 0, gä^+^J = g^W, . . ., j^ö+D = qW^^ = ff» für j = 1, . . ., n— 1, also zuvörderst 2i''* = 0, «i'"' = O7 ■ ■ ■» «i'"' = 0; «i" - 0. 2i^' = 0, . . ., si"-^' = 0, Bodann aligemein, wenn Ä > Ä ist, ff^W = ff^*!"^^* = . . . = ^^l'-i+i) = 0, und wenn k r, und 1 6 j < 1 im Widerspruch stünde. Die zweite Annahme, daß keine der Gleichungen (34) eine Bedingung für a gibt, ist danach unzulässig, und mithin ist notwendig a eine algebraische Zahl h"™ oder niederen Grades. y Google Ein Kriterium für die algebraischen Zahlen. 307 12. Wir ziehen jetzt die Ergebnisse des § 1 heran. Es sei s eine beliebige positive GEröße; wir nehmen für die linearen Formen |^, %, ..., an welche die Betrachtungen in § 1 anknüpfen, die rt -(- 1 Formen Äi,..,,3!„ und y = y(«i + aais + -'- + M''-^:rJ. Der Körper K wird dann der durch (37) -l<^j 0. Wir zeigen, daß alsdann im Verlauf der Kette der Betrag | cc^ | schließlich unter jede Grenze sinken muß. Es sei P in (27) eine zur Zahl r gehörende Substitution, j(, in (28) die zugehörige Transformierte von |. Wir nehmen in 12. den Para- meter f-i^; (diese Große ist ], . . ., \pi^^ *^^'" ^^'"^ System dieser Art, wofür stets [a;^| <»■ und — \ 9*"-"' stets zwischen zwei von vornherein anzuweisenden Grenzen, ein Umsta,nd, der y Google Bin Kriteriura für die algebraischen Zahlen. 313 für die weitere Erforsehnng der Substitutionenkettea zu algebraischen Zahlen k'™ Grades von hervorragender Bedeutung ist. 16, Es sei jetzt a eine algebraische Zahl n — m"*" Grades, wo «t > und < n ist, und es sei (59) 9n^m + ?»-.-!« + ■ ■ ■ + ^0«"-"' = die Gleichung n — jw*™ Grades mit rationalen ganzen Koeffiaienten ohne gemeinsamen Teiler und positivem g^, der a genügt. Es sei unter den Beträgen der Koeffizienten dieser Gleichung der größte Wert ^. Man entnimmt aus (59) i'«-m'*''~' +;?„-™-ia*H h.?o«''"™"^''"^ = (A=l,...,m), d. i. a^j + ax^ + ■ ■ ■ + a"~^x^ = für gewisse m besondere, von 0, . . ., verschiedene gauzzahlige Systeme Xj_, . . ., x^. Diese m Systeme sind von- einander unabhängig, denn schreibt man sie in m Vertikalreihen auf, so hat man in den letzten m Horizontalreihen der entstehenden Matrix, welche die Werte iC„_,„+i) ■ ■ ■, x^^ enthalten, ein quadratisches Schema, wobei in der Hauptdiagonale aUe Elemente = g^ und unterhalb derselben alle Elemente — sind, ein Schema also, das die von Null verschiedene Determinante g,^ ergibt. AUe jene Zahlen a:^, . . .,x^ sind ferner dem Be- trage nach ^3*. Es sei nun P eine zur Zaiil r gehörende Substitution der Kette und % die Form, in welche § durch P übergeht. Aus dem eben Gesagten erkennt man, daß, sowie r'^g* ist, in % jedenfalls k^ = 0, . . ., «^ = sein muß. Dagegen muß stets cc^^^ von Null verschieden bleiben. Denn hätte man m -\~ l unabhängige ganzzabUge Systeme x^,...,x^, wofür ^ = ausfiele, so würde man aus den betreffenden m -h 1 Gleichungen durch m Mal hintereinander vorgenommene Elimination der jedesmal sich darbietenden höchsten Potenz von a schließlieh eine Gleichung für a mit rationalen Koeffizienten von einem Grade < w — m gewinnen können. Es sei wieder ff = 1 oder ^ 2, je nachdem a reell oder komplex ist, ujid im letzteren Falle sei o," die zu a konjugiert imaginäre Zahl. Ferner seien a',a", . . ., d!""-™-"' die Wurzeln der Gleichung w — jm'™ Grades für a außer a, bzw. außer a und es". Endlich, wenn a eine Zahl im Körper von « bedeutet, so seien allgemein (ce"), «', . . ., «(«-'»-''' die konjugierten Zahlen in den Körpern von {a"), a', . . ., a*"-"'-''!. Wir können jetzt die in 14. gewonnenen Sätze über die Substitutionen- ketten mit n Variablen zu algebraischen Zahlen w'*" Grades in der Weise heranziehen, daß wir die Zahl n dort durch den Wert n — m hier e Das in (49) liegende Resultat zeigt alsdann, daß man im geg Falle zur beHebigen Zahl r stets n—m ganzzahlige Systeme j/^^j/^ <*',... ,)/„_„ = i/|j''l^(/e=l,...,n — m) mit von NuR verschiedener Determinante finden y Google 314 Zur Geometrie der Zahlen. kann, so daß alle Zahlen ^j'""* darin dem Betrage nach <^ r sind, und daß für jedes einzelne dieser n^ m Systeme ausfällt, wo B eine gewisse nur von a, nicht Ton r abhängende Konstante ist. Setzt man zu jedem dieser Systeme y^, . . ., y„_^ dann Xi == ^i, - . -, x„_^ ^ Vn-mJ ^H-ni+i = '^t ■ ■ -j ^n = 0, SO bekommt man n — m ganzzahlige Systeme «,, . . ., x^, die von den oben erwähnten spezieUen m solchen Systemen unabhängig sind. Danach wird man, sowie r'^g* ist, außer j Kj I = . . . = j o;^ I = weiter stets (60) Ö a. Alsdann erkennt man aus (60), daß die Beträge | «„+i [,■■■, | a„| im Verlauf der Eette unter jede Grenze sinken, ohne jemals Null zu werden; die Kette bricht also jedenfalls nicht ab. Man hat femer stets / ]c = m + l,...,n, \ (61 i«,«j ■ ■ ■ der Kette aus einer endlichea Anzahl unter ihnen durch Multiplikation mit Faktoren abzuleiten. Damit ist der Punkt 3" des Kriteriums erwiesen. Indem man noch den Umstand heranzieht, daß auch im gegenwärtigen FaUe nach 9, die Determinante jeder Substitution der Kette dem Betrage nach < «1 ist, kann man wieder hinzufügen, daß sich unter den Formen Xir Xit ■ ■ ■ ®^°ö endliche Anzahl herTOrheben läßt, aus denen alle diese Formen durch Multiplikation mit solchen Faktoren entstehen, welche Ein- heiten in dem Zahlenkörper Ton a sind. Es sei endlieh n — m=^0. Ist ff ^2, also a komplex, so bleiben in % für r'^g* allein die Koeffizienten k„_i, o;„ von Null verschieden. In den quadratischen Gleichungen (' - ».-'«.-.) (' -»"-'<-i) - 0, (' - &"-'«.) (' - »."-'<) - » sind die Koeffizienten ganze rationale Zahlen und hat man durch (60) von r unabhängige obere Grenzen für die Beträge derselben. Danach kommen für ß„_i,«„ nur eine endliche Anzahl von Werten in Betracht. Da nun nach einer Bemerkung bei (30) alle Formen %^ der Kette ver- schieden ausfallen, muß danach die Kette nach einer endlichen Anzahl von Ghedem abbrechen. — Ist ff =^ 1, also a reell und rational, so bleibt für r^^* nur a„ von Null verschieden, dabei ist 0, so ist dis Ddermvnanie stets > 0. Beweis. Für m~l ist der Satz selbstveratändlioh. Um ihn für einen bestimmten Wert mj > 1 zu erweisen, nehmen wir an, daß er fiir alle kleineren Werte des m bereits sichergestellt sei. Wir setzen «^4 = Sj+ a*^ (Ä ^ 1, 2, ., ., m) und entwickeln die Determinante A nach den m Größen s^, s^, . . ., s^. Das von Sj, s^, . . .,s^ freie Glied dieser Entwicklung wird eine m-reihige Determinante A*, bei welcher in jeder Horizontalreihe die Summe aller Glieder NuR ist und welche daher den Wert Null hat. Weiter wird der Koeffizient eines Produkts Sj Sj . . . s^ , wenn l ^ 1 und < m ist, eine Determinante von m — l, also weniger als m Reihen, in welcher aRe Glieder außerhalb der Hauptdiagonale negativ sind und in jeder Horizontalreihe die Summe der Glieder größer als die Summe der Glieder der entsprechenden Horizontalreihe von A*, also gewiß > ist. Auf Grund y Google Zur Theorie der Einteiten. 317 der von uns gemachten Yoraussetznng erweist sich daher jeder dieser Ko- effizienten > 0. Außerdem erscheint in jeaer Entwicklung noch das Glied SjSj . • . s^- Nach dieser Zusammensetzung der Determinante A aus lauter positiven Termen ist sie offenbar > 0. 2. Es sei jetzt 9 eine algebraisehe Zahl n^"" Grades und unter den n veraehiedenen konjugierten algebraischen Zahlen Öj, e^, . . ., e„, von denen ö ein Wert ist, seien r reelle und -g- (w — ^) Paare ron konjugiei't imagii^ren Zahlen vorhanden. Von dem Falle n = 2, r — wollen wir absehen. Wir setzen r -f- -5- (w — r) = m -(- 1, und wir wollen annehmen, daß ia der Reihe der m -\- 1 ersten Zahlen öj, %, . . ., Ö^+j die sämtlichen reellen jener Zahlen und ferner je eine Zahl aus jedem der Paare kon- jugiert imaginärer Zahlen sich befinden; zudem möge die Zahl 9 selbst unter diesen m + 1 Zahlen vorhanden seia. Ist s eine Einheit in dem algebraischen Körper von 6, so wollen wir mit (^(e) für h~l,2,...,m + l den reellen Teil des Logaiithmus der zu e konjugierten Zahl im Körper von Oj oder das Doppelte dieses reellen Teils verstehen, je nachdem die Zahl Oj reeE oder imaginär ist. Da die Norm einer Einheit gleich ± 1 ist, gilt dann stets: (1) ^i(0 + ^.W + --- + C + i(^) = o. Wie Dirichlet gezeigt hat, kann man in dem Körper von 6 stets eine Einheit derart bestimmen, daß von ihren konjugierten Zahlen in den Körpern von 6j, 9^, , , ., O^^^ alle bis auf eine Zahl in einem beliebig angenommenen dieser Körper absolute Beträge < 1 haben. Es sei in solcher Weise £>*> für h = l, 2, ..., m eine Einheit, für welche ^i{***0) ■■■> 's-i(^'*')'l+i («'")! ■■■'L + i(«"**). also sämtliche Werte «^(iW) für k + h negativ ausfallen. Dann ist mit Rücksicht auf (1): W^) + ■■■ + ?,(£(*') + ■■■ + lJ/'->) > 0. Die Determinante |ij(aW)| (h,k=l,2,...,m) trägt danach diesen Charakter, daß in ihr jeder Koeffizient außerhalb der Hauptdiagonale negativ ist und die Summe der Glieder in jeder Hori- zoatalreihe positiv ist. Dem Hilfssatze in 1. zufolge ist daher diese Deter- minante >- 0. Somit bilden die hier charakterisierten Einheiten b'-^\ c<^', . . ., e'™! ein volhtmdiges System von unabhängigen Einheiten im Körper von 9. Bei der Methode, welche DiricKlet zur Herstellung eines vollständigen Systems von unabhängigen Einheiten in einem Zahlkörper gegeben hat, werden die Einheiten des Systems sukzessive bestimmt, wobei zur Er- mittlung einer weiteren Einheit, so lange das System noch nicht voll- ständig ist, gewisse Determinanten aus den Logarithmen der früher be- stimmten Einheiten und ihrer konjugierten Zahlen bekannt sein müssen. y Google 318 Zur Geometrie der Zahlec, Nach dem hier Auseinandergesetzten ist es dagegen stets möglicli, Ein- heiten in der erforderlichen Anzahl gesondert, jede für sich, zu bestimmen mit dem Erfolge, daß sie zusammen ein YoUständiges System unabhängiger Einheiten ergeben. 3. Es sei jetzt der Körper Ton 9 ein Galois scher Körper, so daß sich jede der Zahlen Oj, 63, ..., e„ als eine rationale Funktion mit rationalen Koefflaienten von jeder anderen dieser Zahlen darstellen läßt. Ea sei in solcher Weise ÖA= ^M, 6 = S,id^) Qi =1,2,..., n), wo üj, Sj Zeichen für rationale Funktion mit rationalen Koeffizienten sind, so gilt SJß,^{^)) = Q und infolgedessen auch allgemein S^(ifj(0jj) = 9j. für jeden Indes Ä = 1, 2, . , ., n. Je nachdem 6 reell oder imaginär ist, sind auch die konjugierten Zahlen alle reell oder alle imaginär, und hat mau also m -\- 1 ^ n oder = — w. Wir bestimmen im Körper von 9 eine Einheit e = /(Oj, wo /'(ö) eine rationale Funktion mit rationalen Koeffizienten von 9 bedeute, so daß von den m -\- \ konjugierten Zahlen f{Bi),f{^^, ■ ■ -jfi^m+i) *^^ "^^^ Ausnahm© der einen Zahl f(Q) absolute Beträge < 1 haben. Sodann sei e^ für Ä = 1, 2, . . ., m + 1 die konjugierte Zahl zu s in dem Körper von öj, also «^ = /(0j) '=/'(2?j{6)); dabei ist s^ jedesmal selbst eine Zahl im Körper von 6 und sind deren konjugierte Zahlen in den Körpern von 6j, 9^, . . ., 6^^.^ bezüglich (2) «-B.W), fW W), ■ ■ ■, «-«.(6.+,)). Nun hat man bei beKebigen Werten k, h aus der Reihe 1, 2, . . ., m + 1 stets -Ri(9j) = i?,,(-Ki(9)) = e^, wo g einen der Indizes l,2,...,n bedeutet. Dabei kann nicht für zwei verschiedene Indizes h bei demselben Index h hier derselbe Wert 9 und können auch nicht konjugiert imaginäre Werte 6 resultieren, da aus dieser Relation umgekehrt &t= '^hi^g) folgt und unter den Zahlen 9^, 93,.. ., ö^^j keine zwei gleich oder konjugiert imaginär sind. Danach sind die absoluten Beträge der Größen in (2) abgesehen von der Reihenfolge identisch mit den Beträgen der Größen /■(6j),/'(02),...,/'(9^^i), es ist also einer jener Beträge > 1 und die m anderen sind sämthch < 1, und zwar ist für denjenigen Index h der Betrag |/'(iJj(9j)) j > 1, für den ■^hi%) g^^^'^^ ö bezüglich gleich der konjugiert imaginären Zahl, also 9^ gleich Sj(9) bezüglich gleich der konjugiert imaginären Zahl ist. Für verschiedene Werte h der Reihe 1, 2, . . ., m + 1 wird der hier in Betracht kommende Index k aus der Beihe 1, 2, . . ., m + 1 jedesmal ein anderer sein. Nach den Auseinandersetzungen in 2. bilden nunmehr ii^end m der Zahlen f.^, e^, . . ., s^_^_^ ein voUständigee System von unabhängigen Ein- y Google Zur Theorie der Einheiten. 3]9 heiten in dem Galois sehen Körper Ton 6. Auf diese Weise resultiert der Satz: In einem Galmssäten Körper hann man stets eine solche Mnkeü an- geben, daß eine jede Einheit dieses Körpers ein Produkt mts einer Einheits- wurzd vmd aus Potenzen dieser Einfmt und ihrer konjttgierten Einlmten- mit rationalen Exponenten ist. Da ein jeder algebraischer Körper ein Unterkörper eines (zaloisaehen Körpers iat und seine Einheiten dann Bugleich als Einheiten des Galois- schen Körpers auftreten, iat hierdnreh zugleich ein bemertens werter Sata über die Einheiten in einem beliebigen algebraischen Körper gewonnen. Zürich, den 23. Februar 1900. yGoosle XVI. über die Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. (Math ematifi che Anaalen, Band 5i, S. 91—124.) Obwohl die Theorie der Annäherung an eine reelle Größe mit Hilfe Fon Kettenbrüehen seit Euler und Lagrange noch mannigfache Be- handlung erfahren hat, scheint einer der interessantesten Sätze auf diesem Gebiete bisher nicht bemerkt worden zu sein. Nämlich unter den ver- schiedenen möglichen Ketteubmcbentwieklungen für eine reeUe Größe a, wobei die Teilzähler ± 1 und die Teilnenner positive ganze Zahlen sind, gibt es eine bestimmte Art der Entwicklung (und zwar die am besten konvergierende), fiir welche die sämtlichen Näherungsbrüche — sich von vorn- herein in einfachster Weise charakiensieren lassen: Als ZÖMer und Nenner der einzelnen Naherungsbrüche erscheinen dabei genau die sämtlichen Paa^e von gangen Zahlen x, y, für die y > ist, x und y relativ prim sind und dasu die Bedingung \{x — ay)y\<^ erfüllt ist. Von dem Falle, daß a gleich einer ganzen Zahl -j- -g- ist, hat man hierbei abzusehen.*) *) BekaDEtlich läßt sicli eine nach fallenden PotecKea von e fortschreitende konvergente Reihe fW-o-..»'"+«-,+i«""' + --'+«. + ~>- + -jH---- in einen Kettenbruch umwandeln, so daß i''o(3j eme ganze r,itionale Fnnktion von z und F^{z), F^{z), . . . ganze rationale Funktionen von 2 mindeBtens vom Grade 1 aind. Dabei gilt der S&tz: Ein Quotient -~\ zweier relativ primer ganaei rationaler Punktionen von z ist immer dann und nur dann NäheiungsLiuth diesem Kettenbruchs, wenn die Bntwicklimg von {Pm — f{s)Qm)Q(z) nach fallenden Potenzen von z mit einer Potenz von s, deren Exponent negativ iat. y Google Aanäherung an eine reelle Giröße dorcli rationale Zahlen. 321 Auf die betreffeade noch durcli weitere bemerkenswerte Eigenschaftea ausgezeiclmete Kettenbruchentwicklung habe ich bereits an anderer Stelle*) hingewiesen, ohne jedoch damals wahrzunehmen, daß die eben erwähnte Ungleichung für die Näherungab räche diese Entwicklung bereits voll- ständig charakterisiei-t. Im folgenden gebe ich eine auf geometrischen Betrachtungen ge- gründete und dadurch sehr anschauliche Theorie des Systems zweier linearer Formen ax -\- ßy, yx + Sy mit beliebigmt reellen Koeffizienten und mit ^tmszaMigen Unbestimmten. Eine Anwendung der dabei zutage treten- den Resultate auf die spezielleren Ausdrücke x — ay, y liefert dann ins- besondere jene Sätze über die Annäherung an eine Große a. §1. Satz I. Sind | = «ic + ßy, rj^yx + dy zwei lineare Formen mit beliebigen reellen Koeffmenkn a, ß, y, S und einer Determinante oder t; = 0, | > 0. Wir setzen für A: S, = sX, 1} ^ C', s« daß ft ^ 0, A > 0, ^ = ± 1 ist. Die ganzen Zahlen p, q haben gewiß keinen gemeinsamen Teiler > 1, weil die Strecke OA keinen Gitterpunkt zwischen und A enthält. Wir bestimmen zwei ganze Zahlen r, s irgendwie so, daß ps ~ qr ^ b ist, und setzen _ _ x = pX + rY, y^qX + sY. Dabei werde si^ kX +XY, ij == ftX -f- jt Z Dann haben £§, 1; in X, Y die Determinante se=\ und folgt (1) r=A^-^4. Die Gitterpunkte x, y werden genau die Punkte mit ganzzahhgen Bestjmmimgsstücken X, Y. Diese Punkte ergeben auf der Linie F= 0, d. i, der Geraden durch und A die unendliche Punktreihe zu den Werten X = 2, — 1, 0, 1, 2, • ■ -, wobei X -- den Nullpunkt, X = 1 den Punkt A liefert und alle diese Punkte eich in einem kon- stanten Abstände = OA folgen. Sodann bilden sie auf einer jeden der zu r-0 paraUelen Geraden Y=\, r= — 1, Y^2, r=-2, ••• jedesmal eine äquidistante Punktreihe mit dem gleichen konstanten Ab- stände = OA zwischen benachbarten Punkten. Von diesen sämtlichen y Google AnDähetuug s e reelle GiSße durch rationale Zahlen. 323 - 1 und T= — 1 die zwei an T" = einander paralleien Geraden sind Y = näehstgelegenen. 1. Wir nehmen zunächst an, daß Ä nicht eine Sehe von ^(p, e), also ^ > 0, fi > ist,*) Es sei F der Punkt | sl,^^ii. Das Paral- lelogramm mit den Ecken A, F, Ä^, F^ ist durch — A ^ | ^ A, — fi^i?^?* definiert und befindet sich, von den Ecken ab- gesehen, ganz im Inneren des Parallelogramms Nehmen wir weiter an, daß A aach nicht Mitte einer Seite von 5ß{p, 6) ist. Die zu A^ OA parallele Gerade durch F trifft dann die Begrenzung von ^(p,)?) außer in J' in einem zweiten Punkte Q, so daß die Strecke FG offen- bar größer als OA ist. Ebenso würde jede pa^ rallele Gerade zu A^^OA, die in dem Streifen zwischen A^^OA und FG verläuft, eine Strecke > OA ganz im Inneren von ^ (p, fl) liegen haben. Da nun im Inneren von 5ß(p, ff) sich kein Gitterpimkt außer befindet, welcher Punkt auf Y =0 liegt, mttsaen danach die Geraden Y= + 1 außerhalb des durch die Parallelen FG und FfjGg begrenzten Streifens verlaufen, d. h. für den Punkt F muß jeden- falls I Tl < 1 sein. Nun hat man für F: Y= SAft, also folgt 2A.«. < 1, Danach ist der Gitterpunkt A hier von der im Satze I und dem Zusätze geforderten Beschaffenheit. 2. Ist Ä Mitte einer Seite von 5ß(p, ff), also I^-^q, (l = —ij, &o ist AfjOA, also die Gerade F=0 parallel einer Seite von $(p, e). Jede Parallele zu A^OA, welche ins Innere von 5ß(p,ff) eintritt, hat dann mit ^(e, ff) eine Strecke '^ A^OA^ OA gemein. Die Geraden l' = ±l können daher nicht ins Innere von ^(p, ff) eintreten, 3ß(p, ff) liegt also ganz in dem Streifen — 1 ^ I^^ 1- Insbesondere gilt danach für den Punkt F: r^ 1, d. h. man hat 2A;i.< 1. Der Punkt A hat also wieder die im Satze I verlangte Beschaffenheit. Das Gleichheitszeichen in dieser Ungleichung, (dessen Eintreten zu- gleich pö — 2 bedeuten würde), hat dann statt, wenn eine Seite von *) Wie die Buchstaben E und Jl„ in der Figur eingetragen sind, ist darin e '^ 1 für den Punkt A angenommen. Die Gitterpnnkte sind hier und in den weiteren Figuren durch kleine Kreise angedeutet. y Google 324 Zur Geoiaetne der Zahlen. $(ß, e) auf die Gerade Y=l fällt. Da diese Seite an Länge ^20A ist, so enthiilt sie alsdann entweder innerhalb jeder ihrer durch F ge- trennten Hälften je einen Gitterpimkt, in welchem Falle für diese Gitter- punkte nach dem bereits in 1. Ausgeführten sich I + 0, ij + 0, | |i; I "^"S" herausstellt, oder aber es sind auf ihr sowohl beide Ecken wie die Mitte JP Gitterpunkte. In diesem zweiten Falle wären in ^(p, ß) alle vier Mitten der Seiten Gitterpunkte. Wir können dann A als die Mitte von SS, d. h. £ '— 1 voraussetaen. Ist für F hier Y ^ 1, H. = g und setzt man X = X-H5r, so BmAA{l^\-Q, >j=y6) und.F (§=— ^-9,ii=y6) durch X= 1, F=0 und X = 0, F=l bestimmt, und hat man daher | = |?(X-r), y=\&iX^-Y), &ö = 2, ^^^^{X'-Y'). 3. Endlich nehmen wir an, daß der Gitterpunkt A eine Ecke von ^(p, e), also dafür | = oder i; = sei; dann ist selbstrerständlich für diesen Punkt ||i;l = < y- I° jedem Falle entspricht somit der Gifcter- punkt A den Bedingungen des Sataes I. Um auch noch den Zusatz unter den letzten Umständen als richtig zu erkennen, stellen wir uns Ä etwa als die Ecke ü{| — q, ^ = 0) von ^(9,0) vor. Dann ist nach (1.): Y = qtj. Nunmehr halten wir ^ fest und denken uns den Parameter ö als veränderlich. Dabei bleibt die Diagonale BgIt(AQOA) von ^(9,6) auf Y—0 fest, während sich die Bndpunkte jS^, S der anderen Diagonale auf der Linie ^ == verschieben. Bei hinreichend kleinem liegt ^(p, 0) ganz im Bereiche — 1 < Y <. 1, enthält dann also gewiß keinen Gitterpunkt außer A^, 0, A. Wird ff =— , so erreicht ^(@, ff) die Gerade Z= 1 mit der Ecke S {| = O,») = ff). Fällt dabei diese Ecke zugleich in einen Gitterpunkt, so sei für ihn Y= 1, X =i(. Setzt man alsdann X ^ X + gY, so gilt für S: § = 0, ij = e; X = 0, r=l, für R: 'i = &, 13 = 0; X= 1, F= 0, also bat man in diesem Falle: g = pX, 7? = er, p6 = l, |j; = xr. Fällt hingegen der Punkt S = 0, tj ~ — nicht in einen Gitterpunkt, so kann man ff über— hinaus wachsen lassen, ohne daß zunächst neue Gitterpunkte in ^(p, ff) eintreten. Dabei wird die Strecke, welche der Bereich von ^(9,0) aus der Linie Y=l herausschneidet und deren variable Endpunkte J, K heißen mögen, nach beiden Enden zu immer ausgedehnter und wird sich sehÜeßiich einer dieser zwei Fälle ereignen: Entweder fallt, so lange noch diese Strecke JK? — ^^""'^^^T' "^^" werden wir be- weisen, daß für ein Parallelogramm wie 3ß(p, ff), welches einen Gitter- punkt A auf der Berandung, im Inneren aber als einzigen Gitterpunkt enthält, stets (3) Qi}^2 gilt. Daraus folgt dann unmittelbar Aft ^ -g-" Dieser Satz (3) ist aber einschneidender. y Google 326 Zur Geometrie der Zahlen. Der Fläcfiminkalt von ^(^,6), d. h, das Doppelintegral ffäxdy, über diesen Bereich erstreckt, ist, da ^,i] die Determinante ■;\^1 in x, ij haben, = 4 --^Qß = 2p6. Ba seien nan H, ^(Fig. 1) die Sebnittpunkte von y= 1 mit den Geraden ySoR^ und JEiS. Wegen (2) haben die Formen — + ~ und Y die Determinante 1 in den Variablen X, Y und dann eine Determinante -±_1 ui x, y. Also ist der Flächeninhalt des ParaUelo- gramms Kf,Hi^KH gleich 4. Tritt nun die Strecke HK in das Innere von '^{q,6) ein, so liegt £■ aiif JiS zwischen ^ und S und hat HK mit *ß(p, e) eine Strecke JK gemein, die notwendig ^ OA ist, weil kein Gitterpunkt außer im Inneren von ^(p,e) liegt. Wegen JK^ OA liegt J sMi R^S und ao, daß E^J^JS ist. Infolgedessen ist der Flächeninhalt des Dreiecks JKS nicht größer als der des Dreiecks JHM^. Nun entsteht das Parallelo- gramm MSRfiSg aus dem Parallelogramm K^H^KH, indem von letzterem die Dreiecke J^H^R und JHltf, fortgenommen und die Dreiecke JqK^Sq und JKS von nicht größerem Flächeninhalte hinzugefügt werden. Daraus folgt für die Flächeninhalte der zwei Parallelogramme das Verhältnis 2p6^4, Tritt jedoch die Strecke HK überhaupt nicht in das Innere von ^(p, ö) ein, so ist das Parallelogramm JtSRf^Sf, ganz im Parallelogramme K^Hf^KH enthalten und daher ebenfalls 2410^4. § 2. 1. Es mögen ^ und tj dieselbe Bedeutung wie in Satz I haben. Wir woUen jedoch jetzt von vornherein die besonderen Fälle aussehließen, daß die Form |ij der Variablen tc, y mit der Form XY oder mit der Form -g- (X^ — Y^) der Variablen X, Y äquivalent ist. Von diesen Aus- nahmefällen abgesehen, gilt der Satz II, Sind x =^ p, y =^ q zwei rdatw prime ganze Zahlen, wofür 1 1 1 > und I |i? I < -5- cmsfälU, so kann man stets zwei gc ^ ^ P I y = 2' finden, so daß pq' — qp' = ^1 ist und für welche e I ^^ [ < Y *'^^' "^^ I ^ I ^'^**^ aiisfMt als für das erstere System. Beweis. Da wir anstatt p, q ebensogut das System — p, — q zu- grunde legen können, nehmen wir an, für x =p, y =' q sei | = f A, yj = (i und dabei ft>0, A>0, £ — ±1 oder fi = 0, il > 0, e = 1. Wir be- stimmen zwei ganze Zahlen r, s irgendwie so, daß ps -qr^e ist, und setzen _ _ x^pX + rY, y^qX + sY. yGoosle reelle GiröBe duroli ratioaale Zahlen. Alsdann sei so folgt noch /Ift — fiÄ =^ 1, Y= Aij — (te| = E(j}y - IX). Wir bezeichnen den Gitterpuakt x =^ p, i/ = g (| = fiA, tj ^ n) mit A, ferner, wenn ^ > ist, mit F den Punkt | = — aX, ■»; = ff- Für F wird Y=2Xii, d. i. Y<1 auf Grund unserer Vorauasetzuug Über den öitterpunkt Ä. Die Geraden Y= ±1 schließen also daa ParaUelogramm mit den Ecken Ä, F, Ä^, F^^ ganz zwischen sieh ein, ohne es zu treffen, so daß insbesondere F und F^^ gewiß nicht Gitterpunkte sind. Die Gerade Y= 1 trifft nun die Linien | = — eX, | = 0, | = eA in drei Punkten H, J, K (Fig. 3), für die )? = ^-, n = {-, V = ~i~ ist, welche Größen sämtlich > fi sind. Da SJ=JK^ OA ist, so werden auf dieser Geraden Y=\ entweder die drei Punkte H, J, K Gitterpunkte sein, oder es liegt ein Gitterpunkt S innerhalb der Streelie HJ und ein Gitterpunkt C innerhalb der Strecke JK. In diesem letzteren Falle sei dann M der Schnittpunkt der Geraden FB (oder A^,B im Falle (t = 0) mit der Ge- raden 1 = und N der Schnittpunkt der Geraden .4 Cmit der Geraden § = 0. Wir bezeichnen nun mit A!{x =p' , y — q) erstens, wenn J ein Gitter- punkt ist, diesen Gitterpunkfc,' zwei- tens, wenn in J kein Gitterpunkfc fäUt und wenn zugleich M näher an liegt als N, also 0M<. ON iät, den Gitterpunkt £, drittem, wenn in J kein Gitterpunkt fällt und dabei OJf ^ 0^" ist, den Gitterpunkt G. Da A' auf Y= 1 liegt, gut jedes- mal jpg'— 9;p'= e = ± 1. Für A! können wir sodann ^ = s'X', t] = fi' setzen, so daß J,' =- im ersten, e' = — s, J.' > im zweiten, b = s, X' > im dritten Falle ist, ferner in jedem Falle X < J-, |it' > ft. Im ersten Falle denken wir uns noch b — — e. Wir wollen ferner hier unter ^(p, e) mit den Ecken ESIRgSQ speziell dasjenige völlig bestimmte Parallelogramm mit § = 0, i; — als Diagonalen verstehen, dessen Berandung sowohl den Punkt Ä, wie den Punkt A' aufnimmt. Die Ecke S(^ = 0, rj — 6) kommt dabei im ersten Falle in J, im zweiten in M, im dritten in N zu liegen. Wir können nun zeigen, daß in jedem Falle dieses Parallelogramm 5ß(p, ff) y Google 328 Zur Geometrie der Zahlen. keinen Gitterpunkt außer im Inneren enthält und daß darin auch Ä' nicht Mitte einer Seite ist. Aus diesen Umständen folgt nach den Be- trachtungen in § 1, daß l'fi'< y '^*' ^^^' ^^ zudem A > i'^ gilt, wird danach in der Tat der Gitterpunkt p', q' von der im Satze II ge- forderten Beschaffenheit sein. Wir unterscheiden nun die genannten drei Fäüe: Ist erstens J ein Gitterpunkt, A' ^ J, so en-eicht das ParaUelogramm ^(p,ff) die Gerade Y^\ nur im Punkte J. Dieses Parallelogramm enthält daher keinen Gitterpunkt außer im Inneren und A, A^,, J, Jq auf der Begrenzung. Dabei werden J, J^ die Ecken S, S^. Da femer H außer- halb dieses Parallelogramms ^(p, ö) fäUt, so liegt wegen OH=AJ Aer Punkt A von S weiter entfernt als die Mitte l^y, '^i ^ -^ der Seite, welche A und S enthält Man hat also 1>-|-, n,< — - Andererseits gilt A'=0<-|-, ft'=fl>y — Zu bemerken ist noch, daß hier jeden- falls (i. > ist. Denn wäre ft = 0, also auch A eine Ecke in ^(p, e), so enthielte dieses Parallelogramm in den vier Ecken Gitterpunkte. Dann wäre nach §1,3. die Form ^i; der Variablen x,y äquivalent mit der Form XY der Variablen X, Y. Wir verfolgen jetzt die Annahme, daß J" kein Gitterpunkt ist. Es bedeute noch G den Schnittpunkt der Geraden FB mit der Geraden F= 0; dieser Punkt liegt im Falle ^ > auf der Verlängerung von A^ Über A^ hinaus, im Falle ft = fällt er mit ^g zusammen. Aus den zwei ähnlichen Dreiecken GOM und BJM einerseits und aus den zwei ähn- lichen Dreiecken OANymAJC]^ andererseits erhält man die Proportionen JM BJ JN _ JC t^) OJ + JM^ GO' OJ + JN~ OÄ' Der zweite der obigen Fälle, A' ^ B, hat statt, wenn J" kein Gitter- punkt ist und dabei OM"ö"i und anderer- seits liegt deshalb der Punkt A von der Ecke S {= M) weiter ah als die Mitte I =^ Y' ^ ^ T '^^^ -^ "^^ ^ enthaltenden Seite von ^(p, a), mithin ist Ä>-|-, ft< y Über die Ermittlung des Gitterpunktes A! in diesen beiden ersten Fällen bemerken wir folgendes: Man hat für A' hier ^ == — eX', tj = ^i und ^ A' < i, andererseits X^g, Y=l, wo (/ eine ganze Zahl ist, und dann p' = r -\- gp, 5' = s + gq. Nun folgt — bI' ^ f(J. + gi^), also soll ^ — Ä — ^^ < i oder 0^ — -r £'0 und ist der Punkt M auf der Geraden FB {A^B für ^^0) bestimmt durch g = 0, f^ = j^^, also für M: ^{1 ~ X') = ylfi'^ fiA'= 2^fi'— 1, der Punkt JV auf der Geraden AO hingegen ist, da hier den Werten i, = — eI' + sX, 1^ = ji' -{- (i entspricht, bestimmt durch i = 0, j^-^^ = f^, also für N: ^/l'= lft'+ [iX'=l. Die Belation OM < JV kommt danach auf ■ ■ . ^^ „ ■■ ■ < -vr d, i., da A > ist, auf 2X'ii'ft. Die Relation ÖM'^ OiV kommt hier nach der eben gemachten Äusfühmrig auf 2 (A — A') (fi' ~ fi) ^ 1 hinaus. Es sei zunächst 0M> ON. Aus JM>JN folgt nach (1), da. (?0 ^ OA ist, BJ '> JC. Diese Beziehung ist hier gleichbedeutend mit X — X'>X'. Wegen BJ+JC= OA hat man sodann JC<^OA, yGoosle 330 Zur Geometrie der Zahlen. und wegen (1) daher JN < OJ. Danach gilt für den Punkt N jedenfalls Y<_2. Das ParaUelogi-amm ^(p, ff) reicht also nicht an r=2 heran. Von der Geraden Y =^ 1 enthält es eine Strecke mit einem Punkte zwisclien B und iT ala einem Endpunkte und mit dem anderen Endpunkte in C, von der Geraden Y=0 enthält es die Strecke Äf^OA. Danach enthält es keinen Gitterpunkt außer und A, ^ig, C, Cf,. Da ferner B außerhalb dieses Parallelogramms liegt und AG = OS ist, so ist AC größer als die Hälfte der Ä und C enthaltenden Seite von ^(p, e) und befindet sich daher C näher an S (= N) und A weiter tou S als die Mitte | = -g > tj — -ä dieser Seite; man hat also A' < -|- < A, (t' > y > A*-- Jetzt sei 0M= ON, so daß M mit N zusammenfällt. Nehmen wir zudem ^ > an, so daß A nicht Ecke in ^(p, ö) wird, so ist GO > -^d^ und daher wieder BJ~> JC, l — ^'> l', und gelten alle Überiegungen wie vorhin, nur daß außer A^ A^, C, Cp noch die Gitterpunkte B und B^ auf die Begrenzung von 3ß(p, ö) zu liegen kommen. Weil OB parallel ^C ist, wird dabei B Mitte einer Seite von '^(q, ß), also A — A' = -ö-, C-' — f( = Y' dagegen ist, weil OB — AC und weder A noch G eine Ecke von ^(p, ß) ist, weder C noch A Mitte einer Seite von Sß(p, e); man hat wieder Hat man schließlich OM = ON und äasit ;* = 0, so ist A^OA Diagonale von (Sßp, ff) und fällt G mit A^ zusammen. Dann folgt BJ=JC=^OA, also k — X' = X' und weiter JN=OJ, GN^AC= OB. Unter diesen Umständen reicht ^(p, ff) mit der Ecke S gerade an Y^ 2 heran, es enthält wieder ira Inneren außer keinen Gitterpunkt, aber nicht bloß B, sondern auch ist darin Mitte einer Seite. Für B wie für C gilt dann ||t?|= -^- Es wäre dieses derjenige Fall, wo |i; sich ala äquivalent mit der Form y(X^ — Y^) erweist, ein FaU, der vorweg ausgeschlossen wurde. Aus den Betrachtungen in § 1 folgt nunmehr in jedem Falle, daß der Gitterpunkt A' den Forderungen des Satzes II entspricht, Zur Be- stimmung dieses Gitterpunktes x = p, «/ = §' aus dem Gitterpunkte A hat sich sogleich die folgende Regel herausgestellt: Mcm bezeichne mit g die größte in — r- enthaltene ganze Zahl und setze h = g oder 7( = y + 1, je nachdem {— I — A^)(fi + (tg) < oder ^ y ■ ist. Dann hat man p' = »■ -|- ph, g' = s + (jA. y Google Anaühemng an eine reeUe Größe durct rationale Zahlen. 331 2, Verändera wir die Parameter q, G des in 1. betrachteten Parallelo- gramms ^{^, 0) in der Weise, daß <5 verkleinert wird, also S und S^ näher ac heranrücken, daß aber die Seiten noch fortwährend durch A, A^ (und F, F^ gehen, so erhalten wir, so lange die Abnahme von ö eine gewisse Grenze nicht erreicht, ein neues Parallelogramm mit | = 0, ij ■= als Diagonalen, welches offenbar keine anderen Gitterpunkte außer Ä^, 0, A enthält. Daraus geht der Satz hervor: Satz III. Ist ein Oitlerpunht x^p, y = q so beschaffen, daß die Zahlen p, q relativ prim sind and dafür | |ij | < -g- ausfällt, so ha,nn man stets Parallelogramme lll+IH^i -Jconstruieren, welche dmt Gitterpunkt auf der Begrmmng liegen haben und a/uß^ den drei Funkten x,'y =p, §; 0, 0; ~p, — g- überhaupt Iceinen Gitter- pwnkt enthalten. Wenn andererseits für einen Gifcterpunkt x =^ p, y = q ein Parallelo- gramm der hier beaeiehneten Art existiert, so zeigt der Beweis zum Satze I, daß umgekehrt stets jj, g relativ prim sind und dafür [|ij| A' wäre. Beweis. Nehmen wir an, es existierte ein Gitterpunkt Ä* der hier bezeichneten Art, und es sei für ihn 1 1 ] = i*, ] t; | = ji*. Wir bezeichnen (Fig. 4) mit F den Punkt | =- i, t] = (i, mit F' deu Punkt 1 = ;.', rj = ^', mit M und S die Schnittpunkte der Geraden FE' mit ^ = und ^ = 0, weiter mit L den Punit g=o\ f -U I = 1, 7j = 0, mit L' den Punkt % — X', i/ = 0, end- lich mit E* den Punkt ^ = A*, ij = (i*. Nach dem Satae III müßte es zufolge unserer Voraussetzungen möglich sein, ein Parallelogramm 5|5(p*, 6*) mit I = 0, ij = als Diagonalen zu konstruieren, dessen Begrenzung den Punkt ji* aufnimmt, welches ^'s- *■ aber weder A noch A enthielte. Sind iJ* 8* die Ecken | = p*, i; = und 1 = 0, ri = G* dieses Parallelogramms, so enthält die Strecke E^S* den Punkt E* es darf aber weder F, noch F' dem Dreiecke OB*S* au- y Google 332 Zur Geometrie der ZaMen. gehören. Da nun nach Voraussetzung E* in dem Parailelstreifen ^'^i^l liegt und noch dafür rj'^0 ist, mußte danach £* sieh notwendig im Viereck L'LEE' und dabei nicht auf der Seite EE' desselben befinden. Aber das Parallel ogramm Il!:iE^\ enthält im Inneren als einzigen Gitterpunkt, danach kann ß* nicht m L'LEE' bei Ausschluß der Strecke EE' hegen. Ein Gfitterpmikt, wie wir ihn in A* angenommen haben, kann also nicht existieren. In entsprechender Weise leuchtet ein, daß es keiuen von Ä, Äff, Ä',A^ verschiedenen Gitterpunkt geben kann, für den ebenfalls x, y relativ prim sind und ebenfalls [|ij| A'^ 0, fi'> ,«. > und X = b(Iii -— iiX') = £(1 — 2^i'); also ist in diesem Falle < e^ ^ 1- Wenn dagegen s' — e ist, hat man X(t' — ftA'=l, X>2A'>0, fi'>2fi^0 und j; = £(A;i' + fiA') = i(l + 2/(3.'); da hier 2jtA'< (('A'< ^ ist, folgt also 1^EX)'>'^- — Die Vorzeichen s und s entnimmt man hiernach bereits aus dem Wert« von x allein, außer wenn gerade ;j = + 1 (also ip — oder i/f = 0) ist. Da aus PQ — qp' = + 1 schon hervorgeht, daß p und q einerseits und andererseits p' und j' relativ prim sind, so sind die besonderen Um- stände, welche hier für die zwei Gitterpuokte A(^ = el, i^ ^ ft) und A'{^ = b' i,', ij = ^') gelten, völlig zusammengefaßt in den Beziehungen: A>0; jt>0, E = ±l oder ^ = 0, s = 1; pq — qp' — e, ferner entweder: e' £, X>X'>0, A^X'>0, Xft y. Bemerkenswert ist noch, daß bei dieser zweiten Reihe von Bedingungen für £'==£ die Ungleichung Afi<— eine Folge der übrigen Ungleichungen y Google Annäberurig an eine reelle GrOße durch rationale Zahlen. 333 ist. Denn man hat hier l/t' — X'fi = 1. Aus (i"i')(f '-(•)>! und J, > i' folgt zuvörderst /i'>,«; sodann kann diese Ungleichung er- setzt ■werden durch X(i' + l'fi — }.{i — X' II > — {1(1 — X'fi) , d.i. yJ-^ + Y^V — ^.w — ^'/^ oder |(l-A')(,u'-2^)>yA'(fi'-^). Daraus folgt ;t'~ 2ft > 0. Ersetzt man weiter hier Xfi' durch 1 + ?.'ii, so entsteht endlich -i- + 2X'n ^?.fi + X'ii', also 1 ^ i^ + i'(/- 2,«), und daraus entnimmt man in der Tat ^ > ^^- §s. Fassen wir die Resultate des § 1 und § 2 zusammen und nehmen die Sätze hinzu, welche daraus bei Vertauscliung der Rollen Yon ^ und tj, hei Ersetzung von |, tj durch tj, — |, hervorgehen, so entsteht der folgende Satz IV. jEs seien | = «a; + ßy, t) ^ yx + Sy zwei lineare Formen mit beliebigen reeUen Koefßgimten und einer Determinante ad — /3y = 1; jedoch sei die Form ^ij in x, y nicht äquivalent mit der Form XT oder der Form -t-(-^*~ ^) *** ^t ^- Alsdann lassen sich die sämtlichen Systeme von gangen ZahUn x, y, für weiche x, y relativ prim sind und ] gij I < -- und zudem ij > 0, hzw. ij ^0, | > ist, in eine Reihe nach wachsendem Werte jj ordnen. Dabei sind sie zugleich nach abnehmendem Werte ] % \ geordnet Für je swei aufeinanderfolgende Systeme x = f, y = q, und x = p', y = q in der Reihe giU dann stets pq'=qp-=±l. Diese Reihe weist ein bestimmtes erstes System auf, wofür t; == 0, ^ > 0, also -r ^ —— lind > ist, wenn — rational ist: sie weist ein bestimmtes letztes System auf, wofür | =- 0, ^ > 0, also -^ = — und > ist, wmn — - rational ist. Sie ist ohne ein erstes System, wenn - y Google 334 Zur Geometrie der Zahlen. ohne ein letztes System, wenn —^ wrational ist; sie ist mich Anfang und Ende hin u/nbegrenst, wenn sowohl ——• wie — *- irrational sind. Ist die Beihe ohne ei« letnies System, so konvergiert in ihretn Verlaufe 1 1 1 nach NuU und wächst ii Hier jede Grenze; ist sie ohne ein erstes System, so wächst bei umgekehrter Folge der Systeme in ihr \ g | über jede Grenze und konvergiert ij nach Null Diese zuletzt erwalmte Tatsache folgt aus dem Umstände, daß über- haupt nur für eine endliche Anzahl Yon Systemen der Reihe | ^ | oder »; zwischen gegebenen positiven Grenzen liegen kann. Denn soll etwa 9iSl^l^eo>0 sein, so folgt aus | §■>; | < -g- «n^ HI^Po noch h|<2^; in einem Parallelogramme |||^pi, I^jI^ö — liegen aber stets nur eine endliche Anzahl von Gitterpunkten x, y. Die Reihe der hier in Betracht kommenden Gitterpnnkte x, y, nach wachsendem Wei-te ihres »j geordnet, soll die Kette zu den Formen |, ri heißen, ein einzelner Gitterpunkt x^= p, J/ = 3 daraus ein Kettenglied, ferner die mittels zweier aufeinanderfolgender Kettenglieder x ^=p, y =^ q und X = p', y ^= i gebildete Substitution X=pX + p'r, y = qX + q'Y eine Subsütution der Kette heißen. Wir bezeichnen die nacheinander auftretenden KettengJieder mit P^^ q^ (i = 2,~1, 0, 1, 2,..-), wobei wir, wenn ein erstes Glied vorhanden ist, diesem Gliede und anderen- falls einem beliebig gewählten Gliede den Index erteilen wollen. Für X=pi, y = Qi setzen wir | = £;J.j, ^1 ^ [ti, so daß f-f^O, -lf>0, «( = ±1 sei. Ferner schreiben wir allgemein, soweit die Indizes in Betracht kommen. Für ein etwa vorhandenes erstes Glied ist Cf,— 1. Für einen etwa vor- handenen letzten Index j -= w, wobei dann A^=0 wäre, denken wir uns ■9-^= — 1 gewählt. Die Substitution X-Pi-iXi + PfY^, y ^ q,^^X^+ q^Y, oder kurz ( " ' *) bezeichnen wir mit T,. Man hat dann : ferner yGoosle Ann iherung m fiine reelle Größe durch rationale Zahlen. 335 Dif am äuhlusse ■iou § 2, 1. entwickelte E.egel, welche überhaupt dazu yerhilft aus einem Kettengliede das nächstfolgende ahzuleiten, ergibt einen emfaclien Zusammenhang zwischen drei aufeinanderfolgenden Ketten- gliedern J)j_i, q, 1, p„ 9,, i'i+if 2i+i' Wir können p^, q^ mit dem Gitter- punkte p, q (e^ mit s, A, mit X) und Pi+u ffi-n ^i* i*'? ?' ^ue § 2 iden- tifizieren. Für die Zahlen ),s doit, welche der Bedingung jp^s — g^r = s^ zu genügen haben, kann man dann mit Rücksieht auf (1): s = — ■&';3(_i, j- == — djPj_j einfühlen, und dabei wird Also ist dann l durch — A;_i zu ersetzen. Dadurch entsteht die folgende E.gel: 3Ian beseichne mit g^ äie größte in -y^ enthaltene ganze Zaftl und sdze \ = g^ oder = g^•\- 1, je nachdem ih-x - 9i^d {9if^i - ^ii^i-i) < <^^er ^ y ist, dann gilt Pj+i = — *(Pi-i + hPu Ä+i = - ^äi-i + hüi wnd überdies wwä ■9'j+i = — 1 im ersten, = 1 im zweiten Falle. Man erhält hiernach (Pi^i> Pi\ /O, - *A (Pi, Pi+i\ (2) \1, h I V (^; Pj + 1 ' P,.,X,-\-p,Y,=p,X,^,+p,^,Y,^„ 2,__s-,r,^„ r,-x,^, + i,y;.,,,. Setzt man aUgeitiem - f^ = (j, so gilt daher weiter während -^l'i + i+i-.+ l — 2i*; + i + ?j+I ' ist. Dabei ist zu bemerken, daß Zähler und Nenner der rechten Seite von (3) genau die Ausdrücke sind, die bei der naturgemäßen Umformung des Zählers oder des Nenners der linken Seite je in einen Quotienten zweier ganzer Funktionen von t^^^ als die Zähler dieser beiden Quotienten erscheinen. Aus (3) und (4) erhält man sogleich allgemeiner: y Google 336 Zur Geomeiarie der Zahlen. (5) -■ -; ^ = ■ , ■■■"■ ^ < Ä, ff ''.»-■■. _..^__ ist, und dabei gilt Über die Entstehung von ZäUer und Nenner der rechten Seite in (5) aus Zähler und Konner der linken Seite eine ganz entsprechende Bemerkung wie bei den Beziehungen (3) und (4), Ebenso wie §, ij haben ^, — ^ die Determinante 1. Die Kette zu 13, — I ist im wesentlichen die umgekehrte Kette zu ^, vj. Durcb^uft Pi, q^ die Gitterpunkte der Kette zu §, rj in umgekehrter Reihenfolge, d. h. so daß die Indizes i abnehmen, so hat man dabei in den Systemen »; = — £jPj, y = — ^iii) (für welche — ^^0 ausfällt), die Cflieder der Kette zu ij, — |. Über den Fortgang in dieser letzteren Kette sei noch die aus (2) folgende Beziehung: (7) (-^.«ft«. -•.".) /». -*.»)_/-•.* -•-.1',-.) V-»,-+.9.ti. -»iftMl, /., / \-»,4, -»,-,«,_,/ angemerkt. §4. An die Sätze in § 2 schließt sich folgendes Theorem an: Satz V. Sind I = «ai + ßi/r tj — yx -i- ^y ^^^ lineare Formen mit beliebigen reellen Koeffizienten und einer Determinante aä — ßy -= l und sind ^0, 7)n irgendwelche gegebene reeUe Größen, so gibt es stets ganze Zahlen X, y, für welche l(l-«('J-*)liT Beweis. Betrachten wir vorweg die Fälle, daß es eine j Substitution mit einer Determinante + 1 gibt, durch welche die Form |ij der Variablen x, y in die Form XY oder in die Form — (J?— Y^) der neuen Variablen X, Y übergehe, Dem Wertsysteme S = Iq, t; = iJo entspreche dabei das System S = X^, Y— Y^, so erweist sich vermöge jener Substitution (.S~i,)(.1-1.)-(X-X,)(Y-Y,),hz,.-{({X-X,?~-{Y^Y,n Bestimmen wir nun X und Y als ganze Zahlen so, daß | -X — X(, | ^ -^-f I Y — I'o I ^ T ^^^' ^° wird im ersten Falle, wo Itj äquivalent X Y ist, y Google Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. 337 \(^~to)(v — Vtt)\^'T- ^^'^^^ ^^* ^^ bemerken, daß das Gtleiehheits- zeicheu hier unter gewissen Umständen wirklieh in Betracht kommt, nämlich weno sowohl X^ wie Y^ gleich ganzen Zahlen vermehrt iim — sind. — Im zweiten Falle, wo |ij äquivalent y (X^ — Y^) ist, stellt sich sogar \{^-k)(V-'Vo)\ A' ^ 0, ft' > ft ^ 0. Ein gleich- s Eintreten von (1 = und A' = ist dadurch ausgeschlossen, daß 1»; nicht äquivalent XY sein soU. Es sei M die Seitenmitte | = y, ij =y und M' die Seitenmitte | = — y, ij = y in ^ (p, a). Nach den Be- merkungen in I 2 kommen A und Ä derart auf der Berandung von ^ (p, e) zu liegen, daß bei einer Umlaufung derselben in einem gewissen Sinne sich A, M, (S), A', M', A^, M^, {8^), A^', M^ folgen (s. Fig. 5; um die Figur nicht zu komplizieren, sind darin die Seiten von ^ (p, ö) nicht ausgezogen); A ist von M, A von M' verschieden. Da wir die Rollen von | und ij vertauschen, anstatt |, jj auch ij, — | zugrunde legen können, so dürfen wir noch die Annahme X' [i ^ Xfi machen; (weil nicht zugleich i'=0, /i = sein kann, wird dann gewiß il'> 0, also A' von 8 verschieden sein). Da auf jeder Seite des Quadrates ^ (p, ö) der Wert ~ stets von der Mitte der Seite nach ihren Enden hin abnimmt und dabei auf allen vier Seiten gleichen Wert erhält bei der nämlichen Entfernimg von der Seitenmitte, den Begriff der Entfernung MliLkonslcl, QeBainmelle Abhandlungeu. I, 22 y Google 338 ZBr Geometrie der Zahlen, im gewölmlichen Sinne genommen, so läuft jene Annahme darauf hinaus, daß Ä'M'g^ÄM aein soU. Wir Isonstruieren weiter das Quadrat ^ (-|-, yl, dessen Ecken auf )j = 0, 1 = halb so große Entfernungen von haben wie M, Mg, S, Sq. Die Berandung von ^ (g, -|-) nimmt die Punkte X = ± y , !F = und X = 0, F = ± -^ auf. Legen wir sodann um jeden einzigen Gitterpunkt als Mittelpunkt ein Quadrat, welches dem Quadrate ^ (-|-, -x-j gleich und in den Seiten parallel gestellt ist, so ergeben diese Quadrate das Bild der in Fig. 5 mit ausgezogener Umrandung gezeichneten Quadrate, Die einzelnen Gitterpunkte sind in dieser Figur durch ihre Koordinaten X, Y angedeutet. Das erste Quadrat ^ f-|-, -|-] um den Nullpunkt stößt mit Stücken seiner Seiten an die Quadrate mit den Mittelpunkten Ä, A', Ä^, Ä^, während es die übrigen Quadrate überhaupt nicht trifft. Danach liegen jene Quadrate offenbar so, daß keine zwei ineinander eingreifen, und zwischen sich lassen sie noch lauter gleiche und parallel liegende Lücken in Form von Rechteeken, welche die einzelnen Punkte X -f -y ' Y -\--^ mit ganzzahligen X, Y zu Mittelpunkten haben. Es sei beispielsweise GHJK die rechteckige Lücke mit dem Mittel- punkte X = y, r=y oder L, so daß die Seiten GH, HJ, JK, KG sich an die Quadrate mit den Mittelpunkten X, F= 0, 0; 1, 0; 1, I; 0, 1 y Google Annäherung an eine reelle Größe durcli rationale Zahlen. 339 anlegen. Da AS, M'GM, Ä'K sämtlich parallel der Linie j; = sind, eo ist GS^ MA ^ MS und GK= MÄ < M'S, also GH^ GE und überdies -•- MS ^ GH, — BS > GK; (man beachte, daß A' nicht in S fällt). In jeder der rechteckigen Lücken ist daher eine Seite kleiner, die andere höchstens so groß als die Seite des Quadrates 5ß I-^j "5 )■ Unter dem hihalt einer Figur wollen wir den Wert dee Integrales I f dX dY über ihre Fläche verstehen. Der Inhalt des Quadrates 5ß ("l-, ■--] ist dann, weil aS ~ ßy = 1, pq —qp' = + 'i^ ist, gleich ■^ p6 und der Inhalt des Rechteckes GHJK isi <.— qq. Nun kommt in der ganzen Ebene auf jeden Gitterpnnkt X = Xl*, Y = Y* einerseits ein Parallelogramm - y ^ X - X* ^ y, - {- ^ T- Z* ^ | vom In- halte 1, wobei diese Parallelogramme die ganze Ebene lückenlos erfüllen, ohne gegenseitig ineinaader einzudringen, andererseits kommt hier auf jeden Gitterpunkt X* F* ein Quadrat mit dem Mittelpunkte X*, Y* vom Inhalte ypö und ein Rechteck mit dem Mittelpunkte X* -\- -^ , r* -|- — von einem gewissen Inhalte < y p ij, und alle diese Quadrate und Rechtecke erfliUen ebenfalls die ganze Ebene lückenlos, ohne gegen- seitig ineinander einzudringen. Danach folgt offenbar (1) -■ P6 ;i' > 0, /!■' > ;t ^ 0. Die Punkte A und A werden hier von einer und derselben Seite von ^p (ß, e) auf- genommen, wobei weder A noch J.' in die Mitte der Seite fallen und A, aber nicht A' eine Ecke sein kann. Die Länge der betreffenden Seite ist ^ '2AÄ. Gehen wir- nunmehr zu dem Quadrat $(-g-j -g-) über und konstruieren um jeden Gitterpunkt als Mittelpunkt ein diesem gleiches und parallel gestelltes Quadrat, so liefern diese Quadrate das Bild der in Fig. 6 mit ausgezogener Umrandung gezeichneten Quadrate. Die Gitterpunkte sind dort durch ihre Koordinaten X, Y bezeichnet. Diese verschiedenen Qua- drate nun greifen nicht ineinander ein and lassen zwischen sich im all- gemeinen wieder lauter gleiche und parallel gelagei-te rechteckige Lücken mit den einzelnen Punkten X -f -^, Y -\- -^ für ganzzahlige X., Y als Mittelpunkten. Diese Lücken kommen nur zum Fortfall, wenn auch der Gitterpunkt X =- ^ 1, Y= 1 auf die Begrenzung von ?ß (p, ö) fallt, (wenn {l — X') (ft' — (i) = Y ist). Es sei, wenn nicht dieser Spezialfall statthat, GHJK die rechteckige Lücke mit dem Mittelpunkte L'. X^—, Y^ — , wobei GH, HJ, JK, KG ihre an die Quadrate um X, Y= 0, 0; 1, 0; 1, 1 ; 0, 1 anstoßenden Seiten seien. Dann ist die Seite GK gleich der Seite des y Google AnnäheruEg an eine reelle Größe durch rationale Zahlen, 341 Quadrates ^ (f-, v) die Seite GH kleiner a,ls diese Seite. Der Orenz- fall, daß G]l= GK wäre, würde nur eintreten, wenn A und A' beide in Ecken von ^(p, a) fielen, was dadurcH ausgescklossen ist, daß |t; nicht äquivalent der Form XY sein soll. Nunmehr erweist sich durch eine entsprechende Überlegung wie in 1", daß der Inhalt des Quadrates ^ ("f"' 'Vi zi5^^i^™6n mit dem des Rechteckes GIIJK gleich 1 sein muß, woraus (1) 4.(,.<:i<2 4p. hervorgeht. Die Gleichung -ö-pa=l hat statt, wenn die Lücken zum Fortfall kommen, also H mit G, J mit K zusammenfällt. Es verhalte sich die Entfernung des Punktes A von der Cferaden SJ zu der des Punktes L von dieser Geraden wie 1 : k — 1, so ist 1 ^ x < 2. Konstruiei-en wir nun das Quadrat '^{-^, "s)i ^o wird es die Hälfte der Lücke mit dem Mittelpunkte X = — —, I' = — vollständig Überdecken. Legen wir dann gleiche und parallel gestellte Quadrate um jeden Gitter- punkt als Mittelpunkt, so erfüllen daher diese Quadrate jedenfalls die ganze Ebene. Also wird derjenige Punkt, für den die Bestimmungs- stücke I, rj die gegebenen Werte § = 1,,, ij = ^q haben, in wenigstens eines dieser Quadrate fallen müssen; alsdann gilt für den Gitterpunkt x,y, welcher der Mittelpunkt des betreffenden Quadrates ist, (2) j*^l + l^^|i:|- y Google 342 Zur Geometrie der Zahlen. Andererseits überdecken diese neuen Quadrate keinen Teil der Ebene mehr als zweimal, während noch gewisse Rechtecke mit den einzelnen Gitterpunkten ala Mittelpunkten da sind, welche jedesmal nur je einem dieser Quadrate angehören. Infolgedessen muß der Inhalt des Quadrates (3) |xV'^<2 sein. Aus (2) und (3) ergibt sich wie oben «-t.)(?~*)i sein, also hat man Pü = Ij 9o = ^- F^ j, q^ soU p^q^ — q^p^ =- «^ ^ 1, also 9i=l und Ki»! — agj)ä | ff« ^i i^ofi^ p„ — aq^ =-0 ist. Wenn a irrational ist, so läßt sich die EHhe dieser Systeme utibegrenst fortsetzen. 2". Für je zwei aufeinanderfolgende Systeme gilt stets Päi+i - SiPi+i - *i^» ■■-'&, = ± 1. Die Zahlen p^, q^ sind stets relativ prim. 3". Man hat Dabei sind p^ und 5^ selbst denjenigen Ausdrüclien gleich, die bei der natur- gemäßen Barstelkmg der reckten Seite als QuoUmt zweier ganzer Funktionen der A; und ^^ den Zähler bzw. Nenner abg^en. 4». Man hat 0<3ibi-'^2i!>l^ä-a9a[>|P8-«28l.'--- I Pi. I Umsomehr nehmen die Beträge \— — a\ mit wachsendem Index ah. Wenn a irrational ist, konvergieren dis Brüche — mit wachsendem Index nach der 5*. Für jedes der Systeme p^, q^ (Je = 1, 2, , . .} gilt l(Pi- «ei)2*l und \{x-ay)y\<^ yGoosle 344 Zuv Geometrie der Zahlen. gilt, so findet sich das Zahlenpaar x, y stets unter den Syste- .»«« ft, q,{i _ 1, 2 . . .). Aus dem Satze V entnimmt man noch: Sind b, c irgend zwei weitere reelle Größen, so hann man stets ganze Zahlen x, y finden, so daß ist, und swar, wmn a irrational ibt, noch derart, daß sugleich \j:—ay — b\ unter einer hdiebig kleinen positiven Größe liegt.*) Die" hier definierte KettenbruchentwicHung mit den Naherungsbrüehen — .— , . . . zur Annäherung an die Größe a soll der Diagonallcetten- iruch für a heißen, mit Kücksicht darauf, daß diese NÜherOngsbrüehe zu den Parallelogrammen mit den Linien x — ay = (* und y = als Dia^onaJen in einer gsinz entsprechenden Beziehung stehen, wie die Näher ungsbrüehe bei der gewöhnlichen Ketten bruchentwicklung • = '. + P^^ + -- wo If) eine ganze Zahl, l^, l^, ■ ■ ■ lauter positive Zahlen sind, zu den Parallelogrammen mit dem Nullpunkt als Mittelpimkt und mit Seiten parallel zu ^ — «i/ = 0, «/ = 0. Für diese gewöhnliche (auch sogenannte regelmäßige oder normale) Kettenbruchentwieklung würde ich alsdann den charakteristischeren Namen Parallellsettenbruch in Vorsehlag bringen. Nach einem bekannten Satze TOn Lagrange kommt jedes Zahlen- paar x, y, wobei x, y relativ prira sind, f/ > und ^ a < ^-^ ist, als Zähler und Nenner eines Näherungsbruches der gewöhnlichen Kettenbrueh- entwicklung für a vor. Danach erscheinen alle Näherungsbrüche des Diagonalkettenbmches für a auch unter den Naherungsbrüehen des Parallel- kettenbruehes für a imd wird also, falls nicht beide Entwicklungen zu- sammenfallen, der Parallelkettenbruch stets langsamer konvergieren. Der Diagonalkettenbruch für a möge mit a — DK{^ , , , XKrh^jh^,. ./ der Parallelkettenbruch für a mit a — PK(l(„ \, \, . . .) bezeichnet *) Tschebysoheff hat (in einem ruasisch geseliriebenen AufsatKO ia den MßmoireB der Petersburger Akademie, T. X, Appeadis i, 1866; Oeuvres, T. I, p. 679) gezeigt, daß, wenn a, 6 reelle Größen sind, stets ganze Zahlen x, y existieren, wüför |(ai — (Hj— 6)!/| < 2 ist. Hermite hat (Crelles Jonraal, Bd. 88, 1880; Oeuvres, T. DI) bewiesen, daß der Ausdruck links durch ganze Zahlen x, y kleiner als y — gemacht werden kaan. Der Satz im Teste ergibt ein schärferes Resultat, weil T Beiht der Zahlen \, \, h^, entsteht dte Mnhp der Zahlen lg, l^, ?2, . . ., indun an Stellt nnet jeden Zahl A, suhslituieit untd: /(,, nenn ö'j = — 1, -ö'j^^ = — 1, \—l, uenn S-^ = 1, &^^^ = ~\, hl — 1, 1, wenn d-^ = — I , &f_^j = 1, hl — 2,1, wenn d-^-^ 1, *i+j= 1 ist; dabei hat man sich nodi Op = — 1 sit denken und dann von dieser Vorschrift auch für i = Gehrauch ;m machen. Die Diagonalkettenbrtiche sind hiernach nicht bloß wegen der einfacheren Charakterisierung ihrer Nähern iigsbrüche leichter zu handhaben, sie ent- halten auch alle Einzelheiten über die darzusteUenden Gfrößen, welche die Parallelkettenbrüche erkennen lassen. Beispiel: Der ParaUelkettenbrueh für "[/iS ist PK{d, 1, 1; 1, 1, 6, 1, 1; 1, 1, 6, 1, 1; . . .) mit den Nähemngsbrüchen S i 7 _ 11 18 119 137 25(j_ 393 649 4387 4936 92SS T' T' T' T' T' 'sb'' 'W ~7r' Tos' im' 1189' 1369' 2558' ■ ' ■' der Diagonalkettenbruch für ^13 ist ( -h,-, +,+,-,+,+,... \ \4, 2; 2, 8, 2; 2, 8, 2: . . J mit den Naherungsbrüchen d. i. dem 2, 3; 5, 7, 8; . . . 5Ä, 5Jc + 2, bk + 3; ... ten Näherungsbruch der ersteren Entwicklung. y Google 346 Zur Geometrie der Zahlen. Dagegen würde diejenige Kettenbruelientwiekiung / *i,*„.-.\_ _*J_^ wobei 9-j = + 1, 'S'j = + 1, . . . und die h^, \, . . . positive ganze Zahlea sind derart, daß die Reste — r— — r-^^ ' — . . . stets zwischen — -^ und _ \h \h+i ^ -^ liegen, für "j/lS: / 1, 1, -1, 1, 1, -1, l,...\ "^U, 3; 2, 7, 3; 2, 7, 3; . . J sein mit den Näliernngsbrüchen 4 II 18 137 393 649 4936 14159 _ T'T' T' "38"' 1Ö9' 18Ö' 1369' 3927 ' ' ' " d. i. dem 2, 4; 5, 7, 9; . . . bk, 5Ä; + 2, 5Z; -f 4; . . . ten Näherungsbmche des ParallelkettenbruclieB für 1/13. Also erfüllt bei dieser Art der Ent- wicklung einerseits nicht jeder Näherungsbmch ~ die Bedingung andererseits kommt nicht jeder Bruch — mit dieser Eigenschaft unter den Näherungsbrttchen vor. Der Diagonalketteu brach für die Basis der natürlichen Logarithmen lautet: -1, 1,-1,..., 1,— 1,...\ 2,..j' Die Zähler und Nenner der Näherungsbrüche dieses Kettenbruehes geben also die sämtlichen Auflösungen der Bedingung in relativ primen positiven ganzen Zahlen x, y. §6. 1. Ein unendlicher Diagonalkettenbruch (1) für eine irrationale Größe a soll periodisch heißen, wenn es eine posi- tive Zahl V gibt, so daß von einem gewissen Index _;' an stets (2) *. = ».+ = , K-K^. (/c=i,i+l,i + 2,...) yGoosle Anüäteruiig an eine reelle Größe durcb. rationale Zahlen. 347 ist. Das System der Werte heiße dann eine Periode des Kettenbruches. Wir beweisen zunäctist die folgeude Tatsache: Ist der Diagonalkettenbruch für eine irrationale Größe a periodisch, so ist a Wwzd ein&r quadratiscJien Gleichung mit rationalen Koefßsienten. Wir Terwenden für die Kette zu den Formen ^ = x — ay, tj = j/ die in § 3 eingeführten Bezeichnungen. Durch die Substitution geht ^ in £^_^Xf_^X^ + SfljY^ über, man bat also die Formel der Kom- position: (i,-o)3',-(.,_.j,_„.,y. Aus § 3, Gleich. (2) leitet man allgemeiner die Regel /O, — *A /O, — S-;,,\ /O. — it, .\ i ist. Man hat a = — "' ~^ ^ "' '^^^ , so daß die ganze Zahl D — nj^ — iw^Wj positiv und wegen der Torausgeaetzten Irrationalität von ff jedenfalls nicht das Quadrat einer ganzen Zahl ist. Die zweite Wurzel jener Gleichung — "* "^ '^ — werde mit ä bezeichnet. ^^x- ay^cix + ßtf, );= ^^^{x — ätf) = yx + dy, t, = y. Dabei haben §, j; ebenso wie |, t, die Determinante 1, und gilt eine Be- ziehung: S = ,H-M, l — ^^-T^-.- Sodann entsteht T VD^i} = f ^ n^a;^ + n^xy + n^y^. Wir betrachten nunmehr die Kette zu den Formen % ij. Diese Kette wird jedenfalls nach beiden Seiten unbegrenzt sein. Wir verwenden für diese Kette die in § 3 eingeführten Bezeichnungen. Außerdem mögen I;, % die Ausdrücke bedeuten, in welche |, i} durch die Substitution .nd es bedeute T^ das quadratische Schema l " der Koeffizienten von |., ri, wobei dann s.) 2'- = T, gilt. Vi "' Durch die ganzzahlige Substitution T^, deren Detei-min geht die Form f^ + YD^ij in eine Form yGoosle Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen, 349 üher Dabei sind iVn jVi,iVo ganze rationale Zahlen uiidfoIgtiVi^—4iVQJVg=-J0; da D nicht eine Quadratzahl ist, hat man gewiß N^ =^0, JV^ + 0. Zu- dem bestehen dabei nich § 2, 3 diese Beziehuagen: mfn edet In jedem FaEe kommen hiernach für die ganzzahligen Koeffizienten JV^, JVi, N^ einer Form f^ von vornherein nur eine endliche Anzahl Ton möglichen Wertsystemen in Betracht, Man wird also jedenfaUa irgend zwei Indizes i~j und i =j + v, wo v > ist, finden können, für welche die beiden Formen fj und f^^„ in den Koeffizienten ^„i -^i? -^s öberein- stimmen. Ersetzt man ,X^^.„, ^j+^ ^^ ^^^ Formen Ij^,, ^j^„ durch die Zeichen Xj, Y, der Variablen in |^-, rj^, so werden dadurch Beziebmigen hergestellt, wobei die Koeffizienten A, B, T, A durch Tj.^i,=-^((. .iTj be- bestimmt sind, und vermöge dieser Beziehungen muß dann tj^,'i]j^^='iji}j entstehen. Vergleicht man die Koeffizienten von 1^^, rjf, ^^rij auf beiden Seiten dieser Gleichung, so folgt AT = 0, BA - 0, AA4- Br= 1, Danach muß entweder (3) B-0, r-0, A = ;^ = t; ij^,-^ij,V^^.-~Vj oder (3*) A = 0, A-0, B^-f- = T; ij^,-nj, n^^^^yl^ mit einem von Null verschiedenen Fabtor t sein. Die zweite Art von Beziehungen aber ist unmöglich, weU in der Form ijj der zweite Koeffi- zient einen größeren absoluten Betrag hat als der erste Koeffizient, in der Form |j^„ aber das Entgegengesetzte statthaben muß. Also gelten notwendig die Beziehungen (3) und die Vergleiehung der Koeffizienten in ijj. und ijj^f zeigt noch, daß t positiv und < 1 ist. Die GHeichungen (3) ei^ebeu '.*' \ß,^)'" Kr,»)^'"-"' \0,-y\r,sJ y Google 350 Zur Geometrie der Zahlen. Ist I das Koeffizientens ehern a der Substitution T,.^Tr^, wobei \q, e/ '+^ > Pi 0, i > 0, t = + 1), Afi < — ist, so existiert dann also ein anderer Gitterpunkt, für den eben- falls X, y relativ prim sind und | = zfX, tj ^ ~ ji ist, und femer ein öitterpunkt, für den x, y relativ prim sind und | = — eA, rj = zjt ist; und diese zwei weiteren Gitterpunkte müssen dann ebenso wie der erste als Glieder der Kette zu ^, ^ auftreten. Nach (3) haben wir E_j^piy^j = Tf^Aj, J*y^., = — /ij- Nun müssen weiter die Punkte i — SJ_^_^_^_^X^_^_■^_^_^, »l =" ft^+,^i und ^ = Tfj^^)lj_|.^, ij = — ft^^j^, welche beide als Glieder der Kette auftreten, identisch sein. Denn hätte man ft^^,.,.! > — ."j+u so würde der Punkt I = t£j.,.iAj-^^, Vi = — jt'j+i ein Kettenglied sein, für das ft^+„ < »I < fi;+„+i wäre, während 13 = itj^^ und rj = {tj^^^^ ja zwei aufeinanderfolgenden Kettengliedern entsprechen. Hätte man dagegen jij^,^.i < — l'-j+u so würde | = ■— £y_|_, + j A^_|_,^j, ^ = T/tj + B^.! ein Kettenglied sein, wofür j(j. < ij < fij._|.^ wäi-e, was ebenfalls nicht möglich ist. Also muß ftj+j+i = — ff^+i sein und müssen sodann jene zwei Punkte zusammen- fallen. Auf dieselbe Art ei^chließt man sukzessive weiter für h — j + 2, j -^ S, . . . . Sodann kann man in der Reihe der Indizes rückwärts gehen und diese Beziehungen (4), welche auch für Jc=j~ 1 bereits durch (3) feststehen, nacheinander für Ä =^ j — 2, j — 3, . . . er- halten. Also gelten diese Beziehungen (4) überhaupt für jeden möglichen Index Je. Man hat nunmehr für jeden Index i: T;^„= I ^ 1 IT,.; ande- /O. — *.\ rerseits gilt nach § 3, (2) die Kegel Tj^j = T, y Google Aimäiieruiig an eine reelle Größe duich rationale Zablen, 351 die erstere Formel für zwei aufeinanderfolgende Indizes i = k, 1 = ]^+! an und hernach die letatere für i = k und i = h -{- v, so folgt zuerst; '^ilc'^k-i-n+i ~'^ir'''^ic+i ^^^^ sodann: (5) ^j_|__, = *j, \+,-K {^- 2,-1,0,1,2,...). Nach diesen Beziehungen (5) kann die Kette zu §, tj als volUcommen periodisch bezeichnet werden. Wir ziehen endlieh auch die Form £ = i/ heran. Für ein jedes Glied "^ =' Pit 2/ ■= 3i 'ißr Kette zu den Formen |, 7} gilt rj^O und | li; | < y ■ Gleichzeitig ist dabei I/SI^ijI stets eine rationale ganze Zahl. Indem diese Zahl <-g-l/i) ist, kann sie nicht die größte in y^-^ enthaltene ganze Zahl überschreiten. Wir setzen letztere ganze Zahl [- Y^ = ^ V^ ~ ^i dabei wird 00 und müssen daher die betreffenden Systeme x = p„ y = Qu die man nun antrifft, sämtlich auch Glieder der Kette zu den Formen g, t sein. Ist umgekehrt x, y ein Glied der Kette zu den Fonnen |, %, so ist dafür g>0 und |5t]<-^; daraus folgt Geht man nun in der Reihe der Kettenglieder zu ^, % so weit, daß ly^ftl^l ^1 ~ d und -p < jTj ist, so folgt hier t; > und andererseits yi)|^ij| < -yV -^ +1- Da aber 1/^||ij| hierbei stets eine ganze ratio- nale Zahl wird, muß dann Überhaupt l/5|§ij| ^ [yI/B] < yl/^Ö, mit- hin ||Tj|, %, ip, a quaire formes hneatres ä trois layiaUps x, y, z, a coefficients teels quelconqiies et de sorte que Ion ait qi + X + f + co = Supposoii'i gae Je detetmmcmt de frois de ces formes soit foujoms different de 86fo et dtstqnons sa laleur abbolue pai 42) AJoro ^l extsit, toiyours i/iots nombret, entietb a, y, s, qm ne bont pas toiis eqau% a zeio tt de soite gue touteb Jen quatre formen ip, %, i>, m soient ew tnleut ahsdue momdies qut 1/r^ La limite (? = 1/— ^D donnee iei eat precise. En general, on peut aussi troaver des nombres entiers x, y, s differents du Systeme 0, 0, et tels que les valeurs absolues de 95, %, tp, a> aoient toutes < d. Mais *) Vgl. Diophantische Approximatioaeaj Kap. III und insbesondere Kap. VI. {Anm. d. Herausg.) y Google 354 Zur Geometrie der Zahlen. il y a un cas ii'exception, oü il sera impossible de satisfaire ä eette autre condition, c'est lorsqu'il existe une subfititution lineaire ä coefficienta entiers et ä determinant ±^ 1, transformant ies formes (p, i, ip, co, ah- straction faite de l'ordre, en d(x~^¥), d(Y-^z), ä(~^X + z), -^d{X+ Y+Z). 2. Le thöoreme que nous venoiis d'enoncer est susceptible d'une inter- pretation g^ometrique, qai peut-etre trouvera une applieation dans la cristallograpliie : ImagiaoBS un Systeme d'octaMres, tous congments entre eux et parallelem ent Orientes, en nombre inflni et places dans l'espa^e de maniere que deux de ces corps n'aient Jamals une partie oommune et que leura centres de gravite forment un reseau parallelepipedique de pointa, comme Bravais l'a considere daas sa tli^orie de la atructure des cristaux. (Tous Ies octaedres penrent alore etre deduits de Tun queleonque d'entre eus par le mSme Systeme de translations). H y aura une Situation oü Ies lacunes laisaees par Ies oetaedres seront Ies plus etroites, ou, ce qui est la meme chose, l'espace occupe par Ies corps sera le plus grand possible; c'esfc la Situation oü ehacun des octaedres a au moins un point eommun avee quatorze autres de ces corps, et alore le ra'[^(rrt de l'e^Mce occupe par Ies octaedres ä Ve^ace laisse libre par ces corps sera de 18 ä 1. 3. Soient |, i;, g trois formes en x, y, s ä, eoefficients reela et ä de- termiaant ± D, oü Z) > 0, On pourra prendre dans le th^oreme du n* 1 : II existe alors des nojnhres entiers x, y, z differmts du Systeme 0, 0, et de Sorte que Von alt Ill + Iii + Uisy^a Dans le caa limite, pour lequel le signe = est reserve, on peut toujours faire en sorte que Ton n'ait pas ä la fois |4j ^ |ij| = |Sl- On en tire alors Or on doit remarquer que, dans eette derniere inegalite, le facteur — pourrait encore etre remplaee par un nombre plus petit. 4. D'autre pari, on peut auasi prendre dans le n" 1: W fr w p = 5 + S' -^ + ^' "<-'• -"-'■ On voit alors qu'«7 existe des nomlres enUers x, y, z differmts du Systeme 0, 0, de Sorte que Von ait y Google AppxosimatiocB des c(uantites ä l'aide de nombrea rationnela. 355 i6| + l5l,s:|/p M + maW^- Dans le cas limite oü Ton doit prendre ici an des deux sigues =, on peut toujours faire en sorte q«e Ton n'ait ni+^ = gni+ij=:g. En faiaant usage alors des inegalites \m^(:^^h \m4 on trouve Dans ces demiöree inegalites, la limite n'est plus pr^cise. 5. Soient a, b deux quantites reelles quelconques. Poaons, dans les inegalites du n" 4: ^^x — as!, Ti^y — bz, t = ^, t etant un parametre poaitif. On Toit qu'on peut trouver des nombres entiers x,y,s, parmi lesquels ^ est positif, et de sorte que x—as, y — hs soient en valeur absolue plus petites qu'une quantite e donnee ä volonte, et que dans ceite approximation on aM en meme temps iy-»i0. On peut toujours -^ouver, dans U corps algebrigue de i = ")/— 1, des nomhres entiers complexes x, y diff&enis du Systeme 0, de sorte que Von ait La limite d-^'U — ~— D donnee ici est precise. En general, on aura anssi des nombres entiers complexes a:, ?/ ^ 0, de sorte que tSI <'^j kl <'^- Mais dans nn seul cas il sera impossjble de satisfaire & ces autres tnegalitea; c'eat lorsqn'il existe une Substitution X ^pX + rY, y = qX + s¥, oü p, q, r, s sont des nombres entiers dans le corps de i et le determi- y Google 356 Zur Geometrie der Zahlen. nant ps — qr =' ^ 1 ou +i, de sorte que, par cette Substitution, |, jj Boient transformees en ld\X+\ <-l)]4 .^![4+(i-f)]x^r), A et (t etant des quantites dont la valeur absolue est egale ä 1. 7, Theoreme. — Soient | = aa; + ßy, r; = yx -{- dy deiix formes line'mres ä coefficients cotnplexes quelcongues et soit i>=|aÖ — (5j'j>0. On peut toujours howuer, dans le corps alg^rique de j = ^ , des nombres entiers complexes x, y diffiirenU du Systeme 0, de Sorte que Von ait Cette limite d^YD est iei preeise. En general, il y aura aussi dea aombres entiers x, J^ + O, O'de Sorte que ||| et |ij[ soient <.d, es- cept4 dans le cas oüj dans le eorps de j, il existe une Substitution Unfaire ä coefficients entiers et k determinaut egal ä une unite du Corps, a l'aide de laqueUe |, ij, abstraction faite de l'ordre, se changent en XdX, lid(TX-{- Y), X et ft etant des quantites dont la valeur absolue est egale ä 1, et r une quantite eoraplexe quelconque. On remarquera ce fait interessant que, de ces deus theoremes eor- respondants, l'un, qui est relatif au corps algebrique de la troisieme racine de l'unite, est beaucoup plus simple que I'autre, relatif au corps algebrique de la quatrieme racine de l'unitd 8. Soit a une qucmtite complexe quelconque. En posajit i^x — ay, j; ^fs, ( etant un parametre reel quelconque > 1, on voit que, dans le corps de — - - ^ ■■■- (mais pas dans le corps de ")/— 1) , U y aura toujours des iers complexes x, y tds que (i<\y\^t, \x-ay\<^, re encore \{x-ay)y\ ? ist, wohl dem Werte Null be- liebig nahe kommen. Wir machen hier stets die Annahme « > i. Über die Annäherungen dieser Form | an Null gelten dann, wie ich in dem Aufsatze „£!in Kriterium für die algebraischen Zahlen" {Göttinger Nach- richten V. 11. Febr. 1899; diese Ges. Abbandlungen, Bd. I, S. 293— 315) gezeigt habe, die folgenden Sätze: W%) Lonjien sm Zahl a in beeug auf jede beliebige reelle Größe r ^ 1 stets eine SubsMuiton mit folgenden Eigensüuiften Tzonstruieren: y Google 358 Znr Geometrie der Zahlen. a) Alle Koeffisimten s'ß sind ganze rationale Zahlen, und aeken die Quotienten -^ dein Betrage nach nicht über eine gewisse, von r unabhängige Größe hinoMs. b) Die Beterminante von S ist '^O und liegt dem Betrage nach unier einer gewissen, von r nicht abhängigen Grenze. c) Geht i durch S in ? angenommen), not- wendig eine algdiraische Zahl «""* Grades, wenn für sie in iezug amf jede reelle Größe r^\ steis eme den Bedingungen a), b), c), d) entsprechende SubstiMion S hergestelU werden kann. 2. Wir denken uns weiterhin a stets als eine algebraische Zahl w""' Grades und n>l. Nehmen wir nun eine unbegrenzte Reihe wachsender Zahlen r, ^ 1, r^jrg, ... an und konstruieren wir in der eben erörterten Weise zu diesen Zahlen Substitutionen S^, 8^, S^, . . . . Eine derartige Sub- stitutionenkette für die Zahl a soll periodisdi heißen, wenn die daraus ver- möge der Kompositionsformeln Ss^S.Q^, S^^S^Q^, . . ., S^^.i= SjQ^,.. . hergeleitete Beihe von Substitutionen Qj, Q^, Q^,..., abgesehen von einer endlichen ÄnzoM vott Gliedern am Anfange, in periodischer Wiederholung ein und d&rselben endlichen Folge von Siibstitutionen besteht, wenn also ein y Google Periodieche Approximationen algebraischer Zahlen. 359 Indes jf^ und eine positive Zahl p^ angebbar sind, so daß für jeden be- liebigen Index j'^Jo stets Qj^ Q^,^.^ ist Wir fragen nach dem Charakter derjenigen algebraischen Zahlen a, für welche periodische SubstitutionenJseUm existieren. 3. Ist die Kette iSj, S^, S^, . . . für cc periodisch, so erhalten wir mit den soeben eingeführten Bezeichnungen also wenn j ^ j^ ist. Setzen wir S ^ Sj'- = P^, so folgt daraus aUg< für jeden Index j' ^ j,, und jeden Exponenten /■=- 1, 2, 3, ... . Es bedeute c) in solcher Weise auffinden können, daß erstens TS~''-= F =^ -Po~° ^''^ ganssahlige Svhstitation mit der Determinante 1 wird und sudem zweitens in den beiden Formen (pj ^ = tp und tpj ^.^ = ^ die n Koeffizienten jedesmal genau die- selben Verhältnisse besitzen, daß also ^-=#g) gilt, wo & ein konstanter Faktor ist. (Die eratere Forderung wird z. B. gewiß erfüllt sein, wenn wir S und T derart auswählen, daß ihre Determinanten gleichen Wert haben und zudem in ihnen nach dieser Determinante als Modul je zwei entsprechende Koeffizienten immer gleichrestig sind.) Der Faktor & wird als Quotient der Koeffizienten in ip und y wie diese Zahlen im Körper von K liegen. Setzen wir (d — e)pfj = p, so gehen aus T =- FS, ^ =&(p vermöge Qj= Qj+p(j^jö) ^^^ Beziehungen für jeden Index j^jo hervor. Wir erhalten sodann allgemeiner für /■= 1, 2, 3, . . . . Da in den Formen tpj mit wachsendem Indes j die Betrage der Koeffizienten jedenfalls nach Null abnehmen, muß |#-j < 1 sein. 4. Wenn « komplex ist, bedeute k** die zu cc konjugiert imaginäre Größe. Die n — l Wurzeln der irreduziblen Gleichung für cc außer a, bzw. außer a und «" mögen a, a" , . . ., a*""** heißen. Femer bezeichnen wir die zu einer Zahl & oder einer Form | des Körpers von a konjugierten Zahlen oder Formen in den Körpern von («"), a, . . ., af-'^~^ analog durch y Google 360 ^nr Geometrie der Zatleii. Hinzufügung oberer Indizes (0), l,...,n~l Dnrcli die Substitution P = jS 8t^ geht § in #§ und gehen daher wegen der Irreduzibilität der Gleichung n"" Grades für « weiter (g"), |', ..., I'"-') in (^|"), *'|', ..., ^(B-i)|(n-() (jber. Bedeutet nun t einen unbestimmten Parameter, £ die identische Substitution, so gehen |, . . ., ^'"""^ durch die Substitution iE ~ P in (( — d)g, ..., (i — •&<"-'!)§'"-'> über und ist infolgedessen \tlE — P\, d.h. die Determmtmte von tE~F, gleich dem Produkte (( — ^) ... (^ — Ol"-'*). Diese in i identisch erfüllte Beziehung zeigt, daß %• der Gleichung \tE — P\ = (i genügt. Indem F eine ganzzahlige Sub- stitution und ihre Determinante 1 ist, erweist sich dadurch ö- als eine ganze Zahl und als eine JEinkeit im Körper von a. 5. Es sei nun «q eine solche ganze rationale Zahl, daß «„k eine gange algebraische Zahl wird, so bat das Produkt »„"-^^ als Koeffizienten lauter ganze algebraische Zahlen und sind daher auch in jeder einzelnen Form ßß"^?!^ die hemglichen n Koeffizienten a'^~^Qj,(k = 1, 2, . . ., n) stets lauter von Null verschiedene gange algebraische Zahlen, also deren Normen im Körper von a stets dem Bei/rage nach ^ 1. Wegen der Eigenschaft a) der Substitutionen 8^ liegt dabei jeder Betrag i Ai {h^l,...,n-l;h=l,2,...,n) nicht über einer gewissen von j unabhängigen Grenze. Verwenden wir nun die hierdurch gegebenen Ungleichungen für aUe Indizes Ä= 1, ...,n—l mit Ausnahme eines beliebigen Index g dieser Reihe und berücksichtigen wir außerdem die Eigenschaft c) für 8^ und, faRs l = 2 ist, noch die Beziehung Ip^l = | p/|, so gewinnen wir aus der Ungleichung I Nm «0 ~ V* I ^ 1 eine gewisse, von r- unabhängige, positive untere Grenze für den einen darin I eM j I p!"' I übrig bleibenden Faktor J— ^— L , Danach befinden sich nun aUe Beträge ■-■ *- - in hemtg auf die Form ipj gwischmt zwei bestimmten enälichen postUven, von r^ unahhängigen Grenzen, und werden infolgedessen weiter auch die Quotienten aus irgend swei der je w — ! Tionjugierten Werte ?.',?.", ■■.,9?-» (i_l,2,...,«) bei sämtlichen Formen tp^ stets absolut genommen zwischen zwei, unab- hängig von den Werten r^ feststehenden positiven endlichen Grenzen liegen. Beachten wir nun die Relationen yj+^p= ^^j für f— 1, 2, 3,..., so zeigt sich schließlich, daß auch die Beträge der Quotienten aus irgend zwei der je n — l Größen *'/, #"^, ..., {»<■'•-'>'/ yGoosle Periodisclie Approximationen algebiaischer Zahlen. 361 zwischen gewiesen zwei festen positiven endlichen Grenzen liegen müsseü, imä zwar gelten diese Grenzen für alle Werte f = 1, 2^ ä, . . . auf einmal. Danach kann die Einheit 9- nicht anders beaehaffen sein, als daß für sie statthaben. Bezeichnen wir den gemeinsamen Wert dieser letzten Beträge mit Tj lind setzen |'9'| = £, womit im Falle 1 = 2 noch [O"] zas 1. Wir gelangen au± diese Weise zu dem Satze Damit eine alffebraischs Zahl n'"' Gtadet. a eine pertodiscke Sub'.titu tionenhette besitze, muß es im Körper von a eine Etnhett O von nnem Be trage < 1 geben, fm welche die konjugietten Zahlen m, den konjugierten Körpern {abgesehen von der Zahl %" in dem Korper der loiyfugiert ima- ginären Zahl a", fdUs a Jsomplex isf) sämtlich wntei einander gleichen Se trag haben. 6. Die hier gefundene Sedingung lU zugleich himeichend fut das Töj handensein einer periodischen Suhstitwtwnenlttte suj Zahl a Denn nehmen wir an, es existiere im Körper von a eine Einheit ■9-g von dem fraglichen Charakter. Es bedeute dann Pf, diejenige Imeaie Pnbstitution, duich welche die n Formen ?, (g"\ , g("-'l in die Formen S-fll, (ö't,»!«), . . ., ^—^i" " übergehen, diese Substitution hat lauter rationale Koeffizienten und eine Detmmmante = ± 1 Durch P(^, wenn f eine der Zahlen 1, 2, 3, . . . be- deutet, gehen dann |, ,1" '^ in\^^, . . .,{&*^~'^y^'''''^ über. Da diese Potenzen &/ lautei ^anze algebiaische Zahlen sind, werden, wie leicht zu sehen ist, m aUen jenen Substitutionen P/ die Koeffizienten solche ganze rationale Zahlen sein daß ihie Nenner nicht über eine gewisse, durch die Gri.ße ß bestimmte, aber von den Exponenten f unabhängige Zahl hin- ausgehen, wihiend zugleich ihre Determinanten durchweg = + 1 sind. Wir weiden infolgedessen unter jenen unendlich vielen Substitutionen P/ geftiß irgend zwei snlche, Pff und P^" ((? > c), finden können, daß PffIPf,) i = P eine Substitution mit gansisahligen Koeffizienten wird. Setzen wij dmn d-^~ = -& | ö- "-'^ij, so haben wir in der Reihe eine periodische Substitutionenkette für die Zahl k mit den in 1. und 2. angegebenen Eigenschaften, wenn wir noch für die zugeordneten Größen r^ die Festsetzung )-^= V~^Ü ^ ^r"^!^! ■ ■ ■) treffen. y Google 362 2ur Geometrie der ZaUcn. § 2. Einheiten von besonderem Charakter. 7. Wir wollen jetzt die Forderung der Exietenz der besonderen Einheit -fr im Körper toh « weiter rerfolgeii. Die ganze Eunktion n-^ Grades in t: ^^^ ^ ^f -&)... (t - &<■'-')) hat rationale gange Koeffizienten; unter ihren Wurzeln haben l den Betrag £ < 1 mid n — l den Betrag i; > I. Jeder im Bereiche der rationalen Zahlen irreduzible Faktor dieser Funktion F{i) Tersehwindet für wenigstens eine der Zahlen 'S-, . , ., fl-t""'' und muß daher, wegen der Irreduzibilität der Gleichung mit den Wurzeln k, . , ., efi'"^, jedesmal für alle diese Zahlen ■&,..., '9'l''~y Yerschwinden; infolgedessen ist F{t) notwendig eine Potenz einer einzigen irreduziblen Funktion. Wegen der Beträge der Wurzeln sind nun offenbar nur diese beiden Fälle möglich: Entweder ist F{t) selbst irreduzibel und bestimmt alsdann %■ bereits den Körper von a, oder es ist K komplex, 1 = 2, aber fl' =^ d" reell und F(t) das Quadrat einer irredu- ziblen Funktion; in letzterem Falle bestimmt & einen reellen Unterkörper vom -■- Grade des komplexen Körpers von a. Wir bemerken noch, daß jede Potenz -9'^, &^, . . . denselben Bedingungen genügt, wie sie hier für & vorausgesetzt werden. 8. Nach einem Satze von Diricblet gibt es in dem Köi-per der Zahl ß, wenn nur w > Ü ist, gewiß eine solche Einheit, deren Betrag < 1 ist. Daraus ersehen wir bereits, daß im Körper von k eine Einheit # der hier verlangten Art sich gewiß in folgenden Fällen vorfindet: a) wenn a reell und » = 2 ist, b) wenn a reell ist, n = 3 und der Körper von a zwei Itomplexe konjugierte Körper besitzt, c) wenn a komplex und n = B ist, d) wenn a Komplex ist, »==4 und der Körper von a lauter kom^xe konjugierte Körper besitzt. Denu in diesen Fällen besteht die Reihe •&', . . ., Q^"-^ entweder in einer einzigen reellen Zahl oder zwei konjugiert imaginären, im speziellen auch zwei gleichen reellen Zablen. Weiter haben wir im Körper von a eine Einheit & der verlangten Art jedenfalls auch in folgenden Fällen: e) wenn a komplex ist, n^4 und der Körper von k einen reellen Unterkörper sweiten Grades hai, f) wenn a komplex ist, n = 6 und der Körper von a einen reellen Unterkörper dritten Grades hesitst, dessen zwei konjugierte Körper komplex sind. Denn in diesen Fällen können wir für & eine reelle Einheit von einem Betrage < 1 in dem betrefl^enden Unterkörper von k wählen, als- dann ist #■**= 9- und die Reibe ■&',.■■;*'""■'' besteht aus zwei gleichen reellen bzw. zwei gleichen Paaren konjugiert imaginärer Zahlen. Wir können jetzt den Satz beweisen: y Google Penodisclie ipprommationen algebraiicher Zahlen 363 Die htei aUifgtsüMien seclit> Falle sind die emzigen, in denen de> Koippr. lon a eme Einheit & der fragltclieit Alt aufunst, also die einzigen FaUe, m den&i dtf ZaM a penodtsdie Stibsfitutionenl etten besitzt 9 Wii diekutieien zupist den Fall einpr reellen ZaM a, iiiei ist ^ = 1, ^ — ±£, etj" ^=1 Wu haben loigendc Moglichkeitt-n ms Auge zu faRsen a) Unter den ZaUen « , , (!"-" finden aioh uenig'itens cuei tetUe, etwa w'*' und a*' Dann sind auch &'' und S-*' reell, und da diese Zahlen niLht emaulei gleich sein können, dbei denselben Bctiag haben, mußte Q-m = _ ^W ond daher (&«)«= (#«1= sein Abei die Zahl &' = a^ igt von ihien n — 1 konjugierten Zahlen Teischieden, sie genügt dahei ebenfalls einer meduziblen Gleichung «*™ Giades und müßten daher ihie n ~ 1 koujugierten Zahlen auchunteiemmder durchweg Teischieden sein Danach ist dies« FaU unmöglich h) Untei den Zahlen c , , c' *' kommt km» einf tefUe Zahl, c'''\ vor. Für « = 2 liegt dann der oben unter 8. a) aufgeführte Fall vor. Ist w > 2, so haben wir unter jenen Zahlen weiter wenigstens ein Paar konjugiert imaginärer Zahlen, etwa «W und ßW. Die Zahl &^ = £^ genügt einer ir- reduziblen Gleichung n*"^ Grades; unter den Wurzeln dieser Gleichung ist weiter eine = (•&W)ä ^ ^s y^i gi^d die w — 2 übrigen dem Betrage nach = i;^. Nun können wir eine Gleichung mit rationalen Koeffizienten vom Grade ^^'^~ angeben, welche die Produkte aus je zwei verschiedenen der n Größen &, &' , . . ., Q-i"-^'! zu Wurzeln hat. Diese Gleichung besitzt n— 1 Wurzeln vom Betrage et], die übrigen Wurzeln vom Betrage tj^, darunter inabesondere die Wurzel Ö'W^I** = tf, sie müßte also auch alle anderen Wurzeln jener irreduziblen Gleichung «'"" Gnides für i;^ besitzen; sie hatte aber, da £ 2 unmöglich. c) Die Zahlen a, . . ., «f""^* sind sämtlich komplex, sie zerfallen dann in — y Paare konjugiert imaginärer Größen. Für » = 3 liegt der oben unter 8. b) aufgeführte Fall vor. Jetzt sei n > 3. Wir bilden die Gleichung - ^" ■ ^— ^ Grades mit rationalen Koeffizienten, welche als Wurzeln die Produkte aus je zwei der »Größen ^-'' + ^, 0-'-"+^, .. ., (*<''-y)-" + ' hat. Diese Gleichung besitzt n — 1 Wurzeln vom Betrage (£ij)~"+^ = j)t"-^)("-*) und im Übrigen lauter Wurzeln vom Betrage ■tj-^^''~'^> = e\ darunter ■■— ■ Wurzeln = £^ = ■fr^; sie müßte daher auch alle die Größen d-'^, . . ., (ö''""'^')^ vom Betrage i;^ zu Wurzeln besitzen, es müßte also tj^ = i;'""'"""^', d.h. n = 3 sein. Für w > 3 ist danach dieser Fall unmöglich. y Google 364 Zur Geomettie der Zahlen. 10. Wir behandein jetzt weiter den Fall einer komplexen Zahl a; hier ist 1-^2, s^r/"- ^ = 1 . Machen wir eunädist die Atmahme, daß & = &", also reell ist. Die Größe # ist dann Wnrzel einer irreduziblen Gleichung -5- Grades. Der Körper von w besitzt also einen reellen Unterkörper vom Grade y, und in diesem soU & eine Einheit yon einem Betrage < 1 sein, für welche die konjugierten Zahlen in den konjugierten Körpern sämtlich untereinander gleiche Beträge haben. Wir können daher die in 9. gemachten Äusföhrungen verwenden, und ea muß entweder -s~ = 2 sein oder aber -g- = 3 und dabei der Körper von & zwei komplexe konjugierte Körper aufweisen. Wir kommen damit auf die oben unter 8. e) und 8. f) aufgezählten Umstände für den Körper von k. Wir nehmen jetzt andererseits an, daß & ^ &^ sei. Alsdann genügt &■ einer irreduziblen Gleichung n'™ Grades und bestimmt bereits völlig den Körper von a. Wir unterscheiden wieder drei Fälle: a) Unter den Zahlen a',..., a^''~^^ sind, wenigstens 0wei reelle YOThaniea, K<*' und ßW. Dann sind auch *(*) und »^ reell, und da sie gleichen Betrag haben, aber verschieden sind, kann nur ■&'''> ■= — •S'**' sein. Alsdann ist (■9-t''J)^ = (&^'^'>y. Die rationale Gleichung n^"" Grades mit den Wurzeln ^V'-X**""^')^ ^^* daher lauter Doppelwurzeln und muß infolgedessen #^ = (P''>y sein. Die Poteua ■9'^ bestimmt somit einen reellen Unterkörper — Grades für den Körper von 3, so haben wir unter jenen Zahlen noch —- — Paare konjugiert imaginärer Größen. Es ist ö'**' = ± ^; da — ^*' hier nicht derselben Gleichung mit rationalen Koeffizienten wie 'S*' genügt, muß notwendig auch &" ^ — Q; also (-9''')^ + ■9-^ und daher {J-^=("±£*, (ö-'')^ + ± £^ sein. Danach ist die ratio- nale Gleichung n'™ Grades mit den Wurzeln Q'^, . . ., (Q'i"-^>y irreduzibel und unter den Wurzeln dieser Gleichung sind zwei nicht reelle Wui-zehi vom Betrage s^ und ist ferner eine Wurzel = tj^ vorhanden. Bilden wir nun die rationale Gleichung — ~-— Grades, welche die Produkte aus je zwei der n Größen ©■, . . ., ■9'l"~*> zu Wurzeln hat, so besitzt diese Gleichung eine Wurzel = s\ sodann 2(n — 2) Wurzeln vom Betrage evj, die übrigen Wurzeln vom Betrage 1;^ und darunter — ^ — Wurzeln = i;^. Wegen der y Google Periodische Approximatioaen algebraischer Zahlen. 365 letzteren Wurzeln müßte sie aber alle Wurzeln jener irreduziblen Gleicliuug für Tj" besitzen. Danach ist dieser Fall für n > 3 unmöglicli. c) Die Zahlen cc', .. ,, u^"~^i sind sämtlich komplex, zerfallen also in —T — Paare konjugiert imaginärer Größen; n ist hier gerade. Für w = 4 liegt der oben unter 8. d) aufgeführte Fall TOr. Jetzt sei « ^ 6. Bilden wir die Gleichung —^ — - Grades, welche die Produkte aus je zwei der n Größen ■&,..., d-'""^' zu Wurzeln hat, so besitzt diese Gleichung mit ratio- nalen Koeffizienten eine Wurzel = e\ sodann 2 (w — 2) Wurzeln vom Betrage £ij, die übrigen Wurzeln vom Betrage tj^, darunter — r — gleich ij^. Bilden wir andererseits die Gleichung — ~ — - Grades, deren Wurzeln die — — g— Potenzen der Wurzeln dieser letzten Gleichung eind, so hat diese neue Gleichung mit rationalen Koeffizienten eine Wurzel = E^i"-^' = i; ^ , so- -("-3) ('<-S){n-i) dann 2(n — 2) Wurzeln vom Betrage (srf) =ri , die übrigen Wurzeln vom Betrage jj~("-^ = s^, darunter —^ — gleich s^. Diese zweite Gleichung besitzt nun keine Wurzel vom Betrage ßtj, und wenn wir uns zuerst n>6 denken, auch keine Wurzel vom Betrage tf. Im Falle K > 6 könnte daher der gemeinsame Paktor der beiden eben gebildeten Gleichungen nur die eine Wurzel £^ besitzen, es müßte dann also e^ ~ 9%" rational sein; nun wäre aber *^ ebenso wie ^ eine Einheit, eine algebraische Zahl von der Norm i 1, es müßte daher notwendig £^ = 1 sein, was gegen die Voraussetzung e6 hier Im Falle w == 6 endlich hat die zuerst erwähnte Gleichung eine Wurzel = E^, 8 Wurzeln vom Betrage ei;, 6 vom Betrage ij^, die an zweiter Stelle gebildete Gleichung eine Wurzel = »j^, 8 Wurzeln vom Betrage 'yf, 6 vom Betrage s\ darunter 2 gleich e^. Die im Bereiche der rationalen Zahlen irreduzible Gleichung mit b^ als Wurzel kann danach, da sie in diesen beiden Gleichungen als Faktor eingeht, außer s^ nur Wurzeln vom Betrage rf enthalten, und sie wird wegen £^ij* = 1 und da s^ = &&■" jedenfalls eine Einheit vorstellt, im ganzen zwei solcher Wurzeln enthalten; diese zwei Wurzeln können dann einander weder gleich noch entgegengesetzt, also auch nicht reeU. = ± ij* sein, sie müssen komplex und zueinander konjugiert imaginär sein. Nehmen wir an, daß hier ■&' mit &" und %■"' mit ■&'*' kon- jugiert imaginär sind, so können wir annehmen, indem wir noch die Be- zeichnungen von &'" und ö-**' vertauschen dürfen, die Wurzeln jener Gleichung für £^ seien »&■", &'»'", *'>W y Google 366 Zur Geometrie der Zatlen. Die Große «^ bestimmt danacli einen kubischen Körper, dessen zwei konjugierte Körper komples sind. Denken wir uns jetzt die im Bereiche der rationalen Zahlen irreduzible ganze Funktion F(t), welche für i!='0- verschwindet, im Körper von i^ in irreduzible Faktoren zerlegt, und es sei G[f) derjenige Faktor darunter, welcher die Wurzel f = •9' erhalt. Da B^ reeU ist, bekommt G(t) ebenfaUs lauter reelle Koeffizienten und wird daher mit der Wurzel 9- auch die konjugiert imaginäre Größe ^ =-^ als Wurzel besitzen, so daß auch (?(-^| = ist. Alsdann muß die Grlei- chung G {~-j = ^ überhaupt für jede Wurzel der im Körper von e^ irre- duziblen Gleichimg G(t) = bestehen. Die Cfrößen ^, ^, ^, ^ aber besitzen sämtlich den Betrag — =t= jj und + f und sind daher nicht Wuraeln von F(t) = 0, also auch nicht Wurzeln von G(f) = 0, daher kann G(t) auch keine der Größen *', Ö-", ■&"', -ö-'*' als Wurzel haben; somit können wir einfach G(t) — (t ~ &)(t — S-*) schreiben. Danach ist -9' Wurzel einer quadratischen Gleichung im Körper von s^ und besitzt der Körper sechsten Grades von 3-, d. i, der Körper von a, in dem Körper von e^ einen reellen Unterkörper dritten Grades, dessen zwei konjugierte Körper komplex sind. Wir kommen also auf den oben unter 8. f) aufgezähl- ten Fall. Wir können die Bildungsweise des Körpers von a unter den hier an- genommenen Umständen noch genauer festlegen. Die zu G{i) konjugierten Funktionen in den Körpern von &'&'" und «■"■S-f''^' werden (; — *')(/ — ■&'") und{i — ö-")(' — *'^Vei"- Da |ö-'| = l'^'"! ist, wird |;-^^ rein imaginär, also ( ä-vx " !»'" ) ®™® negative reelle Größe sein. Diese Größe liegt wie Q-' -[- ^"' und ^'Q-'" in dem Körper von &'&'"■, da sie nun reell ist, wird sie identisch mit ihrer konjugierten Größe in dem konjugiert imaginären Körper von &"■&<*' und muß daher rational sein und daher gleichzeitig auch gleich der konjugierten Größe |— - ^ j im Körper von &&". Danach ist ^ entweder =- s;.7. oder = -^. Da wir die Bezeichnung der Paare &', &" und d'"', -fr'** vertauschen dürfen, können wir annehmen, es sei 0:0 = 0:77;; letzterer Wert ist weiter = 57^- Setzen wir 7^5 = ^, so ist ö = ^^ und = S wad die drei hierzu reziproken Werte = -j . Dabei hat S den Betrag 1 und ist wie ^ eine Einheit: danach ist entweder d = — 1, oder es ist S eine solche Einheits- y Google Periodische Approximationen algebraischer Zahlen. 367 Wurzel, die einen Körper zweiten Grades bestimmt. Im ersteren Falle ist 0*' = — ■&,■& = + iE, '»^ = {»"y. Im zweiten Falle kämen für 6 zunächst die dritten, vierten, sechsten Einteits wurzeln in Betracht. Nun folgt ■9- = d^ £, ■&*' = —-£ und weiter unter Verwendung yon fi;' = £&'&" = 1 die Beziehung Nm{d- + r) - (^ + *«)(*' + &'"){&■■ + 0(^0 = ^ (1 + |)(1 + d). Danach muß noch ■ j - rational sein, und solches trifft nur ku, wenn 3 eine dritte Bioheitswurzel vorateüt, 0^=1 ist. Dann folgt endhch & = ±-^' &*> = + (Je, Ö'^ = (ß^y und * + ■&"=- T £, so daß der Körper von f^ auch die Größe £ selbst eutliälfc, und der Körper von k aus dem Körper dritten (Jrades von e und dem Körper zweiten Grades von § = - — - ■ zu- : ist. § 3, Die Komplexen kubischen Irrationalzahlen, 11. In den Fällen^ wo für die algebraische Zahl a periodisdie 8uJ>- stitupionenketten möglich sind, entsteht tmn SAe Aufgabe, eine solche KeUe für a bereits hermsteUen, wenn alldn a seinem Werte nach gegeben ist, die Jconjugi^lm algebraischen Zahlen von a indes noch unbekannt sind. Bei den reellen algebraischen Zahlen zweiten Grades wird gerade durch die perio- dische Entwicklung in einen gewöhnlichen Kettenbruch das hier Verlangte geleistet. Wir wollen nun zeigen, daß auch noch in einem anderen Falle, nämlich, wenn es sich um eine Jcomplexe Größe a handelt, welche Wursel einer wredusiblen Gleichung dritten Grades sein soll, der hier gestellten Forderung entsprochen werden kann, und wir Itommefa dadurch su einem vöüig analogen Kriterium für die komplexen algebraischen ZMen drittem Grades, wie es durch Lagrauge für die reellen algebraischen Zahlet svmten Grades in der Feriodizität ä&- KettenbruchenfmicMung nachgewiesen worden ist. Es sei jetzt a eine komplexe Größe, welche einer im Bereiche der rationalen Zahlen irreduziblen Gleichung dritten Grades genagt, so ist mit a ohne weiteres auch die konjugiert imaginäre Größe a" gegeben; dagegen haben wir uns der Kenntnis der dritten reellen Wurzel a' jener Gleichung vorläufig zu entschlagen. Wir setzen § — 3^1 + ccx^ + a^x^. Zu jeder ganzen rationalen Zahl r ^ 1 bestimmen wir eine Substitution S: ä^. - »l."!', + 4'V + Ä (*-l,2,3), y Google y Google